江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题(word版无答案)
江苏省南京鼓楼区2016-2017学年八年级下学期期末数学试题(有解析)
2017年鼓楼期末试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．下列电视台标志中，是中心对称图形的是（ ）． A ．B ．C ．D ．2．若将分式x yxy +中的x 和y 都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）． A ．是原来的12B ．是原来的2倍C ．是原来的14D ．不变3．已知反比例函数(<0)ky k x=的图像经过点(1,)A a 、(3,)B b ，则a 与b 的关系正确的（ ）A ．a b =B ．a b =-C ．<a bD ．>a b4．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）． A ．点数之和是偶数 B ．点数之和是奇数 C ．点数之和小于13D ．点数之和小于25．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，P 是CD 边上的中点，E 是BC 边上的一动点，点M 、N 分别是AE 、PE 的中点，则线段MN 长为（ ）．P M NED CBAA ．210B ．3C 13D 106．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数1y x x=-进行探索．下列结论：①图像在第一、三象限；②图像与y 轴无交点；③图像与x 轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当>0x 时，y 随x 的增大而增大；其中正确的结论（ ）．A ．①②③B ．①③⑤C ．②④⑤D ．③④⑤-1212-3232-2-121y x二、填空题（每小题2分，共20分）7x 的取值范围是________．8．当x ________时，分式23x x-的值为0． 9．A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为km/h x ，则根据题意可列方程为_______________． 10．如果32311x ax x -=+++，则常数a 的值是________． 11．如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形CDFE 重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点有________个．FEDCBA12．把一元二次方程2430x x -+=配方成2()x a b +=的形式，则a b +=________．13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，由此可估计袋中约有红球________个．14．如图，已知直线1234l l l l ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是d ，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，且面积都是1，则d =________．l 4l 3l 2l 1DCBAME ABCD15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，M 为斜边AB 上一动点，过点M 作MD AC ⊥，垂足为D ，作ME CB ⊥，垂足为E ，则线段DE 的最小值为________．16．如图，A 、B 是反比例函数ky x=图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO △的面积为4，则k 的值为________．三、解答题（本大题共11小题，共68分）17．（8分）计算：（1（2）22-⎝⎭⎝⎭18．（8分）解方程：（1）31244xx x -+=-- （2）22(1)(23)x x +=-19．（5分）先化简，再求值：11122a a a ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其中a 的值是方程220a a -=的解．20．（6分）为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分：30%26%F EAB C D根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查方式是________；（填“普查”或者“抽样调查”）（2）本次调查的家庭数为________户，家庭用水量在9.0<11.5x ≤范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是________%．（3）若该小区共有1000户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数． 21．（6分）如图，平行四边形ABCD 中，EF BD ∥，分别交BC ，CD 于P ，Q ，交AB ，AD 的延长线于点E 、F ．P QFEAB CD（1）求证：EP FQ =；（2）若BE BP =，求证平行四边形ABCD 是菱形．22．（6分）已知关于x的一元二次方程21 (1)04kx k x k--+=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）在（1）的条件下，当k取最大整数时，求该一元二次方程的解．23．（6分）（11>”、“<”或者“=”）；（2）其实我们可以利用三角形的知识在方格纸上画图验证（1）的结果，请在图①中画出相应的图形（设小正方形的边长为1）；（3）用（2（填“>”、“<”或者“=”）．②①24．（7分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 、N 分别在AB 、CD 上．将该纸片沿MN 折叠，使点D 落在边BC 上，设落点为E ，折痕MN 与DE 相交于点Q ．NM QFE DCBA（1）若E 是BC 的中点，求DN 的长；（2）比较线段DE 与MN 的大小，并说明理由；（3）若点G 为EF 的中点，随着折痕MN 位置的变化，请直接写出GQE △周长的最小值．25．（8分）阅读材料：设>0a ，>0b．∵20≥，∴0b a a -≥，即ba a +≥，即a =时，取“=”）．由此可得结论：若>0a ，>0b，则当a 时，ba a +有最小值 理解概念：（1）若0x >，则x =________时，函数1x x+有最小值为________．拓展应用：（2）若>1x ，则代数式41x x +-的最小值为________，此时x =________；解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD 靠墙（如图，墙足够长），面积为28m ，求至少需要多少米的篱笆？D CBA26．（8分）如图，已知(,2)A n、(2,4)B-是一次函数y kx b=+和反比例函数myx=的图像的两个交点．（1）求m、n的值；（2）观察图像，直接写出<mkx bx-的解集；（3）若将反比例函数myx=的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，此时该函数图像与x轴、y轴分别交于P、Q两点．①请你直接写出P、Q的坐标：________．②求四边形APBQ的面积．2017年鼓楼期末试卷（满分：100分 时间：100分钟）一、选择题（每小题2分，共12分）1．下列电视台标志中，是中心对称图形的是（ ）． A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】中心对称图形的定义． 2．若将分式x yxy +中的x 和y 都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）． A ．是原来的12B ．是原来的2倍C ．是原来的14D ．不变【答案】A 【解析】222()12242x y x y x yx y xy xy+++==⋅⋅．3．已知反比例函数(<0)ky k x=的图像经过点(1,)A a 、(3,)B b ，则a 与b 的关系正确的是（ ）．A ．a b =B ．a b =-C ．<a bD ．>a b【答案】C【解析】反比例函数(<0)ky k x=的图像在二、四象限，点(1,)A a 、(3,)B b 在第四象限，y 随x 的增大而增大，3>1，即>b a ．4．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）． A ．点数之和是偶数 B ．点数之和是奇数 C ．点数之和小于13D ．点数之和小于2【答案】C【解析】点数之和为偶数的概率为12，点数之和为奇数的概率为12，点数之和小于13的概率为1，点数之和小于2的概率为0．5．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，P 是CD 边上的中点，E 是BC 边上的一动点，点M 、N 分别是AE 、PE 的中点，则线段MN 长为（ ）．P M NED CBAA．B ．3CD【答案】D 【解析】连接AP ．∵M 、N 分别是AE 、PE 的中点． ∴MN 是APE △的中位数．即111222MN AP == A BCD EN M P6．我们已经学习过一次函数和反比例函数的图像和性质，类似地可以对函数1y x x=-进行探索．下列结论：①图像在第一、三象限；②图像与y 轴无交点；③图像与x 轴只有一个交点；④图像关于原点成中心对称；⑤当>0x 时，y 随x 的增大而增大；其中正确的结论是（ ）． A ．①②③ B ．①③⑤ C ．②④⑤ D ．③④⑤【答案】C【解析】通过抽点作图，函数1y x x=-的图象大致如右图图像分布在一、二、三、四象限；自变量0x ≠，则图像与y 轴没有交点；当1x =±时，0y =，则图像与x 轴有两个交点；图像关于原点中心对称；当>0x 时，y 随x 的增大而增大．二、填空题（每小题2分，共20分）7x 的取值范围是________．【答案】2x ≤【解析】20x -≥，2x ≤． 8．当x ________时，分式23x x-的值为0． 【答案】2【解析】2=03x x-，20x -=，2x =． 9．A 、B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为km/h x ，则根据题意可列方程为_______________． 【答案】18018011.5x x=+ 【解析】原来的平均车速为km/h x ，A 、B 两地间行驶的长途客车平均车速为1.5km/h x ，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ，可列方程：18018011.5x x =+（180180=11.5x x-亦可）． 10．如果32311x ax x -=+++，则常数a 的值是________． 【答案】5-【解析】32311x ax x -=+++ 323(1)x x a -=++2=3a -+ 5a =-．11．如图，如果正方形ABCD 旋转后能与正方形CDFE 重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点有________个．FEDCBA【答案】3 【解析】可以作为旋转中心的点有C 点、D 点和CD 的中点G 点．BCF12．把一元二次方程2430x x -+=配方成2()x a b +=的形式，则a b +=________． 【答案】1-【解析】2430x x -+=，2243(2)10x x x -+=--=，2(2)1x -=． 即2a =-，1b =，1a b +=-．13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，由此可估计袋中约有红球________个． 【答案】8【解析】设袋中的红球为x 个，根据题意可设方程0.484xx =++．解得8x =．14．如图，已知直线1234l l l l ∥∥∥，且相邻两条平行直线间的距离都是d ，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，且面积都是1，则d =________．l 4l 3l 2l 1DCBA【解析】分别过B 、D 两点作EF 、HG 垂直于平行的直线． 易证四个小直角三角形全等（AAS ）及正方形EFGH ，边长为3d ． 21(3)4212d d d -⋅⋅⋅=，解得d ． GFHE A BC D l 1l 2l 3l 415．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，M 为斜边AB 上一动点，过点M 作MD AC ⊥，垂足为D ，作ME CB ⊥，垂足为E ，则线段DE 的最小值为________．ME ABCD【答案】125【解析】设DM x =（0<<3x ）．DM AD BC AC =，43AD x =，443CD x =-，CE DM x ==． 22222242532416393DE CD CE x x x x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭．开口朝上，当48225b x a =-=时，2DE 有最小值为14425．那么DE 的最小值为125． D CBAE M16．如图，A 、B 是反比例函数ky x=图像上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，交OB 于点D ，且D 为OB 的中点，若ABO △的面积为4，则k 的值为________．【答案】163-【解析】过A 、B 两点分别作AE x ⊥轴，BF y ⊥轴． D 是BO 的中点，1==22ABD AOD AOB S S S =△△△．易知B 点的纵坐标是C 点的两倍．又==2AOC BOF k S S △△，则==2AOD BDCF S S 梯形△3=4BOF BDCF S S 梯形△，3=242k⋅，16=3k ，k三、解答题（本大题共11小题，共68分） 17．（8分）计算：（1（2）22-⎝⎭⎝⎭【解析】（1）原式（2）原式=+⎝⎭⎝⎭118．（8分）解方程：（1）31244xx x -+=-- （2）22(1)(23)x x +=- 【解析】（1）31244x x x -+=--． 等式两边同时每次以4x -，32(4)1x x +-=-．解得2111x x +=-，4x =． 检验，当4x =时，40x -=．∴4x =是原方程的增根，原方程无解． （2）22(1)(23)x x +=-．123x x +=-或132x x +=-．解得14x =，223x =．19．（5分）先化简，再求值：11122a a a ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其中a 的值是方程220a a -=的解．【解析】原式22121=22a a a a a -+-+÷-- 2(1)1=22a a a a --÷-- =1a -．解方程220a a -=得10a =，22a =．当2a =时，20a -=，舍去；0a =时，11a -=-．20．（6分）为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分：30%26%F E AB C D根据以上信息，解答下列问题：（1）该调查方式是________；（填“普查”或者“抽样调查”）（2）本次调查的家庭数为________户，家庭用水量在9.0<11.5x ≤范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是________%．（3）若该小区共有1000户家庭，请估计该月用水量不超过9.0吨的家庭数． 【答案】（1）抽样调查． （2）50；18． （3）640．【解析】（1）抽样调查．（2）1326%=50÷（户）．（分组的家庭数为5030%=15⨯（户），那么D 分组的家庭所占的比例为504131563=18%50-----）．（3）413151000=64050++⨯（户）． 21．（6分）如图，平行四边形ABCD 中，EF BD ∥，分别交BC ，CD 于P ，Q ，交AB ，AD 的延长线于点E 、F ．P QFEAB CD（1）求证：EP FQ =；（2）若BE BP =，求证平行四边形ABCD 是菱形． 【解析】（1）∵ABCD 是平行四边形． ∴AD BC ∥，AB CD ∥． ∵EF BD ∥，AB CD ∥．∴四边形BEQD 为平行四边形． ∴BD EQ =．同理可得，四边形BPFD 为平行四边形，BD PE =． ∴EQ PF =． ∴EP FQ =． （2）∵BE BP =． ∴BFP BPE ∠=∠． ∵BD EF ∥．∴ABD BEP ∠=∠，CBD BPE ∠=∠． ∵AD BC ∥． ∴CBD ADB ∠=∠． ∴ABD ADB ∠=∠． ∴AB AD =．又∵ABCD 为平行四边形． ∴ABCD 为菱形．