高考数学 考前三个月 解题方法篇 专题三 解题策略 第5讲 分析法与综合法应用策略 文 新人教版

第5讲 分析法与综合法应用策略[方法精要] 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明结论成立，这种证明方法叫做综合法．分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种正面的方法叫做分析法．综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程．但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不宜推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按格式书写．题型一 综合法在三角函数中的应用例1 已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x 4＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 破题切入点 用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，用Q 表示所要证明的结论，则综合法的应用可以表示为：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q .本题是将三角函数式化为同一个角的三角函数，再利用三角函数的周期性和单调性及奇偶性解决．解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3(1－2sin 2x 4) ＝sin x 2＋3cos x 2 ＝2sin(x 2＋π3)． ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin(x 2＋π3)＝－1时，f (x )取得最小值－2； 当sin(x 2＋π3)＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x 2＋π3)． 又g (x )＝f (x ＋π3)． ∴g (x )＝2sin[12(x ＋π3)＋π3] ＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x 2. ∴g (－x )＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g (x )． ∴函数g (x )是偶函数．题型二 综合法在立体几何中的应用例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .破题切入点 综合法的运用，从已知条件、已有的定义、公理、定理等经过层层推理，最后得到所要证明的结论．(1)利用平面PAD ⊥底面ABCD 的性质，得线面垂直．(2)BE ∥AD 易证．(3)EF 是△CPD 的中位线．证明 (1)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形．所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD ，由(1)知PA ⊥底面ABCD .所以PA ⊥CD .所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD .因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF .所以CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .题型三 分析法在不等式中的应用例3 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2>lg a ＋lg b ＋lg c .破题切入点 本题适合用分析法解决，借助对数的性质反推关于a ，b ，c 的不等式，依次寻求使其成立的充分条件，直至得到一个容易解决的不等式，类似的不等式往往利用基本不等式．证明 要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2>lg a ＋lg b ＋lg c ， 只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2)>lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a ·b ·c .因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a ·b ·c 成立，所以原不等式成立．总结提高 综合法和分析法是直接证明中两种最基本的方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法的特点是由原因推出结果，分析法的特点是由结果追溯到产生这一结果的原因．在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论，根据结论的特点去转化条件，得到另一中间结论，根据中间结论的转化证明结论成立．1．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14； ③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 B解析 因为a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，所以①错误；因为a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0， 所以a (1－a )≤14； 所以②正确；当ab <0时，b a ＋a b<0，所以③错误；因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥ a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，所以④正确．2．若x ，y ∈R ＋且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．1答案 B解析 x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xy x ＋y ，要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xy x ＋y 的最大值即可，因为1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时取等号，所以a ≥2，即a 的最小值是 2. 3．已知p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不能确定 答案 B解析 q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .4．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b答案 A解析 因为a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b ＝e x <e 0＝1，所以a >b .6．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系是________．答案 c n ＋1<c n解析 根据条件可得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，所以c n 随着n 的增大而减小，所以c n ＋1<c n .7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b 解析 因为a a ＋b b >a b ＋b a ，所以(a －b )2(b ＋a )>0，所以a ≥0，b ≥0且a ≠b .8．设a ，b ，c >0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .证明 因为a ，b ，c >0，根据基本不等式a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋a ＋b ＋c ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．9．已知△ABC 三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，证明：B 为锐角．证明 要证明B 为锐角，根据余弦定理，也就是证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即需证a 2＋c 2－b 2>0，由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2，故只需证2ac －b 2>0，因为a ，b ，c 的倒数成等差数列，所以1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )．所以要证2ac －b 2>0，只需证b (a ＋c )－b 2>0，即b (a ＋c －b )>0，上述不等式显然成立，所以B 为锐角．10．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝ k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，可得{11－a n}是公差为1的等差数列．又11－a 1＝1，所以根据等差数列通项公式可得11－a n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1－1n. (2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1， S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝1n (1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.所以S n <1.11．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈(0，π2)，若x 1，x 2∈(0，π2)且x 1≠x 2， 证明：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22)． 证明 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22) ⇔12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22⇔12(sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2)>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2)(“化弦”) ⇔sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2)⇔sin (x 1＋x 2)cos (x 1＋x 2)＋cos (x 1－x 2)>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2)只要证明0<cos(x 1－x 2)<1，∵x 1≠x 2，且x 1、x 2∈(0，π2)， ∴0<cos(x 1－x 2)<1成立，即12[f (x 1)＋f (x 2)]>f (x 1＋x 22)． 12．(2014·江苏)如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线PA ∥平面DEF ；(2)平面BDE ⊥平面ABC .证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA .又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .。