统计学参数估计
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
统计学之参数估计
统计学之参数估计
参数估计是统计学的一个重要分支，它主要是用来估计未知参数的值。
参数估计关注模型的参数值，而不是模型本身。
参数估计的主要目的是确
定模型背后的重要参数，包括均值、方差、协方差、系数、正则参数等等。
参数估计的主要方法包括极大似然估计（MLE）、贝叶斯估计、解析
估计。
MLE是最常用的参数估计方法，它的目的是寻找一些未知参数
$\theta$，使得根据已知的样本数据，其概率最大。
MLE是一种极大似然
估计，极大似然估计依赖于模型选择，模型选择是极大似然估计的基础。
MLE的关键点是估计参数，并使参数能够使似然函数是极大值。
贝叶斯估计需要对模型参数和概率分布进行假设，以求出参数的期望值。
与极大似然估计不同，贝叶斯估计注重的是参数的后验概率，它不仅
考虑参数的以前的信息，受到先验假设的影响，而且考虑参数的可能性。
解析估计是为了解决极大似然估计和贝叶斯估计的缺点而发展出来的。
解析估计不仅考虑参数的估计，还考虑参数的分布。
解析估计是一种独特
的参数估计方法，它并不依赖于概率模型，也不需要假定概率分布，只需
要估计参数的值即可。
总之，参数估计是统计学的一个重要分支。
统计学参数估计PPT课件
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
统计学原理：第7章 参数估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 26
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
7.2.1 总体均值的区间估计
1、正态总体、２已知，
非正态总体、大样本
2、正态总体、２未知，小样本
7 - 27
总体均值的区间估计
(1、Z分布)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可 靠性的度量，一个点估计量的可靠性是由它的 抽样标准误差来衡量的。
7 -9
抽样分布回顾
Xi ~
, 2
..X
~
,
2
n
p Z Z Z 1
2
2
p Z 2
X
X
Z 2
1
p
Z 7 - 10
2
X
X
Z
2
X
1
抽样分布回顾
p
Z
2
X
X
7 - 12
实际情况是，样本均值已知，而总体均值未知 。
x
样本均值与总体均值的距离是对称的，
若某个样本均值落在总体均值的两个标准差范围以内， 则总体均值就会被包括在以样本均值为中心左右两个标 准差的范围之内。
7 - 13
区间估计
(interval estimate)
1. 总体参数估计的一个区间： 样本统计量 加减 估计误差
统计学参数估计公式
统计学参数估计公式统计学参数估计公式指的是通过统计学方法估计参数的一组数学公式。
不同的统计学参数估计公式各有特点、应用场景和优劣，它们通常用来估计描述性统计或者回归系统的参数。
本文将讨论统计学参数估计公式，并详细说明下面常见参数估计公式：极大似然估计、贝叶斯估计、最小二乘估计、局部加权线性回归和最小化重要性采样。
极大似然估计(MLE)也叫最大似然估计，是一种基于极大似然法的估计统计量的方法。
它的目的是最大化制定概率模型的参数的后验概率。
MLE得出的结果往往比矩估计更加精确。
与贝叶斯估计不同，MLE不需要选择先验分布，且不考虑实证概率，只考虑已知数据。
贝叶斯估计(Bayesian Estimation)是基于概率模型进行参数估计时，结合预先取得的知识，使用条件概率的方法。
基于已有的先验知识，贝叶斯估计将未知参数的概率分布转化为后验的概率，以此来进行估计。
贝叶斯估计法可以克服极大似然估计出现的不平滑问题，而且还能考虑实证概率的影响。
最小二乘估计(Least Square Estimation,LSE)是一种基于数据拟合的参数估计方法。
它将未知数参数表示为一个函数，并使得残差平方和最小，最小化残差平方和来估计未知参数，也就是拟合曲线最适合数据点。
实际运用中往往会遇到过度拟合和欠拟合等问题，所以LSE在多项式回归时需要采用正则化项依据损失函数来控制模型的复杂度，以避免过拟合的情况。
局部加权线性回归(Local Weighted Linear Regression,LWLR)是一种用来解决非线性问题的回归方法。
它的特点是对未知的值的预测引入了权重，在线性回归的基础上引入一个滑动窗口，把预测点以外的点的权重不断减少，越靠近预测点的点的权重越大，这样做的目的是为了使参数估计更加准确和稳定。
最小化重要性采样(Minimum Importance Sampling,MIS)是一种非参数估计参数的方法，它不会估计参数本身，而是通过采样数据而且采样频次是以后验分布的形式定义的，从而用采样数据来估计参数的分布。
统计学 第七章 参数估计
[
]
2 χα (n) （n）的α 分位数，记为k≜ n k≜
抽样分布
（3）性质 • 若X服从χ2 （n），则均值E（X）=n ，方差 D（X） =2n 。 • χ2分布具有可加性。若 X1，X2相互独立，
X1～ χ2（n1） ，X2～χ２（n2）
则（X1＋X2）～χ２（ｎ１＋n２） • 当ｎ→∞时，χ２分布渐进于正态分布
σ
2
~ χ (n −1)
2
第三节两个总体参数的区 间估计（112页）
• • • • • • • 一、两个总体均值之差的区间估计 （一）两个总体均值之差的估计：独立样本 大样本：近似于正态分布 小样本： （1）两个总体的方差均已知，近似于正态分布 （2）两个总体的方差均未知但相等，近似于ｔ分布 （3）两个服从正态分布的总体的方差均未知且不等， 但样本容量相等，近似于ｔ分布 • （4）两个总体的方差均未知且不等，样本容量也不 等，近似于ｔ分布，自由度为V
