具有饱和接触率的SIRS传染病模型的周期解
带输入项的SIR传染病扩散模型的行波解
结果分析：通过对数值模拟和实 验验证的结果进行分析，得出SIR 传染病扩散模型的行波解的存在
性结论
稳定性定理：SIR传染病扩散模型的行波解在特定条件下是稳定的
证明方法：通过数学分析、数值模拟和实验验证等方法进行稳定性证明
稳定性条件：满足特定参数条件和边界条件时，行波解是稳定的 稳定性分析：通过稳定性分析，可以预测传染病的传播速度和范围，为防控工作提供依 据
模型假设：SIR模型假设了传染病的传播速度是恒定的，但实际上传染病的传播速度可 能会受到多种因素的影响，如人口密度、交通状况等。
模型参数：SIR模型需要知道传染病的传播速度、恢复速度和感染率等参数，但这些参 数在实际中往往难以准确估计。
模型适用范围：SIR模型适用于传染病的早期阶段，当传染病已经广泛传播时，模型的 预测结果可能会与实际情况有较大偏差。
提高传染病防控的科学性 和有效性
生态学中的应用：预测物种灭绝、生物多样性变化等 经济学中的应用：预测市场波动、经济危机等 环境科学中的应用：预测环境污染、气候变化等 社会学中的应用：预测社会问题、社会变革等
在生态学中，可以用来研 究物种的迁移和扩散
在社会学中，可以用来研 究人口流动和社会现象
在经济学中，可以用来研 究商品价格波动和金融市
存在性定理：SIR传染 病扩散模型的行波解存
在
稳定性理论：通过分析 系统的稳定性，证明行
波解的存在
证明方法：利用微分方 程的稳定性理论进行证
明
证明步骤：首先建立 微分方程模型，然后 分析系统的稳定性，
最后得出结论
数值模拟：通过计算机模拟SIR传 染病扩散模型的行波解，验证其
存在性
实验验证：通过实际实验，验证 SIR传染病扩散模型的行波解的存
具有连续接种和治疗的SIRS传染病模型的全局稳定性
具有连续接种和治疗的SIRS传染病模型的全局稳定性虞秀丽【摘要】SIRS epidemic model with standard incidence rate,vertical transmission,continuous vaccination and continuous treatment are established and analyzed. By using Routh-Hurwitz criterion, LaSalle invariant set principle and generalized Bendixson-Dulac theorem, the threshold conditions which guarantee the global asymptotic stable disease-free equilibrium and endemic equilibrium of the SIRS epidemic model is obtained. By comparing the effectiveness of two control strategies,using vaccination and treatment concurrently is superior to only one for eradicating the disease.%建立并分析了一类具有标准发生率、垂直传染、连续接种和治疗的 SIRS 传染病模型。
综合运用 Routh-Hurwitz判据、LaSalle不变集原理和广义Bendixson-Dulac定理，获得了保证SIRS传染病模型的无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性的阀值条件。
通过比较两种控制策略的有效性，说明同时使用接种和治疗两种策略比单独应用一种更有效。
【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】4页(P287-290)【关键词】SIRS传染病模型;连续接种和治疗;无病平衡点;地方病平衡点;全局稳定性【作者】虞秀丽【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132033【正文语种】中文【中图分类】O175.11 引言最近10年来，关于传染病模型已有不少研究成果(参见文献[1-6]).文献[7]讨论了指数输入的SISV预防接种模型，利用常微分方程定性与稳定性方法，获得了无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性的充分性条件;文献[8]考虑了具有连续和脉冲预防接种的SIRS传染病模型，应用常微分方程和脉冲微分方程理论，证明了无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定性以及无病周期解的存在性与全局渐近稳定性，但考虑垂直传染和比较分析的较少.据此，本文考虑标准发生率和垂直传染情况，研究具有连续预防接种和治疗的SIRS传染病模型:其中:S是易感者类;I是染病者类;R是接种者类;A是自然出生率系数;β表示传染率系数;γ表示染病者的治愈率且治愈后不具有免疫能力;ν表示易感者被接种率;0≤q≤1是垂直传染率;qαI和(1－q)αI分别为转移到染病者和易感者的那部分新生儿的数量;δ表示被接种者的免疫失去率;α为因病死亡率;μ为自然死亡率;总人口N=S+I+R.将模型(1)各式相加得N'=(A－μ)N.作归一化变换:相应地，x，y，z分别表示易感者类、染病者类和接种者类在总人口中所占的比例，则有系统由变换知x+y+z=1，易见域Ω ={(x，y，z)∈ℝ3:x＞ 0，y≥0，z＞ 0，x+y+z=1}为系统(2)的正向不变集和最终有界区域.2 预备引理定义基本再生数引理1 系统(2)存在一个无病平衡点E0=E0(x0，0，z0)∈Ω;当R0＞1时，还存在唯一的地方病平衡点 Ee=Ee(xe，ye，ze)∈ Ω，其中:由系统(2)的右端函数 fi(x，y，z)=0(i=1，2，3)，易于获得引理1的结论，从略. 为着以下证明，现引入广义Bendixson-Dulac定理作为本文引理.引理2[9] 设f:ℝ3→ℝ3是一个Lipschitz连续的向量场，Γ(t)是有向光滑曲面S⊂ℝ3的边界曲线，它是闭的、分段光滑的.若g:ℝ3→ℝ3在S的某邻域光滑，且对一切t满足g(Γ(t))·f(Γ(t))≤0(≥0)，(Curl g)·n≥0(≤0)(在S上)，而且在S上有一些点满足(Curl g)·n＞0(＜0)，这里n是曲面S上的单位法向量，则Γ(t)不可能由系统x'=f(x)的轨线组成，Γ(t)的方向与n成右手系.利用引理2可以证明如下的结论:引理3 系统(2)在域Ω内不存在周期解、同宿闭轨和异宿闭轨.证明:记 f={f1，f2，f3}，r={x，y，z}，曲面 x+y+z=1 的法向量 n={1，1，1}，以及其中易知在Ω0=Ω\∂Ω内有g·f=0.直接计算可知，在Ω0内有由引理2知，在Ω0内系统(2)不存在周期解.又因为域Ω是系统(2)的正向不变集，且x'(0，y，z)=A+(γ+α－αq)y+δz＞0，所以Ω的边界线∂Ω不是闭轨.因此，在Ω0内系统(2)不存在周期解、包含平衡点的同宿闭轨和边界线∂Ω的异宿闭轨.证毕.3 全局稳定性定理1 当R0≤1时，系统(2)的无病平衡点E0在域Ω上为全局渐近稳定的;当R0＞1时，无病平衡点E0为不稳定的.证明:系统(2)在无病平衡点E0(x0，0，z0)处Jacobian矩阵的特征方程为由于判别式Δ=(δ+ν+2A)2－4A(δ+ν+A)=(δ+ν)2，所以特征根为当R0＞1时，由λ3＞0知无病平衡点E0是不稳定的;当R0＜1时，由λi＜0(i=1，2，3)知无病平衡点E0是局部渐近稳定的;当R0=1时，由λ3=0知无病平衡点E0是高阶奇点.