四川省南充市2020年高考数学一模试卷C卷
四川省南充市高考数学一模试卷(理科)
四川省南充市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·江西模拟) 已知集合，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数的值是（）A .B .C .D . 13. （2分）已知直线平面,直线,则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i,j)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8,a54=15,若aij=2011，则i与j的和为A . 106B . 107C . 108D . 1095. （2分） (2018高二下·磁县期末) 在如图所示的计算的值的程序框图中，判断框内应填入A .B .C .D .6. （2分）(2016·北京文) 已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（）A . ﹣1B . 3C . 7D . 87. （2分） (2016高二上·中江期中) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 108B . 100C . 92D . 848. （2分）在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知则B的大小为（）A .B .C . 或D . 或9. （2分）在等比数列 {an}中，a3+a5=20，a4=8，则a2+a6=（）A . 188B . 24C . 32D . 3410. （2分）(2018·山东模拟) 已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F1、F2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则点P到y轴的距离为（）A .B .C . 1D . 2二、填空题： (共5题；共6分)11. （2分） (2019高二上·张家口月考) 某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期月日月日月日月日月日温差发芽数(颗)由表中根据月日至月的数据，求的线性回归方程中的，则为________，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程________.(填“可靠”或“不可幕”)12. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=0.2，则P（﹣1＜ξ＜0）等于________．13. （1分） (2016高二下·右玉期中) 若f（x）= ，则f（2016）等于________．14. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于________．15. （1分）(2017·扬州模拟) 已知函数f（x）= 其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共55分)16. （10分）已知函数y=sin（2x+ ）+1．（1）用“五点法”画出函数的草图；（2）函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？17. （15分） (2016高二上·上杭期中) 在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣，bn= ，其中n∈N* ．（1）求证：数列{bn}为等差数列；（2）设cn=bn+1•（），数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn；（3）证明：1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）18. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC1中点，CC1=8．（1）求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；（2）求平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值．19. （5分）(2017·石家庄模拟) 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．20. （10分） (2019高三上·凉州期中) 已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围21. （5分） (2018高三上·昆明期末) 已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）若，是椭圆上两个不同的动点，且使的角平分线垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共6分)11-1、12、答案：略13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、答案：略。
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 33.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.155.已知函数f(x)=2x2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ） A.−2 B.−1 C.0D.126.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）9.设函数f(x)＝ae x −lnx （其中常数a ≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.ae −1 D.1−2ae10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（ ） A.y ＝0.25x B.y ＝1.002x C.y ＝log 7x +1 D.y =tan(x10−1)11.函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x ＝−π对称，则ω的值为（ ） A.23 B.53C.2D.8312.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13.已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________．14.已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________．15.2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值16.若函数f(x)=12范围________．三、填空题：共70分．17.已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；)，求x0的值．（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π218.已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．19.已知△ABC 中三个内角A ，B ，C 满足√2cosB =sin(A +C)+1． （1）求sinB ；（2）若C −A =π2，b 是角B 的对边，b =√3，求△ABC 的面积．20.已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x 1，x 2均大于1且满足f(x 1)+f(x 2)=12，求f(x 1x 2)的最小值．21.已知函数f(x)＝e x −ax 2，a ∈R ，x ∈(0, +∞)． （1）若f(x)存在极小值，求实数a 的取值范围； （2）若0<a ≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx −x)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]23.设函数f(x)＝|x −m|+|x +1|−5(m ∈R)． （1）当m ＝2时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≥−2，求实数m 的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]【解答】由题意得：A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}＝{1, 2, 3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1, 2, 3}，2.若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 3【解答】∵b <a <0，∴1a <1b ，ab >a 2，由函数y =√x 3在R 上单调递增，可得：√b 3<√a 3．设a ＝−2，b ＝−1时，|a|+|b|＝|a +b|与C 矛盾． 因此只有C 错误．3.下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.f(x)＝x 2 B.f(x)=√x C.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x【解答】由f(x)=√x 的定义域为[0, +∞)，不符合题意， C ：函数的定义域x ≠0，不符合题意，A:y ＝x 2在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增，不符合题意， 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.15【解答】 由题意得{a 3=a 1+2d =2S 3=3a 1+3×22d =3，∴a 6＝a 1+5d ＝5． 5.已知函数f(x)=2x 2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ）A.−2B.−1C.0D.12【解答】 ∵f(x)=2x2−1，∴f(−x)+f(x)=2−x2−x −1+2x2x −1=11−2x +2x2x −1=1， ∵f(−m)＝2，∴f(m)＝−1．6.已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ） A.￢p ∧q B.p ∨q C.p ∧￢q D.￢p ∧￢q【解答】由题意得：命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)，由基本不等式成立的条件，y ≥2√2sinx ⋅sinx =2√2，知等号取不到，所以p 命题是假的； 命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，∴b →⋅(a →−c →)=0，b →，a →−c →有可能是零向量或者b →⊥(a →−c →)，所以q 是错误的．∴￢p ∧q ，p ∨q ，p ∧￢q ，是假命题，￢p ∧￢q 为真命题； 7.若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >b C.c >b >a D.a >c >b【解答】由指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，又a =(13)0.6，b ＝3−0.8=(13)0.8， ∴1>a >b ． c ＝ln3∈(1, 2) ∴c >a >b ．8.已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.13先根据x，y满足线性约束条件{2x−y≤0x−y+1≥0x+y−1≥0画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B(0, 1)时，z取最小值为1．9.设函数f(x)＝ae x−lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为（）A.1B.2C.ae−1D.1−2ae【解答】由f(x)＝ae x−lnx，得f′(x)=ae x−1x，∴f′(1)＝ae−1，又x＝1时，f(1)＝ae，∴f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(ae)＝(ae−1)(x−1)，取x＝0，得在y轴上截距y＝(ae−1)(0−1)+ae＝1．故选：A．10.某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A.y＝0.25xB.y＝1.002xC.y＝log7x+1D.y=tan(x10−1)【解答】由题意得：有两个条件①奖金y≤5；②奖金y≤0.25x．且10≤x≤1000．A选项，当x≥20时，y≥5，不符合题意．B选项，当x＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．D选项，当x＝1000时，y=tan(x10−1)=y＝tan(2)是一个负数，不符合题意．11.函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x＝−π对称，则ω的值为（）A.23B.53C.2D.83要使函数f(x)=sin(wx +π6)(w >0)的递增，则−π2+2kπ≤ωx +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，化简得：−2π3ω+2kπω≤x ≤π3ω+2kπω(k ∈Z)，已知在(−π2,π2)单增，所以{−2π3ω≤−π2π3ω≥π2 ，故0≤ω≤23， 又因为图象关于x ＝−π对称，ωx +π6=π2+kπ(k ∈Z)，所以ω=−13−k ， 因为ω>0，此时k ＝−1，所以ω=23，12.在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1 B.32C.3D.3√32【解答】由λAB →=AD →−13AC →可得：AD →=λAB →+13AC →， ∵B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23． ∴AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(3, √3)， 设B(m, 0)，C(n, √3n)， 由AD →=23AB →+13AC →得：{3=23m +13n √3=√33n ，解得m ＝3，n ＝3．故B(3, 0)，∴AB →在AD →上的投影为|AB|cos30∘=3√32． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________． 【解答】因为f(x)＝f(x +2)，周期T ＝2， 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，故答案为：e ．已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________． 