参数估计三要素
第七章-参数估计
1.什么是参数估计？（基本概念、参数估计）答：一个总体的分布函数，可以用表示，其中是一个未知的参数或参数向量（多个参数）。
比如，，其中是未知参数。
又如，则是未知参数向量。
在实际问题中，总体的参数通常都是未知的，我们需要通过样本提供的信息，对参数作一个基本的估计。
这就是参数估计问题。
参数估计问题可以分为点估计和区间估计两大类。
2.什么是点估计？（基本概念、点估计、估计量、估计值）答：设总体的分布函数的形式已知，它含有一个或多个参数是未知的，借助于总体的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。
具体描述如下：设总体的分布函数为，其中为未知参数。
从总体中抽取样本，其观察值为。
构造某个统计量，用它的观察值来估计未知参数，则称为的估计值，称为的估计量，它是一个随机变量。
估计量和估计值称为的一个点估计。
点估计值或点估计量都可以简记为。
有两种基本的点估计法：矩估计和极大似然估计。
例如：某厂生产电子元件，电子元件的寿命服从正态分布，当电子元件的平均寿命未知，即参数是未知的。
若抽查了200个电子元件，测得这200个电子元件的平均寿命个小时，这个个小时就可以做为电子元件平均寿命的一个点估计。
3.什么是矩估计法？（基本概念、点估计、矩估计、矩估计量）答：设总体的分布函数中，为维未知参数。
假定总体的前阶原点矩都存在，则这些矩都可表为的函数，即取阶样本原点矩做为总体阶原点矩的估计量，则有方程组其中。
利用上面的方程组可以解出，即有则叫做的矩估计量。
这种方法叫做参数的矩估计方法。
注意，在利用矩估计法估计参数时，有个未知参数就要使用直到的原点矩。
矩估计方法的理论解释如下：若总体的阶原点矩存在，则样本阶原点矩有。
这样，当充分大时，阶样本原点矩与阶总体原点矩会充分接近。
因而是一个合理的估计。
利用矩估计来估计参数一般分为下面三个步骤：（1）根据参数的个数，求总体的各阶原点矩；（2）用各阶样本原点矩代替总体原点矩，为了加以区别通常在参数上加一个尖角符号，如；（3）解关于矩估计量的方程；（4）若给出了样本观察值，代入求得的矩估计量得到估计值。
第九章 参数估计
ˆ ˆ 该区间的两个端点1和 2
分别称为置信下限和置信上限。 α为显著性水平，1－α称为置信度。
区间估计的具体做法是：从点估计值开始， 向两侧展开一定倍数的抽样平均误差，并估 计总体参数很可能就包含在这个区间之内。
置信区间的大小主要由Z 和（或 p） x 这两个量所决定，并为2 Z（或2 Z p）。 x
（一）区间估计的相关知识
1、精确性和可靠性 （也即效度和பைடு நூலகம்度）
效度和信度之间既有密切联系，又有
明显区别，是相互矛盾的两个方面。
效度和信度之间的关系有四种类型： ⑴信度高，效度未必高 ⑵信度低，效度必然低 ⑶效度高，信度必然高 ⑷效度低，信度未必低 总之，信度是效度的基础，是效度的必要条 件而非充分条件；效度是信度的目的和归宿， 没有效度的信度会失去其本来的意义。
S S ，x t / 2 (n 1) x t / 2 (n 1) n 1 n 1
⑵两个总体均值之差的区间估计 ①两个大样本总体均值之差，用Z分布估计 当两个总体方差已知时（对于大样本， 若两个总体方差未知，可用样本方差替 代），可采用标准正态分布进行区间估 计。对于给定的置信水平（1－α）有： P ( Z Z / 2 ) 1 从而可得到：
Z
那么 x Z x ; p Z p 则：x Z x x Z x p Z p P p Z p
x
x
或Z
p
p
表9－3
概率度与概率关系表 概率P（Z） 误差范围△
0.50σ 1.00 σ 1.50 σ 1.64 σ 1.96 σ 2.00 σ 3.00 σ 4.00 σ 5.00 σ
2、抽样误差 ⑴抽样误差的概念 在抽样调查中，误差的来源可分为 非抽样误差和抽样误差两大类。
第二章 参数估计
0
x 2de
x
2xe
x
dx
2
xde
x
0
x
0
0
2 e dx 2 2
0
9
例4：设X1， … ， Xn为取自 N ( , 2 ) 总体的
样本，求参数 , 2 的矩估计。
: E( X ) D( X ) 2 E( X 2 ) [E( X )]2
极大似然法是由德国数学家G.F.Gauss在1821年提 出的.然而这个方法通常归于英国统计学家 R.A.Fisher,因为他在1912年里发现了这一方法,并 且首先研究了这种方法的性质.
