现代优化算法--课件
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现代优化计算方法课件
在STEP 3中，蚁群永远记忆到目前为止的最优解。
20
图的蚁群系统（GBAS） 6/12
可以验证，下式满足：
ij (k) 1,k 0
(i, j)A
即 (k) 是一个随机矩阵。 四个城市的非对称TSP问题，距离矩阵和城市图示如下：
0 1 0.5 1
D
(dij
)
1
1.5
0 5
1 0
1
1
1 1 1 0
蚁群算法
起源 应用领域 研究背景 基本原理
1
蚁群优化算法起源
蚁群算法最开始的提出是在90年代有人受了蚂蚁觅食时的 通讯机制的启发用来解决计算机算法学中经典的“旅行商 问题（Traveling Salesman Problem, TSP）”。 TSP问题属于易于描述但难于解决的著名难题之一，至今 世界上还有不少人在研究它。该问题的基本描述是：某售 货员要到若干个村庄售货，各村庄之间的路程是已知的， 为了提高效率，售货员决定从所在商店出发，到每个村庄 都售货一次后再返回商店，问他应选择一条什么路线才能 使所走的总路程最短? 其实有很多实际问题可归结为TSP问 题。
城市间的距离矩阵为 (d ij ) nn ，给TSP图中的每
一条弧 (i, j)
赋信息素初值 ij (0)
1 | A|
，假设m
只蚂蚁在工作，所有蚂蚁都从同一城市i0 出发。当前最 好解是 w (1,2,, n) 。
16
初始的蚁群优化算法—基于图的蚁群系 统（GBAS） 2/12
STEP 1 （外循环）如果满足算法的停止规则，则停止计算并输
若按以上规则继续，蚁群在ABD路线上再增派一只蚂蚁（共3只），而 ACD路线上仍然为一只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素 单位积累为24和6，比值为4：1。
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图的蚁群系统（GBAS） 6/12
可以验证，下式满足：
ij (k) 1,k 0
(i, j)A
即 (k) 是一个随机矩阵。 四个城市的非对称TSP问题，距离矩阵和城市图示如下：
0 1 0.5 1
D
(dij
)
1
1.5
0 5
1 0
1
1
1 1 1 0
蚁群算法
起源 应用领域 研究背景 基本原理
1
蚁群优化算法起源
蚁群算法最开始的提出是在90年代有人受了蚂蚁觅食时的 通讯机制的启发用来解决计算机算法学中经典的“旅行商 问题（Traveling Salesman Problem, TSP）”。 TSP问题属于易于描述但难于解决的著名难题之一，至今 世界上还有不少人在研究它。该问题的基本描述是：某售 货员要到若干个村庄售货，各村庄之间的路程是已知的， 为了提高效率，售货员决定从所在商店出发，到每个村庄 都售货一次后再返回商店，问他应选择一条什么路线才能 使所走的总路程最短? 其实有很多实际问题可归结为TSP问 题。
城市间的距离矩阵为 (d ij ) nn ，给TSP图中的每
一条弧 (i, j)
赋信息素初值 ij (0)
1 | A|
，假设m
只蚂蚁在工作，所有蚂蚁都从同一城市i0 出发。当前最 好解是 w (1,2,, n) 。
16
初始的蚁群优化算法—基于图的蚁群系 统（GBAS） 2/12
STEP 1 （外循环）如果满足算法的停止规则，则停止计算并输
若按以上规则继续，蚁群在ABD路线上再增派一只蚂蚁（共3只），而 ACD路线上仍然为一只蚂蚁。再经过36个时间单位后，两条线路上的信息素 单位积累为24和6，比值为4：1。
《现代优化算法》课件
群体智能的涌现
通过大量蚂蚁的协作和信息共享，蚁群能够找到从起点到 终点的最优路径，这种群体智能的涌现是蚁群优化算法的 核心。
蚁群优化算法的实现步骤
初始化
设置蚁群数量、信息素初始值 、蚂蚁初始位置等参数。
循环迭代
在每一步迭代中，蚂蚁根据信 息素浓度选择移动方向，同时 更新路径上的信息素浓度。
信息素挥发
机器学习与数据挖
掘
蚁群优化算法在特征选、聚类 分析、分类器设计等领域也有着 广泛的应用。
THANKS
感谢观看
终止条件
当达到终止条件时，算法结束 ，返回最优解。
模拟退火算法的应用
组合优化问题
模拟退火算法广泛应用于解决各种组合 优化问题，如旅行商问题、调度问题、
图形划分问题等。
经济学
模拟退火算法在经济学中也有广泛应 用，如优化金融衍生品定价、风险管
理等。
机器学习
模拟退火算法也可用于优化机器学习 模型的参数，如支持向量机、神经网 络等。
现代优化算法不断改进和创新，以适应更复杂的问题和更高效求解的需求 。
02
线性规划
线性规划的定义
1
线性规划是数学优化技术中的一种，它通过寻找 一组变量的最优组合，使得某个或多个线性目标 函数达到最大或最小值。
2
线性规划问题通常表示为在满足一系列线性约束 条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