【解答】由已知得：|a →|＝2√2，|b →|＝1，|a →−2b →|＝2，a →2−4a →⋅b →+4b →2＝4， ∴设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0, π]，a →⋅b →=2＝2√2⋅1⋅cosθ，∴cosθ=√22，θ=π4，2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．【解答】如图由题上条件可得线AC 平行于东西方向 ，∠ABD ＝60∘，∠CBD ＝75∘；AC ＝72√2； ∴∠ABC ＝135∘；∠BAC ＝30∘； 在△ABC 中，BC sin∠BAC=AC sin∠ABC⇒BC sin30=72√2sin135⇒BC =72√2×12√22=72．如图D 1C ⊥平面ABC ，在直角△BD 1 C 中，tan∠D 1 BC =D 1C BC=ℎBC ⇒ℎ＝BC ⋅tan∠D BC ＝72×tan∠30∘=72√3若函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点，则实数m的取值范围________．【解答】于是u(x)＝x−lnx在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增；最小值为u(1)＝1> 0，∴∀x∈(0, +∞)，x−lnx>0(1)由f(x)＝0，即12x2+m(lnx−x)−x＝0，解得：m=12x2−xx−lnx(2)设g(x)=12x2−xx−lnx，y＝m(3)由于函数f(x)=12x2+m(lnx−x)−x有且仅有一个零点（4）所以直线y＝m与函数g(x)有且只有一个交点（5）由g′(x)=12(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，此时不能完全判断导函数值的正负（6）再令ℎ(x)＝x+2−2lnx，得ℎ′(x)=x−2x，当x∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0；当x∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0(7)于是，ℎ(x)在(0, 2)上递减，(2, +∞)上递增．那么ℎ(x)≥ℎ(2)＝2(2−ln2)>0．由此，g′(x)的正负只同x−1有关，由此得g(x)在(0, 1)上递减，在(1, +∞)上递增，且g(x)的极小值为g(1)=−12(8)又x→0时，g(x)→0；x→+∞时，g(x)→+∞(9)g(x)图象大值如图所示，结合g(x)的图象，得m≥0或m=−12．故答案为：{m|m=−12或m≥0}．三、填空题：共70分．已知函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；（2）若f(x0)＝−1，且x0∈(−π,−π2)，求x0的值．【解答】＝1−2sinxcosx−2⋅1−cos2x2＝cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，又函数y＝cosx的单调减区间为[2kπ, 2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z；所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8]，k∈Z；若f(x0)＝−1，则√2cos(2x0+π4)＝−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4, −3π4)；所以2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4．已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d=a4−a14−1=2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2，可得b1＝S1＝4−2＝2；n≥2时，b n＝S n−S n−1＝2n+1−2−2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N∗；c n=2a n+log2b n=22n−1+n，则前n项和T n＝(2+8+...+22n−1)+(1+2+...+n)=2(1−4n)1−4+12n(n+1)=23(4n−1)+12(n2+n)．已知△ABC中三个内角A，B，C满足√2cosB=sin(A+C)+1．（1）求sinB；（2）若C−A=π2，b是角B的对边，b=√3，求△ABC的面积．【解答】∵√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，∴√2cosB＝sinB+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sinB−1＝0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A＝cosB．又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=92sinAcosA=94sin2A=94cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．已知函数f(x)=lnx−2lnx+2．（1）求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足f(x1)+f(x2)=12，求f(x1x2)的最小值．【解答】由题意得f(x)=lnx+2−4lnx+2=1−4lnx+2，由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，∴0<1lnx+2≤12，即−2≤−4lnx+2<0，∴−1≤1−4lnx+2<1，∴f(x)的值域为[−1, 1)．f(x1)+f(x2)＝1−4lnx1+2+1−4lnx2+2=12，所以4lnx1+2+4lnx2+2=32，又x1>1，x2>1，∴lnx1x2＝lnx1+lnx2＝lnx1+2+lnx2+2−4=23[(lnx1+2)+(lnx2+2)]⋅(4lnx1+2+4lnx2+2)−4，=23[8+4(lnx2+2)lnx1+2+4(lnx1+2)lnx2+2]−4≥23(8+2√16)−4=203，当且仅当4(lnx2+2)lnx1+2=4(lnx1+2)lnx2+2，即x1＝x2时，取“＝”，故(x1x2)min＝e 20 3，∵f(x)在(1, +∞)上是增函数，∴f(x1x2)min=713．已知函数f(x)＝e x−ax2，a∈R，x∈(0, +∞)．（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若0<a≤e 22，求证：f(x)>ax(lnx−x)．【解答】：∵f′(x)＝e x−2ax＝x(e xx−2a)，令H(x)=e xx，则H′(x)=(x−1)e xx，当0<x<1时，H′(x)<0，H(x)单调递减，且x→0时，H(x)→+∞，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，且x→+∞时，H(x)→+∞，∴H(x)min＝H(1)＝e，①当2a≤e即a≤12e时，f′(x)≥0，f(x)在(0, +∞)上单调递增，没有极值，②当a>12e时，存在0<x1<1<x2，使得f′(x1)＝f′(x2)＝0，当x∈(0, x1)，(x2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴x2是f(x)的极小值，综上可得，a>12e要证f(x)>ax(lnx−x)，即证e x>axlnx，①当0<x ≤1时，e x >1，axlnx ≤0，显然成立，②当x >1时，xlnx >0，结合已知0<a ≤12e 2可得，0<axlnx ≤12e 2xlnx ，于是问题转化为e x >12e 2lnx ， 即证2e x−2x−lnx >0，令g(x)=2e x−2x−lnx ，则g′(x)=2e x−2(x−1)−xx 2，令ℎ(x)＝2e x−2(x −1)−x ，则ℎ′(x)＝2xe x−2−1，且在(0, +∞)上单调递增， ∵ℎ′(1)=2e −1<0，ℎ′(2)＝3>0，存在x 0∈(1, 2)使得ℎ(x 0)＝0，即2x 0e x 0−2=1， ∴ℎ(x)在(1, x 0)上单调递减，在(x 0, +∞)上单调递增， 又ℎ(1)＝−1<0，ℎ(2)＝0，故当x ∈(1, 2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x ∈(2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(2)＝1−ln2>0， 故g(x)>0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosα+√3sinα,y =sinα−√3cosα （α为参数），以坐标原点0为极点，x 的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3． （1）求曲线C 的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 【解答】 由{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα，两边平方作和得，x 2+y 2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4， ∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B点的极径为ρB=2√3．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA−ρB|=2√3−2．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−m|+|x+1|−5(m∈R)．（1）当m＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≥−2，求实数m的取值范围．【解答】当m＝2时，f(x)＝|x−2|+|x+1|−5，当x≤−1，f(x)＝−(x−2)−(x+1)−5≥0，解得x≤−2；当−1<x<2，f(x)＝−(x−2)+x+1−5≥0，无解；当x≥2时，f(x)＝x−2+x+1−5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −2]∪[3, +∞)．由f(x)＝|x−m|+|x+1|−5≥|(x−m)−(x+1)|−5＝|m+1|−5≥−2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤−4．。
四川省南充市高三高考适应性考试(一诊)考试数学(理)答案
2024届南充一诊理科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112选项CDCABABDBDCD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．1 14．3 -15．87 π16．21 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.(一)必考题17．解：(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项21131 3246262q a q a q a a a a +=+=∴即0622=--q q 整理得：解得：2=q 或23-=q .2211n n n q a a q =⋅==-时，当.)23(2231-11n n n q a a q -⋅=⋅=-=-时，当*).( 23(221-N n a a n n n n ∈-⋅==∴或（2）:由(1)得，若0>q ，nn a 2=111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解：(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=分4 分6 分8 分12 分4故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人.再从6人中随机抽出4人，则抽出的4人中可能有以下3种组合：①有慢性疾病4人；此时8=ξ万元②有慢性疾病3人，无有慢性疾病1人；此时7=ξ万元③有慢性疾病2人，无有慢性疾病2人；此时6=ξ万元所以ξ的可能取值为6 7 8，，故151)8(4644===C C P ξ；158)7(461234===C C C P ξ；156)6(462224===C C C P ξ故ξ的分布列为：ξ876P15115852则ξ的数学期望32052615871518)(=⨯+⨯+⨯=ξE (万元)19(1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥，平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 分5 分6 分8 分11 分12 分6 分2 分4方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD ， BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面，平面平面平面平面，平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴，//FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2)取BC 的中点M ，连结FM AM ,.90=∠BCD 2==∴FB CF ，BCD DE DE AF 平面，⊥// BCD AF 平面⊥∴CFAF ⊥∴222==AF CF ，又3222=+=∴CF AF AC AB AC =∴的平面角为二面角的中点为D BC A AMF AMBC MF BC BC M --∠∴⊥⊥∴, 22tan ==∠∆∴MFAFAMF AFM Rt 中，3221==∴=∴BC CD FM ，分2 分5 分6 分4 分8方法一：以轴，为轴，为为坐标原点，y CB x CD C 建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，()() 0,0,2 0,0,0，，D C ∴ )22,3,1( )22,0,2(，，A E ).0,32,0(B )0,32,0( )22,3,1( )22,0,2(===∴CB CA CE ，，设平面ABC 的法向量),,( z y x n =, 0 0⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅CB n CA n 由 0320223⎩⎨⎧==++y z y x 得1-=z 取得：)1,0,22( -=n 设直线CE 与平面ABC 所成角为θ,9633222222 , cos sin =⨯-⨯=⋅⋅=><=CEn CE n CE n θ则∴直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96.