统计学——参数估计
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
统计学
s n
还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。 还可以进一步推断相应总量指标的区间范围。
2、总体比率的区间估计 、
由定理知：在大样本下， 由定理知：在大样本下，样本比率的分 1 布趋近于 N ( P, P(1 − P)) n 给定置信度 1 − α ，查正态表的 Zα ， 2 样本比例的抽样极限误差为
2 2 2 2
~ F (n1 − 1, n2 − 1)
得方差比 σ 12 / σ 22 的置信度为1 − α 的置信区间为
1 s12 s12 ( 2 , 2 s2 Fα ( n1 − 1, n2 − 1) s2 F
2 1−
1 ) α ( n1 − 1, n2 − 1)
2
例题：见书 页例11 例题：见书150页例 页例 练习：研究由机器A和机器 生产的钢管的内径， 和机器B生产的钢管的内径 练习：研究由机器 和机器 生产的钢管的内径， 随机抽取A生产的管子 生产的管子18只 测得样本方差0.34 随机抽取 生产的管子 只，测得样本方差 平方毫米，抽取B生产的管子 生产的管子13只 平方毫米，抽取B生产的管子13只，测得样本 方差0.29平方毫米。设两样本相互独立，且设 平方毫米。 方差 平方毫米 设两样本相互独立， 由A、B生产的管子内径分别服从正态分布 、 生产的管子内径分别服从正态分布 2 2 N ( µ1 ,σ 1 ), N ( µ 2 ,σ 2 ) µ i ,σ i 均未知。 均未知。 这里的 试求方差比的置信度为0.90的置信区间。 的置信区间。 试求方差比的置信度为 的置信区间
s 小样本） n （小样本）
综述： 综述：总体均值的置信度为 1 − α 的置信区间 表示为： 表示为：x − ∆ x ≤ µ ≤ x + ∆ x 其中： 其中： σ s ∆ ≈ Zα 大样本下： 大样本下： x = Z α σ ( x) = Z α
参数估计
6. 参数估计6.1. 参数估计概述统计学包括四个方面的问题，其中之一就是统计推断。
所谓统计推断就是指，如果有一个总体，其分布和统计量都不知道，如一批生产出来的产品的质量。
这样就需要对其进行推断，如一批灯泡的平均使用寿命是多少，是否为合格品等。
统计推断就是解决这些问题。
统计推断分为两个方面，一方面是参数估计，另一方面是假设检验。
6.1.1.参数估计所谓参数估计就是通过对样本的研究，来确定总体的统计量。
其中又可分为点估计和区间估计两类。
点估计就是估计出总体的某一统计量的确切值，如总体的均值、方差等。
通常可以通过样本的相应值来进行估计。
如：样本的平均值∑=i X nx 1是总体平均值的估计量； 样本的方差为∑=--=ni i x x n s 122)(11是总体方差的估计量； 点估计的优点在于它能明确地给出所估计的参数。
但是一般说来，估计的数值与实际值之间是肯定会有误差存在的。
在实际工作中常常需要对这种误差进行衡量，也就是说还需要确定这个估计值的精度，或误差范围和可信程度。
因此就产生了区间估计的问题。
区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。
例如说一批产品的平均使用寿命为1000小时，这仅仅是一个点估计，还需要说明大多数产品（95%）的使用寿命的上限和下限值，比如说位于800~1200小时之间，这就是一个区间估计值。
因此，在进行区间估计时，除了要给出一个区间值外，还需要同时指明可以信赖的程度，即在进行区间估计时，需要确定的是αθθθ-=<<1)ˆˆ(21p ，其中α为事先给定的一个很小的正数，如0.10, 0.05, 0.01或0.001等，称之为显著水平；1-α称为参数θ的置信概率，或置信水平。
θ1和θ2为所估计的参数θ的区间范围的上下限。
其含为我们有100（1-α）%的把握相信所估计的参数θ位于θ1和θ2的区间范围内。
6.1.2.估计量的评价标准对于所给出的估计来说，有些是好的，有些则不是。
统计学之参数估计
统计学之参数估计
参数估计是统计学的一个重要分支，它主要是用来估计未知参数的值。
参数估计关注模型的参数值，而不是模型本身。
参数估计的主要目的是确
定模型背后的重要参数，包括均值、方差、协方差、系数、正则参数等等。
参数估计的主要方法包括极大似然估计（MLE）、贝叶斯估计、解析
估计。
MLE是最常用的参数估计方法，它的目的是寻找一些未知参数
$\theta$，使得根据已知的样本数据，其概率最大。