3
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件， 且目标函数和约束条件都是线性函数。
非线性规划的应用
机器学习
用于训练神经网络、支持向量机等模 型，优化模型的参数以获得更好的预 测性能。
图像处理
用于图像压缩、图像增强、图像恢复 等问题，通过优化算法来寻找最佳的 参数配置。
通过大量蚂蚁的协作和信息共享，蚁群能够找到从起点到 终点的最优路径，这种群体智能的涌现是蚁群优化算法的 核心。
蚁群优化算法的实现步骤
初始化
设置蚁群数量、信息素初始值 、蚂蚁初始位置等参数。
循环迭代
在每一步迭代中，蚂蚁根据信 息素浓度选择移动方向，同时 更新路径上的信息素浓度。
信息素挥发
机器学习与数据挖
掘
蚁群优化算法在特征选、聚类 分析、分类器设计等领域也有着 广泛的应用。
THANKS
感谢观看
终止条件
当达到终止条件时，算法结束 ，返回最优解。
模拟退火算法的应用
组合优化问题
模拟退火算法广泛应用于解决各种组合 优化问题，如旅行商问题、调度问题、
图形划分问题等。
经济学
模拟退火算法在经济学中也有广泛应 用，如优化金融衍生品定价、风险管
理等。
机器学习
模拟退火算法也可用于优化机器学习 模型的参数，如支持向量机、神经网 络等。
现代优化算法不断改进和创新，以适应更复杂的问题和更高效求解的需求 。
02
线性规划
线性规划的定义
1
线性规划是数学优化技术中的一种，它通过寻找 一组变量的最优组合，使得某个或多个线性目标 函数达到最大或最小值。
2
线性规划问题通常表示为在满足一系列线性约束 条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
3
线性规划问题具有明确的目标函数和约束条件， 且目标函数和约束条件都是线性函数。
非线性规划的应用
机器学习
用于训练神经网络、支持向量机等模 型，优化模型的参数以获得更好的预 测性能。
图像处理
用于图像压缩、图像增强、图像恢复 等问题，通过优化算法来寻找最佳的 参数配置。
现代优化算法
8
正交试验法
正交表的形式为( … )，简记为()，其中为试验数，为因素数， 为水平数。正交设计法能够确保决策变量具有最佳的散布性和代表性， 因此获得的最佳水平应该具有相当高的满意度。
实际上，正交试验法获得的最佳结果优于总体试验结果的()，劣于总 体试验结果的()，具有良好的全局最优性。该算法的另外一个最大优 势在于简单易学，一般文化水平的人（比如初中以上）经过几天时间 就可以掌握，因此该算法具有极其广泛的使用范围。其难点在于特定 正交表的构造，人们正深入研究各种特殊正交表的构造方法。
4
优化算法简介——局部优化、全局 优化
有文献将神经网络也列入现代优化算法的范畴，从全局优化的角度看， 这并不适宜，因为神经网络的优化算法本质上是局部优化算法和全局 优化算法的综合应用。
局部优化算法主要用于解决凸问题或单峰问题，通常使用确定性搜索 策略，比如单纯形法、梯度下降法、爬山法、贪心法等，其基本思想 是在状态转移过程中，只接受更好的状态，拒绝恶化的状态。
5
优化算法简介——二者需要结合
局部优化算法由于易于陷入局部极优解而无法用于解决多峰问题；同 时，全局性优化算法采用适当的状态转移规则和概率性状态接受规则， 能够避免过早地陷入局部极优解从而搜索到全局性最优解。
通常，局部优化算法能够快速地收敛到局部极优解，而全局性优化算 法通过概率搜索可以获得在概率意义上尽可能好的全局性最优解区域， 但是其局部极优点搜索能力较低。这是全局搜索算法和局部搜索算法 之间的固有矛盾。对此人们进行了多种研究。基本解决方法在于二者 的结合，即利用全局性优化算法在整个可行域中搜索最优区域，利用 局部搜索算法搜索最优区域中的最优解。
习惯上，将优化算法分为两类：局部优化算法和全局性优化算法。前 者可以称为经典优化算法，已经得到了人们广泛深入的研究。目前， 运筹学（确定论方法）主要包括这些方面的内容，线性规划、整数规 划、–规划、非线性规划、排队论、决策论。后者习惯上称为现代优 化算法，是世纪年代兴起的新型全局性优化算法，主要包括禁忌搜索、 模拟退火、遗传算法等，其主要应用对象是优化问题中的难解问题， 即–问题
正交试验法
正交表的形式为( … )，简记为()，其中为试验数，为因素数， 为水平数。正交设计法能够确保决策变量具有最佳的散布性和代表性， 因此获得的最佳水平应该具有相当高的满意度。
实际上，正交试验法获得的最佳结果优于总体试验结果的()，劣于总 体试验结果的()，具有良好的全局最优性。该算法的另外一个最大优 势在于简单易学，一般文化水平的人（比如初中以上）经过几天时间 就可以掌握，因此该算法具有极其广泛的使用范围。其难点在于特定 正交表的构造，人们正深入研究各种特殊正交表的构造方法。
4
优化算法简介——局部优化、全局 优化
有文献将神经网络也列入现代优化算法的范畴，从全局优化的角度看， 这并不适宜，因为神经网络的优化算法本质上是局部优化算法和全局 优化算法的综合应用。