22．（6分）已知关于x 的一元二次方程21(1)04kx k x k --+=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当k 取最大整数时，求该一元二次方程的解．【解析】（1）由题意可知k 201(1)4>04k k k k ≠⎧⎪⎨--⋅⎪⎩． 解得1<2k 且0k ≠． （2）1k =-，此时21204x x -+-=．解得11x =，21x =23．（6分）（11>”、“<”或者“=”）；（2）其实我们可以利用三角形的知识在方格纸上画图验证（1）的结果，请在图①中画出相应的图形（设小正方形的边长为1）；（3）用（2（填“>”、“<”或者“=”）．②①【解析】（1）>． （2）CBA1AB =，ACBC 易得>AB AC BC +．（3）“<”．如图，ABBC =AC ，则<AC AB BC -．ABC24．（7分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 、N 分别在AB 、CD 上．将该纸片沿MN 折叠，使点D 落在边BC 上，设落点为E ，折痕MN 与DE 相交于点Q ．NM QFE DCBA（1）若E 是BC 的中点，求DN 的长；（2）比较线段DE 与MN 的大小，并说明理由；（3）若点G 为EF 的中点，随着折痕MN 位置的变化，请直接写出GQE △周长的最小值． 【解析】（1）设DN EN x ==，4CN x =-．在Rt NEC △中，222CN CE EN +=，则222(4)2x x -+=． 解得 2.5x =，即 2.5DN =．（2）如图，过M 点作MG CD ⊥，MG 交CD 于点G ，交DE 于点H ．NABCD E FQM N由折叠性质可知，DE MN ⊥．90MHQ HMQ ∠+∠=︒，90MNG NMG ∠+∠=︒． 则=MHQ MNG ∠∠． 又∵MG BC ∥． ∴MHE CED ∠=∠． ∴MNG DEC ∠=∠． 在MNG △和DEC △中， CED GNM C MGNCD MG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩． ∴MNG △≌DEC △（AAS ）三垂直模型．那么MN DE =．（3）如图，取AD 中点F ，连接QF 、QG 、QC ．F G NM Q FE DCBA由折叠的对称性可知，QF QG =． ∵Q 为DE 中点，CDE △为直角三角形． ∴QE CQ =．∴22GQE C QG GE EQ QF CQ CF =++=+++△≥． 当且仅当F 、Q 、C开线时最小，最小为2+25．（8分）阅读材料：设>0a ，>0b．∵20≥，∴0b a a -≥，即ba a +≥，即a =时，取“=”）．由此可得结论：若>0a ，>0b，则当a 时，ba a +有最小值 理解概念：（1）若0x >，则x =________时，函数1x x+有最小值为________．拓展应用：（2）若>1x ，则代数式41x x +-的最小值为________，此时x =________；解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD 靠墙（如图，墙足够长），面积为28m ，求至少需要多少米的篱笆？D CBA【答案】（1）1；2 （2）5；3 【解析】（1）1；2．（2）44=111511x x x x +-++=--≥．当411x x -=-，3x =时，取最小值． （3）设AB x =，则CD x =，8BC x=．则篱笆长度为828x x +=≥，当且仅当2x =时取“=”．答：至少需要8m 篱笆．26．（8分）如图，已知(,2)A n 、(2,4)B -是一次函数y kx b =+和反比例函数my x=的图像的两个交点．（1）求m 、n 的值； （2）观察图像，直接写出<mkx b x-的解集； （3）若将反比例函数my x=的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，此时该函数图像与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点．①请你直接写出P 、Q 的坐标：________． ②求四边形APBQ 的面积．【解析】（1）点(2,4)B -在my x=上，解得8m =-．点(,2)A n 在8y x -=上，则82n -=，4n =-． （2）<m kx b x -，即<mkx b x+，求一次函数图象在反比例函数图象下方的部分图像解集，观察图像可知，解集为4<<0x -工k >2x ．（3）平移之后的函数解析式为814y x =---，(4,0)P -，(0,1)Q ． 设PB 交y 轴于C 点，设PB 的解析式为y kx b =+(0)k ≠．将P 、Q 坐标代入求得23k =-，83b =-．解析式为2833y x =--．∴80,3C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴11134=24=233APCQ S ⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭梯形，11111=2=233BCQ S ⨯⨯△．【注意有文字】∴=15APBQ S 四边形．【注意有文字】。
江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B=．2．数据2，3，4，7，9的平均数为．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为．5．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．8．若，且，则xy=．9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是（请把所有真命题的序号都填上）12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1．（1）求证：BD1⊥平面ACB1；（2）求直线BA1与平面A1C1D1所成角的正弦值．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，总70分.1．已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】直接根据交集的定义即可求出．【解答】解：集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}2．数据2，3，4，7，9的平均数为5．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】利用平均数的定义直接求解．【解答】解：数据2，3，4，7，9的平均数为：=（2+3+4+7+9）=5．故答案为：5．3．某企业有员工75人，其中男员工有30人，为作某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为20的样本，则女员工应抽取的人数是12．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取，即可得出结论．【解答】解：总体的个数是75人，要抽一个20人的样本，则每个个体被抽到的概率是=，女员工应选取的人数（75﹣30）×=12人，故答案为：12．4．某中学进行高一学生体检，根据检查的学生每分钟脉搏数绘制了频率分布直方图（如图所示），根据频率分布直方图估计每分钟搏数在[69，85]的概率约为0.6．【考点】B7：频率分布表．【分析】根据频率的定义即可求出．【解答】解：样本数据落在区间[69，85]的频数为25+11=36，样本容量为5+14+25+11+5=60则样本数据落在区间[69，85）的频率为=0.6，故答案为：0.65．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为55．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5+…+10的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5+…+10值．由于：S=1+2+3+4+5+…+10=55，故输出的S值为55．故答案为：55；6．已知矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，则可以估计阴影部分的面积为 2.8．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】设阴影部分的面积为S，由先进可能事件概率计算公式得，由此能求出估计阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为S，∵矩形的长为10，宽为5（如图所示），在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为560颗，∴，解得S=2.8．∴估计阴影部分的面积为2.8．故答案为：2.8．7．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果【解答】解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．8．若，且，则xy=﹣．【考点】M5：共线向量与共面向量．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵，且，∴，解得x=，y=﹣，xy==﹣．故答案为：﹣．9．根据如图所示的伪代码，如果输出y=5，那么输入的x的组成的集合为{﹣5，5} ．【考点】EA：伪代码．【分析】分析程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，讨论x的取值，根据函数解析式求出对应x的取值集合．【解答】解：根据流程图的作用知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=﹣x=5，解得：x=﹣5；当x≥0时，y=x2﹣4x=5，解得：x=5或x=﹣1（舍去）综上，输入的x值为﹣5或5，即{﹣5，5}．故答案为：{﹣5，5}．10．若某程序框图如图所示，则运行结果为6．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=126时满足条件，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=0执行循环体，n=1，S=2不满足条件S≥100，执行循环体，n=2，S=2+4=6不满足条件S≥100，执行循环体，n=3，S=6+8=14不满足条件S≥100，执行循环体，n=4，S=14+16=30不满足条件S≥100，执行循环体，n=5，S=30+32=62不满足条件S≥100，执行循环体，n=6，S=62+64=126满足条件S≥100，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．11．已知下列命题：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”的充要条件是“a+b+c=0”其中真命题的序号是②④（请把所有真命题的序号都填上）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①举例即可；②通过等价命题逆否命题判断；③不等式的性质判断即可；④由充分条件，必要条件的定义判断．【解答】解：①已知a，b是实数，若a+b是有理数，则a，b都是有理数，显然错误：比如﹣和；②若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，其逆否命题为：；a，b都小于1，则a+b＜2，显然成立，故正确；③关于x的不等式ax+b＞0的解为；只有当a＞0时成立，故错误；④“方程ax2+bx+c=0有一根为1”能推出“a+b+c=0”，反之也可以，故是充要条件，故正确．故答案为②④．12．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，解出即可．【解答】解：把椭圆的方程化为标准形式+=1，故a2=，b2=1，a=2b，所以a=，b=1，2=4，解得，m=，符合题意．故答案为．13．已知函数g（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数，正数k满足：存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，则k的取值范围为（（e+），+∞）．【考点】3T：函数的值；2I：特称命题．【分析】通过构造函数f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），并求导可知f（x）min=f（1）=e+﹣2k，进而问题转化为解不等式e+﹣2k＜0，计算即得结论．【解答】解：由题意，记f（x）=g（x）﹣k（﹣x2+3x）=e x+e﹣x﹣k（﹣x3+3x），则f′（x）=e x﹣e﹣x+3k（x2﹣1），当x≥1时f′（x）＞0，即函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，此时f（x）min=f（1）=e+﹣2k，由于存在x0∈[1，+∞），使得g（x0）≤k（﹣x02+3x0）成立，所以e+﹣2k＜0，解得：k＞（e+），故答案为：（（e+），+∞）．14．已知函数，当x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，则整数m的最大值为4．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于m（x﹣1）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（1，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=x﹣2，x＞1时，不等式2f′（x）+xg（x）+3＞m（x﹣1）恒成立，亦即m＜=+2对一切x∈（1，+∞）恒成立，所以不等式转化为m＜+2对任意x＞1恒成立．设p（x）=+2，则p′（x）=，令r（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则r′（x）=1﹣=＞0所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3﹣ln3﹣2=1﹣ln3＜0，r（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣2ln2＞0，所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．所以函数p（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又r（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，所以lnx0=x0﹣2．所以[p（x）]min=p（x0）==x0﹣1+2∈（4，5），所以m＜[p（x）]min=x0﹣1+2∈（4，5）故整数m的最大值是4．故答案为：4．二、解答题：本大题6小题，共计90分15．质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克），随机检查了其中80件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？【考点】B8：频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出a．（2）由频率分布直方图求出质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率，由此能求出在抽查的样本中一级产品共有多少件．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（a+2.5a+4a+0.525+0.35）×0.5=1，解得a=0.15．（2）质量在[5.95，6.95）中的产品才算一级品，由频率分布直方图得质量在[5.95，6.95）中的产品所占频率为（4×0.15+0.525）×0.5=0.5625，∴在抽查的样本中一级产品共有：0.5625×80=45件．16．用m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次的点数．（1）求关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率；（2）求实数不是整数的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先求出基本事件总数N=6×6=36，由关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，得△=m2﹣4n2＞0，由此利用列举法能求出关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率．（2）利用列举法求出实数不是整数包含的基本事件的个数，由此能求出实数不是整数的概率．【解答】解：（1）m，n分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，先后抛掷两次时第一次、第二次的点数，基本事件总数N=6×6=36，∵关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根，∴△=m2﹣4n2＞0，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根包含的基本事件有：（3，1），（4，1），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），共6个，∴关于x的方程x2+mx+n2=0有两个不等实根的概率=．（2）实数不是整数包含的基本事件（m，n）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（6，4），（6，5），共22个，∴实数不是整数的概率p2=．17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1．（1）求证：BD1⊥平面ACB1；（2）求直线BA1与平面A1C1D1所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AC、BD，推导出BD1⊥AC，BD1⊥AB1，由此能证明BD1⊥平面ACB1，（2）由BB1⊥平面A1C1D1，知∠BA1B1是直线BA1与平面A1C1D1所成角，由此能求出直线BA1与平面A1C1D1所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC、BD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，∴DD1⊥AC，四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DD1∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1，∴BD1⊥AC，同理，得BD1⊥AB1，∵AC∩AB1=A，∴BD1⊥平面ACB1，解：（2）∵BB1⊥平面A1C1D1，∴∠BA1B1是直线BA1与平面A1C1D1所成角，∵A1B1=BB1=1，A1B1⊥BB1，∴，∴sin∠BA1B1===．∴直线BA1与平面A1C1D1所成角的正弦值为．18．设计人员要用10米长的材料（材料的宽度不计）建造一个窗子的边框，如图所示，窗子是由一个矩形ABCD和以AD为直径的半圆组成，窗子的边框不包括矩形的AD边，设半圆的半径为OA=r（米），窗子的透光面积为S（平方米）．（1）r为何值时，S有最大值？（2）窗子的半圆部分采用彩色玻璃，每平方米造价为300元，窗子的矩形部分均采用透明玻璃，每平方米造价为100元，r=1时，900元的造价够用吗？说明理由．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），运用半圆的面积和矩形的面积，即可所求透光面积S的解析式，由二次函数的最值求法，即可得到所求r；（2）由r=1，分别求出窗子的半圆部分的造价和窗子的矩形部分的造价，求和，即可判断是否够用．【解答】解：（1）设半圆的半径为OA=r（米），可得矩形的宽为2r，半圆的弧长为πr，可得矩形的高为（10﹣2r﹣πr），窗子的透光面积为S=πr2+（10﹣2r﹣πr）•2r=（﹣2﹣π）r2+10r，（0＜r＜），当r=﹣=（米），S有最大值；（2）由题意可得r=1时，窗子的半圆部分的造价为π•12•300=150π（元），窗子的矩形部分的造价为2•（10﹣2﹣π）•100=800﹣100π（元），可得总造价为150π+800﹣100π=800+50π＞900，则r=1时，900元的造价不够用．19．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过等腰梯形ABCD的四个顶点，两腰与x轴相交于点M，N，且（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求椭圆方程；（2）当MN等于椭圆的短轴长时，求椭圆的离心率的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据向量的坐标运算，即可求得x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，根据单调性，即可求得A和B的坐标，代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；（2）由2x1+x2=3b，代入椭圆方程，由0＜x2＜b，即可求得3c2＜2a2，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆方程：mx2+ny2=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：点M坐标为（3，0），则=（x2﹣3，y2），=（x1﹣3，y1），由，则=﹣2，则x2﹣3=﹣2（x1﹣3），y2=﹣2y1，由等腰梯形与椭圆的对称性，则y2﹣y1=3，x2=1，∴x1=4，y1=﹣1，y2=2，∴A（4，﹣1），B（1，2），，解得：，∴椭圆的标准方程：；（2）由2x1+x2=3b，，，消去y1，4x12﹣x22=3a2，∴2x1﹣x2=，2x2=3b﹣，由0＜x2＜b，则0＜3b2﹣a2＜2b2，∴a2＜2a2，3c2＜2a2，∴e=，则0＜e＜，∴椭圆的离心率e的取值范围（0，）．20．已知函数f（x）=lnx﹣x2﹣x．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数g（x）=af（x）+ax2﹣3（a∈R）的图象在点（2，g（2））处的切线与直线x﹣y=3平行，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，4）上总不是单调函数，求m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出a的值，从而求出函数h（x）的表达式，求出h（x）的导数，结合函数的单调性，得到不等式组，从而求出m的范围．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣2x﹣1=，令f′（x）＞0，即（2x﹣1）（x+1）＜0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，即（2x﹣1）（x+1）＞0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）的最大值是f（）=﹣ln2﹣；（2）g（x）=af（x）+ax2﹣3=alnx﹣ax﹣3，g′（x）=﹣a，g′（2）==1⇔a=﹣2，∴g（x）=﹣2lnx+2x﹣3，g′（x）=2﹣，故h（x）=x3+（2+）x2﹣2x，∴h′（x）=3x2+（4+m）x﹣2，∵函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数，∴函数h（x）在区间（t，4）上总存在零点，又∵函数h′（x）是开口向上的二次函数，且h′（0）=﹣2＜0，∴，由h′（t）＜0⇔m＜﹣3t﹣4，令H（t）=﹣3t﹣4，则H′（t）=﹣﹣3＜0，所以H（t）在上[1，2]单调递减，所以m＜H（t）min=H（2）=﹣9；由h′（4）=48+4（4+m）﹣2＞0，解得：m＞﹣；综上得：﹣＜m＜﹣9，所以当m在（﹣，﹣9）内取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数h（x）在区间（t，4）上总不是单调函数．2017年6月15日。
江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题 含答案
高一（下）期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P(1，－2），则sin2α＝．4．在△ABC中，若AC＝错误!，∠A＝45°,∠C＝75°，则BC＝．5．在△ABC中,若sin A︰sin B︰sin C＝3︰2︰4，则cos C＝．6．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝．7．若等比数列｛a n}满足a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则a5＋a7＝．8．若关于x的不等式ax2＋x＋b＞0的解集是（－1，2）,则a＋b ＝．9．若关于x的不等式1＋错误!≤0的解集是［－2，1)，则k＝．10．若数列{a n｝满足a11＝错误!,错误!－错误!＝5(n∈N*)，则a1＝．11．已知正数a，b满足错误!＋错误!＝2，则a＋b的最小值是．12．下列四个数中，正数的个数是．①错误!－错误!，a＞b＞0，m＞0;②(n＋3＋错误!)－（错误!＋错误!),n∈N*;③2(a2＋b2)－（a＋b) 2,a,b∈R；④错误!－2，x∈R.13．在斜三角形ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c,若错误!＋tan Ctan B＝1,则错误!＝．14．若数列{a n}的前n项和S n＝2n，则a1＋2 a2＋3 a3＋…＋n a n＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)设f（x)＝x2－(t＋1)x＋t （t，x∈R）．（1)当t＝3时，求不等式f（x)＞0的解集；(2)已知f(x)≥0对一切实数x成立,求t的值．16．(本题满分14分)设函数f（x）＝2cos2 x＋2错误!sin x cos x(x∈R)．(1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在0＜x≤错误!的条件下，求f(x）的取值范围．17．(本题满分14分)在△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C的对边，且cos（B－C）－2sin B sin C＝－错误!。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)1.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.(5分) 命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|≠|b|，则a≠b”。
2.(5分) 双曲线的离心率大于1.3.(5分) 已知复数z=1的渐近线方程是y=x。
4.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是-5.5.(5分) 曲线y=x^4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是4.6.(5分) 已知实数x，y满足条件x+y=1，则z=2x+y的最大值是2.7.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y^2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是9.8.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x^2+y^2=r^2（r>0）与圆M：(x-3)^2+(y+4)^2=4相交，则r的取值范围是1<r<3.9.(5分) 观察下列等式：sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。
+sin^(-2)=n(n+1)/2照此规律。
sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。
=110.(5分) 若“∃x∈R，x^2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是a≤0.11.(5分) 已知函数f(x)=(x^2+x+m)ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）。
若在x=-3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是f(-2)。
12.(5分) 有下列命题：①“m>0”是“方程x^2+my^2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y-1=0与直线l2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)=x^3+mx单调递增”是“m>0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p 且q是真命题”的必要不充分条件。
江苏省南京市鼓楼区2016_2017学年九年级数学上学期期中试卷(含解析)苏科版
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣12．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm24．某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．855．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．166．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= ．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= °．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B 处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 1.2乙7 b 8 c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）27．问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE 是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ⊥BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ∥DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以∠CBO=∠BCO ，因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到∠ECB=∠CBO ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x1=0，x2=1，故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．4．某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．85【考点】加权平均数．【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．5．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．16【考点】弧长的计算．【分析】由三角形的内角和公式求出∠A，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式求得半径，再由勾股定理求得结论．【解答】解：连接OB，OC，∵∠B=75°，∠C=60°，∴∠A=45°，∴∠BOC=90°，∵的长度为4π，∴=4π，∴OB=8，∴BC===8，故选B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，弧长公式，圆周角定理，勾股定理，熟记弧长公式是解决问题的关键．6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【考点】垂径定理的应用．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 4 ，使得方程左边配成一个完全平方式．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O 外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P在圆外．【解答】解：∵⊙O的直径为2，∴⊙O的半径为1，∵OP=2＞1，∴点P在⊙O外，故答案为：外．