为讨论当R0=1时无病平衡点E0的稳定性，由x+y+z=1，将系统(2)改写为等价系统:可见，域D={(x，y)∈ℝ2:x＞0，y≥0，x+y＜1}为系统(3)的正向不变集.相应地，系统(2)的无病平衡点E0化为系统(3)的无病平衡点¯E0(x0，0).对系统(3)作平移变换:u=y，v=x－x0，将其化为系统:对系统(4)作自变数变换:dt=(A+δ+ν)dτ，将系统(3)化为如下等价系统:为了从方程－v+Ψ(u，v)=0中解出v=v(u)，令代入方程－v+Ψ(u，v)=0得对式(6)和(7)进行比较，得其中ο(u)表示u的次数高于一次的和.将式(8)代入系统(5)的第1个方程，得其中ο(u2)表示u的次数高于二次的和.由文献[10]中定理4.10知，系统(5)的相轨线在区域D内逼近于(x0，0).于是，当R0=1时，系统(2)在域Ω内的无病平衡点E0是局部渐近稳定的.综上讨论，当R0≤1时，系统(2)在域Ω内存在唯一的无病平衡点E0且为局部渐近稳定的.由于Ω是紧的正向不变集，又由引理3知系统(2)在Ω内不存在周期闭轨和包含平衡点的同宿闭轨，所以系统(2)从Ω内出发的轨线的ω极限集只能是唯一的无病平衡点E0.因此，当R0≤1时，系统(2)的无病平衡点E0在域Ω内为全局渐近稳定的.证毕.定理2 当R0＞1时，系统(2)的地方病平衡点Ee在域Ω内为全局渐近稳定的.证明:系统(2)在地方病平衡点Ee(xe，ye，ze)(R0＞1)处Jacobian矩阵的特征方程为其中:皆为正数，并且根据Routh-Hurwitz判据[10]知，特征方程所有根均具有负实部，故Ee是局部渐近稳定的.由于Ω为紧的正向不变集，当R0＞1时，系统(2)在域Ω内仅存在无病平衡点E0和地方病平衡点Ee，由定理1知E0是不稳定的，所以由引理3知不存在包含无病平衡点E0的同宿闭轨，从E0的邻域出发的轨线最终都要离开该邻域;又由Ee 的局部渐近稳定性和引理3知，系统(2)在Ω内不存在周期轨和包含Ee的同宿闭轨以及包含E0，Ee的异宿闭轨.因此，当R0＞1时，系统(2)的地方病平衡点Ee 在域Ω内部Ω0为全局渐近稳定的.证毕.4 结论本文所考虑的具有连续接种和治疗的SIRS传染病模型具有一般性.由系统(2)知R0=1是疾病消除与否的阀值条件.记垂直传染率q的临界值为若q≤qc，则R0≤1，由定理1知系统(2)的无病平衡点E0是全局渐近稳定的.在下面的两种情况下，记基本再生数分别为于是，由定理1可获得如下结论:ⅰ)考虑只有治疗(γ ＞0，ν=0)，如果γ ＞β－(A+α －αq) γc，那么R01＜1，相应地系统的无病平衡点为全局渐近稳定的.ⅱ)考虑只有预防接种(γ=0，ν＞0)，如果相应地系统的无病平衡点为全局渐近稳定的.由可知，当免疫失去率δ大于因病死亡率α时，即ν＞γ，要使疾病根除，需要治疗的cc比例小于接种的比例，说明采用预防接种要优于治疗的效果;当免疫失去率δ远小于因病死亡率α时，即νc＜γc，要使疾病灭绝，需要接种的比例小于治疗的比例，说明此时治疗策略对控制疾病比接种策略更为有效.当治疗和接种两种策略同时存在时，由R0＜R01，R0＜R02知，同时采用预防接种和治疗两种策略要比单独应用一种策略更能有效控制疾病.总之，在有垂直传染和因病死亡率的情况下，如果没有治疗措施，则必须加大预防接种率，同时使用两种控制策略比单独应用一种策略更为有效. 参考文献:【相关文献】[1]WangWendi.Backward Bifurcation of an Epidemic ModelwithTreatment[J].Mathematical Biosciences，2006，201:58-71.[2]Naoki Yoshida，Tadayuki Hara.Global Stability of a Delayed SIR Epidemic Model with Density Dependent Birth and Death Rates[J].Computational and Applied Mathematics，2007，201:339-347.[3]Cui Jingam，Mu Xiaoxia，Wan Hui.Saturation Recovery Leads to Multiple Endemic Equilibria and Backward Bifurcation[J].Journal of Theoretical Biology，2008，254:275-283.[4]Zhang Xu，Liu Xianning.Backward Bifurcation of an Epidemic Model with Saturated Treatment Function[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，348:433-443.[5]唐晓明，薛亚奎.具有饱和治疗函数与密度制约的SIS传染病模型的后向分支[J].数学的实践与认识，2010，40(24):241-246.[6]朱玑，李维德，朱凌峰.基于SIR传染病模型的不同控制策略比较[J].北华大学学报:自然科学版，2011，12(3):265-269.[7]Jianquan Li，Zhien Ma.Qualitative Analyses of Sisepidemic Model with Vaccination and Varying Total Population Size[J].Math Computer Modelling，2002，35:1235-1243.[8]靳桢，马知恩.具有连续和脉冲预防接种的SIRS传染病模型[J].华北工学院学报，2003，24(4):235-243.[9]马知恩，周义仓，王稳地，等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社，2004.[10]马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京:科学出版社，2001.。
一类具有非线性传染率、隔离率的SIRS传染病模型解的存在性研究
一类具有非线性传染率、隔离率的SIRS传染病模型解的存在性研究高宏伟;郝祥晖;陈清江【摘要】One of study focuses in applied mathematics is the mathematical model of infection-age dependence which is more appropriate for infections diseases with long infection -age such as AIDs, etc, since the incidence rate is dependent on infection-age. The model consists of combined system of ordinary and partial differential equations. The existence and uniqueness of solution to the system have been taken with theoretical significance and applicable value. In the present paper, an SIRS epidemic model with general nonlinear contact rate, general screening rate and infection-age dependence is first formulated. Then, by using the mathematical methods of Bellman-Gronwall lemma, the fixed point theorem, the extension thoerem, and so on, the existence and uniqueness of the globally non-negative solultion are discussed.