设总体的密度函数为f(x,θ), θ为待估参数,θ∈Θ,Θ
为参数空间.当给定样本观察值 x (x1, x2 , xn )后,f(x,
以随便给的,所以根据统计思想建立各种点估计方法
和评价点估计的好坏标准便是估计问题的研究中心.
这里先介绍三个常用的标准:无偏性、有效性和一致
性.
1
有效性
^
^
设 i i ( X1,, X n ), i 1, 2分别是参数 的两个无偏估计,
^
^
^
^
若D 1 D 2 至少有一个n使 成立 , 则称 1比 2 有效.
总体k阶矩 样本k阶矩
k E(Xk )
Ak
1 n
n i 1
X
k i
的矩估计量是
约定：若
是未知参数的矩估计，则u()的矩
估计为u(
),
6
例2、：设X1， … ， Xn为取自参数为的指数分布 总体的样本，求的矩估计。
《统计学》第3章 参数估计
【例3.5】假定在一个箱子里放着黑、白两 种球共4只，且知道这两种球的数目之比为 1∶3，但不知道究竟哪一种颜色的球多。
设黑球所占的比例为P，由上述假定推知P仅 可能取1/4和3/4这两个值，现在采用有放 回抽样的方法，从箱子中随机地抽取三个 球，观察到球的颜色为黑、白、黑，你会 对箱子中的黑球数作出什么推断呢？即你 认为P的值是1/4，还是3/4？
或 为似然方程组。
ln L(1 , 2 ,, n ) 0 j
解得。上面方程组称
[注意] 上面的讨论中，我们没有提到似函 数 L( ) 取极大值的充分条件，对于具体的 函数可作验证。
【例3.6】设总体X服从参数为 的泊松分 布，求参数 的极大似然估计量。
解 设 X1，X2，X3，……，Xn 是来自 X 的样 本，
【例5.2】设X1，X2，……，Xn是取自总 体X的样本，已知X的概率密度为：
X 1 , 0 X 1 f ( X , ) 其他 0,
( 1)
试用矩估计法估计总体参数 。 解: 由于 E ( X ) xf ( X , )dx 1 样本均值为 X ，令E（X）= X ，得: X ,
又 ∵
1 1 n n ，即 ( 2 1 ) ( x( n) x(1) )
L(1,2 ) L( x(1) , x(n) )
∴ 1 , 2 的极大似然估计量分别为 x(1) , x(n) 。
三、估计量的优良标准
在对总体参数做出估计时并非所有的估计量 都是优良的，从而产生了评价估计量是否 优良的标准。对于点估计量来说，一个好 的估计量有如下三个标准：
(x
i 1 n
n
i
) 0 )
第六章 参数估计
12
n1
2 2
n2
，x1 x2＋u
2
12
n1
2 2
n2
)
(2)标准差 i未知，但1＝ 2时
样本统计量 x1 x2 (1 2 ) (n1 1) s (n2 1) s 1 1 ( ) n1 n2 2 n1 n2
2 1 2 2
自由度为 n1＋n2－2的t分布
2
x1 x2 ( 1 2 )
2 1
n1
2 2
n2
变形得到， P( x1 x2 u
2
12
n1
2 2
n2
1 2 x1 x2＋u
2
12
n1
2 2
n2
) 1
所以 1 2 的1－置信区间为 ( x1 x2 u
~ tn1 n2 2
利用和上面类似的推导 得到 1－2 的 1－ 置信区间为
2 2 2 2 ( x x ) t (n1 1) s1 (n2 1) s2 ( 1 1 ) , ( x x ) t (n1 1) s1 (n2 1)s2 ( 1 1 ) 1 2 1 2 n n 2 n n n1 n2 2 n1 n2 1 2 1 2 2 2
12 所以， 2 的95 ％的置信区间为（ 0.0432 , 10.293 ） 2
因为1－2的置信区间（ 0.013 , 0.147)不包含H 0中的0， 所以我们否定 H 0 , 认为两批黄连的小檗碱 含量存在显著差异。
5. 配对数据的置信区间
d 研究配对数据的统计量 为 , 它服从自由度为 n 1的 sd / n t分布，其中d 为d i的平均值， sd 为d i的标准差。