MLE是一种极大似然
估计，极大似然估计依赖于模型选择，模型选择是极大似然估计的基础。
MLE的关键点是估计参数，并使参数能够使似然函数是极大值。
贝叶斯估计需要对模型参数和概率分布进行假设，以求出参数的期望值。
与极大似然估计不同，贝叶斯估计注重的是参数的后验概率，它不仅
考虑参数的以前的信息，受到先验假设的影响，而且考虑参数的可能性。
解析估计是为了解决极大似然估计和贝叶斯估计的缺点而发展出来的。
解析估计不仅考虑参数的估计，还考虑参数的分布。
解析估计是一种独特
的参数估计方法，它并不依赖于概率模型，也不需要假定概率分布，只需
要估计参数的值即可。
总之，参数估计是统计学的一个重要分支。
参数估计方法
参数估计方法参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指根据样本数据推断总体参数的过程。
在实际应用中，我们往往需要利用已知数据来估计总体的各种参数，比如均值、方差、比例等。
参数估计方法有很多种，其中最常用的包括最大似然估计和贝叶斯估计。
本文将对这两种参数估计方法进行详细介绍，并分析它们的优缺点。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是建立在似然函数的基础上的。
似然函数是关于总体参数的函数，它衡量了在给定参数下观察到样本数据的概率。
最大似然估计的思想是寻找一个参数值，使得观察到的样本数据出现的概率最大。
换句话说，就是要找到一个参数值，使得观察到的样本数据出现的可能性最大化。
最大似然估计的优点是计算简单，且在大样本情况下具有较好的渐近性质。
但是，最大似然估计也有一些局限性，比如对于小样本情况下可能会出现估计不准确的问题。
另一种常用的参数估计方法是贝叶斯估计。
贝叶斯估计是建立在贝叶斯定理的基础上的，它将参数看作是一个随机变量，而不是一个固定但未知的常数。
在贝叶斯估计中，我们需要先假设参数的先验分布，然后根据观察到的样本数据，利用贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
贝叶斯估计的优点是能够充分利用先验信息，尤其在小样本情况下具有较好的稳定性。
但是，贝叶斯估计也存在一些问题，比如对于先验分布的选择比较敏感，且计算复杂度较高。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据特点来选择合适的参数估计方法。
对于大样本情况，最大似然估计可能是一个不错的选择，因为它具有较好的渐近性质。
而对于小样本情况，贝叶斯估计可能更适合，因为它能够充分利用先验信息，提高估计的稳定性。
当然，除了最大似然估计和贝叶斯估计之外，还有很多其他的参数估计方法，比如矩估计、区间估计等，每种方法都有其特点和适用范围。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它涉及到如何根据已知数据来推断总体的各种参数。
最大似然估计和贝叶斯估计是两种常用的参数估计方法，它们各有优缺点，适用于不同的情况。
统计学参数估计PPT课件
在应用参数估计时，需要注意样本的代表性、数据的准确性和可靠性等问题， 以保证估计的准确性和可靠性。
对未来研究的建议
01
进一步探讨参数估计的理论基础
可以进一步探讨参数估计的理论基础，如大数定律和中心极限定理等，
以更好地理解和掌握参数估计的方法和原理。
02
探索新的估计方法
随着统计学的发展，可以探索新的参数估计方法，以提高估计的准确性
指导决策
评估效果
基于参数估计结果，制定科学合理的 决策。
利用参数估计，评估政策、项目等实 施效果。
预测未来
通过参数估计，预测未来的趋势和变 化。
02
参数估计的基本概念
点估计
定义
点估计是用一个单一的数值来估 计未知参数的值。
举例
在调查某班级学生的平均身高时， 我们可能使用所有学生身高的总 和除以人数来估计平均身高，这 里的总和除以人数就是点估计。
最小二乘法的缺点是假设误差项独立 同分布，且对异常值敏感，可能影响 估计的稳定性。
最小二乘法的优点是简单易行，适用 于线性回归模型，且具有优良的统计 性质。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法是一种基于贝叶 斯定理的参数估计方法，通过 将先验信息与样本数据相结合 来估计参数。
贝叶斯估计法的优点是能够综 合考虑先验信息和样本数据， 给出更加准确的参数估计。
高维数据的参数估计问题
1 2 3
高维数据对参数估计的影响