局部优化算法主要用于解决凸问题或单峰问题，通常使用确定性搜索 策略，比如单纯形法、梯度下降法、爬山法、贪心法等，其基本思想 是在状态转移过程中，只接受更好的状态，拒绝恶化的状态。
5
优化算法简介——二者需要结合
局部优化算法由于易于陷入局部极优解而无法用于解决多峰问题；同 时，全局性优化算法采用适当的状态转移规则和概率性状态接受规则， 能够避免过早地陷入局部极优解从而搜索到全局性最优解。
通常，局部优化算法能够快速地收敛到局部极优解，而全局性优化算 法通过概率搜索可以获得在概率意义上尽可能好的全局性最优解区域， 但是其局部极优点搜索能力较低。这是全局搜索算法和局部搜索算法 之间的固有矛盾。对此人们进行了多种研究。基本解决方法在于二者 的结合，即利用全局性优化算法在整个可行域中搜索最优区域，利用 局部搜索算法搜索最优区域中的最优解。
习惯上，将优化算法分为两类：局部优化算法和全局性优化算法。前 者可以称为经典优化算法，已经得到了人们广泛深入的研究。目前， 运筹学（确定论方法）主要包括这些方面的内容，线性规划、整数规 划、–规划、非线性规划、排队论、决策论。后者习惯上称为现代优 化算法，是世纪年代兴起的新型全局性优化算法，主要包括禁忌搜索、 模拟退火、遗传算法等，其主要应用对象是优化问题中的难解问题， 即–问题
现代优化计算方法
决策变量
t = 1,",T
(1.12)
xit＝1表示第t时段加工产品i 、T:时段数
组合优化问题的表示形式
• 组合优化问题通常可以用整数规划模型 的形式表示，如例1.1.1和1.1.2
• 有些组合优化问题用IP模型表示则比较 复杂且不易被理解，不如对问题采用直 接叙述更易理解，如例1.1.2,1.1.4和1.1.5
例1.1.2的非对称距离TSP问题耗时
• 可以用另一个方法来表示它的可行解： 用n个城市的—个排列表示商人按这个排 列序推销并返回起点
• 若固定一个城市为起终点，则需要 (n—1)！个枚举
• 设计算机1秒可以完成24个城市所有路径 枚举为单位
枚举时城市数与计算时间的关系
城市数 24 25 26 27 28 29 30 31 计算时间 1s 24 s 10m 4.3h 4.9d 136d 10a 325a
max cT x
s.t.Ax = b
x ≥ 0, x ∈ Z n
c为n维列向量，A为m×n矩阵、b为m 维列向量，x 为n维决策变量，Zn表示n 维整数向量的集合 系数A、b和c的元素都是整数
• 例1.1.2和1.1.3的数学模型都具有(IP) 的形式 •一些组合优化问题可以写成整数线 性规划问题 •IP与LP形式非常相似，不同之处是 前者的决策变量部分或全部取整数
(1.5) (1.6)
(1.7) (1.8)
共n×(n-1)个决策变量 D={0,1}n× (n-1)
一条回路是由k(1≤k ≤ n)个城市和k条弧 组成，因此，(1．7)约束旅行者在任何一 个城市真子集中不形成回路，其中|S|表 示集合S中元素个数
例1.1.3 整数线性规划 (integer linear programming)
现代优化算法--课件
全局最小点 (0,0)
数学建模竞赛常用算法(2) 数学建模竞赛常用算法(2)
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数 据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工 具。与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。 98 年美国赛 题 生物组织切片的三维插值处理 年美国赛A 94 年A 题逢山开路 山体海拔高度的插值计算 此类问题在MATLAB中有很多函数可以调用，只有熟 悉MATLAB，这些方法才能用好。
现代优化算法
许志军 xuzhijun1998@ 2010-8-1
目录
Part 1 概论 Part 2 模拟退火算法 Part 3 遗传算法
2
Part 1
概论
主要是说明现代优化算 法的重要性。 法的重要性模拟退火算法 遗传算法 人工神经网络 蚁群算法 粒子群算法 混合算法
15
数学建模竞赛常用算法(5) 数学建模竞赛常用算法(5)
5. 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜 动态规划、 动态规划 分治算法、分枝定界等计算机算法. 索、分治算法、分枝定界 92 年B 题用分枝定界法 97 年B 题是典型的动态规划问题 98 年B 题体现了分治算法 这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似， 可看一下与计算机算法有关的书。
19
数学建模竞赛常用算法(9) 数学建模竞赛常用算法(9)
9. 数值分析方法