方法二：过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面，平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中，3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C 32===CA BC AB 又ABC ∆∴为等边三角形，33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ，由BAE C ABC E V V --=得：322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.222==∆CD DE CDE Rt ，中，又分12 分10 分10 分11分12 分2 分6 分1 分4 32=∴CE 所以直线CE 与平面ABC 所成角的正弦值为96=CE h 注：以下方法酌情给分的距离相等到平面、知，平面由ABC F E ABC EF //，如右图，取，中点M BC .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面，即平面则可证于作过⊥⊥20题：(1).由2sin )( 2)(≥≥x x mf x h 得：恒成立时xexm x sin 2 ),0(≥∈∴π)0( sin 2)(πϕ<<=x exx x令xe x x x )sin (cos 2)(-='∴ϕππϕπϕ<<<'<<>'x x x x 4:0)(40:0)(得；由得由上单调递减，上单调递增；在，在)4()4 0()(πππϕx 4 max )4()(ππϕϕ-==∴e x 所以),[ 4+∞-πem 的取值范围为(2).由已知)(x f 与)(x g 的图像关于直线x y =对称x x g ln )(=∴设公切线与),()(s x e s e x f 相切于点=，)ln ,(ln )(t t x x g 相切于点与=：知公切线可分别表示为，由xx g e x f x 1)()(='=')1()(s e x e y s x e e y ssss-+=-=-，即或1ln 1)(1ln -+=-=-t x ty t x t t y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴②①1ln )1( 1t s e te s s 1)1(s s e t s --=-得：由①②消去01)1( =---s s e s 即则令 ,1)1()(---=x e x x F x1)(，-='x xe x F 显然0)(0<'≤x F x 时，时，当0>x ，令1)()(-='=x xe x F x μ上单调递增，在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ分5 (*)8 分分11 分10 分5 分12 分1 分6 又01)1(01)0(>-='<-='e F F ，01)( )1 0(0000=-='∈∃∴x e x x F x 使得，单调递减，时，当)(0)(0x F x F x x <'<∴；单调递增，时，当)(0)(0x F x F x x >'>02)1(013)2(2<-=->+-=-eF e F ，又；03)2(02)1(2>-=<-=e F F ，所以)(x F 有且仅有两个零点 ,21x x ，且).2,1( ),1,2(21∈--∈x x 知：由01)1()(1111=---=x e x x F x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x F 111)1,2(x x x -≠--∈知由02121=+=-∴x x x x 即)(x f ∴与)(x g 有且仅有两条公切线，且)(x f 图像上两切点横坐标互为相反数.处理的解法，评分标准酌情题过程可参照文科再构造函数证明，具体或得：或由①②消去或得：处由①②消去注：)2(20 011ln 01ln )1( 11011 (*) =-+-=----+==-+-t t t t t t s s s e s s e t s s 21解：(1).显然四边形ABCD 为菱形,故其内切圆以O 为圆心，半径为r 的距离到直线AD O )1,0()05(D A ，又由-055=+-y x AD 的方程为：得直线r d AD ==+=65515的距离故原点到直线6522=+y x ABCD 内切圆的标准方程为：故四边形(2).方法一：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ，设则直线MP 的方程为：)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得：联立分4 分3分7 分8 分6 又上，故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ，即212155x y -=代入)(*式整理得：0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-，显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ，3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理： 3)2(2,3532222；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.方法二：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ，，，设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得：23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得：②由①②① 分9 分12 分11分9 分10 分11 分12 分5 分7 分8 分9 分10 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即：带入上式得：将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+，又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ，，同理可得：设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.22.解：(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα，sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα，，即，.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ，AOB ∆∴的面积为：ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα，∈AOB ∆=∴ 4时，πα面积的最大值为16.分3 分1分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时，当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32，.(2)由(1)知：6 .6=++=c b a M 即法1：3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a （当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2：（柯西不等式）[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。
一诊数学答案 2020届南充一诊
南充市高 2020 届第一次高考适应性考试数学试题(理科)参考答案及评分意见一、选择题:1. B2. C3. A4. C5. D6. C7. D8. A9. B 10. D 11. B 12. A 二、填空题:13． 3 14． 2 15． 11 16． 2 三、解答题:17． 解:(1)由频率分布直方图知,100 名学生中课外阅读不少于 12 小时的学生共有 10 名,所以样本中课外阅读时间少于 12 小时的概率为: 101- =0. 9 (6)分100(2)课外阅读时间落在[4,6)的有 17 人,频率为 0. 17,0. 17 所以 a = 2=0. 085, …………9 分课外阅读时间落在[8,10)的有 25 人,频率为 0． 25,0. 25 所以 b =2=0. 125. (12)分18． 解:(1)在等比数列{a }中,a 1 a 5 +2a 3 a 5 +a 2 a 8 = 25,n所以 a22所以 a 3 +a 5 =5. ① (2)分因为 2 是 a 3 和 a 5 的等比中项, 所以 a 3 a 5 = 4, ② 因为 q ∈(0,1),所以 a 3 >a 5 .联立①②解得 a 3 = 4,a 5 =1,…………4 分所以 q = 1 2,a 1 = 16,所以 a n = 16×( 1 2)n-1 =25-n . …………6 分 (2)由(1)可得 b n = log 2 a n =5-n.所以数列{b }是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列…………8 分nn(9-n)所以S n=,2S 所以nn =9-n,…………10分2高三数学(理科)一诊答案第1页(共4页)S S所以当n≤8时,>0;当n=9时,n nn nS=0,当n>9时,nn<0.S故当n=8或9时,11S+22S+...+最大. (12)分nn19.解:(1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC.…………2分因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,又AC∩PA=A.所以BD⊥平面PAC.故当a=2时,BD⊥平面PAC.…………5分→(2)以A为坐标原点,AB→的方向为x轴的正方向,AD→的方向为y轴的正方向,AP的方向为z轴的正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,则…………7分→→D(0,4,0),C(2,4,0),P(0,0,2),DC=(2,0,0),PC=(2,4,-2),设→n=(x,y,z)是面PDC的法向量,则→·D→C=0,n{2x=0,{,即可取→n=(0,1,2),…………9分→·P→C=02x+4y-2z=0,n→AD是平面PAB的法向量,…………10分→·A→D→=5n所以cos<→n,AD>=,|→n||A→D|5→25所以sin<→n,AD>=5,25所以面PDC与面PAB所成二面角的正弦值为 (12)分520.解:(1)因为椭圆C的左右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),所以c=2.…………1分-153由椭圆定义可得2a=(-1+2)2+(2+(-1-2)2+(-153)2=249)+969=26,解得a=6…………3分所以b2=a2-c2=6-4=2x2所以椭圆C的标准方程为6+y22=1…………5分(2)假设存在满足条件的直线l,设直线l的方程为y=-x+t,…………6分x22+y=1{62由得x2+3(-x+t)2-6=0,即y=-x+t4x2-6tx+(3t2-6)=0,△=(-6t)2-4×4×(3t2-6)=96-12t2>0,解得-22<t<22…………8分高三数学(理科)一诊答案第2页(共4页)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3t3t2-6,x1x2=,…………9分24由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,1所以KF1E=-KMNt3t=1又E(,4t4),4所以K F1E=3t+24=1,解得t=-4.…………11分当t=-4时,不满足-22<t<22.所以不存在满足条件的直线l.…………12分21.解:(1)f′(x)=2mx-1+当m≤0,成立;1x=2mx2-x+1,即2mx2-x+1<0在(0,+∞)上有解.…………2分x1当m>0时,y=2mx2-x+1的对称轴x=>0,故只需△>0,即1-8m>0,故m<4m 1 8 .综上所述,m<18,故实数m的取值范围为(-∞,18).…………4分(2)因为f(1)=m-1,f′(1)=2m,故切线方程为:y-m+1=2m(x-1),即y=2mx-m-1 (5)分要使方程mx2-x+lnx=2mx-m-1在(0,+∞)上有且只有一解.设g(x)=mx2-x+lnx-(2mx-m-1),则g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.又g(1)=0,故函数g(x)有零点x=1.g′(x)=2mx-1+1x(2mx-1)(x-1)-2m=x…………6分当m=12时,g′(x)≥0,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)有且只有一个零点x=1,满足题意.…………8分当0<m<1211时,由g′(x)=0得x=或x=1,且2m2m>1,1由g′(x)>0,得0<x<1或x>2m;1由g′(x)<0,得1<x<2m.1 1所以g()<0,又g(x)=mx[x-(2+)]+m+lnx+1,2m m1所以g(2+m)>0,1故在(,+∞)上,函数g(x)又有一个零点,不符合题意.…………11分2m高三数学(理科)一诊答案第3页(共4页)综上所述,m =1 2. …………12 分 22. 解:(1)C 1 的直角坐标方程为(x-1)2 +y 2 =1,…………2 分 C2 的直角坐标方程为 x =3,…………4 分(2)设曲线 C 1 与 x 轴异于原点的交点为 A,因为 PQ ⊥OP,所以 PQ 过点 A(2,0) ,x =2+tcos θ(t 为参数),{设直线 PQ 的参数方程为,y =tsin θ,代入 C 1 可得 t 2 +2tcos θ=0 解得 t 1 = 0,t 2 = -2cos θ, 由题意可知 AP = t 2 = 2cos θ ; (6)分1代入 C 2 可得 2+tcos θ= 3,解得 t = cos θ.由题意 AQ = t =1 cos θ…………8 分所以 PQ = AP + AQ = 2cos θ+1 cos θ≥2 2 ,当且仅当 2cos θ = 1 cos θ时取等号.所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 . (10)分23. 解:(1)由已知可得 f(x)=1-2x,x<0,{1, 0≤x<1, 2x-1,x ≥1,所以 f(x)min =1,…………3 分 所以只需 m-1 ≤1 解得 0≤m ≤2. 所以 m 的最大值 M =2. …………5 分 (2)因为 a 2 +b 2 ≥2ab,所以 ab ≤1,所以 ab ≤1,当且仅当 a =b 时取等号,①…………7 分a+b 又 ab ≤ ,所以 2 ab a+b ≤ 1 2,ab 所以 ≤ ab ,当且仅当 a =b 时取等号,②,…………9 分2a+bab 由①②得≤a+b 1 2 ,所以a+b≥2ab.…………10分高三数学(理科)一诊答案第4页(共4页)南充市高2020届第一次高考适应性考试数学试题(文科)参考答案及评分意见一、选择题:1.B2.C3.A4.C5.D6.C7.D8.D9.A10.B11.D12.B二、填空题:13．314．2 15．1516．342三、解答题:17．解:(1)由频率分布直方图知,100名学生中课外阅读不少于12小时的学生共有10名,所以样本中课外阅读时间少于12小时的概率为:101-=0.9 (6)分100(2)课外阅读时间落在[4,6)的有17人,频率为0.17,0.17所以a=2=0.085,…………9分课外阅读时间落在[8,10)的有25人,频率为0．