三角形三线定理
专题--三角形中的三线(高角分线中线)
目录
1 三角形的中线问题 2 三角形的角分线问题 3 三角形的高线问题
【PART.01】
三角形的中线问题
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变式 在△ABC 中，已知 b＝acosC＋ 33csinA，点 M 是 BC 的中点．
(1) 求角 A 的大小；
【解答】因为 b＝acosC＋ 33csinA，根据正弦定理得 sinB＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以 sin(A＋C)＝sinAcosC＋ 33sinCsinA，
所以
b＝c＝
3时，中线 AM 的长度
4
42
4
取得最大值32.
【PART.02】
三角形的角分线问题
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例
在△ABC 中，asinB＝bsinA＋π3.
(1) 求角 A 的大小； 60°
(2) 若AB＝3，AC＝1，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD的长．
【解答】 因为 S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以12AB·AC·sin∠BAC＝12AB·AD·sin∠BAD
初中数学-暑假第2讲-三线合一-学生版
三线合一知识讲授等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
简言之：两线合一，必等腰。
（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠CAD。
证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴AB=AC，∠BAD=∠CAD总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。
三角形三线合一
三角形三线合一三角形三线合一 1三条线合一，即在等腰三角形中，顶角平分线、底边中线、底边高线，三条线重合。
比如，已知等腰三角形的中线和底边的高度相同，那么可以说这条线段就是底边对应顶点的角平分线。
应用三条线合一是等腰三角形。
分别是，一个与顶角、顶角平分线有关，另外两个与底边有关(不是腰，是等边三角形比较特殊)。
一个是底边的高度，一个是底边的中垂线。
这是等腰三角形的一个特殊性质，可以用来处理很多平面几何问题。
三线合一逆命题①如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三角形三线合一 41.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合(简写成“三角形三线合一1”)。
3.等腰三角形两底角的平分线相等(两腰中线相等，两腰高度相等)。
4.等腰三角形底边上的中垂线与两个腰的距离相等。
5.等腰三角形的一个腰高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上的任意一点到两个腰的距离之和等于一个腰的高度(用等面积法证明)。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形(特殊的等腰三角形)有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边高的平方加上底边平方的一半(勾股定理)。
9.等腰三角形的腰与它的高的关系：腰大于高;腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
三角形的三线指的是哪三线(二)
三角形的三线指的是哪三线（二）引言概述：在数学几何中，三角形的三线是指三角形内部经过某个特定点的三条线段。
这三条线段分别是三角形的垂心连线、重心连线和外心连线。
本文将详细介绍这三条线段的定义、特性和应用。
正文：一、垂心连线垂心连线是指从三角形的每个顶点垂直于对边所得的线段。
具体的小点包括：1. 垂心的定义和性质2. 垂心连线的长度和角度特性3. 垂心连线与三角形内角的关系4. 垂心连线的几何意义5. 垂心连线的应用案例二、重心连线重心连线是指由三角形的每个顶点与对边中点所连成的线段。
具体的小点包括：1. 重心的定义和性质2. 重心连线的长度和角度特性3. 重心连线与三角形内角的关系4. 重心连线的几何意义5. 重心连线的应用案例三、外心连线外心连线是指三角形顶点与外接圆圆心所连成的线段。
具体的小点包括：1. 外心的定义和性质2. 外心连线的长度和角度特性3. 外心连线与三角形内角的关系4. 外心连线的几何意义5. 外心连线的应用案例四、三线共点定理三线共点定理指的是三角形的垂心、重心和外心连线交于同一点。
具体的小点包括：1. 三线共点定理的证明和解释2. 三线共点定理的几何意义3. 三线共点的应用案例五、三线与其他几何属性的关系三线与其他几何属性存在着一定的关系，比如与旁心连线、内切圆圆心连线等。
具体的小点包括：1. 三线与旁心连线的关系2. 三线与内切圆圆心连线的关系3. 三线与其他特殊点的关系4. 三线与三角形面积、周长等属性的关系5. 三线与三角形相似性和共线性的关系总结：三角形的三线指的是垂心连线、重心连线和外心连线。
这三条线段具有特定的定义和性质，在几何学中有着重要的地位和应用。
通过研究三线的长度、角度和关系，我们可以深入了解三角形的特性以及与其他几何属性的关联，从而在数学问题的解决中有所应用。
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形的三线是哪三(二)2024
三角形的三线是哪三（二）引言概述：三角形的三线是指三角形的三个特殊线段，即三垂线、三中线和三角形的两个角平分线。