数值分析研究各种求解数学问题的数值计算方法 求解数学问题的数值计算方法， 求解数学问题的数值计算方法 特别是适合于计算机实现方法与算法。 它的主要内容包括函数的数值逼近、数值微分与数 函数的数值逼近、 函数的数值逼近 值积分、非线性方程的数值解法、数值代数、 值积分、非线性方程的数值解法、数值代数、常微分方 程数值解等。数值分析是计算数学的一个重要分支，把 程数值解 理论与计算紧密结合,是现代科学计算的基础 。 MATLAB等数学软件中已经有很多数值分析的函 数可以直接调用。
数学建模竞赛常用算法(2) 数学建模竞赛常用算法(2)
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数 据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工 具。与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。 98 年美国赛 题 生物组织切片的三维插值处理 年美国赛A 94 年A 题逢山开路 山体海拔高度的插值计算 此类问题在MATLAB中有很多函数可以调用，只有熟 悉MATLAB，这些方法才能用好。
现代优化算法
许志军 xuzhijun1998@ 2010-8-1
目录
Part 1 概论 Part 2 模拟退火算法 Part 3 遗传算法
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Part 1
概论
主要是说明现代优化算 法的重要性。 法的重要性模拟退火算法 遗传算法 人工神经网络 蚁群算法 粒子群算法 混合算法
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数学建模竞赛常用算法(5) 数学建模竞赛常用算法(5)
5. 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜 动态规划、 动态规划 分治算法、分枝定界等计算机算法. 索、分治算法、分枝定界 92 年B 题用分枝定界法 97 年B 题是典型的动态规划问题 98 年B 题体现了分治算法 这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似， 可看一下与计算机算法有关的书。
19
数学建模竞赛常用算法(9) 数学建模竞赛常用算法(9)
9. 数值分析方法
数值分析研究各种求解数学问题的数值计算方法 求解数学问题的数值计算方法， 求解数学问题的数值计算方法 特别是适合于计算机实现方法与算法。 它的主要内容包括函数的数值逼近、数值微分与数 函数的数值逼近、 函数的数值逼近 值积分、非线性方程的数值解法、数值代数、 值积分、非线性方程的数值解法、数值代数、常微分方 程数值解等。数值分析是计算数学的一个重要分支，把 程数值解 理论与计算紧密结合,是现代科学计算的基础 。 MATLAB等数学软件中已经有很多数值分析的函 数可以直接调用。
第五章现代优化计算方法
第五章现代优化计算方法第五章现代优化计算方法§5.1 引言§5.2 计算复杂性和启发式算法的概念§5.3 模拟退火优化算法§5.4 遗传优化算法§5.5 神经网络优化算法§5.6 混合优化算法§5.1常规优化算法 Powell法、梯度法引言随机方向搜索法、复合形法、惩罚函数法启发式算法适于求解高非线性、多约束、多极值问题现代优化算法：模拟退火算法（Simulated annealing）遗传算法（Genetic algorithms）神经网络优化算法（Neural networks optimization）混合优化算法（Hybrid optimization）§5.2 计算复杂性和启发式算法一.计算复杂性由于计算时间和存储空间的局限，某些算法在实践中不一定能得到解算法的复杂性算法的求解方法造成（例：求二阶导数）问题的复杂性问题本身求解的复杂造成求解问题的规模（维数）n 对复杂性的影响二.启发式算法是相对于有严格数学背景的数学规划优化算法提出的。
有严格数学背景——梯度法、坐标轮换法、Powell法是基于直观或经验构造的算法，在可接受的花费（指计算时间和空间）内寻找最好的解，但不能保证所得的解就是最优解，以及此解与最优解的近似程度。
通过揭示和模拟自然现象和过程，并综合数学、物理学、生物进化、人工智能、神经科学和统计学等所构造的算法。
也称构造型算法、智能优化算法。
§5.3 模拟退火优化算法一. 物理背景：固体退火的物理过程和统计性质：（1）加温：随温度升高，粒子能量增高，与平衡位置的距离增大（2）等温：温度升至熔解温度，固体的规则性被打破，成为液体，粒子可以自由运动和重新排序，消除系统中原先存在的非均匀状态（3）冷却：随着温度的下降，粒子能量减弱，运动减小粒子最终进入平衡态，固化为具有最小能量的晶体温度 t 下，分子停留在某一状态 r 满足 Bolztmann 概率分布：P E = E (r ) ={}1 ? E (r ) ? exp ? ? ? z (t ) kt ? ?其中： E(r) ——状态r的能量 k ——常数 E ——分子能量的一个随机变量 z(t) ——概率分布的标准化因子 D0 ——最低能量状态的个数 D ——状态空间中状态的个数物理退火 E（r） E（rmin）优化设计 f（x） f （x*）分子停留在某种能量状态的概率与温度成反比随着温度 t 不断降低，分子停留在低能量状态的概率不断增大相同温度下，分子停留在低能量状态的概率要更大二. 基本思想：状态迁移准则（ Metropolis 抽样稳定性条件）：Ei ? E j exp ? ? kt ? ? ≥ random ( 0,1) ?若新状态 j 的能量满足条件，则被用来替代原状态 i。
