【人教版高中数学必修一学习课件】2.2.2对数函数及其性质(3)
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必修1课件2.2.2-3对数函数及其性质(三)
又
t =x 2 x
2
∴所求单调递减区间为（4，+∞）
例3.解下列关于x的不等式:
(1) log0.5x > log0.5(1-x) (2) log2(x+3) < 0
思考？
解不等式logax>loga(1-x)（a＞０且a≠１)时，你
首先想到要做什么？
要使函数有意义
依据： (1)若a 1, log a m log a n m n 0
x O 1 定义域：(0，+∞)
0<a<1 y y=logax
O
1
x
值域：R 性 过点（1，0） 质 当x (0,1)时y 0 即当x=1时，y=0
当x (0,1)时y 0
当x (1， )时y 0
在(0,+∞)上是增函数
当x (1， )时y 0
在(0,+∞)上是减函数
即是f ( x1 ) f ( x2 )
函数f ( x) log 2 ( x 2 1)在(0, )上是增函数
0) ⑵函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (， 上是减函数还是 增函数？ ⑵解：是减函数，证明如下：
设x1 , x2 (0, )且x1 x2
(2)若0 a 1, log a m log a n 0 m n
例4.已知函数
1 x f ( x) log 2 1 x
, 求函
数f(x)的定义域，并确定其奇偶性、单调性.
二、新授内容： 例1 ⑴证明函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (0,) 上是增 函数.
0) ⑵函数 f ( x) log 2 ( x 2 1) 在 (， 上是减函数还是 增函数？
必修一2.2.2对数函数及其性质
a
(a > 0且a ≠ 1)
y 2 1
0
11 42
y log2 x
y log3 x
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
底 大 图 低
-1 -2
3
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越小
由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y
logc x logd x
1
loga x logb x
注意： 1、对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，
2、对数函数对底数的限制：
(a 0
且
a 1)
判断是不是对数函数
(2) y log2 ( x 2)
x (1) y log 5 5
哈哈 ，我们都不是对数函数
（×） （×）
你答对了吗？？？
(3) y 2 log5 x （×）
x
-1
-2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
猜猜: 对数函数 y 2 1
0
y log3 x和y log1 x 的图象。
y log2 x
3
y log3 x
11 42
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
-1 -2
3
y = loga x与y = log 1 x关于x轴对称
与轴交点（1,0）
图象向上、向下无限延伸
定点（1,0）
值 域 :
R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
2.对数函数的图象和性质
a>1
(a > 0且a ≠ 1)
y 2 1
0
11 42
y log2 x
y log3 x
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
底 大 图 低
-1 -2
3
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越小
由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y
logc x logd x
1
loga x logb x
注意： 1、对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，
2、对数函数对底数的限制：
(a 0
且
a 1)
判断是不是对数函数
(2) y log2 ( x 2)
x (1) y log 5 5
哈哈 ，我们都不是对数函数
（×） （×）
你答对了吗？？？
(3) y 2 log5 x （×）
x
-1
-2
这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
猜猜: 对数函数 y 2 1
0
y log3 x和y log1 x 的图象。
y log2 x
3
y log3 x
11 42
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
-1 -2
3
y = loga x与y = log 1 x关于x轴对称
与轴交点（1,0）
图象向上、向下无限延伸
定点（1,0）
值 域 :
R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
2.对数函数的图象和性质
a>1
【高中数学必修一】2.2.2对数函数及其性质
5 5
1 例4. 比较log23和 log 3 两个值的大小。 2