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值，此题的解．【解答】解：∵一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为﹣是解题的关键．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【考点】概率公式．【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵有2个红球、3个白球，∴共有2+3=5个球，∴摸到红球的概率是；故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF的度数，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵OD=1，OF=OG=2，∴cos∠DOF==，∴∠DOF=60°．同理，∠AOE=60°，∴∠EOF=180°﹣60°﹣60°=60°，∴图中阴影部分的面积==．故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= 8 ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论．【解答】解：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，在Rt△ODH中，∵OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∴AH=AB﹣BH=10﹣2=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= 20 °．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵∠C=80°，∠CEA=30°，∴∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=20°，∴∠CDA=∠B=20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：x2﹣35x+34=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【解答】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．故答案为：x2﹣35x+34=0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为22.5 °．【考点】圆周角定理．【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【解答】解：连结OA、OB，如图，∵点A、B的读数分别为65°，20°，∴∠AOB=65°﹣20°=45°，∴∠ACB=∠AOB=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，会使用量角器是解决本题的关键．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是①②③．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】首先连接OD，OE，易得四边形ODBE是正方形，即可得点O在∠B的平分线上，OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，O不在AC的垂直平分线上，点O不在AC上．【解答】解：∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA==，OC==5，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC==，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ODBE 是正方形是关键．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．【解答】解：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 1.2 乙7b8c（1）写出表格中a ，b ，c 的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【考点】方差；条形统计图；折线统计图；中位数；众数．【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可； （2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析． 【解答】解：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10， ∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定； 综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大． 【点评】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可．【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【考点】切线的性质．【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．【点评】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．【考点】无理方程；分式方程的增根．【分析】（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．【点评】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．【考点】切线的性质．【分析】（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积【解答】（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．故答案为7π．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，注意数形结合思想的应用，属于中考常考题型．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．【点评】本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO 长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）如图所示：点D即为所求．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及圆周角定理，关键是掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有－项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1. 已知的半径为，点P 到圆心O 的距离为，则点P 在（ ）O 2cm 2cm O A. 外B. 内C. 上D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据点与圆的位置关系即可进行解答．【详解】解：∵的半径为=，点P 到圆心O 的距离为d=，d=r ， O 2cm 2cm ∴点P 在上．O 故选：C ．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握：当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内．2. 下列方程中，没有实数根的是（ ）A. B. C. D. 2x x =210x +=2210x x ++=2210x x +-=【答案】B【解析】【分析】逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．【详解】解：A ．∵，2x x =∴，20x x -=∴，()10x x -=∴方程解为，故本选项不合题意；2x x =01x x ==，B ．∵，210x +=∴，21x =-∴此方程没有实数根，故本选项符合题意；C ．，2210x x ++=∵，22424110b ac -=-⨯⨯=∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；D ．，2210x x +-=∵， ()224241180b ac -=-⨯⨯-=>∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系．3. 20名同学参加某比赛的成绩统计如下表，则成绩的众数和中位数（单位：分）分别为（ ） 成绩/分80 85 90 95 人数/人2 8 6 4A. 85，85B. 85，C. 85，90D. 90，90 87.5【答案】B【解析】【分析】利用众数的定义和中位数的定义分别求出解答即可．【详解】解：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；在这20个数中，处于中间位置的第10个和第11个数据，∴中位数是这两个数的平均数：，()8590287.5+÷=故选B ．【点睛】本题考查了众数和中位数的的定义，解决本题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值；中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数或两个数的平均数．4. 已知关于x 的一元二次方程有一根为0，则m 的值是22(1)20m x x m m --+-=（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. 0或 1-【答案】A【解析】【分析】将带入，得到一个关于m 的方程，求出m 的值，0x =22(1)20m x x m m --+-=再根据一元二次方程的定义，排除不符合题意的m 的值。
江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷及答案
南京市鼓楼区2023-2024学年高一上学期期中测试数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{}2,1,0,1U =--，集合{}1,0A =-，则U A =（）A.{}2,1-- B.{}2,1- C.{}2- D.{}2,1,0--2.已知函数()223,1,3,0,x x f x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩则()()1f f -=（）A .2- B.1- C.35D.533.1a <是21a <的（）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.学校宿舍与办公室相距m a .3min 来到办公室，停留2min ，然后匀速步行10min 返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度()v t 和行走的路程()S t 都是时间t 的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（）①②③④A.①②B.③④C.①④D.②③C5.已知集合{}20,M x x x =-<∈N ，则（）A.0M∉ B.1M-∈ C.1M⊆ D.{}1M⊆6.已知函数()f x 是定义在[]3,3-上的偶函数，且在[]0,3上单调递减，则（）A.()00f = B.()()32f f -< C.()()44f f -= D.()f x 在[]0,3上单调递减7.已知：当12m <<时，20log 1m <<成立，若a 是2log 3的小数部分，则2a的值为（）A.34B.43C.32D.238.已知20.7a -=，ln0.5b =，lg0.7c =，则（）A.c a b<< B.a b c<< C.c b a << D.b c a<<二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合通目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.若0x >，0y >，则（）1x =-1y =+C.222xyx y+= D.()lg lg lg x y x y +=+10.若a b >，则（）A.21a b +>- B.2122a b +>- C.2a b>- D.222a b>-11.在教材的“阅读”材料中谈到如下内容.德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之问能建立起一一对应，则称这两个集合等势.由此，下列四组无限集合中等势的有（）A.N 和*NB.N 和RC.Z 和ND.Z 和R12.关于函数()f x 的下列四个说法中，正确的是（）A.若()()1f x f x -<对一切实数x 成立，则()f x 是增函数B.若()()12f x f x +=-对一切实数x 成立，则()()22f x f x -=+C.若()()11f x f x -=-对一切实数x 成立，则()f x 的图象关于y 轴对称D.若()()f kx f kx -=对一切实数x 成立，其中k ∈R 且0k ≠，则()f x 是奇函数或偶函数第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“0x ∀>，210x +>”的否定是______.14.函数()f x =的定义域为______.15.若正数x ，y ，z 满足x y xy +=，3x y xyz ++=，则z 的最大值是______.16.已知函数()21bx f x x a +=+是奇函数，不等式组()()1,f x f x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩的解集为()12,x x ，且1x ，2x 满足10x >，122218x x x x b+=，则a =______，b =______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知集合{}14A x x =≤<，{}20B x x a =->.（1）若1a =，求A B ；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）（1）求值：123318125-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知1102a --=，用a 表示式子：2lg4lg25lg8+-.19.（本题满分12分）随着中国经济高速增长，旅游成了众多家庭的重要生活方式，A ，B 两地景区自2010年开始，采取了不同的政策：A 地提高景区门票价格到120元/人，B 地取消了景区门票.政策实施后，A 地的游客人次近似于直线上升（线性增长），B 地的游客人次近似于指数增长（如图所示）.已知：①2011年度，A 地的游客人次为600万，B 地的游客人次为300万；②从2011年度开始，A 地游客人次的年增加量近似为10万人次，B 地游客人次的年增长率近似为20%；③平均每位游客出游一次可给当地带来500元收入（不含门票）；（1）填空：2014年度，B 地的年度游客人次近似为______万；（2）从2011年度开始，分别估计多少年后，A 地，B 地的年度旅游收入开始超过50亿元？（3）结合（2），谈谈你的看法.（附参考数据：31.2 1.73≈，41.2 2.07≈，51.2 2.49≈，61.2 2.99≈，71.2 3.58≈，81.2 4.30≈）20.（本题满分12分）已知m ∈R ，命题p ：260m m --<，命题q ：函数()221f x x mx =-+在()0,+∞上存在零点.（1）若p 是真命题，求m 的取值范围；（2）若p ，q 中有一个为真命题，另一个为假命题，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()223f x x x =-+.（1）求()f x 在()0,+∞上的取值范围；（2）求()f x 的函数关系式；（3）设()1g x x =-，若对于任意[]12,3x ∈，都存在[]2,1x m m ∈+，使得()()()()12f g x g f x =，求正数m 的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数()2axf x x =+.（1）求()3f ；（2）当0a >时，试运用函数单调性的定义判定()f x 的单调性；（3）设()()2g x f x =-，若()2g x ≥在25x -≤≤时有解，求a 的取值范围.