四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义 第11讲 圆的有关概念

第11讲 圆的有关概念
“圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”。

在知识方面，不仅需要学好本章的知识，而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题。

另外，圆的许多性质，在理论上和实践中都有广泛的应用，所以，“圆”这章在初中几何中占有非常重要的地位。

【知识引导】
§Ⅰ 圆的有关概念
1．圆：平面上到__ 的距离等于__ 的所有点组成的图形叫做圆，其中，__ 为圆心，__ 为半径．__________确定圆的位置，__________确定圆的大小。

2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__ ，简称弧，大于__ 的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__ ，经过圆心的弦叫做__ 。

4．能够重合的两个圆叫做__ ，同圆或等圆的__ ，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做__ 。

5．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d ，
（1）点在圆外，即d___r ；(2) 点在圆上，即d____r ；(3) 点在圆内，即d____r. §Ⅱ圆的有关性质：
1．圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理和推论可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧． 【精彩知识】
考点1: 圆的有关概念
【例1】1. 有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ． 2个
D ． 1个
2.若圆的半径是5cm ，圆心的坐标是（0，0），点P 的坐标是（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A.点P 在⊙O 外
B.点P 在⊙O 内
C.点P 在⊙O 上
D.点P 在⊙O 外或⊙O 上
3.⊙O 的半径为5cm ，一点P 到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP 长为 。

变式训练:
1．有4个命题: ①直径相等的两个圆是等圆 ②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通
过圆心的弦 ④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是。

2．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内；
(C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内． 考点2 垂径定理的理解
【例2】下列命题正确的有 。

（1）过弦的中点的直径平分弦所对弧；
（2）过弦所对的两条弧的中点的直线必过圆心； （3）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧； （4）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧； （5）经过弦的中点的直径一定垂直于弦； （6）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。

考点3 垂径定理的基本运用(基本计算题型)
【例3】如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 两弦互相垂直于E ，AB 被分成4cm 和10cm 两段，求： （1）求圆心O 到CD 的距离；（2）若⊙O 的半径为8cm ，求CD 的长。

【例4】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O，AB ＝AC ，tanB ＝3
1。

求： （1）BC 的长；
（2）AB 边上高的长。

【例5】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300
， 求：（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。

变式训练:
1、如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是 ．
2、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5,BE
=1,CD =则∠AED= .
第1题图 第2题图 第3
题图
3、如图，Rt△ABC 中，90C ∠=，AC
BC =1，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于
P ，则AP = 。

4、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD
＝BD
O 的直径。

考点4 垂径定理的运用(综合推理与计算题型)
【例5】如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上， CD 平行于AB ，并与弧AB
相交于点M 、N ．
（1）求证：CM =DN ；
（2）若OA ＝3，AC ＝2，1
tan 2
C ∠=，求弦MN 的长．
【例6】如图, ⊙O 的直径为MN =20cm, 弦AB =16cm, MC ⊥AB 于C , ND ⊥AB 于D . (1) 求证：AC =BD ； (2) 求ND –CM 的值。

变式训练:
已知如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F 交⊙O 于点N ，且BE =FN ，连
结OE ，OF .
求证：⑴OE ＝OF ； ⑵ CE ＝DF 。

【思维拓展】
【例7】如图，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 上的一点，弦MN 过点P , ∠NPB =45°，
F
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；
（2）当P在AB上运动时，保持∠NPB的度数不变，试问：
2
2
2
AB
PN
PM+
的值是否改变？若不变，
请求其值；若改变，请求出其值的取值范围。

变式训练:
如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A任作一直线与⊙O1交于M，与⊙O2交于N.
(1) 问什么时候MN最长？为什么？
(2) 再过A作直线EF与⊙O1交于E，与⊙O2
交于F，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为AE=6，
AF=8，求MN的长。

【例8】如图，已知：直线y x3
=-+交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c
经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（－1，0），在直线y x3
=-+上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求
出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形
APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
、
【课后测试】
B 1、把一小球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF =CD =16厘米，则球的半径为 厘米．
2、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦
AB 的长为________cm ．
3、如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB =CD =8，则OP 的长为 ． 1题图 2
题图 3题图 4、如图，⊙O 的半径为2，弦AB =，点C 在弦AB 上，AC B 1
4A =，则OC 的长为 ．
5、如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC =8cm ，DE =2cm ，则AD 的长为 。

4题图 5题图 6题图 5、半径为4的⊙O 中有弦AB ，如右图，以AB 为折痕．劣弧恰好经过圆心O ，则弦AB 的长为 。

6、已知⊙O 的直径CD =10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于 M ，且AB =8cm ，则AC 的长为 ．
7、P 是⊙O 内的一点，⊙O 的半径为15，P 点到圆心的距离为9，通过P 点、长度是整数的弦的条数共有 .
8、一座桥的桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB 为16m ，桥拱最高处离水面4m ． （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m ，问水面涨高了多少．
9、如图，⊙O 直径为25，点P 为弦AB 的中点，弦CD 过点P ，且AB =20，CD =24，求cos ∠APC
的值。

10、如图，⊙O 中EF 过圆心O ，且垂直于弦AD ，B 、C 两点在直线DE 上，且AD 平分∠BAC ．
求证：CE BE DE ⋅=2
11、如图，正方形ABCD 的顶点A 、D 和正方形JKLM 的顶点K 、L 在一个半径为5的⊙
O
上，点J 、M 在线段BC 上，若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长。