%染病年龄结构数学模型已经成为应用数学领域的研究热点之一.染病年龄的引入使传染率依赖于染病年龄,这样所建立的模型更适合染病期较长的疾病,如AIDS等.在形式上,这类模型是常微分方程和偏微分方程相结合的微分方程组.对这类模型非负解存在性及惟一性研究具有重要的理论意义和应用价值,正被广大学者关注.建立了具有一般非线性接触率、一般非线性隔离率及染病年龄结构SIRS传染病模型并综合运用Bellman - Gronwall引理、不动点定理及解的延拓定理等多种数学方法证明模型全局非负解的存在性及惟一性.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)004【总页数】8页(P482-489)【关键词】隔离率;接触率;SIRS传染病模型;染病年龄【作者】高宏伟;郝祥晖;陈清江【作者单位】榆林学院数学系,陕西榆林719000;济源职业技术学院基础部,河南济源454650;西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055【正文语种】中文【中图分类】O175传染病不断发生和再发生给人类带来了深重的灾难，它已严重地危害了人类的生命安全和阻碍了社会经济的发展.一直以来人类采用多种方法与各种各样的传染病进行着不屈不挠的斗争，而建立数学模型并对其定性或定量的研究无疑是其中最重要的方法之一.近几十年来，国际上对传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题［1-16］.一般的传染病模型总是假设所有的染病者在整个患病期内具有相同的传染率.这个假设在研究流感或性传播疾病(如淋病)等传染病是合理的.但对于染病期较长(相对于染病者的年龄)的传染病，变化的传染率能更准确地刻画传染病的传播规律及预测传染病在人群中的传播趋势.随着人们对传染病数学模型研究的不断深入，一种特殊的年龄结构——染病年龄(染病者从感染某种疾病时起到当前时刻所经历的时间)结构已经受到国内外专家和学者的广泛关注［1-8］.H.R.Thieme等［1］假设传染率及潜伏期依赖于染病年龄，考虑一类饱和接触率，建立了一类反应HIV病毒在同性人群中传播规律的HIA模型.M.Y.Kim等［2］建立了一类具有隔离和变化传染率的染病年龄结构SIR 模型，讨论了非负解的存在性及惟一性.然后，M.Y.Kim［3］又讨论了平衡点的存在性及渐近稳定性.C.M.Kribs-Zaleta等［4］建立了一类新的具有急性和慢性传染阶段、变化传染率及变化恢复率的染病年龄结构模型，研究了平衡点的稳定性并且得到了后向分歧的存在条件.H.Inaba等［5］建立了一类反映查更斯疾病传播规律的染病年龄结构模型，证明了平衡点的稳定性.J.Li等［6］建立了一类在宿主中病原体能够变异产生一个二次感染病毒株的染病年龄结构模型，讨论了平衡点的稳定性并得到了Hopf分歧的存在条件.文献［8］考虑到宣传教育对疾病控制的重要意义而建立了一类具有双线性传染率的染病年龄结构模型，证明了无病平衡点的全局渐近稳定性及惟一的地方病平衡点的局部渐近稳定性.在这类模型中，感染者在染病期内的传染力依赖于其染病年龄，从而使模型更适合于一些染病期较长的疾病，如HIV等.从数学的角度讲，染病年龄的引入改变了常微分方程模型的结构，从而使模型具有更丰富的数学结果.本文在文献［9］的基础上，建立一类具有一般非线性接触率、一般非线性隔离函数及染病年龄结构的SIRS传染病模型.然后在平凡假设条件下证明了全局非负解的存在惟一性.1 模型的建立J.Mena-Lorca等［9］将总人口分成易感者类、感染者类及移出者类，考虑具有常数输入和因病死亡，建立了如下具有双线性传染率的SIRS模型其中，Λ为人口的常数输入率，μ为自然死亡率常数，α为因病死亡率常数，ε为恢复率常数，δ为免疫失去率常数，β为传染率常数.显然，模型(1)没有考虑染病年龄结构及隔离情形，而且其接触率是线性的.设τ为染病年龄，i(t，τ)为t时刻染病年龄为τ的感染者数量，则t时刻所有感染者的总数为进一步地，设因病死亡率常数α，恢复率常数ε及传染率常数β均依赖于染病年龄，即因病死亡率、恢复率及传染率随着染病年龄的变化而变化，分别记为α(τ)、ε(τ)及β(τ)，则t时刻被治愈的个体的数量为设接触率为一个仅依赖于S、I及R的非线性非负函数，记为C(S，I，R)，则t时刻新被感染的人数为同时假设隔离函数σ也为仅依赖于S、I及R的非线性非负函数，则t时刻被隔离的染病年龄为τ的染病者的数量为根据上面的假设模型(1)可转化为如下具有染病年龄结构SIRS传染病模型为研究模型(2)的非负解的存在性，对其中的参数作如下基本假设：接触率σ、C为R3上非负连续可微函数，且∞)×［0，∞)×［0，∞));α(·)、γ(·)、β(·)为Banach 空间L∞［0，∞)中的非负函数;‖·‖1为Banach空间L1［0，∞)的范数，‖·‖∞为Banach空间L∞［0，∞)的范数，L1+［0，∞)为Banach空间L1［0，∞)的正锥，C+［0，∞］为Banach空间C［0，∞］的正锥;η(·)∈L1+［0，∞).2 全局非负解的存在性及惟一性其中，B(t)为t时刻各个年龄阶段的患者新感染的病人总数.对(2)式中第2个方程沿着特征线t=τ积分可得为方便起见，令将(3)式代入到(2)式，得(2)式的等价系统其中定理1 对于任意的∞)，则存在常数T＞0使得系统(2)在区间［0，T)上存在惟一的非负解.证明类似于文献［2］中的讨论可知，对任意的T＞0及(S，I，R)∈(C+［0，T］)3(其中C+［0，T］为连续函数空间C［0，T］的正锥)，方程(5)存在一个非负解，记之为H(S，I，R)(t).将H(S，I，R)(t)代入到(4)式得定义算子S，I，R：(C+［0，T］)3→C+［0，T］分别为不难看出S(t)，I(t)，R(t)≥0是(2)式在［0，T］上的解当且仅当(S，I，R)∈(C+［0，T］)3是算子 F：(C+［0，T］)3→(C+［0，T］)3，F(S，I，R)= (S(S，I，R)，I(S，I，R)，R(S，I，R))的不动点.不失一般性，设S0+I0+R0≠0，其中再设为Banach空间(C［0，T］)3的范数，其中记OT，r为Banach空间(C+［0，T］)3中以(S0，I0，R0)为球心，以r≤(S0+I0+R0)/2为半径的闭球.容易验证，对任意的(S，I，R)∈OT，r有由(5)式不难得到其中利用Bellman-Gronwall引理可得其中下面证明存在某个T＞0使得F映OT，r到其自身.事实上其中显然，当T充分小时，F映OT，r到OT，r.下证F为压缩映射.对任意的t∈［0，T］，(Sj，Ij，Rj)∈OT，r，j= 1，2，令由算子S、I、R不难得到为得到δi(i=1，2，3)的估计，令显然有为讨论方便，记不难得到其中，▽为梯度算子容易验证从而对任意的t∈［0，T］有其中进一步从而可知，当T充分小时，F为QT，r上的压缩映射.综上，存在正常数T，使得(2)式在［0，T］上存在惟一的非负解.