25,0.25所以b=2=0.125 (12)分18．解:(1)在等比数列{a}中,a1a5+2a3a5+a2a8=25,n所以a22所以a3+a5=5.① (2)分因为2是a3和a5的等比中项,所以a3a5=4,②因为q∈(0,1),所以a3>a5.联立①②解得a3=4,a5=1,…………4分所以q=12,a1=16,所以a n=16×(12)n-1=25-n.…………6分(2)由(1)可得b n=log2a n=5-n.所以数列{b}是以4为首项,-1为公差的等差数列…………8分nn(9-n)所以S n=,2S 所以nn =9-n,…………10分2高三数学(文科)一诊答案第1页(共4页)S S 所以当 n ≤8 时, >0;当 n =9 时, nnn nS = 0,当 n>9 时,nn<0.S 故当 n =8 或 9 时, 11 S +2 2S+…+ 最大. (12)分n n 19. 解:(1)当 a =2 时,ABCD 为正方形,则 BD ⊥AC. …………2 分因为 PA ⊥平面 ABCD,BD ⊂平面 ABCD, 所以 BD ⊥PA,又 AC ∩PA=A. 所以 BD ⊥平面 PAC. 故当 a =2 时,BD ⊥平面 PAC. …………6 分(2)设 M 是符合条件的 BC 边上的点.因为 PA ⊥平面 ABCD,DM ⊂平面 ABCD 所以 DM ⊥PA,又 PM ⊥DM,PA ∩PM=P 所以 DM ⊥平面 PAM,AM ⊂平面 PAM, 所以 DM ⊥AM.因此,M 点应是以 AD 为直径的圆和 BC 边的一个公共点,则 AD ≥2AB. 即 a ≥4,a ∈[4,+∞ ).…………12 分20. 解:(1)因为椭圆 C 的左右焦点分别为 F 1( -2,0) ,F 2(2,0) ,所以 c=2.…………1 分- 15 3 由椭圆定义可得 2a = (-1+2)2 +( 2 + (-1-2)2 +(- 15 3 ) 2 = 24 9 )+ 969 =2 6 ,解得 a = 6…………3 分 所以 b 2 =a 2 -c 2 =6-4 =2x 2所以椭圆 C 的标准方程为6+y 22=1…………5 分(2)假设存在满足条件的直线 l,设直线 l 的方程为 y = -x+t,…………6 分x22+y=1{6 2由 得 x 2 +3(-x+t)2 -6 = 0,即 y = -x+t4x 2 -6tx+(3t 2 -6)= 0,△ = ( -6t)2 -4×4×(3t 2 -6)= 96-12t 2 >0,解得-2 2 <t<2 2…………8分设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3t3t2-6,x1x2=,…………9分24由于|F1M|=|F1N|,设线段MN的中点为E,则F1E⊥MN,1所以K F1E=-KMN3t=1又E(,4t4),高三数学(文科)一诊答案第2页(共4页)t4 所以 K F 1E =3t +2 4= 1,解得 t = -4.…………11 分当 t = -4 时,不满足-2 2 <t<2 2 .所以不存在满足条件的直线 l.…………12 分x - x 21. 解:(1)当 a =2 时,f(x)= 2eex-1,x-1-x所以 f ′(x)= 2e x ,…………2 分 e所以 f ′(0)= 2-1 = 1,又 f(0)= 2-1 =1,…………3 分 所以曲线 y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为:y-1 =x 即 x-y+1 =0 …………5 分(2)要使函数 f(x)有唯一零点,则需关于 x 的方程a = 1 x ( e x e x+1)有唯一的解.设 g(x)= 1 x ( e x ex+1),则 g′(x)= 1-2x-e x2x , e 设 h(x)= 1-2x-e x 则 h′(x)= -2-e x <0 …………6 分 所以 h(x)在 R 单调递减,又 h(0)= 0…………8 分所以当 x ∈( -∞ ,0)时,h(x)>0,即 g′(x)>0,所以 g(x)在 (-∞ ,0)上单调递增;当 x ∈(0,+∞ )时,h(x)<0,即 g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞ )上单调递减. 所以 g(x)的最大值为 g(0)= 1…………10 分 所以当 x ∈( -∞ ,0]时,g(x )∈( -∞ ,1] ;当 x ∈(0,+∞ )时,g(x) ∈(0,1).又 a>0,所以当方程 a = 1 x ( e x e x+1)有唯一解时,a =1.故函数 f(x)有唯一零点时,a 的值为 1.…………12 分 22. 解:(1)C 1 的直角坐标方程为(x-1)2 +y 2 =1,…………2 分 C 2 的直角坐标方程为 x =3,…………4 分 (2)设曲线 C 1 与 x 轴异于原点的交点为 A,因为 PQ ⊥OP,所以 PQ 过点 A(2,0) ,x =2+tcos θ(t 为参数),{设直线PQ的参数方程为,y=tsinθ,代入C1可得t2+2tcosθ=0解得t1=0,t2=-2cosθ,由题意可知AP=t2=2cosθ; (6)分高三数学(文科)一诊答案第3页(共4页)1代入 C 2 可得 2+tcos θ= 3,解得 t = cos θ.由题意 AQ = t =1 cos θ…………8 分所以 PQ = AP + AQ = 2cos θ+1 cos θ≥2 2 ,当且仅当 2cos θ = 1 cos θ时取等号.所以线段 PQ 长度的最小值为 2 2 . (10)分23. 解:(1)由已知可得 f(x)=1-2x,x<0,{1, 0≤x<1, 2x-1,x ≥1,所以 f(x)min =1,…………3 分 所以只需 m-1 ≤1 解得 0≤m ≤2. 所以 m 的最大值 M =2. …………5 分 (2)因为 a 2 +b 2 ≥2ab,所以 ab ≤1,所以 ab ≤1,当且仅当 a =b 时取等号,①…………7 分a+b 又 ab ≤ ,所以 2 ab a+b ≤ 1 2,ab 所以 ≤ a+bab ,当且仅当 a =b 时取等号,②,…………9 分2ab 由①②得 ≤ a+b 1 2,所以 a+b ≥2ab.…………10 分高三数学(文科)一诊答案第4页(共4页)。
南充市2025届高三高考适应性考试(一诊)数学试卷(解析版)
南充市高2025届高考适应性考试（一诊）数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}24Axx =≥∣，2,1,0,2,{}3B=−−，R 是实数集，则()A B =R （ ）A. {0,2}B. {1,0}−C. {1,0,2}−D. {}1−【答案】B 【解析】【分析】先求得集合A ，进而得到A R ，进而根据交集的定义计算即可.【详解】因为{}{242A xx x x =≥=≤−∣或}2x ≥，所以{}22A xx −<<R ∣ ， 又2,1,0,2,{}3B =−−， 所以(){1,0}A B =−R . 故选：B.2. 若复数z 满足(1i)1z −=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则及几何意义求解即可.【详解】由(1i)1z −=，得()()211i 1i 11i 1i1i 1i 1i 22z ++====+−−+−， 所以在复平面内z 对应的点为1122，，位于第一象限. 故选：A.3. 甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（ ） A. 118 B. 121C. 122D. 123【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算．【详解】已知数据按从小到大排列为：103,106,113,118,118,119,121,123,125,134，75%1075×=.，因此第75百分位数是第8个数123.故选：D ．4. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点(1,)P t 满足2PF =，则抛物线方程为（ ）A. 214y x =B. 2y x C. 22y x = D. 24y x =【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的焦半径公式可得122p+=，即可求得p ，从而求解. 【详解】由题意，得122p+=，即2p =， 所以抛物线方程为24y x =. 故选：D.5. “1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +−−=垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出两直线垂直充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +−−=垂直， 则()()()1110m m m ×+++×−=，解得1m =±， 所以“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +−−=垂直”的充分不必要条件. 故选：A.6.，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ） A. 2π B. 3πC.D.【答案】B 【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果. 【详解】设底面半径为r ，高为h ，母线为l ，如图所示：则圆锥的体积21π3Vr h ==，所以2r h =h =， 又212π2π2S rl r =⋅=侧，即2l r =，所以h ==，=，解得1r =，所以圆锥的表面积为222=π2π3π3πS S r r r ++==侧底. 故选：B ．7.已知函数()cos 22(01)f x a x x a =<≤的图象关于直线π12x =对称，若方程的()(R)f x m m =∈在π0,4上恰有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 1,12B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出a ，即可得到函数解析式，再求出函数在π0,4上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意()y f x =与y m =在π0,4上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围.【详解】因()()cos 22sin 2f x a x x x ϕ==+（其中tan ϕ=），又函数()f x 的图象关于直线π12x =对称，且01a <≤，所以πππcos 11266f a =+=+，解得a =所以()1π2sin 2sin 223f x x x x+=+， 当π0,4x∈时，则ππ5π2,336x +∈ ， 令πππ2332x ≤+≤，解得π012x ≤≤πsin 213x≤+≤ ，令ππ5π2236x ≤+≤，解得ππ124x ≤≤，且1πsin 2123x≤+≤， 所以()f x 在π0,12 上单调递增，在ππ,124 上单调递减，且()0f =，π112f = ，π142f = ， 因方程()(R)f x m m =∈在π0,4 上恰有两个实数根，即()y f x =与y m =在π0,4上恰有两个交点，为为1m ≤<，即m 的取值范围是. 故选：C8. 定义在R 上的函数()f x 的图象关于点11,22对称，且满足1()(5)2f x f x =，(0)0f =，当1201x x ≤<≤时，都有()()12f x f x ≤，则12024f=（ ）A.1256B.1128C.164D.132【答案】D 【解析】【分析】根据函数()f x 的图象关于点11,22对称可得到()()11f x f x +−=，进而求得()11f =，11()22f =，反复利用1()(5)2f x f x =，适当赋值，再结合条件当1201x x ≤<≤时，都有()()12f x f x ≤即可求解.【详解】因为函数()f x 的图象关于点11,22对称， 所以()()11f x f x +−=，令1x =()()101f f +=，又(0)0f =，所以()11f =， 由1()(5)2f x f x =， 令15x =，则111()(1)522f f ==， 令125x =，则1111()()25254f f ==， 令1125x =，则1111()()1252258f f ==， 令1625x =，则1111()()625212516f f ==，令13125x =，则1111()()3125262532f f ==， 同理，令12x =，由()()11f x f x +−=，则11()()122f f +=，即11()22f =，由1()(5)2f x f x =， 令110x =，则1111()()10224f f ==， 令150x =，则1111()()502108f f ==，令1250x =，则1111()()25025016f f ==， 令11250x =，则1111()()1250225032f f ==， 因为当1201x x ≤<≤时，都有()()12f x f x ≤， 而11101312520241250<<<<， 则1112024312532f f ≥=，1112024125032f f ≤= ， 所以11202432f = . 故选：D.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用()()152f x f x =，结合赋值法，采用两边夹逼的方法，求出结果.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 如图，在边长为2的正方体ABCD A B C D −′′′′中，E 为AD 的中点，F 为AA ′的中点，过点C ′、E 、B 作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（ ）A. 三棱锥C BC E ′−的体积为43B. B F ′与BE 所成角的余弦值为35C. //B F α′D. 二面角C BE C ′−−的余弦值为23【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据等体积法C BC E E BC C V V ′′−−=直接计算即可；对于BCD ，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可.详解】对于A ，11142223323C BC E E BC C BC C V V CD S ′′′−−==×=××××= ，故A 正确； 对于B ，以B 为原点，以,,BA BC BB ′所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以()0,0,2B ′，()2,0,1F ，()0,0,0B ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，()0,2,2C ′，则()2,0,1B F ′=−，()2,1,0BE =，则4cos 5,B B F E BE B F EF B B ==′⋅′′⋅， 所以B F ′与BE 所成角的余弦值为45，故B 错误； 对于C ，由B 知，()2,0,1B F ′=−，()2,1,0BE = ，()0,2,2BC ′= ， 设平面BEC ′的一个法向量为(),,m x y z =，则00m BE m BC ′ ⋅=⋅=，即20220x y y z += += ，【令1x =，可得()1,2,2m=− ，所以220m B F ′==⋅− ，即F m B ⊥′，又B F ′⊄平面BEC ′，所以//B F ′平面BEC ′， 即//B F α′，故C 正确；对于D ，在正方体ABCD A B C D −′′′′中，BB ′⊥平面ABCD ，所以平面BEC 的一个法向量为()0,0,2BB ′=, 所以42cos 233,m BB BB B m B m ′⋅⋅===′×′，所以二面角C BE C ′−−的余弦值为23，故D 正确. 