• 解：求（3）的计算步骤： • ①求样本指标：
x ＝1000小时
σ＝50 （小时）
µ x＝
σ
n
＝
50 100
＝（小时） 5
• ②根据给定的F（t）＝95%，查概率表得t＝1.96。 • ③根据∆x＝t×µx＝1.96×5＝9.8，计算总体平均耐 用时间的上、下限： x − ∆ x＝1000－9.8＝990.（小时） 2 • 下限 x ＋∆ x＝1000＋9.8＝1009 .（小时） 8 • 上限 • 所以，以95%的概率保证程度估计该批产品的平均耐 用时间在990.2～1009.8小时之间。
f (x;θ ) 其中 θ
或概率密度为
是未知参数。 是未知参数。
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一致性(相合性)
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计 量的值越来越接近被估计的总体参数
P( ˆ)
较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
5 - 21
ˆ
统计4学.2 一个总体参数的区间估计
STATISTICS
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
5 - 22
【 例 1】 某 大 学 从 该校学生中随机抽 取 100 人 ， 调 查 到 他们平均每天参加 体育锻炼的时间为 26分钟。试以95％ 的置信水平估计该 大学全体学生平均 每天参加体育锻炼 的时间（已知总体 方差为36分钟）。
5 - 28
解：已知 x＝26, =6，n=100,
1- = 0.95，Ｚ/2=1.96
5 -3
统计学 参数估计在统计方法中的地位
STATISTICS
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计 假设检验
5 -4
统计学
STATISTICS
统计推断的过程
总体
样本统计量
样
本
如：样本均值
、比率、方差
5 -5
统计学4.1 参数估计的一般问题
STATISTICS
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
0.95，Ｚ/2=1.96. 总体均值的置信区间为
x Z 2 n , x Z 2 n
21.4
1.96
0.15 9
,21.4
1.96
0.15 9
21.302,21.498
我们可以95％的概率保证该种零件的平均长度在
52-12.7302～21.498 mm之间
统计学 总体均值的区间估计
STATISTICS （非正态总体：举例）
相应的 为0.01，0.05，0.10
5 - 14
统计学
置信区间
STATISTICS (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
5 -7
统计学
STATISTICS
参数估计的方法
估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
5 -8
区间估计
统计学 被估计的总体参数
STATISTICS
总体参数
一个总体 两个总体
均值
比例 方差 均值之差 比例之差 方差比
5 -9
符号表示
x Z 2 n , x Z 2 n
26 1.96
6 ,26 1.96 100
6 100
24.824,27.176
我们可以95％的概率保证平均 每天参加锻炼的时间在24.824 ～27.176 分钟之间
【 例 2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主， 为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行 抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生 产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且 总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信 区间，置信水平为95%
总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
s
7.77
x z 2
39.5 1.645 n
36
39.5 2.13
37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
5 - 32
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计 （方差未知、小样本）
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 未知
5 -6
统计学
估计量与估计值
STATISTICS (estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量
如样本均值，样本比率、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估
计量
2. 参数用 表示，估计量用ˆ 表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