事实上，可将(2)式在［0，T］上存在惟一的非负解延拓到［0，∞).从而(2)式存在惟一的全局非负解.由于篇幅限制，本文仅提供证明思路.证明思路：由定理1的证明，不妨设系统(2)满足的解的存在区间为［0，T］，其中T为初值的连续函数，记为T(S0，I0，R0).参照文献［2］中的证明，不难定义正常数T*＜T(S0，I0，R0)使得系统(2)的解可以延拓到［kT*，(k+1)T*］，其中，k为任意自然数.从而得证.3 结语本文建立了一类新的具有一般非线性接触率及隔离的染病年龄结构SIRS传染病模型，证明了全局非负解的存在惟一性.本文所考虑的模型及所得的结论可视为文献［2］中相关模型及结论的推广.参考文献［1］Thieme H R，Castillo-Chavez C.How may infection-age-dependent infectivity affect the dynamics of HIV/AIDS?［J］.SIAM J Appl Math，1993，53(5)：1447-1479.［2］Kim M Y，Milner F A.A mathematical model of epidemics with screening and variable infectivity［J］.Math Comput Modelling，1995，21(7)：29-42.［3］Kim M Y.Existence of steady state solutions to an epidemic modelwith screening and their asymptotic stability［J］.Appl Math Comput，1996，74(1)：37-58.［4］Kribs-Zaleta C M，Martcheva M.Vaccination strategies and backward bifurcation in an age-since-infection structured model［J］.Math Biosci，2002，177/178(2)：317-332.［5］Inaba H，Sekine H.A mathematical model for Chagas disease with infection-age-dependent infectivity［J］.Math Biosci，2004，190(4)：39-69.［6］Li J，Zhou Y C，Ma Z Z，et al.Epidemiological models for mutatingpathogens［J］.SIAM J Appl Math，2004，65(1)：1-23.［7］徐文雄，Castillo-Chavez C.一类微分-积分模型解的存在惟一性［J］.工程数学学报，1998，15(2)：108-112.［8］徐文雄，张仲华.年龄结构SIR流行病传播数学模型渐近分析［J］.西安交通大学学报，2003，37(10)：1086-1089.［9］Mena-Lorca J，Hethcote H W.Dynamic models of infectious diseases as regulators of population sizes［J］.J Math Biol，1992，30 (7)：693-716. ［10］Greenhalgh D.Threshold and stability results for an epidemic model with an age-structured meeting rate［J］.Math Med Biol，1985，5(2)：81-100.［11］Chiu A Y，Zhai P，Dal Canto M C.Age-dependence penetrance of disease in a transgenic mouse model of familial amyotrophic lateral sclerosis［J］.Molecular and Cellular Neuroscience，1995，6(4)：349-362. ［12］He Z R，Wang H T.Control problems of an age-dependent predator-prey system［J］.Appl Math J Chin Univ，2009，B24 (3)：253-262.［13］Pollock K H.Capture-recapture model allowing for age-dependent survival and capture rates［J］.Biometrics，1981，37：521-529.［14］Allen L J S，Thrasher D B.The effects of vaccination in an age-dependent model for varicella and herpes zoster［J］.IEEE Trans Auto 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具有饱和发生率的SIRS传染病模型的稳定性_崔倩倩
ＳＩＲＳ 型 传 染 病 模 型 如 下 ：
烄ｄＳｄｔ（ｔ）＝ａＡ－１β＋ＳαＩＩ＋δＲ－ｄＳ， 烅ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｂＡ＋１β＋ＳαＩＩ－（μ＋γ＋ｄ）Ｉ， 烆ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｃＡ＋γＩ－（δ＋ｄ）Ｒ，
（２）
式（２）中：１β＋ＳαＩＩ为染病者的饱和发生率，ｄ 为自然死
亡率系数，μ 为因病 死 亡 率 系 数，γ 为 恢 复 率 系 数，δ 为失去免疫率系数，且 这 里 假 设 参 数 ｄ、μ、δ、Ａ、β、γ 都 是 正 整 数 ，分 别 具 有 一 定 的 生 态 意 义 。
地方病平衡点Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ）在βＡ／［ｄ（１＋αＩ＊ ）（μ＋ γ＋ｄ）］≤１条件下是全局渐近稳定的。
定理２得证。
４ 结语
１）本 文 研 究 了 一 类 各 类 都 具 有 常 数 输 入 且 具 有 饱和发生率 的 ＳＩＲＳ 传 染 病 模 型，由 于 各 类 都 具 有 常数输入，因此模型（２）总 存 在 地 方 病 平 衡 点，不 存 在 无 病 平 衡 点 ，即 当 感 染 者 具 有 人 口 输 入 时 ，此 类 疾 病在本地区一直 存 在，成 为 流 行 病，无 法 消 除，且 当
衡 点 ，只 存 在 相 应 于 疾 病 流 行 的 地 方 病 平 衡 点 ，可 记
为 Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ）。
定理１：模型 （２）不 存 在 无 病 平 衡 点，总 存 在 地
方病平衡点 Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ），其中
Ｓ＊
＝
（１＋ａＩ＊
）（（μ＋γ＋ｄ）Ｉ＊ βＩ＊
－ｂＡ），
Ｒ＊ ＝ｃＡδ＋＋γｄＩ＊ ，且Ｉ＊ 是方程［－δ（μ＋ｄ）－
证明：由于地方病平衡点 Ｅ＊ （Ｓ＊ ，Ｉ＊ ，Ｒ＊ ）满 足 方 程 （４），则 模 型 （２）等 价 于 下 面 模 型
具有饱和发生率的SIRS传染病模型的稳定性_崔倩倩
第 ３１ 卷 第 ６ 期 ２０１３ 年 １２ 月