1 若把 log 3 改为 log 3 2呢？ 2
钥匙：底真都不同，利用中间数法。
1.课堂作业：
阅读教材73页有关反函数的 概念，并理解反函数的概念。
2.课后自主学习：
阅读并掌握教材72页，例9
小结：两个对数比较大小
（一）底同真不同比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断； 2.当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。 （二）真同底不同及底真都不同比较大小
法二:
log2 5 log7 5
l og2 5 l og7 5
1 log 5 2 1 log 5 7
log2 5 log7 5
0
y
y log2 x
y log7 x
1
x
图象法
法三:
x5
又 0 log5 2 log5 7 倒数公式 钥匙：1 真同底不同，利用中间数法、 1 log 2 log 7 log2 5 log7 5 图象法或倒数公式
引入新知
1.定义： 形如
y loga x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，定义
域为 （0，+）
在同一坐标系中，用描点法画出图象
y log2 x
y log 1 x
2
2.图象
y
x
1 2
y log2 x y log 1 x
2
y log2 x
4 3 1 A. 3 , , , 3 5 10
4 C. , 3
4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5
1 3 3, , 10 5
1 例4. 比较log23和 log 3 两个值的大小。 2
1 若把 log 3 改为 log 3 2呢？ 2
钥匙：底真都不同，利用中间数法。
1.课堂作业：
阅读教材73页有关反函数的 概念，并理解反函数的概念。
2.课后自主学习：
阅读并掌握教材72页，例9
小结：两个对数比较大小
（一）底同真不同比较大小 1.当底数确定时，则可由函数的 单调性直接进行判断； 2.当底数不确定时，应对底数进 行分类讨论。 （二）真同底不同及底真都不同比较大小
法二:
log2 5 log7 5
l og2 5 l og7 5
1 log 5 2 1 log 5 7
log2 5 log7 5
0
y
y log2 x
y log7 x
1
x
图象法
法三:
x5
又 0 log5 2 log5 7 倒数公式 钥匙：1 真同底不同，利用中间数法、 1 log 2 log 7 log2 5 log7 5 图象法或倒数公式
引入新知
1.定义： 形如
y loga x(a 0, 且a 1) 的函数
叫做对数函数，其中x是自变量，定义
域为 （0，+）
在同一坐标系中，用描点法画出图象
y log2 x
y log 1 x
2
2.图象
y
x
1 2
y log2 x y log 1 x
2
y log2 x
4 3 1 A. 3 , , , 3 5 10
4 C. , 3
4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5
1 3 3, , 10 5
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质课件新人教A版必修1
它是指数函数 y a x (a 0且a 1) 的反函数.
理论
2．对数函数的图象
由于对数函数 y log a x与指数函数y a x 互为反函数，所以 y log a x 的图象与 y a x
的图象关于直线 y x 对称. 看一般图象：
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
44
33
y=ax 22
∴函数 y loga x2的定义域是 x | x 0
（2）由 4 x 0 得 x 4
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4
（3） 由 9 x2 0 得 3 x 3
∴函数 y loga(9 x2) 的定义域是 x | 3 x 3
举例
例2 求下列函数的反函数
在R上是减函数
引例
引例: y 2 x 有无反函数?若有,则求出.
分析:视察图象知,有反函数
由 y 2x 得 x log 2 y 所以,反函数为:
4
fx3 = 2x
2
1
-4
-2
2
y log 2 x x (0,)
理论
1．对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数（logarithmic function）， 其中x是自变量，函数的定义域为 (0,) , 值域为 (,) .
1 y 1 x 1;
2
2 y (1) x2 3 (x 0).
2
解 （: 1）
y
1
x
1
1 x
y
1
2
2
（2）
x log1 ( y 1)
2
f 1( x) log1 ( x 1)
理论
2．对数函数的图象
由于对数函数 y log a x与指数函数y a x 互为反函数，所以 y log a x 的图象与 y a x
的图象关于直线 y x 对称. 看一般图象：
5
4
3
y=ax (a>1) 2
1
44
33
y=ax 22
∴函数 y loga x2的定义域是 x | x 0
（2）由 4 x 0 得 x 4
∴函数 y loga (4 x) 的定义域是 x | x 4
（3） 由 9 x2 0 得 3 x 3
∴函数 y loga(9 x2) 的定义域是 x | 3 x 3
举例
例2 求下列函数的反函数
在R上是减函数
引例
引例: y 2 x 有无反函数?若有,则求出.