故选：ACD.10. 设0x >函数()ln f x x =，2()g x x x=+，则下列结论中正确的是（ ） A. 存在0x >，使得()1f x x >−B. 函数(1)f x +的图象与函数e 1x y =−的图象有且仅有一条公共的切线C. 函数()g x图象上的点与原点距离的最小值为D. 函数()()f x g x +的极小值点为1x = 【答案】BD 【解析】【分析】构造函数()()1ln 1,0h x f x x x x x =−+=−+>，进而结合导数分析单调性，得到()1f x x ≤−恒成立，从而判断A ；分析可得函数(1)y f x =+与e 1x y =−互为反函数，图象关于直线y x =对称，结合图象即可判断B ；表示出函数()g x 图象上的点2,m m m+()0m ≠与原点距离，进而结合基本不等式求解判断C ；令()2()()ln ,0F x f x g x x x x x=+=++>，进而结合导数分析单调性，从而判断D.【详解】对于A ，设()()1ln 1,0h x f x x x x x =−+=−+>，则()111xh x x x−=−=′， 令ℎ′(xx )>0，即01x <<；令ℎ′(xx )<0，即1x >，所以函数ℎ(xx )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以()()()110h x f x x h =−+≤=，即()1f x x ≤−恒成立，故A 错误； 对于B ，函数()(1)ln 1y f x x =+=+，则1e y x +=，即e 1y x =−，所以函数(1)y f x =+与e 1x y =−互为反函数，图象关于直线y x =对称，且直线y x =为函数(1)y f x =+与e 1x y =−唯一的公切线，故B 正确；对于C ，函数2()g x x x =+图象上的点2,m m m+()0m ≠与原点距离为d =≥当且仅当2242m m=，即2m =所以函数2()g x x x=+，故C 错误； 对于D ，令()2()()ln ,0F x f x g x x x x x=+=++>，则()()()2222211221x x x x F x x x x x+−+−=′=+−=， 令()0F x ′>，即1x >；令()0F x ′<，即01x <<， 所以函数FF (xx )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 所以当1x =时函数FF (xx )取得极小值，故D 正确. 故选：BD.11. 双曲线22:4C x y −=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，若P 是右支上一点（与B 不重合）如图，过点P 的直线l 与双曲线C 的左支交于点Q ，与其两条渐近线分别交于S ，T 两点，则下列结论中正确的是（ ）A. P 到两条渐近线的距离之积为2B. 当直线l 运动时，始终有||||QS TP =C. 在PAB 中，tan tan 2tan 0PAB PBA APB ∠+∠+∠=D. 12PF F 内切圆半径取值范围为(0,1) 【答案】ABC 【解析】【分析】选项A,设出点(),P P P x y ，然后计算出渐近线，分别计算距离求解即可；选项B ，设直线:l y kx m =+，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计算即可； 选项C ，利用点(),P P P x y 坐标表示出tan ,tan 22P P P P y yPAB PBA x x ∠=∠=−+−，然后利用三角形内角的角度关系得到，()tan tan tan tan 1tan ?tan PAB PBAAPB PAB PBA PAB PBA∠+∠∠=−∠+∠=−−∠∠，由选项可知，只需得到分母的值就可以得到正确答案；选项D,高中我们求三角形内切圆半径的方法为2r ×=三角形面积三角形周长，然后化简求解即可.【详解】由题可知双曲线的标准方程为22144x y C :−=，故两个渐近线方程分别为y x =与y x =−，设点(),P P P x y ，由题可知0,0P P x y >≠所以点(),P P P x y到两个渐近线的距离分别为12d =故2212,2P Px y d d −=由题可知224P P x y −=，故122d d =，故选项A 正确； 设点()()()(),,,,,,,s s T T Q Q P P S x y T x y Q x y P x y显然直线l 的斜率存在,设直线:l y kx m =+ 联立方程:l y kx m =+，22144x y C :−=，得()2221240kxkmx m −−−−=所以221P Q kmx x k +=− 直线:l y kx m =+分别与渐近线y x =与y x =−联立得,11T Sm mx x k k==−− 得22111T S m m kmx x k k k+=+=−−−− 所以有P Q T S x x x x +=+ 即P T S Q x x x x −=−由题可知，,Q T QS x TP x =−=− 所以||||QS TP =，故选项B 正确； 不妨设(),P P P x y ，2,0P P x y >> 由题可知，()()2,0,2,0A B −所以有tan ,tan 22P PP P y y PAB PBA x x ∠=∠=−+− ()tan tan tan tan 1tan ?tan PAB PBAAPB PAB PBA PAB PBA∠+∠∠=−∠+∠=−−∠∠22tan tan 224P P PP P P y y y PAB PBA x x x −−∠∠=×=+−−由题可知，224P P y x −=−故22tan tan 14PP y PAB PBA x −∠∠==−− 所以tan tan tan tan tan 1tan tan 2PAB PBA PAB PBAAPB PAB PBA ∠+∠∠+∠∠=−=−−∠∠ 整理得tan tan 2tan 0PAB PBA APB ∠+∠+∠=，故选项C 正确； 由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径2PABS r PA PB AB=++易知14,22PAB P P AB S AB y y ===PA =得r =因为224P P x y −=得r =因为224P P x y −=，我们不妨令2π,2tan ,0,cos 2P P x y ααα==∈所以r得sin cos sin 122rααα++令cossin22t αα+=得2π,1sin 24t t αα+=+， 因为π0,2α∈，所以(π24t α+∈所以有()21111t r t t −==−∈−+，故选项D 错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛，在解析几何中当我们需要运用距离公式的时候，特别是很多距离相加，式子中会存在较多的根号，我们经常利用三角换元然后化简求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量(1,0)a = ，(,2)b x =− ，且(2)a a b ⊥−，则x =______.【答案】12##0.5 【解析】【分析】先求出2a b −的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为(1,0)a =，(,2)b x =− ，所以2(1,0)2(,2)(1,0)(2,4)(12,4)a b x x x −=−−=−−=−，又(2)a a b ⊥−，所以(2)120a a b x ⋅−=−=，即12x =.故答案为：12. 13. 某一随机变量X 的分布列如下表，且0.2n m −=，则()32E X +=______. X 0 1 2 3 P0.1m0.2n【答案】8 【解析】【分析】根据题意可得0.10.210.2m n n m +++=−=，即可求得,m n 的值，进而结合期望公式可求得()E X ，进而得到(32)E X +.【详解】由题意，得0.10.210.2m n n m +++=−=，解得0.25,0.45m n ==， 所以00.110.2520.230.452()E X =×+×+×+×=， 所以()(32)323228E X E X +=+=×+=. 故答案为：8.14. 已知平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4DA =，则该平面四边形ABCD 面积的最大值为_____________.【答案】 【解析】【分析】先根据余弦定理可得6cos cos 5D B −=，进而表示出四边形ABCD 面积sin 6sin S B D =+，进而得到()2253712cos S B D +=−+，进而求解.【详解】连接AC ，由余弦定理得，222222cos 2cos AC AB BC AB BC B AD DC AD DC D +−⋅⋅+−⋅⋅，即222212212cos 43243cos B D +−×××+−×××， 即6cos cos 5D B −=，又四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABC ADC S S S AB BC B AD DC D =+=⋅⋅+⋅⋅ 1112sin 43sin sin 6sin 22B D B D =××+××=+， 则()()()22225sin 6sin 6cos cos 3712sin sin cos cos S B D D B B D B D +=++−=+−()3712cos B D =−+，即()21212cos 24S B D =−+≤，即S ≤当且仅当πB D +=时，等号成立，所以平面四边形ABCD 面积的最大值为.故答案为：第Ⅱ卷四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin cos cos sin A B C B C =⋅+⋅. （1）求角A 的大小；（2）若2b c =，ABC 的面积为ABC 的周长. 【答案】（1）π3（2）6+ 【解析】【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得sin 2sin A A =，进而得到2πA A +=，进而求解； （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】因为()sin 2sin cos cos sin sin sin A B C B C B C A =⋅+⋅=+=， 在ABC 中，2πA A +=，即π3A =. 【小问2详解】 由（1）知，π3A =，所以211sin 222ABC S bc A c ==× ， 即2c =，所以4b =，又22212cos 164242122a b c bc A +−+−×××，即a =，所以ABC 的周长为426a b c ++=+=+.16. 已知动点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和P 到定直线:2l x =，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）设点(1,0)F ′−，若曲线C 上两点M ，N 均在x 轴上方，且//FM F N ′，FM F N ′+=，求直线FM 的斜率.【答案】（1）2212x y +=（2）【解析】【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；（2）设FM F Nk k k ′==，可得直线F N ′的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解.【小问1详解】=整理化简得，2212x y +=，所以曲线C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】由题意，直线,FM F N ′的斜率都存在，设FM F Nk k k ′==， 则直线F N ′的方程为()1y k x =+， 分别延长NF ′，MF 交曲线C 于点,N M ′′， 设()()1122,,,N x y N x y ′，联立()22112y k x x y =+ +=，即()2222124220k x k x k +++−=， 则22121222422,1212k k x x x x k k−+=−=++， 根据对称性，可得FM F N =′′，则FM F N NN +==′′===k =，所以直线FM 的斜率为17. 如图，在三棱锥ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB BC ===，点M ，N 分别是线段SB，AC 上的动点，且满足(0SM AN aa ==<<.（1）证明：⊥BC 平面SAB ；（2）当线段MN 的长度最小时，求直线SC 与平面AMN 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）13【解析】【分析】（1）先根据SA ⊥平面ABC 可得SA BC ⊥，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，表示出MN =MN 的长度最小时a 的值，再根据空间向量求解即可. 【小问1详解】因为SA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ， 所以SA BC ⊥，又AB BC ⊥，SA AB A ∩=，,SA AB ⊂平面SAB 所以⊥BC 平面SAB . 【小问2详解】以B 为原点，以,BC BA 所在直线为,x y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()1,0,0C ，()0,1,1S ，因为(0SM AN a a ==<<，AC =，所以,1,0N ，0,1,1M，所以MN =，所以当a =时，MN 最小，此时11,,022N，110,,22M ，则110,,22AM=−，11,,022AN =− ， 设平面AMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则00m AM m AN ⋅= ⋅= ，即1102211022y z x y −+= −= ， 取1x =，则()1,1,1m =，又()1,1,1SC −− ，设直线SC 与平面AMN 所成角为θ，则1sin cos ,3m SC m SC m SCθ⋅===⋅， 即直线SC 与平面AMN 所成角的正弦值为13.18. 已知函数e ()xf x x=.（1）判断函数()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；（2）讨论方程()(R)f x a a =∈的解的个数； （3）求证：()ln e 1f x x x ≥−+−.【答案】（1）()f x 取得极小值e ，无极大值 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接利用导数判断函数单调性，进而求得极值； （2）结合函数()f x 的图象求解即可；（3）转化为证明e ln e 1x x x x −+≥−，构造函数()e ln xg x x x x−+，0x >，进而结合导数证明即可.【小问1详解】由e ()xf x x=，0x ≠， 则()22e 1e e ()xx x x x f x x x−⋅−==′， 由于e 0x >恒成立，因此令()0f x ′>，即1x >， 令()0f x ′<，即0x <或01x <<，所以函数()f x 在(),0∞−和(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)e f =，无极大值. 【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在(),0∞−和(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， 且(1)e f =，画出函数()f x 的大致图象：由图可知，当e a >时，函数yy =ff (xx )与y a =有2个交点，方程()f x a =有2个解； 当0a <或e a =时，函数yy =ff (xx )与y a =有1个交点，方程()f x a =有1个解； 当0e ≤<a 时，函数yy =ff (xx )与y a =有0个交点，方程()f x a =有0个解. 【小问3详解】证明：由()ln e 1f x x x ≥−+−，0x >，即e ln e 1x x x x ≥−+−，即e ln e 1xx x x−+≥−，设()e ln xg x x x x−+，0x >，所以()()()()()2222e1e 1e 111xx xx x x x x x g x xx xx−−−−+−=−+==′，令()e xh x x =−，当0x >时，()e 10xh x =′−>，所以函数ℎ(xx )(0,+∞)上单调递增，则()()e 010xh x x h =−>=>所以令()0g x ′>，即1x >；令()0g x ′<，即01x <<， 所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以()()e ln 1e 1xg x x x g x=−+≥=−，所以()ln e 1f x x x ≥−+−.19. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一；该游泳馆在App 平台上推出了优惠券活动，下表是App 平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.星期t 1 2 3 4 5 6销售量y（张）218224 230 232 236 90经计算可得：6112056i i yy ==∑，614004i i i t y ==∑，62191i i t ==∑. （1）因为优惠券销售火爆，App 平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y 关于t 的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为13，选择B 套餐的概率为23，并且A 套餐包含两张优惠券，B 套餐包含一张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）请依据下列定义，解决下列问题：在定义：如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .运用：记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*n P n ∈N .求n P 的最值，并证明数列{}n P 收敛. 参考公式：()()()1122211ˆn n i i i ii i n n i ii i x x y y x y nx y b x x x nx ====−−−⋅=−−∑∑∑∑，ˆˆa y bx =−. 【答案】（1）8ˆ 4.4214.y t =+ （2）311443n n P =+×−（3）最大值为79，最小值为23，证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出ˆˆ,a b的值，进而得到y 关于t 的经验回归方程； （2）由题意可知122133n n n P P P −−=+，3n ≥，其中123P =，279P =，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）分n 算，即可得证．【小问1详解】由题意，1234535t ++++=，()61119020569022855i i y y = =−=×−= ∑， 则122221400469053228ˆ 4.491653n i i i n i i t y nt y b t nt ==−⋅−×−××==−−×−∑∑， ˆˆ228 4.43214.8ay bt =−=−×=， 所以y 关于t 的经验回归方程为8ˆ 4.4214.y t =+. 【小问2详解】 由题意，可知123P =，222173339P =×+=，当3n ≥时，122133n n n P P P −−=+，即1121133n n n n P P P P −−−+=+， 又21171213933P P +=+×=， 所以当2n ≥时，数列113n n P P −+为各项都为1的常数列， 即()11123n n P P n −+=≥， 所以1313434n n P P − −=−− ，2n ≥，又1323143412P −=−=−， 所以数列34n P −为首项为112−公比为13−的等比数列， 所以13114123n n P − −=−×− ，即311443nn P =+×− . 【小问3详解】 由（2）知，311443nn P =+×− ， 当n 为偶数时，31134434n n P =+×> ，且n P 随n 的增大而减小， 因此n P 的最大值为279P =； 当n 为奇数时，31134434n n P =−×< ，且n P 随n 的增大而增大， 因此n P 的最小值为123P =， 综上所述，n P 的最大值为79，最小值为23. 对于任意0ε>，总存在正整数()013log 41N ε =+，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 当()13log 41n ε >+ 时，()13log 431111114434343n n n P εε −=×−=×<×= ， 所以数列{}n P 收敛于34.【点睛】知识方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.。
四川省南充市高中2020届高三第一次适应性考试数学试题理 含解析
四川省南充市高中2020届高三第一次适应性考试数学试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，则AB =（ ）A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D.{}|1x x ≤-【答案】B化简集合B ，按照并集定义，即可得出答案. 【详解】{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，A B ={}1|x x ≥-.故选:B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.12i=-（ ） A. 2155i -+ B. 2155i -- C.2551i + D.2155i - 【答案】C分母实数化，即可求得结果. 【详解】12212(2)(2)55i i i i i +==+--+. 故选:C【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题. 3.“60A =︒”是“1cos 2A =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A根据充分必要条件判断方法，即可得出结论.【详解】若060A =，则1cos 2A =成立； 若1cos 2A =，则00006036060360()A k k k Z =+⋅-+⋅∈或， 故60A =︒不成立， 所以“60A =︒”是“1cos 2A =”的充分不必要条件. 故选:A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题. 4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（ ）A. B. 8πC.D. 4π【答案】B试题分析：设球的半径为R ，截面小圆半径为r 21r r ππ∴=∴=R ∴=248S R ππ==考点：圆的截面小圆性质及球的表面积点评：球的半径为R ，截面小圆半径为r ，球心到截面的距离为d,则有222R r d =+，球的表面积24S R π= 5.函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是（ ） A.14B. 12C. 12-D. 14-【答案】D利用二倍角化简1()sin cos 2f x x x =，即可得答案. 【详解】111()sin cos sin 2244f x x x x ==≥-.故选:D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.6.10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.【详解】10112x⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的通项为1010101101011()(),0,1,2,,1022k k k k kkT C x C x k---+===，3x的系数是733101011()1528C C=⨯=故选:C【点睛】本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.7.若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1x y-+=有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A. 3,3⎡⎤-⎣⎦ B. ()3,3- C.33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.33,33⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】C设直线方程为(4)y k x=-，即40kx y k--=，直线l与曲线22(2)1x y-+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k kdk-=≤+，得222141,3k k k≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．8.函数()21,1,1x xf xx x-≤=>⎪⎩，若方程()f x a=有且只有一个实数根，则实数a满足（）A. 1a= B. 1a> C. 01a≤< D. 0a<【答案】A作出函数()f x图像，数形结合，即可求出答案.【详解】做出函数()f x 图像，如下图所示：()1f x =有且只有一个实数根.故选:A【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.9.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，若2BC =，AB AC AB AC +=-，则AM =（ ）A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B||||AB AC AB AC +=-两边平方，可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM . 【详解】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，M 是线段BC中点，1||||12AM BC ∴==. 故选:B【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题. 10.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π【答案】D利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=， ,A B ∴=或2A B π+=，若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，若2A B π+=，则2C π=.故选:D【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题. 11.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ）A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2e ⎛⎝ 【答案】B构造函数F （x ）=()2xf x e，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F（12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e ，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x故不等式的解集为（0）， 故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（ ） A. 1- B. 2-C. 3-D. 随m 的变化而变化 【答案】A先求出P 点坐标，得出切线方程，求出三角形12F PF 的内切圆的半径、直线1F M 的方程，联立求出N 的横坐标，即可得出结论.【详解】联立22221 4411x ymyxm⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x xm m=>∴=，设00(,)P x y，直线l方程为00144x x y ym①设三角形12F PF内切圆半径为r，则由等面积可得2(42),2Mmymy m r r ym=+∴==+②直线1F M的方程为()1My x mm=++③联立①②③，化简可得36,2Nmx m x=∴=，在12F PF∆中，内切圆圆心M，各边的切点分别为,,A D E，由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F D EF AF PD PE===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A∴-=-=-=，.121||||2,||1MF A F A m F A m x m+=∴=+=+，1,1M M Nx x x=∴-=-.故选:A【点睛】本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.函数()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________. 【答案】2化简函数()f x ，根据自变量的范围，即可求出结论.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，50,2336x x ππππ≤≤∴≤+≤， ()f x ∴的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.15.已知函数()2sin 1x xxe x f x x e ++=++，则()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++的值是________. 【答案】11根据所求值的自变量的关系，先求()()f x f x +-的值，即可求出结果.【详解】()()f x f x +-=22sin sin()11x x x x xe x xe x x x e e --++-++++-+-+22211x x x x x xe x x xe e e e ++-+-+=+=+，(5)(5)(4)(4)(1)(1)2f f f f f f ∴-+=-+==-+=，(0)1f =，()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=11故答案为:11【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究()()f x f x +-的值，属于中档题. 16.过抛物线()220x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，又过A ,B两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ,C .若梯形ABCD的面积为p =__________.设1122(,),(,),A x y B x y ,联立直线与抛物线方程求出121,2,,x x y y ，代入12121||()2ABCD S x x y y =-+梯形，即可求出p 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，抛物线的焦点(0,)2p F ， 直线AB 方程为2p y x =+， 联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得2220x px p --=，解得1212,,,,x p x p y p y p ==+==，212121||()2ABCD S x x y y =-+==梯形p ∴=.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。
2020年四川省南充市高考数学一模试卷(理科)
2020年四川省南充市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合A＝{x|x﹣1≥0}，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝（）A．{x|x≥1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}2.＝（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．+i D．﹣3.“α＝“是“cosα＝“成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（）A．B．C．8πD．5.函数f（x）＝的最小值是（）A．B．C．﹣D．﹣6.的展开式中x3的系数为（）A．5 B．10 C．15 D．207.若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．8.设函数，若方程f（x）＝a有且只有一个实根，则实数a满足（）A．a＜0 B．0≤a＜1 C．a＝1 D．a＞19.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|＝2，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．B．1 C．2 D．410.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+b＝+，则角C＝（）A．B．C．D．11.设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）＝e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为（）A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）12.已知1＜m＜4，F1，F2为曲线C：的左、右焦点，点P为曲线C与曲线E：在第一象限的交点，直线l为C在点P处的切线，若三角形F1PF2的内心为点M，直线F1M与直线l交于N点，则M，N横坐标之差为（）A．﹣1 B．﹣2C．﹣3 D．随m的变化而变化二、填空题（共4小题）13.已知A（l，1），B（2，﹣4），C（x，﹣9），且，则x＝．14.函数f（x）＝sin x+cos x在区间[0，]上的最大值为．15.已知函数f（x）＝+sin x，则f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值是16.过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，又过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为D，C，若梯形ABCD的面积为6，则p＝三、解答题（共7小题）17.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图组号分组频数1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合计100（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值．18.在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．19.如图，在四棱锥P﹣BCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，P A⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面P AC？证明你的结论；（2）当P A＝＝2时，求面PDC与面P AB所成二面角的正弦值．20.已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点P（﹣1，﹣）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数f（x）＝mx2﹣x+lnx，（Ⅰ）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当时，若曲线C：y＝f（x）在点x＝1处的切线L与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值或取值范围．22.在极坐标系中，已知曲线C1：ρ＝2cosθ和曲线C2：ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．23.已知函数f（x）＝|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．2020年四川省南充市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥﹣1}．故选：B．【知识点】并集及其运算2.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝＝．故选：C．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断【解答】解：由α＝一定能推出cosα＝，当由cosα＝，则不一定推出α＝，故“α＝“是“cosα＝“成立的充分不必要条件，故选：A．【知识点】充要条件4.【分析】求出截面圆的半径为，利用截面圆的面积为π，可得R2＝2，即可求出球的表面积．【解答】解：设半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S＝（R2﹣1）π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．故选：C．【知识点】球的体积和表面积5.【分析】利用二倍角公式化函数f（x）为正弦函数，利用正弦函数的有界性求出f（x）的最小值．【解答】解：函数f（x）＝＝sin2x，当2x＝﹣+2kπ，即x＝﹣+kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值为﹣．故选：D．【知识点】三角函数的最值6.【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数．【解答】解：由二项式的展开式的通项公式为，r＝3，则x3的系数为＝15，故选：C．【知识点】二项式定理7.【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．【解答】解：设直线方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．【知识点】直线与圆的位置关系8.【分析】关于x的方程f（x）＝a有且只有一个实根⇔y＝f（x）与y＝a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．【解答】解：关于x的方程f（x）＝a有且只有一个实根⇔y＝f（x）与y＝a的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a＝1时，y＝f（x）与y＝a的图象只有一个交点故选：C．【知识点】函数的值域、分段函数的应用9.【分析】由题意利用两个向量加减法及其几何意义，求出要求式子的值．【解答】解：∵点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|＝2，|+|＝|﹣|，设+＝，﹣＝，则||＝||，∴平行四边形ABDC的对角线AD＝BC，则||＝||＝||＝1，故选：B．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角10.【分析】根据题意，由正弦定理可得a+b＝+⇒sin A+sin B＝cos A+cos B，由三角函数的恒等变形公式可得2sin（）cos（）＝2cos（）cos（），变形可得tan（）＝1，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，a+b＝+，由正弦定理可得sin A+sin B＝＝+＝cos A+cos B，则有sin A+sin B＝cos A+cos B，变形可得：2sin（）cos（）＝2cos（）cos（），又由﹣＜＜，则cos（）≠0，则有2sin（）＝cos（），即tan（）＝1，又由0＜＜，则＝，即A+B＝，则C＝，故选：D．【知识点】正弦定理11.【分析】构造函数F（x）＝，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【解答】解：可构造函数F（x）＝，F′（x）＝＝，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）＝＝1，即为F（lnx）＜F（），由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．【知识点】导数的运算12.【分析】由题意可得两曲线的焦点，先求出P的坐标，得出切线方程，求出三角形F1PF2的内切圆的半径、直线F1M的方程，联立切线方程求出N的横坐标，即可得出结论．【解答】解：由题意可得曲线C，E有相同的焦点（﹣m，0），（m，0），且|PF1|+|PF2|＝4，c＝，联立，消去y可得x＝±，设P（x0，y0），且x0＝，y0＝，直线l的方程为①，设三角形F1PF2的内切圆的半径为r，则由等面积可得•2c•y0＝r（|PF1|+|PF2|+2c），即2y0＝（4+2）r，∴r＝＝y M②，由M（1，y M），F1（﹣，0），可得直线F1M的斜率为k＝，直线F1M的方程为y＝（x+）③，联立①②③，化简可得3x＝6，得x N＝2，∵x M＝1，∴x M﹣x N＝﹣1．故选：A．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线的简单性质二、填空题（共4小题）13.【分析】可以求出，根据可得出﹣10+5（x﹣1）＝0，解出x的值即可．【解答】解：，∵，∴﹣10+5（x﹣1）＝0，解得x＝3．故答案为：3．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示14.【分析】用辅助角公式对三角函数化简，求出最大值即可．【解答】解：函数f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+），故函数在区间[0，]，x＝时，取到最大值2，故答案为：2．【知识点】三角函数的最值15.【分析】由题意可得f（﹣x）+f（x）＝2，然后代入即可求解．【解答】解：∵f（x）＝+sin x＝，∴f（﹣x）+f（x）＝+，＝＝2，则f（﹣5）+f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5），＝5×2+1＝11．故答案为：11．【知识点】函数的值16.【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积，建立面积等式求得p．【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y＝x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0．由，消去y得x2﹣2px﹣p2＝0，由韦达定理得，x1+x2＝2p，x1x2＝﹣p2∴梯形ABCD的面积为：S＝（y1+y2）（x2﹣x1）＝（x1+x2+p）（x2﹣x1）＝•3p＝3p2＝6，又p＞0，∴p＝．故答案为．【知识点】抛物线的简单性质三、解答题（共7小题）17.【分析】（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由求出a、b的值．【解答】解：（Ⅰ）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2＝10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P＝1﹣＝0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（Ⅱ）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是＝0.17，所以由频率分布直方图得，a＝＝0.085，同理可得，b＝＝0.125．【知识点】频率分布直方图18.【分析】（1）根据等比数列的性质可知a1a5＝a32，a2a8＝a52化简a1a5+2a3a5+a2a8＝25得到a3+a5＝5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n代入到b n＝log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．【解答】解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8＝25，∴a32+2a3a5+a52＝25又a n＞0，∴a3+a5＝5 …（1分）又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4 …（2分）而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16，∴a n＝16×（）n﹣1＝25﹣n．