高一（上）数学期中考试参考答案和评分标准说明：1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，填空题不给中间分数.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.B2.C3.C4.A5.D6.B7.C8.D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.BC10.ABD11.AC12.BC三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0x ∃>，210x +≤14.()1,-+∞或{}1x x >-15.7416.0，3四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）因为1a =，所以12B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，所以{}14A B A x x ==≤< ；（2）2a B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，若A B ⊆，则12a<，所以a 的取值范围为2a <.18.（1）123318459125-⎛⎫+=+=⎪⎝⎭；（2）2lg4lg25lg84lg22lg53lg21lg5+-=+-=+，因为1102a -=，所以1lg21lg5a -==-，所以lg52a =-，1所以252lg4lg38a +=-.19.（1）519；3分（2）设从2011年度开始，估计x 年后，A 地的年度旅游收入为()g x （单位：万元），则()()62010600g x x =+，得()()62010590g x x =+，令()62010600500000x +>，得()62605000x +>，解得20.6x >，所以，估计21年后，A 地的年度旅游收入开始超过50亿元，由题意，m 年后，B 地的年度旅游收入为500300 1.2m⨯⨯万元，5500300 1.2500000⨯⨯<，6500300 1.2500000⨯⨯<，7500300 1.2500000⨯⨯>，所以，估计7年后，B 地的年度旅游收入开始超过50亿元，或者令500300 1.2500000m ⨯⨯>，得101.23m >，因为6101.2 2.993≈<，7101.2 3.583≈>，结合图像，所以，估计7年后，B 地的年度旅游收入开始超过50亿元，（3）指数增长让B 地的游客人次增长很快，取消门票，反而有利于促进消费，拉动经济增长：或者，B 地景区的政策更有利于地方经济的长远发展；或者，一段时间后，B 地景区的收入明显超过A 地景区，不同的政策有不同的结果；或者，（关键词：快速增长，长远发展，政策适合.说出三条或两条正确信息，得3分；一条正确信息，得2分；）20.（1）因为p 是真命题，所以260m m --<成立，解得23m -<<；（2）若q 为真命题，则函数()221f x x mx =-+在()0,+∞上存在零点，则方程2210x mx -+=在()0,+∞上有解，因为该方程在有解时两解同号，所以方程2210x mx -+=在()0,+∞上有两个正根，则280,0,m m ⎧-≥⎨>⎩得m ≥，若p 为真命题，q 为假命题，得2m -<<，若p 为假命题，q 为真命题，得3m ≥，所以m 的取值范围为2m -<<或3m ≥.21.（1）因为223y x x =-+的对称轴为1x =，所以函数()f x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，因为()12f =，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)2,+∞；二解因为()()212f x x =-+，所以()2f x ≥，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)2,+∞；（2）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =；设0x <，则0x ->，所以()()()222323f x x x x x -=---+=++；又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()223f x f x x x =--=---，所以()2223,0,0,0,23,0.x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩（3）因为[]12,3x ∈，所以()112g x ≤≤，所以()()123f g x ≤≤，当1m ≥时，12m +≥，因为()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在[],1m m +上递增，所以()222232m m f x m -+≤≤+，所以()()222221m m g f x m -+≤≤+，所以2213,222,m m m ⎧+≥⎨-+≤⎩2m ≤≤，当01m <<时，112m <+<，因为()f x 在[],1m 上递减，()f x 在[]1,1m +上递增，此时，因为()3f m <，()13f m +<，所以()()22g f x <，所以01m <<不符合题意，2m ≤≤.22.（1）()335a f =；（2）当0a >时，设12x x <，则120x x -<，()()()()()1221121212121222222x x x x x x ax ax f x f x a x x x x -+--=-=++++，显然，()()12220x x++>，当1x ，2x 有一个值为0时，因为12210x x x x -=，所以有()()120f x f x -<；当120x x <<时，因为122112210x x x x x x x x -=-+=，所以有()()120f x f x -<；当120x x <<时，122112210x x x x x x x x -=+<，所以有()()120f x f x -<；当120x x <<时，122112210x x x x x x x x -=-=，所以有()()120f x f x -<；综上，当12x x <时，必有()()120f x f x -<，当0a >时，()f x 在R 上是单调递增函数；[如下解法酌情扣分（至少扣1分，因为()f x 在(),0∞-上的单调性未说清莫]函数()2axf x x =+的定义域为R ，因为()()()22a x axf x f x x x --==-=--++，所以函数()f x 是奇函数，当0x >时，设120x x <<，则120x x -<，因为0a >，所以()()()()()1212121212202222a x x ax ax f x f x x x x x --=-=<++++，即当12x x <时，必有()()120f x f x -<，所以()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，且当0x >时，有()0f x >；因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()f x 在(),0-∞上是单调递增函数，且当0x <时，有()0f x <；又因为()00f =，所以当0a >时，()f x 在R 上是单调递增函数；（3）由上知当0a >时，()f t 在R 上是单调递增函数；类似可以证明：当0a <时，()f t 在R 上是单调递减函数；令2x t -=，所以2x t =+，可得，()22f x -≥在25x -≤≤时有解，等价于()2f t ≥在43t -≤≤时有解，当0a >时，由()f t 的单调性知()()max 335a f t f ==，令325a ≥，得103a ≥；当0a <时，由()f t 的单调性知()()max 243a f t f =-=-，令223a -≥，得3a ≤-；当0a =时，无解；综上，a 的取值范围这103a ≥或3a ≤-.。
江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题 Word版含答案
高二(上)期中试题数学(文科)注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题(本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上)1．过点(2，－2)，(－2，6)的直线方程是．2．命题“∃x∈[－1，1]，x2－3x＋1＜0”的否定是．3．圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1和圆C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的位置关系是．4．直线x＋2y－2＝0与2x＋a y－2a＝0垂直，则a的值是．5．过点(2，－2)的抛物线的标准方程是．6．若点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是．7．已知△ABC和△DEF，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等”的条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个)．8．椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积是．9．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为23，一条准线方程为y＝－1，则其渐近线方程为．10．圆心在y轴上，且与直线2x＋3y－10＝0相切于点A(2，2)的圆的方程是．11．若“(x－a)(x－a－1)＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．12．直线y＝x＋b与曲线x＋1－y2＝0恰有一个公共点，则b的取值范围是．13．曲线(x－1)2＋y2＝22(2－x) 的焦点是双曲线C的焦点，点(3，－2393)在C上，则C的方程是．14．已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝4过坐标原点，则a＋b的最大值是．二、解答题(本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分8分)写出命题“若直线l 的斜率为－1，则直线l 在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？16．(本小题满分9分)某企业计划生产A ，B 两种产品．已知生产每吨A 产品需3名工人，耗电4 kW ，可获利润7万元；生产每吨B 产品需10名工人，耗电5 kW ，可获利润12万元，设分别生产A ，B 两种产品x 吨，y 吨时，获得的利润为z 万元．(1)用x ，y 表示z 的关系式是 ；(2)该企业有工人300名，供电局只能供电200 kW ，求x ，y 分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？17．(本小题满分10分)已知直线l ：2x ＋y ＋4＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0．(1)直线m 与直线l 平行，且与圆C 相切，求m 的方程；(2)设直线l 和圆C 的两个交点分别为A ，B ，求过A ，B 的圆中面积最小的圆的方程．18．(本小题满分10分)设直线l 的方程是x ＋my ＋23＝0，圆O 的方程是x 2 ＋y 2＝r 2 (r >0)．(1)当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点，求r 的取值范围；(2)r ＝4时，求直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围．19．(本小题满分10分)已知双曲线C 1：x 2a 2－8y 2＝1(a ＞0)的离心率是2，抛物线C 2：y 2＝2px 的准线过C 1的左焦点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，4)是C 2上三点，且CA ⊥CB ，证明：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．20．(本小题满分11分)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心是O ，左，右顶点分别是A ，B ，点A 到右焦点的距离为3，离心率为12，P 是椭圆上与A ，B 不重合的任意一点．(1) 求椭圆方程；(2)设Q (0，－m )(m ＞0)是y 轴上定点，若当P 点在椭圆上运动时PQ 最大值是 5 ，求m 的值．高二(上)期中试题数 学(文科)参考答案一、填空题(每小题3分，共42分)1．2x ＋y －2＝02．∀x ∈[－1，1]，x 2－3x ＋1≥03．相交4．－15．y 2＝2x 或x 2＝－2y6．(23，＋∞)7．充分不必要8．249．y ＝±33 x10．x 2＋(y ＋1)2=13 11． 1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．{b |－1≤b <1，或b = 2 }13．3x 2－32 y 2＝114．2 2二、解答题(本大题有6小题，共58分)15．逆命题若直线l 在两坐标轴上截距相等，则直线l 的斜率为－1；该命题是假命题；……3分否命题若直线l 的斜率不为－1，则直线l 在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题； (6)分逆否命题若直线l分(说明，对一个得3分，对两个得16．(1)z ＝7x ＋12 y ；……2分(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10 y ≤300，4 x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10 y ＝300，4 x ＋5y ＝200，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝24．记点A (20，24)．(作出可行域)如右图，当斜率为－ 712的直线经过点A (20，24)时，在y 轴上的截距最大． ……8分此时，z 取得最大值，为428(万元)．所以，x ，y 分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元．……………………………9分17．(1)易得直线l 的斜率为－2，圆C 的圆心为点(－1，2)，半径为2． (2)分设直线m 的方程为2x ＋y ＋k ＝0，由|k |5＝2，解得k ＝±25．所以m 的方程为2x ＋y ±25＝0．………………………………………5分 (2)由⎩⎨⎧2x ＋y ＋4＝0，，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，可得两交点的坐标分别为(－115，25)， (－3，2)．……………7分过A ，B 且面积最小的圆即以线段AB 为直径的圆，其方程为(x ＋135) 2＋(y －65) 2＝45．…………10分18．(1)直线l 过定点(－2 3 ，０)，当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点等价于点(－2 3 ，０)在圆O 内或在圆O 上， (2)分所以r 的取值范围是[2 3 ，＋∞)；………………………………………………………………………5分(其他解法，类比赋分，如231＋m 2 ≤r 恒成立，等) (2)设坐标为(－2 3 ，０) 的点为点A ，分) 分分设AC 的斜率为k ，则直线AC 的方程是y －4＝k (x －8)，x ＝y 22代入并整理，得ky 2－2y ＋8－8k ＝0，方程的两根是4和2k －4，所以y 1＝2k －4，x 1＝2(2k －1)2k 2， A 点的坐标是（2(2k －1)2k 2，2k －4）， 同理可得B 点的坐标（2(2＋k )2，－2k －4）， ………………………………………………7分直线AB 的斜率K AB ＝（2k －4）－（－2k －4） 2(2k －1)2k 2－2(2＋k )2＝－k k 2＋4k －1， 直线AB 的方程是y －(－2k －4)＝－k k 2＋4k －1[x －2(2＋k )2]， 即y ＝－k k 2＋4k －1(x －10)－4， ......................................................9分 直线AB 过定点，定点坐标是（10，－4）． (10)分(第二类解法)因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在C 2上，所以x 1＝y 122，x 2＝y 222．显然，y 1≠4， y 2≠4，y 1＋y 2≠0．因为CA ⊥CB ，所以(y 122－所以(y 1＋4)(y 2＋4)＝－4分直线AB 的方程是y －y 1解法一 直线AB－4， ………………………………………………9分 (10，－4)． ………………………………10分y 12(－y －4)＋y 1(2x －10)＋8 x ＋20 y ＝0．............8． 所以直线AB 过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． (10)分解法三 由(*)式得y 2＝－4y 1＋20y 1＋4． 可得⎩⎨⎧y 1＝－6，y 2＝－2． 进而得A (18，－6)，B (2，－2)，进而得直线AB ：x ＋4y ＋6＝0．(其它方程类比赋分) (7)分由(*)式得还可得⎩⎨⎧y 1＝－3，y 2＝－8．进而得A (92，－3) ，B (32，－8) ，进而得另一直线AB ：2x ＋11y ＋24＝0． (8)分由⎩⎨⎧x ＋4y ＋6＝0，2x ＋11y ＋24＝0， 得⎩⎨⎧x =10，y ＝－4．因为⎩⎨⎧x =10，y ＝－4 适合直线AB 的方程(y ＋y 1y 2y 1＋y 2)， ..........................................9分 所以直线AB 过定点，这个定点的坐标是(10，－4)． (10)分20．(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3， c a ＝12， 解得 ⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1． 所以，所求方程为x 2 ＋ y 2=1．………………………………………………………………………4分)2＋4m 2＋4，………………………………………………………6分，令2m 2＋1 = 5 ，得m =12 ； (8)m ＋ 3 = 5 ，得m = 5 － 3 (舍去)；…………………1分。