分析:视察图象知,有反函数
由 y 2x 得 x log 2 y 所以,反函数为:
4
fx3 = 2x
2
1
-4
-2
2
y log 2 x x (0,)
理论
1．对数函数的定义：
函数 y log a x (a 0且a 1) 叫做对数函数（logarithmic function）， 其中x是自变量，函数的定义域为 (0,) , 值域为 (,) .
1 y 1 x 1;
2
2 y (1) x2 3 (x 0).
2
解 （: 1）
y
1
x
1
1 x
y
1
2
2
（2）
x log1 ( y 1)
2
f 1( x) log1 ( x 1)
高中数学人教A版必修1课件：2、2、2对数函数及其性质
则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的一
个元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B
的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作： f : A B
其中，如果 a A,b B ，且元素a和元素b对应，那么我们
把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：1 映射 f : A B有方向性，即它只表示从集合A
a 1
0 a 1
y
y
图
y loga x
(1,0)
像
o (1,0)
xo
x
y loga x
定义域 性值 域 质 单调性
奇偶性 过定点
(0,)
(0,)
R 在(0,)上递增
R 在(0,)上递减
非奇非偶
非奇非偶
(1,0), 即x=1时，y=0
单调性的应用
例 比较对数值大小
1. 同底的两个对数比较
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解:(3)当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数, log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, log a5.1＞log a5.9
⑧ y log 1 x
概念辨析
例2 下列函数是对数函数的是（D） A. y=log2(3x-2) B. y=log(x-1)x C. y=log0.3x2 D. y=lnx
2.对数函数的图像和性质
用描点法作y=log2x与y=log0.5x的图象.
x
1 4
个元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B
的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作： f : A B
其中，如果 a A,b B ，且元素a和元素b对应，那么我们
把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：1 映射 f : A B有方向性，即它只表示从集合A
a 1
0 a 1
y
y
图
y loga x
(1,0)
像
o (1,0)
xo
x
y loga x
定义域 性值 域 质 单调性
奇偶性 过定点
(0,)
(0,)
R 在(0,)上递增
R 在(0,)上递减
非奇非偶
非奇非偶
(1,0), 即x=1时，y=0
单调性的应用
例 比较对数值大小
1. 同底的两个对数比较
⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) 解:(3)当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数, log a5.1＜log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, log a5.1＞log a5.9
⑧ y log 1 x
概念辨析
例2 下列函数是对数函数的是（D） A. y=log2(3x-2) B. y=log(x-1)x C. y=log0.3x2 D. y=lnx
2.对数函数的图像和性质
用描点法作y=log2x与y=log0.5x的图象.
x
1 4
高中数学必修1课件：2.2.2《对数函数及其性质》 (共22张PPT)
值域: R
自左向右看图象逐渐上升 在(0,+∞)上是： 增函数
列
x … 1/4 1/2 1 2 4 …
表 y log 2 x … -2 -1 0 1 2 …
y log 1 x … 2
2
1 0 -1 -2 …
y
描
2
点
1 11
这两个函数 的图象有什
42
0 1 23 4
x 么关系呢？
连 线
-1
-2
关于x轴对称
2.2 对数函数
2.2.2 对数函数及其性质 Nhomakorabea复习回顾
1 指数函数的概念；
复 习
2 指数函数的图像与性质：
3 对数的概念和基本运算法则
对数函数的概念
一般地,函数y =
(a＞0,且a≠1)
叫做对数函数.其中 x是自变量.
注意：
1.对数函数对底数的限制条件：a＞0,且a≠1
2.函数的定义域是（0,+∞）.