石 河 子 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｉｈｅｚｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
文 章 编 号 ：１００７－７３８３（２０１３）０６－０７８９－０３
１＋αＩ＊ βＩ＊
［（１＋αＩ）β（Ｓ１＋αＩ＊
）－（μ＋γ＋ｄ）］（Ｉ－Ｉ＊
）２＋
（Ｓ－Ｓ＊ ）（Ｉ－Ｉ＊ ）＋（Ｉ－Ｉ＊ ）（Ｒ－Ｒ＊ ）－（δ＋ｄ）（Ｒ－ γ
Ｒ＊ ）２－２（μｄ＋２ｄ）（Ｓ－Ｓ＊ ＋Ｒ－Ｒ＊ ）２－
μμ＋＋２ｄｄ）（Ｉ－Ｉ＊ ）２－（Ｓ－Ｓ＊ ＋Ｒ－Ｒ＊ ）（Ｉ－Ｉ＊ ）≤
１＋αＩ＊ βＩ＊
Ｖｏｌ．３１ Ｎｏ．６ Ｄｅｃ．２０１３
具有饱和发生率的 ＳＩＲＳ 传染病模型的稳定性
崔 倩 倩 ，张 强 ，杨 霞
（石河子大学理学院，石河子 ８３２００３）
摘要：研究了一类饱和发生率且各类都具有常数输入的 ＳＩＲＳ 型传染病模型，通过构造合适的 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，在一 定条件下得到了模型地方病平衡点的全局渐近稳定性。 关键词：饱和发生率；渐近稳定性；Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数 中 图 分 类 号 ：Ｏ１７５．１ 文 献 标 志 码 ：Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
ＳＩＲＳ 型 传 染 病 模 型 如 下 ：
烄ｄＳｄｔ（ｔ）＝ａＡ－１β＋ＳαＩＩ＋δＲ－ｄＳ， 烅ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｂＡ＋１β＋ＳαＩＩ－（μ＋γ＋ｄ）Ｉ， 烆ｄＳｄｔ（ｔ）＝ｃＡ＋γＩ－（δ＋ｄ）Ｒ，
（２）
式（２）中：１β＋ＳαＩＩ为染病者的饱和发生率，ｄ 为自然死
具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略
具有饱和接触率的 SIQRS预防接种模型的控制策略赵明;吕显瑞【摘要】A SIQRS epidemic model with saturating contact rate, isolation term and impulsive vaccination was established and analyzed. By means of Floquet theorem, impulsive differential inequality and limit system theory,the global asymptotic stable threshold conditions of disease-free periodic solution in the SIQRS epidemic model were paring the effectiveness of the two control strategies of impulsive vaccination and isolation shows that using the two strategies concurrently is superior to only one strategy for eradicating the disease.%建立并分析一类具有饱和接触率、隔离项和脉冲预防接种的 SIQRS 传染病模型。
通过综合运用 Floquet 定理、脉冲微分不等式和极限系统理论，获得了保证 SIQRS 传染病模型的无病周期解全局渐近稳定的阈值条件。
通过比较脉冲预防接种和隔离两种控制策略的有效性，表明同时使用脉冲预防接种和隔离两种策略比单独应用一种策略更有效。
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2016(054)002【总页数】6页(P171-176)【关键词】SIQRS 传染病模型;脉冲预防接种;隔离;无病周期解;基本再生数【作者】赵明;吕显瑞【作者单位】北华大学数学与统计学院，吉林吉林 132013;吉林大学数学学院，长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O175.13近年来，对于病毒性传染病，根据康复后具有终身免疫力的实际情况，通常采用SIR模型［1－3］和SEIR模型［4］进行刻画；对于细菌感染性传染病，由于康复后可获得暂时免疫力，经过一段时间免疫力丧失后又再次发病，因此通常使用SIRS模型［5－7］、SEIRS模型［8－9］和SIQRS模型［10－11］进行描述．在传染病模型研究中，一般采用是否流行疾病的阈值——基本再生数进行分析．本文研究具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型，并对脉冲预防接种和隔离两种控制策略进行比较分析．将总人口N（t）分为易感者S（t）、染病者I（t）、隔离者Q（t）和恢复者R （t），且假设：（H1）易感人群具有常数输入（包括出生和移民），输入率为A；（H2）每个染病者对易感者的传染率为β（N（t））S（t），β（N（t））＝为饱和接触率系数，且为依赖于N（t）的函数，这里常数k＞0，α＞0；（H3）对易感者进行脉冲预防接种，p（0＜p＜1）为脉冲接种率，τ为脉冲接种周期；（H4）易感者接种或染病者康复后获得暂时的免疫力，经过一段时间失去免疫力后又变成易感者，δ≥0为失去免疫率；（H5）对传染者采取隔离措施，μ为隔离率，υ自然恢复率．建立具有饱和接触率和隔离项的SIRS脉冲预防接种模型如下：其中：d为自然死亡率；a，b分别为染病者类和隔离者类的因病死亡率；γ为染病者类的自然恢复率；δ≥0；其他系数均为正数．定义基本再生数为这里：由N（t）＝S（t）＋I（t）＋Q（t）＋R（t）和N′（t）＝A－dN（t）－aI（t）－bQ（t），将模型（1）化为如下等价系统：当N（t）＞N0时N′（t）＜0，系统（2）的所有解（S（t），I（t），Q（t），N（t））最终趋于且停留在域内，因此域Ω是系统（2）的正向不变集和最终有界区域．本文主要研究系统（2）无病周期解的存在性和全局渐近稳定性，并分析比较脉冲预防接种与隔离两种控制策略的有效性．引理1［11］设常数a＞0，b＞0，0＜p＜1，则脉冲微分周期系统存在唯一的全局渐近稳定的正周期解引理2（Floquet定理）［12］设脉冲微分周期系统其中：f（t＋1，y）＝f（t，y），且系统（3）关于其周期解y（t）的线性近似系统为并设Φ（t）是系统（4）中方程的一个基本解矩阵，即满足若矩阵M＝B1Φ（1）一切特征根的绝对值均小于1，则系统（4）的零解，即系统（3）的周期解y（t）局部渐近稳定．引理3（脉冲微分系统比较定理）［12］假设函数满足脉冲微分不等式：其中：dk≥0，bk（k＝1，2，…）是常数．则对t≥t0，有引理4 系统（2）存在无病周期解其中证明：当I（t）＝Q（t）＝0时，由系统（2）知所以系统（2）的极限系统为于是，由系统（7）和引理1知系统（2）存在无病周期解定理1 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，系统（2）的无病周期解是不稳定的．证明：设（S（t），I（t），Q（t），N（t））是系统（2）的任意解，做变换则系统（2）在0＜t≤τ内的近似线性系统为易得到满足条件Φ（0）＝E（单位矩阵）的基本解矩阵为其中：0＜t≤τ；因为在下面的计算中没有用到Ei（i＝1，2，…，6），所以其具体表达式略．