江苏南京2016年-2017年初三数学[上册]期末试题2套和答案解析
玄武区2016届九年级（上）期末考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分）1．一元二次方程x 2＝1的解是 （ ） A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x 1＝1，x 2＝－1D ．x ＝02．⊙O 的半径为1，同一平面内，若点P 与圆心O 的距离为1，则点P 与⊙O 的位置关系 是 （ ） A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法确定3．9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ） A ．中位数B ．极差C ．平均数D ．方差4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个解的范围是 （ ）A ．－0.01＜x ＜0.02B ．6.17＜x ＜6.18C ．6.18＜x ＜6.19D ．6.19＜x ＜6.205．若点A （－1，a ），B （2，b ），C （3，c ）在抛物线y ＝x 2上，则下列结 论正确的是 （ ） A ．a ＜c ＜b B ． b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ． a ＜b ＜c6．如图，点E 在y 轴上，⊙E 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 、D ，若C （0， 9），D （0，－1），则线段AB 的长度为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．若b a ＝3，则b ＋a a＝ ．8．一组数据：2，3，－1，5的极差为 ．9．一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1•x 2的值是 ．10．某产品原来每件成本是100元，连续两次降低成本后，现在成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x ，可得方程 ．11．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2x 2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 ．12．已知圆锥的底面半径为6cm ，母线长为8cm ，它的侧面积为 cm 2． 13．如图，根据所给信息，可知BCB ′C ′的值为 .B（第6题）14．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则当x ＝3时，y ＝ ．15．如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 是⊙O 上一动点且∠ACB ＝45°，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于点G 、H ．若⊙O 的半径为2，则GE ＋FH 的最大值为 .16．如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，点P 、Q 在DC 边上，且PQ ＝14D C ．若AB＝16，BC ＝20，则图中阴影部分的面积是 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17．（10分）（1）解方程：(x ＋1)2＝9； （2）解方程：x 2－4x ＋2＝0．18．（6分）已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－x ＋a 2－2a －2＝0有一根是1，求a 的值．BN CQP （第16题）G（第15题）（第13题）O19．（8分）射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩（1）完成表中填空① ；② ；（2）请计算甲六次测试成绩的方差；（3）若乙六次测试成绩方差为43，你认为推荐谁参加比赛更合适，请说明理由．20．（7分）一只不透明的袋子中，装有三个分别标记为“1”、“2”、“3”的球，这三个球除了标记不同外，其余均相同．搅匀后，从中摸出一个球，记录球上的标记后放回袋中并搅匀，再从中摸出一个球，再次记录球上的标记．（1）请列出上述实验中所记录球上标记的所有可能的结果； （2）求两次记录球上标记均为“1”的概率．21．（8分）如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB 长为2．（1）求点O 到AB 的距离．（2）若点C 为⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），求∠BCA 的度数；A （第21题）22．（8分）已知二次函数y ＝x 2－2x －3．（1）该二次函数图象的对称轴为 ； （2）判断该函数与x 轴交点的个数，并说明理由；（3）下列说法正确的是 （填写所有正确说法的序号）①顶点坐标为（1，－4）； ②当y ＞0时，－1＜x ＜3；③在同一平面直角坐标系内，该函数图象与函数y ＝－x 2＋2x ＋3的图象关于x 轴对称．23．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点F ，点E 在BD 上，且AB AE ＝BC ED ＝ACAD．（1）求证：∠BAE ＝∠CAD ； （2）求证：△ABE ∽△AC D ．ABCDF E（第23题）24．（7分）课本1.4有这样一道例题：据此，一位同学提出问题：“用这根长22 cm的铁丝能否围成面积最大的矩形？若能围成，求出面积最大值；若不能围成，请说明理由．”请你完成该同学提出的问题．25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．（第25题）26．（9分）已知一次函数y ＝x ＋4的图象与二次函数y ＝ax (x －2)的图象相交于A （－1，b ）和B ，点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过点P 作PC ⊥x 轴，与二次函数y ＝ax (x －2)的图象交于点C ． （1）求a 、b 的值（2）求线段PC 长的最大值；（3）若△PAC 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．27．（9分）如图，折叠边长为a 的正方形ABCD ，使点C 落在边AB 上的点M 处（不与点A ，B 重合），点D 落在点 N 处，折痕EF 分别与边BC 、AD 交于点E 、F ，MN 与边AD 交于点G ． 证明：（1）△AGM ∽△BME ；（2）若M 为AB 中点，则AM 3＝AG 4＝MG5；（3）△AGM 的周长为2a ．（第26题）ABCDMNE FG（第27题）2015－2016学年度第一学期期末学情调研 九年级数学试卷参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7． 48． 69． 110．100(1－x )2＝8111．y ＝2(x －3)2＋112．48π 13．12 14．13 15．4－ 2 16．92三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题10分）（1）解：x ＋1＝±3，∴x 1＝2，x 2＝－4．………………………………………………………5分（2）方法一：解：a ＝1，b ＝－4，c ＝2， b 2－4ac ＝8＞0，x ＝4±2 22＝2± 2 ，………………………………………… 3分∴x 1＝2＋ 2 ，x 2＝2－ 2 ．…………………………………… 5分方法二：解：x 2－4x ＝－2， x 2－4x ＋4＝－2＋4，(x －2)2＝2，…………………………………………………… 3分 x －2＝± 2 ，∴x 1＝2＋ 2 ，x 2＝2－ 2 ．……………………………… 5分 18．（本题6分）解：将x ＝1代入，得：(a ＋1)2－1＋a 2－2a －2＝0，解得：a 1＝－1，a 2＝2．………………………………………………… 5分 ∵a ＋1≠0，∴a ≠－1，∴a ＝2．………………………………………………………………… 6分19．（本题8分）解：（1）9；9．……………………………………………………………… 2分（2）S 甲2＝ 23．……………………………………………………………… 4分（3）∵X X 甲乙， S 甲2＜S 乙2，∴推荐甲参加比赛合适．……………………………………………… 8分 20．（本题7分）解：（1）列表如下：…………………………………………………………………………… 4分 （2）在这种情况下，共包含9种结果，它们是等可能的．……………… 5分 所有的结果中，满足“两次记录球上标记均为‘1’”（记为事件A ）的结果只有一种，所以P (A )＝ 19． …………………………………………………… 7分21．（本题8分）解：（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ． ∵OD ⊥AB 且过圆心，AB ＝2，∴AD ＝12AB ＝1，∠ADO ＝90°．……………………………………… 2分在Rt △ADO 中，∠ADO ＝90°，AO ＝2，AD ＝1，∴OD ＝AO 2－AD 2＝ 3 ．即点O 到AB 的距离为 3 ．………… 4分 （2）∵AO ＝BO ＝2，AB ＝2，∴△ABO 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°． ………………………… 6分若点C 在优弧⌒ACB 上，则∠BCA ＝30°；若点C 在劣弧 ⌒AB上，则∠BCA ＝ 12(360°－∠AOB )＝150°．…… 8分 22．（本题8分）解：（1）直线x ＝1．……………………………………………… 2分（2）令y ＝0，得：x 2－2x －3＝0．∵b 2－4ac ＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴该函数与x 轴有两个交点．……………………………………… 6分 （3）①③．……………………………………………………………… 8分 23．（本题8分）证明：（1）在△ABC 与△AED 中，∵AB AE ＝BC ED ＝ACAD，∴△ABC ∽△AE D ．…………………………………………………… 2分 ∴∠BAC ＝∠EAD ， ∴∠BAC －∠EAF ＝∠EAD －∠EAF ，即∠BAE ＝∠CA D ．…………………………………………………… 4分（2）∵AB AE ＝AC AD ，∴AB AC ＝AEAD． …………………………………………… 6分在△ABE 与△ACD 中，∵∠BAE ＝∠CAD ，AB AC ＝AEAD，∴ △ABE ∽△AC D ． ………………………………………………… 8分24．（本题7分）解：能围成．设当矩形的一边长为x cm 时，面积为y cm 2．由题意得：y ＝x ·(222－x )…………………………………………………… 3分＝－x 2＋11x＝－(x －112)2＋1214…………………………………………… 5分 ∵(x －112)2≥0，∴－(x －112)2＋1214≤1214．∴当x ＝112时，y 有最大值，y max ＝1214，此时222－x ＝112．答：当矩形的各边长均为112 cm 时，围成的面积最大，最大面积是1214cm 2．… 7分25．（本题8分）解：（1）AC 与⊙O 相切．本题答案不惟一，下列解法供参考． 证法一：∵BE 平分∠ABD ，∴∠OBE ＝∠DBO ． ∵OE ＝OB ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∴∠OBE ＝∠DBO ，∴OE ∥B D ．………………………………… 2分 ∵AB ＝BC ，D 是AC 中点，∴BD ⊥A C ．∴∠ADB ＝90°．∵AC 经过⊙O 半径OE 的外端点E ，∴AC 与⊙O 相切．……… 4分 证法二：∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABD ＝2∠ABE ．又∵∠ADE ＝2∠ABE ，∴∠ABD ＝∠ADE ．∴OE ∥B D ．……… 2分 ∵AB ＝BC ，D 是AC 中点，∴BD ⊥A C ．∴∠ADB ＝90°．∵AC 经过⊙O 半径OE 的外端点E ，∴AC 与⊙O 相切．……… 4分 （2）设⊙O 半径为r ，则AO ＝10－r ．由（1）知，OE ∥BD ，∴△AOE ∽△AB D ．………………………… 6分∴AO AB ＝OE BD ，即10－r 10＝r6，……………………………………………… 7分∴r ＝154．∴⊙O 半径是154．……………………………………… 8分26．（本题9分）解：（1）∵A (－1，b )在直线y ＝x ＋4上， ∴b ＝－1＋4＝3，∴A (－1，3)．又∵A (－1，3)在抛物线y ＝ax (x －2)上，∴3＝－a ·(－1－2)，解得：a ＝1．…………………………… 2分 （2）设P (m ，m ＋4)，则C (m ，m 2－2m )． ∴PC ＝(m ＋4)－(m 2－2m )＝－m 2＋3m ＋4＝－(m －32)2＋254………………………………………… 5分∵(m －32)2≥0，∴－(m －32)2＋254≤254．∴当m ＝32时，PC 有最大值，最大值为254．……………………… 7分（3）P 1(2，6)，P 2(3，7)．……………………………………… 9分27．（本题9分）证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠AMG ＋∠AGM ＝90°．∵EF 为折痕，∴∠GME ＝∠C ＝90°， ∴∠AMG ＋∠BME ＝90°，∴∠AGM ＝∠BME ． ………………………………………………… 2分 在△AGM 与△BME 中， ∵∠A ＝∠B ，∠AGM ＝∠BME ，∴△AGM ∽△BME ． ………………………………………………… 3分 （2）∵M 为AB 中点，∴BM ＝AM ＝a2．设BE ＝x ，则ME ＝CE ＝a －x ． 在Rt △BME 中，∠B ＝90°，∴BM 2＋BE 2＝ME 2，即(a2)2＋x 2＝(a －x )2，∴x ＝38a ，∴BE ＝38a ，ME ＝58a ．由（1）知，△AGM ∽△BME ， ∴AG BM ＝GM ME ＝AM BE ＝43．∴AG ＝43BM ＝23a ，GM ＝43ME ＝56a ，∴AM 3＝AG 4＝MG5．…………………………………………………… 6分 （3）设BM ＝x ，则AM ＝a －x ，ME ＝CE ＝a －BE ． 在Rt △BME 中，∠B ＝90°，∴BM 2＋BE 2＝ME 2，即x 2＋BE 2＝(a －BE )2，解得：BE ＝a2－x 22a．