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
值域 : R
过定点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数
质 当x>1时，y>0
当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数
当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
作y=log2x的图象
列
x
1/4 1/2 1 2
表 y=log2x -2 -1 0 1
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质课件1新人教A版必修1
故函数的定义域为{x|1<x<2}．
[规律总结] 定义域是研究函数的基础，若已 知函数解析式求定义域，常规为分母不能为零， 0的零次幂与负指数次幂无意义，偶次方根被 开方式(数)非负，求与对数函数有关的函数定 义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外， 还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别 注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底 数的取值应用单调性．
非奇非偶函数
[知识点拨] 对数函数的知识总结： 对数增减有思路，函数图象看底数； 底数只能大于0，等于1来可不行； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(1,0)点． 3．反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，
即33－ －xx≤ >0e，2， 解得 3－e2≤x<3，
故函数的定义域为{x|3－e2≤x<3}．
(3)要使函数有意义，需使 log0.5(x－1)>0，
即log1
2
(x－1)>0，所以
log2x－1 1>0，
x－1>0 ∴x－1 1>1 ，即 1<x<2.
2
有意义应有 x>0.
[正解] 要使函数有意义，须log1 x－1≥0，
2
∴log1
2
x≥1，∴0<x≤12.
∴定义域为0，12.
跟踪练习
已知函数 y＝f(x)，x，y 满足关系式 lg(lgy)＝lg(3－x)，求函 数 y＝f(x)的表达式及定义域、值域．
人教版高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数的图像及其性质(共20张PPT)
y=0.5x 和y= log0.5x 的图象画在一个坐标内 ，观察图象的特点！
（书面作业）
•P73 2,3
19
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
20
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
２.比较真数值的大小；
0<a<1时为减函数）
结
３.根据单调性得出结果。
14
•（3） loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
16
函数 yloga x,ylogb x,ylogc x,ylogd x
C 的图像如图,则 所下 示列式子中正( 确) 的
y ylogb x A .0 a b 1 c d
yloga x B .0 b a 1 d c
x
O
ylogd x C .0 d c 1 b a
2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
1
（一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量， 定义域是(0,＋∞)
想 对数函数解析式有哪些结构特征？ 一 ①底数：a>0,且 a≠1 想 ②真数: 自变量x ？ ③系数函数？（导学与评价P53） ① y log a x 2 ; ② y log 2 x 1; ③ y 2 log 8 x ; ④ yloxga(x0,且x1); ⑤ ylo5gx.
（书面作业）
•P73 2,3
19
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重 要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
20
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
２.比较真数值的大小；
0<a<1时为减函数）
结
３.根据单调性得出结果。
14
•（3） loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
16
函数 yloga x,ylogb x,ylogc x,ylogd x
C 的图像如图,则 所下 示列式子中正( 确) 的
y ylogb x A .0 a b 1 c d
yloga x B .0 b a 1 d c
x
O
ylogd x C .0 d c 1 b a
2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
1
（一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量， 定义域是(0,＋∞)
想 对数函数解析式有哪些结构特征？ 一 ①底数：a>0,且 a≠1 想 ②真数: 自变量x ？ ③系数函数？（导学与评价P53） ① y log a x 2 ; ② y log 2 x 1; ③ y 2 log 8 x ; ④ yloxga(x0,且x1); ⑤ ylo5gx.
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y loga x
x
yx
x y a 的图象与
对称。
4 4
y=ax
(a>1)
3
y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2
3 3
2 2
2
1 1
1
2 2
-4
-2
2
4
6
-1
y=logax (a>1)
-1 -1
y=logax
0<a<1
4 4
6
-2 -2
-2
思考.已知函数
(1)当定义域为R时,求 2 a的取值范围;
(2)当值域为R时,求a的取值范围.
y lg( x ax 1)
小结： 1.指数函数与对数函数的关系.
2.反函数的定义和图象的特点.