第07章-现代优化算法
第一节 遗传算法（GA）
1.1 基本遗传算法的构成要素 (1) 染色体编码方法 基本遗传算法使用固定长度的二进制符号串来 表示群体中的个体，其等位基因由二值符号集{0， 1}组成。 初始群体中各个个体的基因值用均匀分布的随 机数来生成。如： x；1001 1100 1000 1011 01 就可表示一个个体，其染色体长度是 l＝18
第一节 遗传算法（GA）
(2) 个体适应度评价 基本遗传算法按与个体适应度成正比的概率来决定当前
群体中每个个体遗传到下一代群体中的机会多少。为正确计 算这个概率，这里要求所有个体的适应度必须为正数或零。 这样，根据不同种类的问题，必须预先确定好由目标函数 值到个体适应度之间的转换规则，特别是要预先确定好当目 标函数值为负数时的处理方法。
= 1.052426
第一节 遗传算法（GA）
1.3.2 个体适应度评价 要求所有个体的适应度必须为正数或零，不能是负数。
(1) 当优化目标是求函数最大值，并且目标函数总取正值时，可以 直接设定个体的适应度F(X)就等于相应的目标函数值f(X)，即：
F(X)＝f(X) (2) 对于求目标函数最小值的优化问题，理论上只需简单地对其增 加一个负号就可将其转化为求目标函数最大值的优化问题，即：
随机数r
23 49 76 13 1 27 57
被选中的个体号 3 7 10 3 1 3 7
第一节 遗传算法（GA）
1.3.4 单点交叉算子 (1) 交叉算子作用
通过交叉，子代的基因值不同于父代。交换是遗传算法产生新 个体的主要手段。正是有了交换操作，群体的性态才多种多样。 (2) 最常用和最基本——单点交叉算子。 (3) 单点交叉算子的具体计算过程如下： Ⅰ. 对群体中的个体进行两两随机配对。
1.1 基本遗传算法的构成要素 (1) 染色体编码方法 基本遗传算法使用固定长度的二进制符号串来 表示群体中的个体，其等位基因由二值符号集{0， 1}组成。 初始群体中各个个体的基因值用均匀分布的随 机数来生成。如： x；1001 1100 1000 1011 01 就可表示一个个体，其染色体长度是 l＝18
第一节 遗传算法（GA）
(2) 个体适应度评价 基本遗传算法按与个体适应度成正比的概率来决定当前
群体中每个个体遗传到下一代群体中的机会多少。为正确计 算这个概率，这里要求所有个体的适应度必须为正数或零。 这样，根据不同种类的问题，必须预先确定好由目标函数 值到个体适应度之间的转换规则，特别是要预先确定好当目 标函数值为负数时的处理方法。
= 1.052426
第一节 遗传算法（GA）
1.3.2 个体适应度评价 要求所有个体的适应度必须为正数或零，不能是负数。
(1) 当优化目标是求函数最大值，并且目标函数总取正值时，可以 直接设定个体的适应度F(X)就等于相应的目标函数值f(X)，即：
F(X)＝f(X) (2) 对于求目标函数最小值的优化问题，理论上只需简单地对其增 加一个负号就可将其转化为求目标函数最大值的优化问题，即：
随机数r
23 49 76 13 1 27 57
被选中的个体号 3 7 10 3 1 3 7
第一节 遗传算法（GA）
1.3.4 单点交叉算子 (1) 交叉算子作用
通过交叉，子代的基因值不同于父代。交换是遗传算法产生新 个体的主要手段。正是有了交换操作，群体的性态才多种多样。 (2) 最常用和最基本——单点交叉算子。 (3) 单点交叉算子的具体计算过程如下： Ⅰ. 对群体中的个体进行两两随机配对。
现代优化计算方法ppt课件-PPT精品文档
D { 0 , 1 }
n ( n 1 )
1.1 组合优化问题
例4 装箱问题（bin packing） 尺寸为1的箱子有若干个，怎样用最少的 箱子装下n个尺寸不超过1 的物品，物品 {a 集合为： 1, a 2,...a n} 。
1.1 组合优化问题
数 学 模 型 ： m in B s .t . x i b 1 , i 1 , 2 ,
b 1 n B
,n,
每个物品都被装箱
装在每个箱子的物品 a i x i b 1 , b 1 , 2 , , B , 总尺寸不能超过箱子 i1 的容量 x ib 0 , 1 , i 1 , 2 , , n ; b 1 , 2 , , B ,
其 中 x ib B :装 下 全 部 物 品 需 要 的 箱 子 ， 1, 第 i物 品 装 在 第 b 个 箱 子 ， 0 ，第 i 物 品 不 装 在 第 b 个 箱 子 .