这些特殊的线段在三角形中具有重要的几何性质和关系。
本文将详细介绍三角形的三线是哪三，并探讨它们的特点和应用。
正文：1. 三垂线：- 定义和特性：三垂线分别由三角形的三个顶点向对边作垂直线段所得。
它们交于一个点，称为三角形的垂心。
- 线段比例关系：三垂线上的线段具有特殊比例关系，即任意两垂线上的线段比例相等。
- 垂心的性质：垂心到三个顶点的距离相等，且垂心到三个顶点所在直线的距离也相等。
- 应用举例：三垂线的交点垂心可以用来证明一些重要的几何定理，如欧拉定理和垂心四边形性质等。
2. 三中线：- 定义和特性：三中线分别连接三角形的三个顶点与对边中点，并交于一点，称为三角形的重心。
- 重心的性质：重心将三角形的每条中线分成两部分，且其中一部分的长度是另一部分的二倍。
- 重心与三个顶点的关系：重心到三个顶点的距离满足一定的比例关系。
- 应用举例：三中线与三角形的其他元素（如内接圆、内切圆）之间存在一些有趣的关系，可以用来证明三角形的一些性质。
3. 三角形的两个角平分线：- 定义和特性：三角形的两个角平分线分别由一个角的顶点分别向对边的两个角平分点作垂直线段所得。
它们的交点称为角平分点。
- 角平分线的性质：角平分线与对边一起构成一组相似三角形，且角平分点到三个顶点的距离满足一定的比例关系。
- 角平分点的性质：角平分点到对边的距离相等，且角平分点到三个顶点所在直线的距离也相等。
- 应用举例：角平分线的性质可以用来证明一些角度和边长的比例关系，以及角平分线定理等。
4. 三线的关系与性质：- 三线共点定理：三垂线、三中线和两个角平分线的交点共线，并且该点称为三角形的费马点或第一等心点。
- 三线的对偶定理：三垂线和两个角平分线的中垂线与三中线相交于同一点。
- 三线长度的性质：三垂线长的和等于三中线长的一半，而垂径长的和等于中线长的两倍。
三角形定理
2.1按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2.2按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
【注意】（1）任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
3.1三条重要的线（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线；（2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
【注意】（1）三角形的角平分线、中线和高都有三条； （2）三角形的三条角平分的交点是三角形的“内心”。
五、三角形1 定义2 分类3 相关概念1.1三角形：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形。
1.2边：组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a 、b 、c 或AC 、AB 、BC 。
1.3顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
1.4角：相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角。
1.5记法：三角形用符号“△”来表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作△ABC ，读作“三角形ABC”。
Aabc BC3.2三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3.3三角形的内角：三角形的内角和等于180°，∠1+∠2+∠3=180°。
3.4三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角； （2）性质：①三角形的一个外角与相邻的内角互补，∠1+∠4=180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠2+∠3=∠4； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠4＞∠3或∠3＜∠4。
三角形三线定理
的是努力使弱点趋于最小,
使机会趋于最大
O
T ST对策
最小与最大对策,即着重考 苦乐
虑优势因素和威胁因素,目 参半
大
小
的是努力使优势因素趋于 最大,是威胁因素趋于最小。
SO对策
最大与最大对策,即着重考 虑优势因素和机会因素,目 的在于努力使这两种因素 都趋于最大。
理想
PEST法
政治／法律:
•垄断法律 •环境保护法 •税法 •对外贸易规定 •劳动法 •政府稳定性
经济
•经济周期 •GNP趋势 •利率 •货币供给 •通货膨胀 •失业率 •可支配收入 •能源供给 •成本
社会文化
•人口统比收入 分配 •社会稳定 •生活方式的变 化 •教育水平 •消费
技术
•政府对研究的 投入
三角形三线定理
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三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线,顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形这边的高,
简称三角形的高。 B
如图, 线段AD是BC边上的高.
考
三角形的角平分线是一条线段 , 角 的平分线是一条射线.
基础练习
1、点D是△ABC的BC边上的一点。 A ∵BD=CD,
∴线段AD是△ABC的中__线_
B
D
C
∵∠BAD=∠CAD,
A
∴线段AD是△ABC的角__平__分_ 线
B
D
C
A
∵∠ADC=90°,
∴线段AD是△ABC的_高__
B
D
C
2、如图,AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中线 、高。