（2）∵b n＝log2a n＝5﹣n，∴b n+1﹣b n＝﹣1，b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{b n}是以b1＝4为首项，﹣1为公差的等差数列，∴S n＝．…（8分）（3）∵＝，∴n≤8时，＞0，n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，∴n＝8或9时，+++…+最大…（12分）【知识点】数列与不等式的综合、数列的求和19.【分析】（1）当ABCD为正方形时，AC⊥BD，即a＝2时满足条件．（2）建立空间直角坐标系，求出平面PDC的一个法向量，是平面P AB的法向量；即可求出答案．【解答】解：（1）当a＝2时，ABCD为正方形，则因为P A⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD．所以DB⊥P A，又AC∩P A＝A，所以BD⊥平面P AC，所以当a＝2时，BD⊥平面P AC．（2）以A为原点，的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．D（0，4，0），C（2，4，0），P（0，0，2），，设是平面PDC的一个法向量，则，即；取y＝1，则是平面P AB的法向量；所以；所以故面PDC与面P AB所成二面角的正弦值【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面垂直的判定20.【分析】（1）直接由题意得离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设直线方程联立与椭圆的方程，判别式大于零，由使得|F1M|＝|F1N|求出参数，结果不满足判别式大于零的条件，所以不存在这样的直线．【解答】解：（1）由题意得，c＝2，＝1，a2＝b2+c2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的标准方程：＝1；（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y＝﹣x+t，设M（x，y），N（x'，y'）与椭圆联立整理：4x2﹣6tx+3t2﹣6＝0，△＝36t2﹣4•4•（3t2﹣6）＞0，﹣2，x+x'＝，xx'＝，由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k＝﹣＝1又E（，），所以k＝＝1，解得t＝﹣4，当t＝﹣4时，不满足﹣2，所以不存在满足条件的直线l．【知识点】椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系21.【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过当m≤0时显然成立；当m＞0时，结合函数y＝2mx2﹣x+1的图象的对称轴，转化求解实数m的取值范围．（Ⅱ）求出切线L的方程y＝2mx﹣m﹣1．设g（x）＝mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点．利用函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的极值，然后列出不等式，即可求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）因为，依题意知2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．当m≤0时显然成立；当m＞0时，由于函数y＝2mx2﹣x+1的图象的对称轴，故需且只需△＞0，即1﹣8m＞0，解得，故．综上所述，实数m的取值范围为．（Ⅱ）因为f（1）＝m﹣1，f'（1）＝2m，故切线L的方程为y﹣m+1＝2m（x﹣1），即y＝2mx﹣m﹣1．从而方程mx2﹣x+lnx＝2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上有且只有一解．设g（x）＝mx2﹣x+lnx﹣（2mx﹣m﹣1），则g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点．又g（1）＝0，故函数g（x）有零点x＝1．则．当时，g'（x）≥0，又g（x）不是常数函数，故g（x）在（0，+∞）上单调递增．所以函数g（x）有且只有一个零点x＝1，满足题意．当时，由g'（x）＝0，得或x＝1，且．由g'（x）＞0，得0＜x＜1或；由g'（x）＜0，得．所以当x在（0，+∞）上变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：x（0，1）1g'（x）+0﹣0+g（x）增极大值减极小值增根据上表知．而函数．所以，故在上，函数g（x）又存在一个零点，不满足题意．综上所述，．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程22.【分析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．【解答】解：（I）C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，…（2分），C2的直角坐标方程为x＝3；…（4分）（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为：，代入C1可得t2+2t cosθ＝0，解得，可知|AP|＝|t2|＝|2cosθ|…（6分）代入C2可得2+t cosθ＝3，解得，可知…（8分）所以PQ＝，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…（10分）【知识点】简单曲线的极坐标方程、参数方程化成普通方程23.【分析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（I）由已知可得，所以f min（x）＝1，…（3分）所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2…（5分）（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a＝b时取等号，①…（7分）又∴∴，当且仅当a＝b时取等号，②…（9分）由①②得，∴，所以a+b≥2ab…（10分）法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…（7分）即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…（10分）【知识点】函数恒成立问题。
四川省2020年高三数学一模试卷C卷
四川省2020年高三数学一模试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高二上·应县月考) 若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A .B .C .D . ±22. （2分）(2018·淮南模拟) 若函数的图象关于直线对称，且当时，，则（）A .B .C .D .3. （2分）直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是（）A . 若aα，bα,c⊥a, c⊥b 则c⊥αB . 若bα, a//b则a//αC . 若a//α,α∩β=b则a//bD . 若a⊥α, b⊥α 则a//b4. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2020高一下·温江期末) 函数的定义域是________.6. （1分）cos300°的值是________7. （1分） (2019高一上·西湖月考) 已知幂函数是在上的减函数，则m的值为________.8. （1分） (2020高二上·辽源月考) 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．9. （1分） (2018高一上·湖南月考) 表面积为24的正方体的外接球的体积为________．10. （1分） (2019高三上·安徽月考) 《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（" "表示一根阳线，" "表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为________.11. （1分）(2019·景德镇模拟) 已知的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为________.12. （1分）角θ其终边上一点P(x,)，且cosθ=x，则sinθ的值为________13. （1分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.14. （1分） (2017高一下·安徽期中) 设x∈R，向量，，且，则在上的投影为________．15. （1分）若函数y=f（x﹣1）的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则f（x）=________．16. （1分）(2019·普陀模拟) 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的照此推算，此人2019年的年薪为________万元(结果精确到 )三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分）(2020·葫芦岛模拟) 已知函数．（1）求的值和的最小正周期；（2）设锐角的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且，，求的取值范围．18. （10分） (2018高二上·平遥月考)（1）椭圆的焦点为，点是椭圆上的一个点，求椭圆的方程.（2）求以椭圆 + =1的焦点为焦点，一条渐近线方程为y=- x的双曲线方程.19. （10分） (2016高二上·射洪期中) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．20. （15分）函数f(x)=ae2cosx(x[0,+)，记xn为f(x)的从小到大的第n(n N*)个极值点。
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四川省南充市2020年高考数学一模试卷C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、一.填空题 (共12题；共12分)
1. （1分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为________
2. （1分） (2019高一上·宜昌月考) 已知集合， .当 ,则实数 =________
3. （1分）若函数f（x）= x2n﹣1﹣ x2n+ x2n+1﹣…+ （﹣1）r•x2n﹣1+r+…+ （﹣1）n•x3n﹣1 ，其中n∈N* ，则f′（1）=________．
4. （1分）设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
5. （1分）已知矩阵A=， B=，则A+B=________ ．
6. （1分）若执行如图所示的程序框图,输入x1=1,x2=2,x3=3, =2,则输出的数等于________.
7. （1分）(2019·通州模拟) 已知圆锥的底面面积为，侧面积为，则该圆锥的体积为________．
8. （1分）若数列的前5项为6，66，666，6666，66666，…，写出它的一个通项公式是________．
9. （1分） (2019高一上·蒙山月考) 如图所示是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________．
10. （1分）(2017·崇明模拟) 已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=| ﹣λ
|（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为，则线段AB的长度为________．
11. （1分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x＞0）有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是________
12. （1分） (2017高三上·赣州开学考) 若数列{an}满足an+1=an+（）n ， a1=1，则an=________．
二、二.选择题 (共4题；共8分)
13. （2分） =（）
A .
B .
C .
D . 2
14. （2分）下列命题中的假命题是（）
A .
B .
C .
D .
15. （2分）(2019高一上·吉安月考) 定义中最小数，若则
的最大值为（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
16. （2分） (2017高一上·长宁期中) 若a、b、c∈R，则下列四个命题中，正确的是（）
A . 若a＞b，则ac2＞bc2
B . 若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C . 若a＞b，则
D . 若a＞|b|，则a2＞b2
三、解答题 (共5题；共40分)
17. （10分） (2019高三上·临沂期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点．
（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若△ABC的面积为，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为3，求三棱锥D﹣BCE的体积．
18. （10分） (2016高一下·卢龙期中) 已知向量，，且，f（x）= • ﹣2λ| |（λ为常数），
求：
（1）• 及| |；
（2）若f（x）的最小值是，求实数λ的值．
19. （5分）如图，椭圆C1:的离心率为， x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．
（1）求C1、C2的方程；
（2）求证：MA⊥MB．
20. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且an是Sn与2的等差中项，数列{an}中，b1=1，点P（bn ，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式an和bn；
（Ⅱ）设cn=an•bn ，求数列{cn}的前n项和Tn ．
21. （10分） (2017高二下·河口期末) 已知二次函数满足条件，及
（1）求的解析式；
（2）求在上的最值.
参考答案一、一.填空题 (共12题；共12分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、二.选择题 (共4题；共8分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共40分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、21-1、21-2、。