相应地，系统（2）的脉冲条件化为从而可获得系统（2）的单值矩阵由引理2知，无病周期解局部渐近稳定的充分必要条件是矩阵M的特征值：的模均小于1，即这等价于R0＜1．因此，当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是局部渐近稳定的；当R0＞1时，矩阵M的特征值λ2模大于1，无病周期解是不稳定的．定理2 当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．证明：当R0＜1时，可选择充分小的ε＞0，使得由0≤N（t）≤N0与系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程由引理1和式（9）得由引理3，对任意小的ε＞0，存在一个正整数T1，使得当t＞T1时，恒有从而由式（10）和系统（2）的第二个方程有根据引理2，得利用r0＜0，由此递推得I（nτ）≤I（0＋）exp｛nr0｝，因此，又对任意的nτ＜t≤（n＋1）τ和有于是存在一个正整数T2＞T1，使得当t＞T2时，恒有I（t）＜ε．由系统（2）的第三个方程有因为ε是任意小的，所以即存在一个正整数T3＞T2，使得当t＞T3时，恒有Q（t）＜ε．类似地，由系统（2）的第四个方程有同理，由ε任意小知于是，存在正整数T4＞T3，使得当t＞T4时，恒有N（t）≥N0－ε．从而由系统（2）的第一个方程有做脉冲比较方程根据引理1，由系统（14）存在唯一全局渐近稳定的正周期解又由脉冲微分系统比较定理有令ε→0，则当t充分大时，由式（10），（16）有再由ε的任意性，有综上知当R0＜1时，系统（2）的无病周期解是全局吸引的，进而由定理1知故系统（2）的无病周期解是全局渐近稳定的．为方便，引入记号：易见k0＞kΔ．由定理1和定理2获得了疾病是否消除的阈值R0＝1，并且可得下列结论：1）当R0＜1时，系统（2）有周期为τ的全局渐近稳定的无病周期解，即疾病将逐渐消除；当R0＞1时，由定理1知无病周期解是不稳定的，表明疾病将持续存在；2）当脉冲预防接种率p＞pc或隔离率μ＞μc时，则R0＜1，疾病将逐渐消除；3）当μ＝0时，有因此，如果不采取隔离措施，则必须加大脉冲预防接种率，才能控制疾病流行并最终消除疾病；4）当p＝0时，有μ0＝β0N0－（d＋a＋γ）＞μc，表明当不进行脉冲预防接种时，传染病将会发生，需要适当加大隔离人数，才能控制疾病流行并使之逐渐消除．【相关文献】［1］ Stone L，Shulgin B，Agur Z．Theoretical Examination of the Pulse Vaccination Policy in the SIR Epidemic Model ［J］．Math Computer Modeling，2000，31（4／5）：207－215．［2］ Yoshida Naoki，Hara Tadayuki．Global Stability of a Delayed SIR Epidemic Model with Density Dependent Birth and Death Rates［J］．J Comput Appl Math，2007，201（2）：339－347．［3］朱玑，李维德，朱凌峰．基于SIR传染病模型的不同控制策略比较［J］．北华大学学报（自然科学版），2011，12（3）：265－269．（ZHU Ji，LI Weide，ZHU Lingfeng．Comparison among Different Control Strategies on SIR Epidemic Model ［J］．Journal of Beihua University（Natural Science），2011，12（3）：265－269．）［4］刘开源，陈兰荪．一类具有垂直传染与脉冲免疫的SEIR传染病模型的全局分析［J］．系统科学与数学，2010，30（3）：323－332．（LIU Kaiyuan，CHEN Lansun．Global Analysisof an SEIR Epidemic Disease Model with Vertical Transmission and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（3）：323－332．）［5］赵文才，孟新柱．一类具有Logistic死亡率的脉冲免疫接种SIRS传染病模型［J］．吉林大学学报（理学版），2009，47（6）：1165－1171．（ZHAO Wencai，MENG Xinzhu．Impulsively Vaccinating SIRS Epidemic Model with Logistic Death Rate ［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2009，47（6）：1165－1171．）［6］庞国萍，陈兰荪．具饱和传染率的脉冲免疫接种SIRS模型［J］．系统科学与数学，2007，27（4）：563－572．（PANG Guoping，CHEN Lansun．The SIRS Epidemical Model with Saturated Contact Rate and Pulse Vaccination ［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2007，27（4）：563－572．）［7］焦建军，鲍磊，陈兰荪．具脉冲出生与脉冲收获阶段结构单种群动力学模型［J］．吉林大学学报（理学版），2011，49（1）：6－10．（JIAO Jianjun，BAO Lei，CHEN Lansun．Dynamics on a Stage－Structured Single Population Model with Birth Pulse and Impulsive Harvesting［J］．Journal of Jilin University（Science Edition），2011，49（1）：6－10．）［8］芦雪娟，王伟华，堵秀凤．一类具有双时滞的SEIRS传染病模型的分析［J］．数学的实践与认识，2010，40（22）：135－142．（LU Xuejuan，WANG Weihua，DU Xiufeng．A Research of SEIRS Epidemic Model with Two Delays ［J］．Mathematics in Practice and Theory，2010，40（22）：135－142．）［9］黄灿云，安小峰．一类具有多时滞和非线性发生率的脉冲接种SEIRS传染病模型［J］．兰州理工大学学报，2011，37（1）：121－125．（HUANG Canyun，AN Xiaofeng．A Impulsive Vaccination SEIRS Epidemic Model with Multi－delay and Nonlinear Incidence Rate［J］．Journal of Lanzhou University of Technology，2011，37（1）：121－125．）［10］朱凌峰，李维德，章培军．具有连续和脉冲接种的SIQVS传染病模型［J］．兰州大学学报（自然科学版），2011，47（4）：99－102．（ZHU Lingfeng，LI Weide，ZHANG Peijun．A SIQVS Epidemic Model with Continuous and Impulsive Vaccination ［J］．Journal of Lanzhou University（Natural Sciences），2011，47（4）：99－102．）［11］徐为坚．具常数输入及饱和发生率的脉冲接种SIQRS传染病模型［J］．系统科学与数学，2010，30（1）：43－52．（XU Weijian．The SIQRS Epidemic Model of Impulsive Vaccination with Constant Input and Saturation Incidence Rate［J］．J Sys Sci ＆Math Scis，2010，30（1）：43－52．）［12］马知恩，周义仓．传染病动力学的数学建模与研究［M］．北京：科学出版社，2004：153－164．（MA Zhi’en，ZHOU Yicang．Mathematical Modeling and Study on the Dynamics of Infectious Diseases［M］．Beijing：Science Press，2004：153－164．）。