参数分布估计
参数分布估计参数分布估计是统计学中的重要概念，它用于从样本数据中推断总体参数的概率分布。
在很多实际问题中，我们通常无法直接获得总体数据，而只能通过抽取样本来获取有限的数据。
参数分布估计的目的就是通过样本数据来估计总体参数的分布情况。
1. 参数估计的基本概念参数是用来描述总体（population）特征的数值。
例如，总体的均值、方差或者比例等。
而参数估计则是通过样本数据来估计总体参数的数值。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
1.1 点估计点估计是通过一个单一的数值来估计总体参数的方法。
最常见的点估计方法是样本均值（sample mean）。
设总体的随机变量为 X，样本数据为x1, x2, …, xn。
样本均值μ 的估计量为：点估计的优点是简单、直观，但是由于只使用了一个数值进行估计，可能会存在偏差。
1.2 区间估计区间估计是通过确定一个区间来估计总体参数的取值范围。
在区间估计中，我们可以通过给定的置信水平（confidence level）来确定一个置信区间（confidence interval），该区间内的参数值具有一定的概率被包含在内。
置信区间可以通过样本数据的估计值和估计误差来计算得出。
设置信水平为 1-α，样本均值的标准误差为 SE，样本均值的置信区间为：其中，z 是标准正态分布的临界点，s 是样本标准差，n 是样本容量。
区间估计通过给出参数的估计范围，提供了对总体参数的信心程度。
在实践中，通常选择 95% 或 99% 的置信水平。
2. 参数分布的常见类型参数分布是描述总体参数的概率分布。
在统计学中，有一些常见的分布类型经常用于参数分布的估计。
2.1 正态分布正态分布是最常见的连续型参数分布。
它的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）可以用以下公式表示：其中，μ 是均值，σ 是标准差。
正态分布的形状呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
参数估计的方法有
参数估计的方法有
以下几种方法：
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）：利用数据样本的信息，寻找参数的取值，使得样本出现的概率最大。
2. 最小二乘估计（Least Squares Estimation, LSE）：在一组在某些方面“不完美"的观测值与模型估计值之间，寻找一个最佳拟合直线（或其他曲线），使得它们之间的残差平方和最小。
3. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）：在先验分布和数据的基础之上，利用贝叶斯公式推导出后验分布，从而得到参数的估计值。
4. 矩估计（Moment Estimation）：以样本矩估计总体矩的方法来估计参数。
5. 似然比检验估计（Likelihood Ratio Estimation）：将最大似然值与模型的交集和样本容差进行比较，从而确定参数的估计值。
6. 非参数估计方法（Nonparametric Estimation）：不需要对总体分布进行任何假设，在方法上不依赖于总体的形式。
参数估计的一般步骤
参数估计的一般步骤参数估计是统计学中的一种方法，用于根据样本数据估计总体参数的取值。
它在各个领域都有广泛的应用，例如经济学、医学、社会学等。
本文将介绍参数估计的一般步骤，帮助读者了解如何进行参数估计。
一、确定参数类型在进行参数估计之前，首先需要确定要估计的参数类型。
参数可以是总体均值、总体比例、总体方差等，根据具体问题来确定。
二、选择抽样方法接下来，需要选择合适的抽样方法来获取样本数据。