由（1）知，△AGM ∽△BME ， ∴C △AGM C △BME ＝AM BE ＝2aa ＋x． ∵C △BME ＝BM ＋BE ＋ME ＝BM ＋BE ＋CE ＝BM ＋BC ＝a ＋x ， ∴C △AGM ＝C △BME ·AM BE＝(a ＋x )·2aa ＋x＝2a ．……………………… 9分南京市江宁区2015－2016学年第一学期期末考试九年级数学（满分：120分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．方程x (x＋2)=0的解是（ ▲ ）2．两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形的面积比是 （ ▲ ）3．如图，已知AB //CD //EF ，直线AF 与直线BE 相交于点O ，下列结论错误的是 （ ▲ ）4．已知A (－1，y 1 )，B (2，y 2 )是抛物线y=－(x ＋2)2＋3上的两点，则y 1，y 2的大小关系为 （ ▲ ）5．如图，小明为检验M 、N 、P 、Q 四点是否共圆，用尺规分别作了MN 、MQ 的垂直平分线交于点O ，则M 、N 、P 、Q 四点中，不一定．．．在以O 为圆心，OM 为半径的圆上的点是 （ ▲ ）6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 （ ▲ ）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．一组数据－2，－1，0，3，5的极差是 ▲ ．8．某车间生产的零件不合格的概率为11 000．如果每天从他们生产的零件中任取10个做试验，那么在大量的重复试验中，平均来说， ▲ 天会查出1个次品．9．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是 ▲ ．A ．－2B ．0，－2C ．0，2D ．无实数根A ．2：3B ．2：3C ．2：5D ．4：9A ．AD DF =BCCEB ．OA OC =OB ODC ．CD EF =OC OED ．OA OF =OB OEA ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 2A ．点MB ．点NC ．点PD ．点QA ．r ≥1B ．1≤r ≤5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤4（第3题）5题）（第6题）10．某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图统计表．根据表中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数为 ▲ 人．11．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠P =70°，则∠C 的度数为 ▲ °． 12．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AC 、GC 是两条对角线，则∠ACG ＝ ▲ °．13．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =2cm ，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长为 ▲ cm ．14．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为每平方米7800元，设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为 ▲ ．15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，∠A ＝130°，则扇形OBAD 的面积为 ▲ ． 16．某数学兴趣小组研究二次函数y =mx 2－2mx +1(m ≠0)的图像时发现：无论m 如何变化，该图像总经过两个定点（0，1）和（ ▲ ， ▲ ）．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（1）解方程：3x (x -2)=x -2 （2）x 2－4x －1＝018．（6分）如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度，如果标杆BE 长1.2m ，测得AB=1.6m ， BC=8.4m ，楼高CD 是多少？G FE D C B A H （第 12题）（第11题）（第15题）B19．（6分）赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m ，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）．20．（8分）一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上（包括6分）为合格，成绩达到9分为优秀．这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：（1）（2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出两条支持乙组学生观点的理由．21．（8分）一个不透明的袋子中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由转动的转盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小亮和小丽想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛．游戏规则为：一人从袋子中摸出一个小球，另一个人转动转盘，如果从袋中所摸球上的数字与转盘上转出数字之和小于4，那么小丽去，否则小亮去．（1）请用适当的方法求小丽参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且2x1·x2＝m2－3，求实数m的值．23．（7分）用40cm长的铁丝围成一个扇形，求此扇形面积的最大值．24．（8分）已知二次函数y=-x2+(m-1)x+m.(1)证明：不论m取何值，该函数图像与x轴总有公共点；(2)若该函数的图像与y轴交点于(0,3)，求出顶点坐标并画出该函数；(3)在(2)的条件下，观察图像，不等式-x2+(m-1)x+m>3的解集是▲ .25．（8分）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的15，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：5≈2.236）．26．（10分）如图①，A 、B 、C 、D 四点共圆，过点C 的切线CE ∥BD ，与AB 的延长线交于点E ． （1）求证：∠BAC =∠CAD ；（2）如图②，若AB 为⊙O 的直径，AD =6，AB =10，求CE 的长； （3）在（2）的条件下，连接BC ，求CBAC的值．图①图②27．（11分）如图①，已知抛物线C 1：()412-+=x a y 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1． （1）求点C的坐标及 a 的值；（2）如图②，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3．C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交CE 于点F．①求线段PF长的最大值；②若PE＝EF，求点P的坐标．图②九年级数学评分细则一、选择题（本大题共6二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7．7； 8．100； 9．14； 10．520； 11．55；12．45； 13．6； 14．8100(1-x )2=7800； 15．10π； 16．（2，1）三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（8分）（1）解：3x (x -2)-(x -2)=0……………………………………2分(3x -1)(x -2)=0……………………………………3分 ∴x 1=13，x 2=2………………………………………….…4分（2）解一：(x －2)2＝5…………………………………………………………2分x ＝±5+2 ……………………………………………………….…3分 ∴x 1=2+5，x 2=2-5………………………………………….…4分 解二：∵a ＝1，b ＝－4，c ＝－1∴b 2－4ac ＝20＞0（不写不扣分）……………………………………1分 ∴x ＝4± 202……………………………………………………3分∴x ＝2± 5∴x 1=2+5，x 2=2-5…………………………………………………………4分18．（6分）解法一：相似；∵EB ⊥AB ，DC ⊥AB ，∴EB ∥DC ，∴△AEB ∽△ADC ，-------------------------------------------------------2分 ∴EB DC =AB AC ，即1.2DC = 1.61.6+8.4，----------------------------------------------4分 ∴DC =7.5m ．-------------------------------------------------------------------6分解法二：三角函数；∵EB ⊥AB ，DC ⊥AB ，∴tan ∠A = EB AB = DCAC，-------------------------------------------------------3分 即1.21.6=DC 1.6+8.4，------------------------------------------------------4分 ∴DC =7.5m ．---------------------------------------------6分19．（6分）设半径为r ，圆心为O ，作OC ⊥AB ，垂足为点D ，交弧AB 于点C ，--------1分∴ AD =DB =18.7，CD 是拱高．在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OA 2=OD 2+ AD 2，即r 2=(r －7.2)2+18.72，-----------------4解得r ≈27.9 m ．因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m ．20．（8分）解：（1）甲组：中位数7； 乙组：平均数7；分)（2）（答案不唯一，写出两条即可）O①因为乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分，所以乙组学生的成绩好于甲组；②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；③因为乙组学生成绩的最低分高于甲组学生的最低分，所以乙组学生的成绩好于甲组．----------------------------------------------------------------------------------8分(每条2分) 21．（8分）解：（1）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，―――――――――2分 ∴P （和小于4）==，∴小丽参加比赛的概率为；―――――――――――4分（2）不公平．--------------------------------------------------------------------------------------5分∵P （小颖）=，P （小亮）=．∴P （和小于4）≠P （和大于等于4），--------------------------------------------------------6分 ∴游戏不公平；可改为：若两个数字之和小于5，则小丽去参赛；否则，小亮去参赛．――――――8分 (答案不唯一)22．（8分）解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝1－4m＞0，………………2分 即m＜14；………………3分（2）由根与系数的关系可知：x 1·x 2＝m ，………………4分∴2m ＝m 2－1， 整理得：m 2－2m －1＝0，…………5分 解得：m ＝1±2．…………7分 ∵m＜14∴ 所求m 的值为1- 2 ……………………………….8分23．（7分）解一：设半径为r ，弧长为l ，则40=2r + l ，---------------------------------1分∴l =40－2r ，------------------------------------------------------------------2分∴S 扇形=12lr =12r (40－2r ) -----------------------------------------------4分=－r 2+20r =－(r －10)2+100 -------------------------------------6分∴当半径为10时，扇形面积最大，最大值为100cm 2．-----------7分解二：设半径为r ，圆心角为n °，则40=2r +n πr180，---------------------------2分∴n =(40r －2)180π，------------------------------------------------------------3分∴S 扇形=n πr 2360 = 12 r 2(40r－2) -----------------------------------------------4分 =－r 2+20r =－(r －10)2+100 ---------------------------------------6分∴当半径为10时，扇形面积最大，最大值为100cm 2．---------------7分 24．（8分）解：（暂略）---------------8分 25．（8分）解一：设上、下边衬宽均为4xcm ，左、右边衬宽均为3xcm ， ----------1分则（40－8x ）（30－6x ）=45×40×30----------------------------------------------------------4分整理，得x 2﹣10x +5=0，解之得x ＝5±25 ----------------------------------------6分 ∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去），--------------------------------------------------------8分答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ．解二：设中央矩形的长为4xcm ，宽为3xcm ， ----------------------------------------1分则4x ×3x =45×40×30-----------------------------------------------------------------------4分解得x 1＝45，x 2＝－45（舍去）---------------------------------------------------6分∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15-65≈1.6，--------8分 答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 25．（10分）（1）解一：连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………1分 ∵BD ∥CE ,∴OC ⊥B D ．………………………2分 ∴OC 平分弧B D. ………………………………3分 ∴∠BAC =∠CA D. ………………………………4分 （2）连接OC ，∵AB 为直径，∴∠ADB =90°. ∴∠ADB =∠OCE =90°∵AD =6，AB =10，∴BD=8，OC=5， ∵BD ∥CE ,∴∠ABD =∠E ．∴△ABD ∽△OEC ………………………………6分∴AD OC =BD CE ,即 65= 8CE完美WORD 格式专业整理 知识分享 ∴CE = 203. ……………………………………7分 （3）∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∵∠ACO+∠OCB =∠OCB+∠BCE =90°，∴∠CAO=∠ACO =∠BCE∵∠E =∠E °，∴△CBE ∽△ACE ，即CB AC = CE AE…………………8分 ∵△ABD ∽△OEC ，∴ AD OC =AB OE ,∴OE = 253…………………9分 ∴CB AC = 203253+5 = 12. …………………………….…10分 27．（11分）解：（1）顶点C 为（－1，－4） ………………………………………1分∵点B （1，0）在抛物线C 1上，∴()41102-+=a ，解得，a ＝1 ………2分 （2）①∵C 2与C 1关于x 轴对称，∴抛物线C 2的表达式为()412++-=x y ……3分 抛物线C 3由C 2平移得到,∴抛物线C 3为()564322-+-=+--=x x x y ……4分 ∴E （5，0）设直线CE 的解析式为：y =kx +b ，则⎩⎨⎧－4=－k +b 0=5 k +b ，解得⎩⎨⎧k = 23 b =﹣103，…………………………………………………5分 ∴直线BC 的解析式为y =23x ﹣103， …………………………………………………6分 设P （x ，﹣x 2+6x ﹣5），则F （x ，23x ﹣103）， ∴PF =（﹣x 2+6x ﹣5∴当x =83时，PF ②若PE ＝EF ，∵ PF ∴﹣x 2+6x ﹣5＝－23x 解得x 1＝53，x 2＝5（舍去） ∴P （53，209）．………………………………………………………………………11分。