1.1 组合优化问题
数学模型： m in
d
i j nij源自x ij , n, , n,
(1 .4 ) 总 路 长 (1 .5 ) 只 从 城 市 i 出 来 一 次 (1 .6 ) 只 走 入 城 市 j 一 次 , n , (1 .7 ) 在 任 意 城 市 子 集 中 不 形 成 回 路 (1 .8 ) 决 策 变 量
1.1 组合优化问题
组合优化（combinatorial optimization）:解决 离散问题的优化问题——运筹学分支。通过数学方 法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序 或筛选等，可以涉及信息技术、经济管理、工业工 程、交通运输和通信网络等许多方面。
数学模型： minf (x)
目标函数 约束函数 有限点集 ,决策变量
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7
最优化理论的三大非经典算法:
模拟退火法(SA)、神经网络(NN)、遗传算法(GA)
近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的 模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场。
97年A 题用模拟退火算法 00年B 题用神经网络分类算法 01年B 题这种难题也可以使用神经网络 美国89年A 题也和BP 算法有关系 美国03年B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前
差分进化算法
Differential Evolution，简称DE
27
搜索示例：三个孩子的年龄(1)
两个多年未见的朋友相遇，聊了很多事情。…
A：既然你是数学教授，那你帮我算这个题，今天是 个特殊日子：我三个儿子都在今天庆祝生日！那么你 能算出他们都有多大吗？ B：好，但你得跟我讲讲他们的情况。 A：好的，我给你一些提示，他们三个年龄之积是36. B：很好，但我还需要更多提示。
系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自 由能达到最小时，系统达到平衡态；
冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量 逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。
39
40
智能优化计算
模拟退火算法及模型
物理退火过程
数学表述 在温度T，分子停留在状态r满足Boltzmann概率分布
P{E
29
30 31
计算 1 24 10 4.3 4.9 136.5 10.8 325 时间 sec sec min hour day day year year
33
Part 2 模拟退火法
34
35
36
模拟退火算法及模型
物理退火过程
算法的提出 模拟退火算法最早的思想由Metropolis等（1953）提出， 1983年Kirkpatrick等将其应用于组合优化。
44
智能优化计算
模拟退火算法及模型
物理退火过程 Metropolis准则（1953）——以概率接受新状态
若在温度T，当前状态i → 新状态j 若Ej<Ei，则接受 j 为当前状态； 否则，以概率 p=exp[-(Ej-Ei)/kBT] 接受j 为当前状态。
即：p大于[0,1)区间的随机数，则仍接受状态 j 为当
物理退火过程
数学表述 在同一个温度T，选定两个能量E1<E2，有
P { E E 1 } P { E E 2 } Z ( 1 T )e x k E B p T 1 1 e x E 2 k p B T E 1
算法最佳的是遗传算法。
14
优化模型
实际问题中 M in(或 M ax)zf(x), x(x1, xn)T
的优化模型
s.t. gi(x)0, i1,2, m
x~决策变量
数学规划 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP)
f(x)~目标函数
0-1整数规划 一般整数规划
gi(x)0~约束条件
49
问题分析
50
算法描述(解空间与目标函数)
51
算法描述
一次迭代由三步组成
52
算法描述
53
40
案35例讲解
纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP)
连续规划
19
整数规划(IP)
最优化问题(Optimization Problem)
最优化问题:
M inim ize f(x)f(x1,x2, ,xn) subjecttox(x1,x2, ,xn)SX
组合优化问题(Combinatorial Optimization Problem ) : 最优化问题中的解空间X或S由离散集合构成。其中很 多问题是NP完全(Nondeterministic Polynomial Completeness)问题.
遗传算法
Genetic Algorithm，简称GA
模拟退火算法
Simulated Annealing，简称SA
禁忌搜索算法
Tabu Search，简称TS
神经网络算法
Neural Network Algorithm，简称NNA
粒子群算法
Particle Swarm Optimization，简称PSO
问题 99A 自动化车床：积分、概率分布、随机模拟、分布
拟合度检验
6
数学建模竞赛中的算法(3)
99B 钻井布局：几何变换、枚举、最大完全子图、 混合整数规划
00A DNA分类：神经网络、最小二乘拟合、统计分 类
00B 管道订购：最短路、二次规划 01A 血管的三维重建：数据挖掘、曲面重建与拟合 01B 公交车调度：非线性规划 02A 车灯光源优化设计：最优化 02B 彩票中的数学：概率与优化
E(r)}
1 Z(T)
exp
E(r) kBT
E表示分子能量的一机 个变 随量， E(r)表示状态 r的能量，
kB 0为Boltzman常 n 数。Z(T)为概率分布的标准子 化： 因
Z(T)
sDexp退火算法及模型
4
特点： • 基于客观世界中的一些自
然现象； • 建立在计算机迭代计算的
基础上； • 具有普适性，可解决实际
应用问题。
数学建模竞赛中的算法(1)
93A 非线性交调的频率设计: 拟合、规划 93B 足球队排名次: 矩阵论、图论、层次分析法、
整数规划 94A 逢山开路: 图论、插值、动态规划 94B 锁具装箱问题: 图论、组合数学 95A 飞行管理问题 : 非线性规划、线性规划 95B 天车与冶炼炉的作业调度: 非线性规划、动态
现代优化算法
潘克家
2011-8-8
目录
现在优化算法概论 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA)
2
Part 1 概论
主要是说明现代优化算 法的重要性。
3
现代优化算法
现代优化算法 遗传算法 模拟退火算法 禁忌搜索算法 人工神经网络 蚁群算法 粒子群算法 差分进化算法
24
全局优化 (Rastrigin’s Function)
R a s ( x ) 2 0 x 1 2 x 2 2 1 0 ( c o s 2 x 1 c o s 2 x 2 )
全局最小点 (0,0)
mathworks/help/toolbox/gads/f14773.html 25
规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队论 方法 96A 最优捕鱼策略：微分方程、积分、非线性规划
5
数学建模竞赛中的算法(2)
96B 节水洗衣机：非线性规划 97A 零件参数设计：微积分、非线性规划、随机模拟 97B 截断切割：组合优化、几何变换、枚举、蒙特卡
罗、递归、最短路 98A 投资收益与风险：线性规划、非线性规划 98B 灾情巡视：最小生成树、Hamilton圈、旅行商
组合优化与物理退火的相似性
相似性比较
组合优化问题 解
最优解 设定初温 Metropolis抽样过程 控制参数的下降 目标函数
47
金属物体 粒子状态
能量最低的状态 熔解过程 等温过程 冷却 能量
SA算法描述
48
案例讲解
已知敌方100个目标的经度、纬度
我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。假 设我方飞机的速度为1000公里/小时。我方派 一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标， 再返回原来的基地。在敌方每一目标点的侦察 时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我 方飞机巡航时间可以充分长）。
信息1:三个小孩年龄之积为36 只有以下8种可能，搜索范围减少至8种情况:
第一个小 36 18 12
孩年龄
第二个小 1 2 3
孩年龄
第三个小 1 1 1
孩年龄
9 9 664 4 2 633 1 2 1 23
30
三个孩子的年龄(4)
信息2:三个小孩年龄之和等于窗户数
第一个小 36 18 12
9
9
6
孩年龄
28
三个孩子的年龄(2)
A：他们三个年龄之和等于那幢房子的窗户个数。 A指着对面的一幢房子说。 B考虑了一下说，但是，我还有一点信息来解决你的这 个难题。 A：我的大儿子的眼睛是蓝色的。 B：哦，够了， B 给出了正确的答案，即三个小孩的年龄。
29
三个孩子的年龄(3)
根据对话信息，用搜索的方法来解此问题。
第二个小 1
2
3
4
2
6
孩年龄
第三个小 1
1
1
1
2
1
孩年龄
窗户数: 38 21 16 14 13 13
6
4
3
3
2
3
11 10
如果窗户数为38、21、16、14、11、10即可得出答案
B还需信息，即窗户数为13. 则可能为(9、2、2)或(6、6、1)
信息2:大儿子眼睛是蓝色的 得答案：(9、2、2)
31
22
现代优化方法
待解决的问题
离散性、连续的、不确定性、大规模
现代的优化方法 启发式算法（heuristic algorithm） 追求满意（近似解） 实用性强（解决实际工程问题）
现代的评价方法 算法复杂性
23
现代优化算法的特点
它们的共同特点：都是从任一解出发，按照 某种机制，以一定的概率在整个求解空间中探索 最优解。由于它们可以把搜索空间扩展到整个问 题空间，因而具有全局优化性能。
前状态；否则保留状态 i 为当前状态。
45
智能优化计算
模拟退火算法及模型
物理退火过程 Metropolis准则（1953）——以概率接受新状态 p=exp[-(Ej-Ei)/kBT] 在高温下，可接受与当前状态能量差较大的新状态； 在低温下，只接受与当前状态能量差较小的新状态。
最优化理论的三大非经典算法:
模拟退火法(SA)、神经网络(NN)、遗传算法(GA)
近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的 模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场。
97年A 题用模拟退火算法 00年B 题用神经网络分类算法 01年B 题这种难题也可以使用神经网络 美国89年A 题也和BP 算法有关系 美国03年B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前
差分进化算法
Differential Evolution，简称DE
27
搜索示例：三个孩子的年龄(1)
两个多年未见的朋友相遇，聊了很多事情。…
A：既然你是数学教授，那你帮我算这个题，今天是 个特殊日子：我三个儿子都在今天庆祝生日！那么你 能算出他们都有多大吗？ B：好，但你得跟我讲讲他们的情况。 A：好的，我给你一些提示，他们三个年龄之积是36. B：很好，但我还需要更多提示。
系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自 由能达到最小时，系统达到平衡态；
冷却过程——使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量 逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。
39
40
智能优化计算
模拟退火算法及模型
物理退火过程
数学表述 在温度T，分子停留在状态r满足Boltzmann概率分布
P{E
29
30 31
计算 1 24 10 4.3 4.9 136.5 10.8 325 时间 sec sec min hour day day year year
33
Part 2 模拟退火法
34
35
36
模拟退火算法及模型
物理退火过程
算法的提出 模拟退火算法最早的思想由Metropolis等（1953）提出， 1983年Kirkpatrick等将其应用于组合优化。
44
智能优化计算
模拟退火算法及模型
物理退火过程 Metropolis准则（1953）——以概率接受新状态
若在温度T，当前状态i → 新状态j 若Ej<Ei，则接受 j 为当前状态； 否则，以概率 p=exp[-(Ej-Ei)/kBT] 接受j 为当前状态。
即：p大于[0,1)区间的随机数，则仍接受状态 j 为当
物理退火过程
数学表述 在同一个温度T，选定两个能量E1<E2，有
P { E E 1 } P { E E 2 } Z ( 1 T )e x k E B p T 1 1 e x E 2 k p B T E 1
算法最佳的是遗传算法。
14
优化模型
实际问题中 M in(或 M ax)zf(x), x(x1, xn)T
的优化模型
s.t. gi(x)0, i1,2, m
x~决策变量
数学规划 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP)
f(x)~目标函数
0-1整数规划 一般整数规划
gi(x)0~约束条件
49
问题分析
50
算法描述(解空间与目标函数)
51
算法描述
一次迭代由三步组成
52
算法描述
53
40
案35例讲解
纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP)
连续规划
19
整数规划(IP)
最优化问题(Optimization Problem)
最优化问题:
M inim ize f(x)f(x1,x2, ,xn) subjecttox(x1,x2, ,xn)SX
组合优化问题(Combinatorial Optimization Problem ) : 最优化问题中的解空间X或S由离散集合构成。其中很 多问题是NP完全(Nondeterministic Polynomial Completeness)问题.