饱和型感染率脉冲接种SIRS的模型分析
0 引言 传染病是由病原微生物和寄生虫感染人体后产 [1] 生的有传染性的疾病 。 对传染病的研究方法主要 有描述性研究 、 分析性研究 、 实验性研究和理论性研 究等。理论性研究里的一个重要方法是利用动力学 方法对流行病进行研究 。流行病动力学就是根据疾 病发生 、 发展及环境变化等情况 , 建立能反映其动力 学特性的数学模型 ; 通过对模型的动力学性态研究 来显示疾病的发展过程 , 预测疾病的流行规律和发 展趋势 , 分析疾病流行的原因和关键因素 ;寻求对其 进行控制和防治的最优策略 。1927 年 Kerma rk 和 Mekendrick 做了奠基性的工作 , 他们将总人口分为 易感者 ( S) , 染病者 ( I) 和恢复者 ( R ) 三类 , 利用动力 学的方法建立了传染病模型 ,提出了阈值理论 。 1 模型建立 为了控制传染病的流行 , 通常的做法是进行疫 苗接种 , 所谓疫苗接种就是按照一定比例给易感者 进行接种。通过疫苗接种可以使易感者具有暂时的
An SI RS Model Wit h Impul sive Vaccinat ion an d Sat ura t ion In ciden ce Ra te
L I U J in2wei
(Depar tment of Mathematics , Xinxang Unive rsity , Xinxia ng 453003 , China) Abstract : An SIRS epidemic model with consta nt of recr uitment , exponential physical disease ,te mpo rary im munity a nd pulse vaccination is for mula ted. Using stroboscopic map a nd impulse diff erential inequalities , we show t hat t here e xit infection2 f ree pe riodic solutio ns and prove the infection2 f ree pe riodic solutions is asymptotically stable. Key wor ds : saturation incidence rate ; infection2 f ree pe riodic solutions ; a symptotically stable ; p ulse vaccination
具饱和传染率和时滞两阶段结构的传染病模型
取 Ｍ＝ｍａ ｘ ｛ ， （ １ Ｄ （ Ｏ ） ）， 则 ｌ Ｄ （ ￡ ） ≤Ｍ ， 于是 得到 系统 的
’ 。
有界性 。
记 ｘ是 一个 完备 的矩阵空间 ， 设Ｘ ｏ （ ＝ ＝ Ｘ， Ｘｏ ＣＸ， Ｘｏ 一
Ｔ （ ￡ ） 是 Ｘ上 的 Ｃ ｏ 半群 ， 且满足
（ ４ ） Ｔ（ ） ：Ｘ ｏ 一 ， （ ￡ ） ： Ｘ０ 一 Ｘｏ
ｘ＝ ａ ｘ（ ｔ －ｒ ） 一 （ ￡ ） 一ｃ ｚ （ ），
设ｔ ０ ＝ｉ ｎ ｆ ｛ ｔ ￣Ｏ Ｉ （ ￡ ） 一Ｏ ） ， 贝 Ｕ （ ｆ ｏ ） ≤ｏ ， 但ｙ （ ｔ ｏ ） ＝ｂ ｅ 一 卉 Ｙ （ 岛） －ｒ ） 一 （ 如） ＝ｂ ｅ ～ Ｙ（ ｔ ｏ －ｒ ） ＞Ｏ ， 矛盾 ， 故 对所有 的 ￡ ＞
近些年来 ， 关于阶段结 构 的传染 病模 型 的研 究 已经有 了 很好 的结果＿ １ ］ 。文献 ［ ４ ， ５ ］ 讨 论 了具有幼 年 和成 年两个 阶
段结构 的传染病模 型 ， 本文 进一 步考虑 具有饱 和传染 率 和时
） 一
Ｈ
）
滞 阶段结构 的传 染病模 型 ， 因为饱 和传 染率 比线性 传染率 更
为此我们建立以下的数学模型mathematicalmedicinevol262013其中st表示时刻幼年个体的数目it表示时刻幼年感染者个体的数目yt表示从易感者到感染者的比例系数为k1感染者到易感者的比例系数为k2易感者的死亡率为d1感染者的死亡率d2时刻的概率染病周期k2大大的小于成熟周期k2d1引理引理2t0yt0则有t0矛盾故对所有的其次证明对有系统1的第二个方程得由假设我们有这样我们有由归纳法得对于满足初始条件2和3的系统1的正解是最终有界的
具有饱和接触率的随机SIQS流行病模型的阈值动力学
容易看出 C ( N ) 是关于 N 的非递减函数，而 C ( N ) 是关于 N 的非递增函数。与双线性和标准发病率
N 相比，该发病率函数的优势在于考虑了总人口的行为变化、避免了无限的接触率，同时它也被广泛用于
研究疾病。例如，马知恩等人[8]研究了具有饱和接触率的 SEIR 流行病模型的全局动力学，他们证明了 平衡解的全局稳定性；蓝桂杰等人[9]考虑了具有饱和接触率的 SIS 流行病模型，并显示了确定性模型的
人群的数量，Q 是被隔离人群的数量。A 是由于出生或移民等原因导致的招募率； µ 是人口的自然死亡
率；β 表示单位时间内由于人与人接触造成的感染率；γ 和 ρ 分别是 I (t ) 和 Q (t ) 恢复并重新进入 S (t ) 的
速率； µ1 和 µ2 分别是感染和隔离个体的因病死亡率； δ 是 I (t ) 中直接被隔离进入 Q (t ) 的隔离率。通常
F
,
Ρ)
上的
n
维标准布朗运动。根据随机微分方
DOI: 10.12677/aam.2019.811213
1829
应用数学进展
许洁，张天四
程的定义，方程(3)等效于以下随机积分方程
x (t )=
x0
∫+ t t0
f
( ) ∑ ∫n
x (s), s ds +
t
r =1 t0
gr
( x (s), s)dBr
(S
(0),
I
(0),Q(0))∈
3
+
，当
t
≥
0
时，模型(2)存在唯一解
X
(
t
)
=
(
S
(
t
毕业答辩具有饱和传染率的SIQR传染病模型的研究
S 1S
(pb
)I
ddQt I (pb )Q
当R0≤1时，方程组有两个平衡点
P0
( 1 ,0,0)，P(S,I,Q；) m1
当R0>1时，方程组有惟一旳平衡点P(S,I,Q)。
模型二：一类具有垂直传染和预防接种旳SIQR传染病模型
分析讨论
经过对模型旳分析，得到了模型旳平 衡点以及平衡点稳定性旳条件R0，并证明 了平衡点旳稳定性。同步讨论了R0不但与 种群旳传染率、因病死亡率、隔离率和恢 复率有关,还与新生儿旳染病百分比有关。 所以，在防治具有垂直传染旳传染病时， 对个体生育旳控制也能有效旳防治传染病 旳传播.