z x ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2 n
或 x z 2
s ( 未知)
n
5 - 24
统计学正态总体的抽样分布定理
STATISTICS
证明:
5 - 25
是n 个独立的正态 随机变量的线性组 合,故服从正态分布
统计学 总体均值的区间估计
STATISTICS （正态总体：举例）
x t 2
s 1490 2.131 24.77
n
16
1490 13.2
1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为
1476.8小时～1503.2小时
5 - 37
统计学 总体比率的区间估计
STATISTICS
1. 假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似
２.使用正态分布统计量 z z p ~ N (0,1) (1 )
我们只能是希望这个区间是大量包含总体
参数真值的区间中的一个，但它也可能是 少数几个不包含参数真值的区间中的一个
5 - 15
统计学 置信区间与置信水平
STATISTICS
样本均值的抽样分布
x
/2
1–
/2
x
x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
5 - 16
统计学 影响区间宽度的因素
1530
1510
1460
1460
1470
1470
5 - 36
统计学 总体均值的区间估计
STATISTICS
(例题分析)
解 ： 已 知 Ｘ ~N( ， 2) ， n=16, 1- = 95% ，
t/2=2.131
根据样本数据计算得： x 1490 s 24.77
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
STATISTICS
1.总体数据的离散程度，用 来测度
2.样本容量
3.置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
x
n
5 - 17
统计学 评价估计量的标准
STATISTICS
评价点估计的标准
无偏性
有效性
一致性 均方误差准则
5 - 18
统计学
STATISTICS
无偏性
(unbiasedness)
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息 3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、
最大似然法、最小二乘法等
5 - 10
统计学
STATISTICS
区间估计
(interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区 间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得 到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与 总体参数的接近程度给出一个概率度量
统计学
STATISTICS
第四章 参数估计
5 -1
统计学
STATISTICS
4.1 参数估计的一般问题 4.2 一个总体参数的区间估计 4.3 样本容量的确定
5 -2
统计学
STATISTICS
学习目标
1. 估计量与估计值的概念 2. 点估计与区间估计的区别 3. 评价估计量优良性的标准 4. 一个总体参数的区间估计方法 5. 样本容量的确定方法
n
3. 总体比率在1-置信水平下的置信区间为
p z 2
(1 )
无偏性：估计量抽样分布的数学期望 等于被估计的总体参数
P(ˆ)
无偏
有偏
A
B
5 - 19
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点 估计量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ) ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
5 - 20
ˆ
统计学
STATISTICS
的95%的置
信区间。
5 - 35
解：已知Ｘ~N(，2)，x=50, s=8，
n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。
x
t
2
sn1 n
,x
t
2
sn1 n
50 2.0639
8 ,50 2.0639 25
8 25
46.69,53.3
我们可以95％的概率保证总体均 值在46.69～53.30 之间
5 - 12
统计学
STATISTICS
置信区间估计
（内容）
置信区间
均值
比例
2 已知
5 - 13
2 未知
方差
统计学
STATISTICS
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次， 置信区间包含总体参数真值的次数所 占的比率称为置信水平
2. 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比率
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
STATISTICS
(例题分析)
解 ： 已 知 Ｘ ~N( ， 102) ， n=25, 1- = 95% ，
z/2=1.96。根据样本数据计算得：
x 105.36
总体均值在1-置信水平下的置信区间为
10
x z 2
105.36 1.96 n