常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
选择合适的抽样方法可以保证样本的代表性，从而提高参数估计的准确性。
三、收集样本数据在进行参数估计之前，需要收集样本数据。
收集样本数据时要注意数据的准确性和完整性，避免数据采集过程中的偏差。
四、计算点估计量得到样本数据后，可以计算点估计量来估计总体参数的取值。
点估计量是根据样本数据计算得出的一个具体数值，用来估计总体参数的未知值。
常见的点估计量有样本均值、样本比例等。
五、构建置信区间除了点估计量，还可以构建置信区间来估计总体参数的取值范围。
置信区间是一个区间估计，表示总体参数的真值有一定的概率落在该区间内。
置信区间的计算方法与具体的参数类型有关，可以利用统计学中的分布理论或抽样分布来计算。
六、进行假设检验除了估计总体参数的取值，参数估计还可以用于假设检验。
假设检验是根据样本数据来判断总体参数是否符合某个特定的假设。
在假设检验中，需要先提出原假设和备择假设，然后计算检验统计量，最后根据统计显著性水平来判断是否拒绝原假设。
七、解释结果需要对参数估计的结果进行解释和说明。
解释结果时要清楚、简洁，避免使用过于专业的术语，以便读者能够理解和接受。
参数估计是统计学中重要的内容之一，它可以帮助我们从有限的样本数据中推断总体的特征。
通过合理选择抽样方法、收集准确的样本数据，并运用适当的统计方法，我们可以得到准确可靠的参数估计结果，为实际问题的决策提供科学依据。
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参数估计三要素
参数估计是统计学中非常重要的一部分，它涉及到如何通过样本数据来得到总体参数
的估计值。
而参数估计的实质就是利用样本信息来推断总体信息。
在进行参数估计的过程
中需要掌握三要素，分别是点估计、区间估计以及最小二乘估计。
一、点估计
点估计就是通过样本数据，估计总体参数的具体数值，也就是说利用样本数据来估计
总体参数的单个值，这个单个值有可能等于总体参数，但也有可能不等于总体参数。
因为
样本数据是有误差的，并且不能代表总体，所以点估计得到的估计量只是在数值上比较接
近总体参数，而不是完全等于总体参数。
常见的点估计方法有矩估计和最大似然估计。
矩估计就是通过样本的前几个矩来估计
总体参数的值，并且要求估计量是样本矩的函数。
最大似然估计是通过知道样本中观测值
的概率分布，来确定估计量的值。
而在实际应用中，矩估计和最大似然估计常常同时使用，这样能够提高估计量的精确度。
点估计通过样本数据，确定总体参数的具体数值，它有其实际意义，但在实际应用中
不能确定它的准确性。
二、区间估计
点估计得到的估计量通常由于样本误差，不能代表总体参数。
在进行参数估计时，我
们还需要确定一个区间，使得这个区间内的任一数值均可能是总体参数的真实值，这个区
间就是区间估计。
对于总体参数的区间估计，我们可以利用统计量来求解。
如对于正态分布总体，其参
数$\mu$，则样本均值是其最佳估计，而其标准差是未知的，所以我们的目的是得到一个
包含总体参数的置信区间来进行估计。
假设总体的分布是正态分布，求出样本均值和样
本标准差，以及统计学的知识，可以得到一个置信区间。
这个置信区间就是在某个置信水
平下，总体参数落在这个区间内的概率为这个置信水平。
总体参数的置信区间是通过样本统计量计算而来的，而这个样本统计量的置信区间大
小和置信水平有关，也和样本数量有关。
在实际应用中，当样本数量越大时，区间估计的
精度就会越高。
三、最小二乘估计
在线性回归分析中，最小二乘估计是一种广泛使用的估计方法。
其实最小二乘估计也
是一种点估计方法，常用于回归分析中，目的是根据样本数据拟合总体回归方程，并且找
出使得样本回归方程总误差平方和达到最小的总体参数。