I
(n
)
I
(n
)
Q(n ) Q(n )
t n
R(n ) R(n ) mS(n )
模型三：一类具有垂直传染及脉冲接种旳SIQR传染病模型
假设b=d,b’=d’,pb’<b,N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)=1,则得到方程组
S
(t )
1
SI S
I
(t )
SI 1 S
S 1 S
qb (
d )I
dQ dt
I
(qb
d )Q
dR
dt
I
Q
dR
mbS
模型二：一类具有垂直传染和预防接种旳SIQR传染病模型
假设b=d,b’=d’,N(t)=S(t)+I(t)+Q(t)+R(t)=1,则得到方程组
dS dt
b(m1)S
SI 1S
(pb
b)(I
Q)
b
dI dt
谢谢老师！
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质， 通过分析模型平凡解和无病周期解 的存在性和稳定性 以及超 临界分 岔发生 的条件 ， 得 到 决 定 疾 病 流 行 与 否 的 阈值 ， 给 出验 证 理 论 分 析 的 数 值 结 果 。 关键词 ： Ｓ Ｉ Ｒ Ｓ传 染 病 模 型 ； 饱 和接触率 ； 脉冲接种 ； 周期解 ； 超 临 界 分 岔
Ｈａ ｏ Ｌ ｉ ｊ ｉ ｅ ， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｇ ｕ ｉ ｒ ｏ ｎ ｇ ，Ｌ ｕ Ｐ ｅ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｇｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｉｃ ｎ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｇｎ ｉｌ ｍ ５ ４ １ ０ ０ ４，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ｖ０ １ ． ３ ３． Ｎｏ ． １ Ｆｅ ｂ ． ２ ０ １ ３
具 有饱和接触 率的 Ｓ Ｉ Ｒ传 染 病模 型 的周 期 解
郝丽杰 ， 蒋贵 荣， 鹿 鹏
（ 桂 林 电子 科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 广西 桂 林
摘
５ ４ １ ０ ０ ４ ）
要： 基于离散映射和分岔理论 ， 研 究 了具 有 脉 冲生 育 、 脉 冲接种 和饱和接 触率 的 Ｓ Ｉ Ｒ Ｓ传 染 病 模 型 的 动 力 学 性
中图 分 类 号 ：０１ ７ ５ ． １ 文 献 标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ６ ７ ３ — ８ Ｏ ８ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ １ — ０ ０ ６ １ － ０ ５
Ｐｅ ｒ ｉ ｌ ｄ ｉ ｏ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｏ ｆ ａ ｎ Ｓ Ｉ ＲＳ ｅ ｐｉ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎｃ ｉ ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｈ ｅ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｏ ｆ ａ ｎ Ｓ Ｉ ＲＳ ｅ ｐ ｉ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ、 Ｉ ｌ ， ｉ 出 ｂ ｉ ｒ ｔ ｈ ｐ ｕ ｌ ｓ ｅ ，ｐ ｕ ｌ ｓ ｅ ｖ ａ ｃ ｃ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｎｄ ａ ｓ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｃ ｉ ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ．
Ｔｈ ｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｎｄ ａ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ｉ ｖ ｉ ａ ｌ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ｆ ｃｔ ｅ ｉ ｏ ｎ － ｆ ｒ ｅ ｅ ｐ ｅ ｉ ｒ ｄｉ ｏ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ．Ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｉｓ ｄ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ ｍａ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ｎｄ ａ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ。ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｏ ｃ ｃ ｕ ｒ 】 铷ｃ ｅ ｆ ｏ ｒ ｓ ｕ ｐ ｅ ｒ ｃ ｒ ｉ ｔ ｉ ｓｌ ｃ ｂ ｉ ｆ ｒｃ ｕ ａｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｄ ｅ ｉ ｒ ｖ ｅ ｄ ．Ｔｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ ｏｒ ｆ ａ ｉｓ ｄ ｅ ａ ｓ ｅ ｔ Ｏ ｂ ｅ ｅ ｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｏ ｒ ｅ ｎ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｉ ｓ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ． Ｍｏ ｒ ｅ ｏ ｖ ｅ ｒ ，ｎ ｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏｒ ｆ ｐ ｈ ａ ｓ ｅ ｐ ｏ ｒ ｔ ｒ ａ ｉ ｔ ｓ ，ｐ ｅ ｒ ｉ ｄｉ ｏ ｃ ｏｌ ｓ ｕ ｉ ｔ ｏ ｎ ｓ ｎｄ ａ ｂ ｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉａ ｄ －
第 ３ ３卷 第 １ 期 ２ ０ １ ３年 ２月
桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
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长 期 以来 ， 传 染 病 的流行严 重 影响 着人 类 和动物 的生 存 ， 控 制传 染病 是 当今世 界 的一个重 大课 题 。数学模 型 对 于揭示 传染 病 的发病 机理 和 流行 规律起 着 重要 的作 用 ， 近年 来 ， 很 多学 者 利用 微 分方 程 建 立传 染 病模 型 ，