练习： x 1 1. 9.(1)若f（x）的图象与g（x）＝ 的图象关于y轴对称，
4
x
则f（x）＝
a2 1 (a R)是R上的奇 2.已知 f ( x ) x 1 2 函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;
1 (2)若h（x）的图象与g（x）＝ 的图象关于y＝x对称， 4 则h（x）＝ x
（1, 0)
x
(1) 定义域： (0,+∞) 性 (2) 值域：R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0
质
x>1时, y>0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
反函数的概念
y2
x
x log2 y( y (0,))是函数 y 2 x R的反函数
x
指数函数 y 2 x R的反函数
x
对数函数 y log2 x( x 0,)是
x log2 y
对数函数 y loga x(a 0, a 1)与
x
y log2 x
2.2.2对数函数及其性质（3）
指数函数的性质a>1
图象
0<a<1
性质
(1)定义域：R (2)值域：（0，+∞） (3)过点（0，1），即x=0时，y=1 (4)在 R上是增函数（4）在R上是减函数
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图 象
o y (1, 0) x y o
0<a<1
注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数y f ( x ) 的值域、定义域
1
例3 求下列函数的反函数
（1）y=0.2－x+1 （2）y=log2（4－x） (x<4)
对数函数与指数函数的图象
由于对数函数 互为反函数， 所以 的图象关于直线
5 4
y loga x 与指数函数 y a
指数函数 y a (a 0, a 1)是互为反函数
二 反函数的概念
设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如 果由函数y=f(x)所解得 x ( y ) 也是一个函 数（即对任意一个 y B，都有唯一的 x A 与之对应），那么就称函数 x ( y ) 是函 1 x f ( y ) 。习惯上， 数y=f(x)的反函数，记作： 用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数 1 1 y f ( x) 通常改写成： x f ( y)
x
yx
x y a 的图象与
对称。
4 4
y=ax
(a>1)
3
y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2
3 3
2 2
2
1 1
1
2 2
-4
-2
2
4
6
-1
y=logax (a>1)
-1 -1
y=logax
0<a<1
4 4
6
-2 -2
-2
思考.已知函数
(1)当定义域为R时,求 2 a的取值范围;
(2)当值域为R时,求a的取值范围.
y lg( x ax 1)
小结： 1.指数函数与对数函数的关系.
2.反函数的定义和图象的特点.
练习： x 1 1. 9.(1)若f（x）的图象与g（x）＝ 的图象关于y轴对称，
4
x
则f（x）＝
a2 1 (a R)是R上的奇 2.已知 f ( x ) x 1 2 函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;
1 (2)若h（x）的图象与g（x）＝ 的图象关于y＝x对称， 4 则h（x）＝ x
（1, 0)
x
(1) 定义域： (0,+∞) 性 (2) 值域：R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0
质
x>1时, y>0
(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数
反函数的概念
y2
x
x log2 y( y (0,))是函数 y 2 x R的反函数
x
指数函数 y 2 x R的反函数
x
对数函数 y log2 x( x 0,)是
x log2 y
对数函数 y loga x(a 0, a 1)与
x
y log2 x
2.2.2对数函数及其性质（3）
指数函数的性质a>1
图象
0<a<1
性质
(1)定义域：R (2)值域：（0，+∞） (3)过点（0，1），即x=0时，y=1 (4)在 R上是增函数（4）在R上是减函数
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图 象
o y (1, 0) x y o
0<a<1
注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数y f ( x ) 的值域、定义域
1
例3 求下列函数的反函数
（1）y=0.2－x+1 （2）y=log2（4－x） (x<4)
对数函数与指数函数的图象
由于对数函数 互为反函数， 所以 的图象关于直线
5 4
y loga x 与指数函数 y a
指数函数 y a (a 0, a 1)是互为反函数
二 反函数的概念
设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如 果由函数y=f(x)所解得 x ( y ) 也是一个函 数（即对任意一个 y B，都有唯一的 x A 与之对应），那么就称函数 x ( y ) 是函 1 x f ( y ) 。习惯上， 数y=f(x)的反函数，记作： 用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数 1 1 y f ( x) 通常改写成： x f ( y)