假设样本数据满足线性关系，假设因变量y在样本数据集里面是可以用自变量x的线性函数表示的，那么我们可以把它写成：
y = β1*x1 + β2*x2 + …+βk*xk + ε，在这个方程中， y表示因变量， xi表示自变量，βi 就是系数，ε为误差。
对于最小二乘估计，我们的目标是估计参数向量β = (β1,β2,…,βk)，以使得
$\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\sum_{j=1}^{k} x_{i j} \beta_{j}\right)^{2}$
达到最小值。
最小二乘估计的优点在于，测量误差对估计结果影响几乎是最小的。
参数估计是统计学中非常重要的一部分，并且应用领域非常广泛。
在进行参数估计时仅凭直觉是不够的，必须要掌握它的三个要素，点估计、区间估计和最小二乘估计，这样才能够在实际应用中正确地进行估计和分析。
除了掌握参数估计的三个要素外，还需要注意以下几个方面：
1.注意样本的大小和分布：在进行参数估计时需要注意样本的大小和分布。
当样本较小时，参数估计的精度很容易受到样本误差的影响，因此需要谨慎估计参数。
样本的分布也会影响参数估计的准确性，例如当数据不满足正态分布时，样本估计方法可能会失效。
2.选择合适的估计方法：用于参数估计的方法有很多种，需要根据实际问题选择合适的估计方法。
当样本部分参数已知时，可以使用贝叶斯方法进行参数估计，或者使用极大似然估计方法进行参数估计。
3.注意参数估计的偏差和方差：在进行参数估计时，需要注意估计值的偏差和方差。
偏差是指估计值和真实参数的差异，而方差是指样本估计与真实参数之间的差异。
当估计值的偏差较大时，可能会导致预测结果偏差较大；当估计值的方差较大时，说明估计结果具有很大的不确定性。
4.合理地确定置信水平和置信区间：在进行区间估计时，需要合理地确定置信水平和置信区间。
置信水平是指在样本大小一定的情况下，总体参数在置信区间内的概率。
置信水平一般设为95%或者99%，但具体应该根据实际情况来确定。
5.进行有效性检验：进行参数估计后，需要进行有效性检验，以验证估计结果的可靠性。
有效性检验可以包括计算置信区间、偏差和方差等，以判断估计结果是否合理。
参数估计是统计学中非常重要的一部分，需要掌握准确的方法和技巧。
同时还需要注意样本大小和分布、选择合适的估计方法、注意参数估计的偏差和方差、合理地确定置信水平和置信区间，以及进行有效性检验。
只有全面理解和掌握了这些方面，才能够在实际应用中得到准确和可靠的估计结果。
在实际应用中，参数估计具有广泛的应用场景，例如在金融风险分析、物流管理、市
场研究、医学诊断等领域中都有着非常重要的作用。
以下是一些实际应用情况：
1.金融风险分析：在金融领域中，常常使用参数估计来估计股票、债券等证券的收益
率和风险。
通过股票价格的历史数据，可以估计股票的平均收益率，并且基于此估计的平
均收益率，可以计算出股票价格的合理区间，从而帮助投资者进行投资决策。
2.物流管理：在物流管理领域中，参数估计可以用来估计物流路线的运输成本和时间。
在决定物流路线时，有时需要考虑各地的交通情况和交通工具的运行速度，通过对这些因
素进行参数估计，可以帮助优化物流路线，从而提高物流效率，降低成本。
3.市场研究：在市场研究领域中，参数估计可以用来估计市场需求和消费者行为。
通
过样本数据对消费者的行为进行分析和建模，可以估计市场需求和消费趋势，从而帮助企
业制定战略和决策。
4.医学诊断：在医学诊断领域中，参数估计可以用来估计疾病的风险和严重性。
通过
收集人群中的样本数据，对某种疾病的风险因素和症状进行分析和建模，可以预测患病的
风险，并且帮助临床医生进行诊断和治疗。
参数估计在实际应用中具有重要作用，可以帮助我们更好地了解数据，并且进行有效
决策。
而在进行参数估计时，我们需要充分理解和掌握其要素和技巧，以确保得到准确可
靠的估计结果。