2019高考数学一轮复习第10章概率、统计和统计案例第2讲几何概型分层演练文

第2讲 几何概型一、选择题1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A ．如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )． 2．设a ∈[0，10]，则函数g (x )＝a －2x在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为( ) A ．12 B ．15 C ．16D ．18解析：选B ．因为函数g (x )＝a －2x在区间(0，＋∞)内为增函数，所以a －2＜0，解得a ＜2，所以函数g (x )＝a －2x 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为210＝15． 3．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．13－32πD ．23解析：选B ．设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B ． 4．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF ­BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F ­AMCD 内的概率为( )A ．34 B ．23 C ．13D ．12解析：选D ．由题图可知V F ­AMCD ＝13×S AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF ­BCE ＝12a 3，所以它飞入几何体F ­AMCD内的概率为14a 312a 3＝12．5．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14解析：选C ．当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C ．6．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23解析：选C ．如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2PA →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C ． 二、填空题 7．某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ， 则正三角形的面积为34a 2． 由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a ，所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2．由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π．答案：334π8．如图所示，OA ＝1，在以O 为圆心，OA 为半径的半圆弧上随机取一点B ，则△AOB 的面积小于14的概率为________．解析：因为OA ＝1，若△AOB 的面积小于14，则12×1×1×sin ∠AOB <14，所以sin ∠AOB <12，所以0<∠AOB <π6或5π6<∠AOB <π，所以△AOB 的面积小于14的概率为13．答案：139．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为________．解析：如图，△ABC 为直角三角形，且BC ＝5，AC ＝12．图中阴影部分是三个分别以A ，B ，C 为圆心，2为半径的扇形，所以S 阴＝12π×22＝2π．所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率P ＝S 阴S △ABC ＝2π12×12×5＝π15． 答案：π1510．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是________． 解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2， 所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，得22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 故要求的概率为π2－0π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝34．答案：34三、解答题11．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ． (1)求四棱锥M ­ABCD 的体积小于16的概率；(2)求M 落在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内的概率．解：(1)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设M ­ABCD 的高为h ，令13×S 四边形ABCD ×h ＝16．因为S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12．若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分， 所以P ＝12V 正方体V 正方体＝12．(2)因为V 三棱柱ABC ­A 1B 1C 1＝12×12×1＝12，所以所求概率P 1＝V 三棱柱ABC ­A 1B 1C 1V 正方体＝12．12．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解：(1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8． 因为x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8． (2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12．1．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12．(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ．①记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率． 解：(1)依题意nn ＋2＝12，得n ＝2． (2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13．②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4．2．已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2－(a ＋1)x ＋1．(1)若a ，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率；(2)若a ，b ∈[1，6]，求满足y ＝f (x )有零点的概率．解：(1)设(a ，b )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”，即Δ＝[－(a ＋1)]2－4b 2＝0，则a ＋1＝2b ．则A 包含的基本事件有(1，1)，(3，2)，(5，3)，共3个，所以P (A )＝336＝112．即事件“y ＝f (x )恰有一个零点”的概率为112．(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，即a ＋1≥2b ．试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6}， 构成事件B 的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6，1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}， 如图所示：所以所求的概率为P (B )＝12×5×525×5＝14．即事件“y ＝f (x )有零点”的概率为14．。