南京鼓楼区2016年高二数学下学期期中试卷理含答案
南京鼓楼区2016年高二数学下学期期中试卷（理含答案）高二数学(理科)参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差：s2=1ni=1n(xi－x-)2，其中x-＝1ni=1nxi.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．已知复数z＝1＋2i，则复数1z在复平面内对应的点位于第▲象限．2．某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的编号是▲．3．交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控，并从速度在50~90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有▲辆．4．已知如图是一位篮球运动员在6场比赛中得分的茎叶图，那么该组数据的方差为▲．5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．6．某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为▲分．7．某人射击1次，命中8～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环概率0.120.180.28则他射击1次，至少命中9环的概率为▲．8．在区间[－1，2]上随机取一个实数x，则x∈[0，1]的概率为▲．9．执行如图所示的伪代码，当输入a，b的值分别为1，3时，最后输出的a的值为▲．10．为了计算2×4×6×8×10的值，小明同学设计了一个正确的算法，流程图如图所示，只是判断框(菱形框)中的内容看不清了，那么判断框中的内容可以是▲．11．根据如图所示的流程图，若输入值x[0，3]，则输出值y的取值范围是▲．12．已知函数f0(x)=sinx+cosx，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，fn+1(x)=fn′(x)，…，其中n∈N，则f19(π3)=▲.13．对于非零实数a，b，c，以下四个命题都成立：①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；②若ab＝ac，则b＝c；③(a+b)c=ac+bc；④(ab)c=a(bc)；那么类比于此，对于非零向量→a，→b，→c，相应命题仍然成立的所有序号是▲．14．设函数f(x)=12x+2，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－2015)+f(－2014)+f(－2013)+…+f(2014)+f(2015)+f(2016)的值为▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z1满足z1i＝1＋i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2．(1)求z1；(2)复数z1z2是纯虚数时，比较｜z1｜与｜z2｜的大小．16．某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为100的学生成绩样本，得到频率分布表如下：组号分组频数频率第一组240.24第二组16②第三组①0.3第四组200.20第五组100.10合计1001.00(1)上表中①②位置的数据分别是多少？(2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况，该高校决定在这三个组中用分层抽样法抽取6名学生进行考察，这三个组参加考核的人数分别是多少？17.(1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)已知关于x的一元二次方程x2－2bx＋c2＝0，其中b 是从0、1、2、3四个数中随机取出的一个数，c是从0、1、2三个数中随机取出的一个数，求这个方程没有实根的概率．18．已知数列满足a1＝1，且9an+1an－2an+1－4an＋1＝0(n∈N*).(1)求a2，a3，a4的值；(2)求的通项公式．19．已知椭圆x2a¬2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，且过点A(0，1)，(1)求椭圆的方程；(2)过点A作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于点M，N(M，N不与点A重合)．直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，则请说明理由．20．已知函数f(x)=lnxx．(1)当e≤x≤e2时，求函数f(x)的最小值；(2)已知函数g(x)＝2x－ax(x－1)lnx，且f(x)g(x)≤0恒成立，求实数a的值；(3)某同学发现：存在正实数m、n(m＜n)，使mn=nm，试问：他的发现是否正确?若不正确，则请说明理由；若正确，则请直接写出m的取值范围，而不需要解答过程．高二数学(理科)参考答案和评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．四2．193．754．3255．166．27．0.38．139．5 10．I≤10或I11或I≤11或I12或I10.5，等11．[1，7]12．3－1213．①③14．10082二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)1－i；……………………………………………………………………………………6分(2)z2＝－2＋i，…………………………………………………………………………10分｜z1｜＝2，｜z2｜＝22，……………………………………………………………………………12分｜z1｜＜｜z2｜．…………………………………………………………………………14分16．(1)100－(16＋24＋20＋10)＝30或100×0.3=30，………………………………………3分1－(0.24＋0.3＋0.20＋0.10)＝0.16或16÷100=0.16；…………………………………6分(没有任何过程，最多得4分)(2)660＝0.1，………………………………………………………………………………8分30×0.1＝3，所以第三组参加考核的人数是3；………………………………………10分类似地，第四组，第五组参加考核的人数分别是2，1．……………………………14分17．(1)设事件A为“这2只球颜色不同”；-----……………………-----------------1分基本事件共6个：(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，(黄1,黄2)，事件A包含5个基本事件(白,红)，(白,黄1)，(白,黄2)，(红,黄1)，(红,黄2)，----4分因为每个基本事件发生的可能性都相同，----------------------5分所以，事件A发生的概率P(A)＝56．----------------------7分(2)设事件B为“方程x2－2bx＋c2＝0无实根”；------------------……………---8分当Δ＝4b2－4c2＝4(b2－c2)＜0，即b＜c时，方程x2－2bx＋c2＝0无实根．基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示b的取值，第二个数表示c的取值．--…………--4分事件B包含3个基本事件(0,1)，(0,2)，(1,2)，--…………………………………---11分因为每个基本事件发生的可能性都相同，----------------------12分所以事件B发生的概率P(A)＝312＝14．----------------------14分(第(1)小题，有一点过程且结果正确，得7分；第(2)小题，至少交待清楚三个数据12，3和14的由来才能得7分)18．(1)由9an+1an－2an+1－4an＋1＝0，得an＋1＝4an －19an－2，求得a2＝37，a3＝513，a4＝719.……………………………………………………………6分(2)猜想an＝2n－16n－5.证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立．………………………………………………8分②假设当n＝k时(k∈N＋)时，结论成立，即ak＝2k－16k－5，……………………………10分则当n＝k＋1时，有ak＋1＝4ak－19ak－2＝42k－16k－5－192k－16k－5－2＝2k＋16k＋1＝2（k＋1）－16（k ＋1）－5，所以当n＝k＋1时猜想也成立． (15)分综合①②，结论对任何n∈N*都成立．………………………………………………16分19．(1)x23＋y²＝1；……………………………………………………………………………4分(2)解法一因为M，N不与点B重合，所以直线AM的斜率存在，且不为零．………………5分设AM的斜率为k，则AN的斜率为－1k．直线AM方程：y=kx+1，直线AN方程：y=－1kx+1．将AM方程代入椭圆，整理：(3k²+1)x²+6kx=0．………………………………………7分则点M横坐标xM=－6k3k²+1，纵坐标yM=1－3k²3k²+1． (9)分用－1k替换k可得点N横坐标xN=6kk²+3，纵坐标yN=k²－3k²+3．..............................12分直线MN方程：y=k²－14kx－12．............................................................15分由此，可知，过定点(0，－12)． (16)分解法二设直线MN方程为y=kx+m，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得m=－12．20．(1)f(x)定义域为(0，+∞)，f′(x)＝1－lnxx2．令f'(x)＝1－lnxx2＝0，则x=e．列表如下：x(0，e)e(e，+∞)f'(x)＋0－f(x)↗1e↘所以f(x)在区间(e，+∞)上单调减．当e≤x≤e2时，函数f(x)单调减，所以，函数f(x)的最小值为f(e2)=2e－2．…4分(2)f(x)g(x)≤0恒成立，即2lnx－ax＋a≤0在x0时恒成立．令h(x)=f(x)g(x)，则h′(x)＝2－axx，x0.若a≤0，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a0，当x∈(0，2a)时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈(2a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)单调递减.………………………………………6分所以，若a≤0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8分若a2，则当x∈(2a，1)时，f(x)单调递减，f(x)f(1)＝0，不合题意，………………10分若0a2，则当x∈(1，2a)时，f(x)单调递增，f(x)f(1)＝0，不合题意，……………12分若a＝2，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0符合题意.故a＝2．…………………………………………………………………………………14分(3)正确，m的取值范围是1＜m＜e．…………………………………………16分理由如下，研究函数图像，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减．又∵当x→+∞时，f(x)→0．∴总存在正实数m，n且1＜m＜e＜n，使得f(m)=f(n)，即lnmm=lnnn，即mn=nm．。
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高二（上）期中试卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.不需要写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．圆心为(1，1)，且经过点(2,2)的圆的方程是 .
2．命题“∃x ∈[－1，1]，x 2－3x ＋1＜0”的否定是 .
3．双曲线1542
2=-y x 的焦点坐标是 .
4．过点（2，－2）开口向右的抛物线的标准方程是 ．
5．已知空间直角坐标系中，A （1,0,2），B （1，－3,1），点 M 在 y 轴上且到点A ，点 B 的距离相等，则点 M 坐标为 .
6．若点（－2，t ）在直线 2x －3y ＋6＝0 的上方，则 t 的取值范围是 .
7．已知∆ABC 和∆DEF ，则“这两个三角形全等”是“这两个三角形面积相等” 的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分 也不必要”）
8. 已知椭圆的两个焦点分别是点 F 1（－1，0），F 2（1，0），P 为椭圆上一点，且 F 1F 2 是 PF 1 和 PF 2 的等差中项，则该椭圆方程是 .
10．双曲线焦点在坐标轴上，两条渐近线方程为 2x ±y ＝0，那么它的离心率是
11．圆 x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0 上的点到直线 3x ＋4y ＋k ＝0 的距离的最小值大于 2，则实数 k 的取值范围是 .
12．如果椭圆19
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2=+y x 的弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4， 动点 P 在直线 2x ＋3y －b ＝0 上，过 P 分别作圆 O ，O 1 的切线，切点分别为 A ， B ，若满足 PB ＝2PA 的点 P 有且只有两个，则实数 b 的取值范围是 .
14已知命题 p ：“直线 y ＝x ＋k 与圆 x 2＋y 2
＝2 有公共点”，命题 q ：“方程122
2=--k y k x 表示双曲线”.
（1）已知 p 是真命题，求实数 k 的取值范围；
（2）已知“p ∧q ”是真命题，求实数 k 的取值范围.
15. （本题满分 14 分）
（1）已知点 A （－2，－5），B （6，－1），求以线段 AB 为直径的圆的方程；
（2）求圆心在直线 y ＝－x 上，且过两点 A （2，0），B （0，－4）的圆的方程.
16. （本题满分 14 分）
已知圆 C 的方程为x 2＋y 2＝4.
（1）求过点 P （－1，2）与圆相切的直线 l 的方程；
（2）直线 m 过点 P （－1，2），与圆 C 交于 A,B 两点，且 AB ＝32，求直 线 m 的方程.
19. （本题满分 16 分）
已知椭圆 M ：)0(122
22 b a b
y a x =+离为21，一个焦点到相应准线的距离为3，过点 A （0,2）且斜率为 k （k ＞0）的直线 l 与椭圆有且只有一个公共 点，l 与 x 轴交于点 B.
（1）求椭圆 M 的方程和直线 l 的方程；
（2）圆 N 的圆心在 x 轴上，且与直线 l 相切于点 A ，试在圆 N 上求一点 P ，,使 PB ＝3PA.
20. （本题满分 16 分）
如图，已知椭圆 O ：13
22=+y x 的右顶点为 A ，上顶点和下顶点分别是点 B 和 C ，点 P 是直线 l ：y ＝－2 上的一个动点（P 不在 y 轴上），直线 PC 交椭圆 于另一点 M.
（1）当直线 PM 过点 A 时，求∆ABP 的面积；
（2）求证：∆MBP 为直角三角形；
（3）椭圆 O 关于直线 AB 的对称图形是曲线 E ，求曲线 E 的方程，并直 接写出曲线 E 的横坐标的取值范围.。