遗传算法
Genetic Algorithm，简称GA
模拟退火算法
Simulated Annealing，简称SA
禁忌搜索算法
Tabu Search，简称TS
神经网络算法
Neural Network Algorithm，简称NNA
粒子群算法
Particle Swarm Optimization，简称PSO
问题 99A 自动化车床：积分、概率分布、随机模拟、分布
拟合度检验
6
数学建模竞赛中的算法(3)
99B 钻井布局：几何变换、枚举、最大完全子图、 混合整数规划
00A DNA分类：神经网络、最小二乘拟合、统计分 类
00B 管道订购：最短路、二次规划 01A 血管的三维重建：数据挖掘、曲面重建与拟合 01B 公交车调度：非线性规划 02A 车灯光源优化设计：最优化 02B 彩票中的数学：概率与优化
E(r)}
1 Z(T)
exp
E(r) kBT
E表示分子能量的一机 个变 随量， E(r)表示状态 r的能量，
kB 0为Boltzman常 n 数。Z(T)为概率分布的标准子 化： 因
Z(T)
sDexp退火算法及模型
4
特点： • 基于客观世界中的一些自
然现象； • 建立在计算机迭代计算的
基础上； • 具有普适性，可解决实际
应用问题。
数学建模竞赛中的算法(1)
93A 非线性交调的频率设计: 拟合、规划 93B 足球队排名次: 矩阵论、图论、层次分析法、
整数规划 94A 逢山开路: 图论、插值、动态规划 94B 锁具装箱问题: 图论、组合数学 95A 飞行管理问题 : 非线性规划、线性规划 95B 天车与冶炼炉的作业调度: 非线性规划、动态
现代优化算法
潘克家
2011-8-8
目录
现在优化算法概论 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA)
2
Part 1 概论
主要是说明现代优化算 法的重要性。
3
现代优化算法
现代优化算法 遗传算法 模拟退火算法 禁忌搜索算法 人工神经网络 蚁群算法 粒子群算法 差分进化算法
24
全局优化 (Rastrigin’s Function)
R a s ( x ) 2 0 x 1 2 x 2 2 1 0 ( c o s 2 x 1 c o s 2 x 2 )
全局最小点 (0,0)
mathworks/help/toolbox/gads/f14773.html 25
规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队论 方法 96A 最优捕鱼策略：微分方程、积分、非线性规划
5
数学建模竞赛中的算法(2)
96B 节水洗衣机：非线性规划 97A 零件参数设计：微积分、非线性规划、随机模拟 97B 截断切割：组合优化、几何变换、枚举、蒙特卡
罗、递归、最短路 98A 投资收益与风险：线性规划、非线性规划 98B 灾情巡视：最小生成树、Hamilton圈、旅行商
组合优化与物理退火的相似性
相似性比较
组合优化问题 解
最优解 设定初温 Metropolis抽样过程 控制参数的下降 目标函数
47
金属物体 粒子状态
能量最低的状态 熔解过程 等温过程 冷却 能量
SA算法描述
48
案例讲解
已知敌方100个目标的经度、纬度
我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。假 设我方飞机的速度为1000公里/小时。我方派 一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标， 再返回原来的基地。在敌方每一目标点的侦察 时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我 方飞机巡航时间可以充分长）。
信息1:三个小孩年龄之积为36 只有以下8种可能，搜索范围减少至8种情况:
第一个小 36 18 12
孩年龄
第二个小 1 2 3
孩年龄
第三个小 1 1 1
孩年龄
9 9 664 4 2 633 1 2 1 23
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三个孩子的年龄(4)
信息2:三个小孩年龄之和等于窗户数
第一个小 36 18 12
9
9
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孩年龄
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三个孩子的年龄(2)
A：他们三个年龄之和等于那幢房子的窗户个数。 A指着对面的一幢房子说。 B考虑了一下说，但是，我还有一点信息来解决你的这 个难题。 A：我的大儿子的眼睛是蓝色的。 B：哦，够了， B 给出了正确的答案，即三个小孩的年龄。
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三个孩子的年龄(3)
根据对话信息，用搜索的方法来解此问题。
第二个小 1
2
3
4
2
6
孩年龄
第三个小 1
1
1
1
2
1
孩年龄
窗户数: 38 21 16 14 13 13
6
4
3
3
2
3
11 10
如果窗户数为38、21、16、14、11、10即可得出答案
B还需信息，即窗户数为13. 则可能为(9、2、2)或(6、6、1)
信息2:大儿子眼睛是蓝色的 得答案：(9、2、2)
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现代优化方法
待解决的问题
离散性、连续的、不确定性、大规模
现代的优化方法 启发式算法（heuristic algorithm） 追求满意（近似解） 实用性强（解决实际工程问题）
现代的评价方法 算法复杂性
23
现代优化算法的特点
它们的共同特点：都是从任一解出发，按照 某种机制，以一定的概率在整个求解空间中探索 最优解。由于它们可以把搜索空间扩展到整个问 题空间，因而具有全局优化性能。
前状态；否则保留状态 i 为当前状态。
45
智能优化计算
模拟退火算法及模型
物理退火过程 Metropolis准则（1953）——以概率接受新状态 p=exp[-(Ej-Ei)/kBT] 在高温下，可接受与当前状态能量差较大的新状态； 在低温下，只接受与当前状态能量差较小的新状态。