随着数据维度的增加，参数估计的复杂度和难度 也会相应增加，容易出现维度诅咒等问题。
高维数据参数估计的方法
针对高维数据，可以采用降维、特征选择、贝叶 斯推断等方法进行参数估计，以降低维度对估计 的影响。
统计学参数估计公式
统计学参数估计公式统计学参数估计公式指的是通过统计学方法估计参数的一组数学公式。
不同的统计学参数估计公式各有特点、应用场景和优劣，它们通常用来估计描述性统计或者回归系统的参数。
本文将讨论统计学参数估计公式，并详细说明下面常见参数估计公式：极大似然估计、贝叶斯估计、最小二乘估计、局部加权线性回归和最小化重要性采样。
极大似然估计(MLE)也叫最大似然估计，是一种基于极大似然法的估计统计量的方法。
它的目的是最大化制定概率模型的参数的后验概率。
MLE得出的结果往往比矩估计更加精确。
与贝叶斯估计不同，MLE不需要选择先验分布，且不考虑实证概率，只考虑已知数据。
贝叶斯估计(Bayesian Estimation)是基于概率模型进行参数估计时，结合预先取得的知识，使用条件概率的方法。
基于已有的先验知识，贝叶斯估计将未知参数的概率分布转化为后验的概率，以此来进行估计。
贝叶斯估计法可以克服极大似然估计出现的不平滑问题，而且还能考虑实证概率的影响。
最小二乘估计(Least Square Estimation,LSE)是一种基于数据拟合的参数估计方法。
它将未知数参数表示为一个函数，并使得残差平方和最小，最小化残差平方和来估计未知参数，也就是拟合曲线最适合数据点。
实际运用中往往会遇到过度拟合和欠拟合等问题，所以LSE在多项式回归时需要采用正则化项依据损失函数来控制模型的复杂度，以避免过拟合的情况。
局部加权线性回归(Local Weighted Linear Regression,LWLR)是一种用来解决非线性问题的回归方法。
它的特点是对未知的值的预测引入了权重，在线性回归的基础上引入一个滑动窗口，把预测点以外的点的权重不断减少，越靠近预测点的点的权重越大，这样做的目的是为了使参数估计更加准确和稳定。
最小化重要性采样(Minimum Importance Sampling,MIS)是一种非参数估计参数的方法，它不会估计参数本身，而是通过采样数据而且采样频次是以后验分布的形式定义的，从而用采样数据来估计参数的分布。
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第8 讲参数估计
本讲的主要内容
8.1 参数估计的一般问题
8.2 一个总体参数的区间估计
8.3 两个总体参数的区间估计
8.4 样本量的确定
学习目标
1.估计量与估计值的概念
2.点估计与区间估计的区别
3.评价估计量优良性的标准
4.一个总体参数的区间估计方法
5.两个总体参数的区间估计方法
6.样本量的确定方法
8.1 参数估计的一般问题
8.1.1 估计量与估计值
估计量与估计值(estimator & estimated value)
1.估计量：用于估计总体参数的随机变量
如样本均值，样本比例, 样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值m 的一个估计量
2.参数用θ表示，估计量用表示
3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值
如果样本均值⎺x=80，则80就是m的估计值
8.1.2 点估计与区间估计
点估计 (point estimate)
1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计
2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息
⑴虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值
⑵一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量
区间估计 (interval estimate)
1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到
2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
区间估计的图示
置信水平 (confidence level)
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例
称为置信水平
2. 表示为置信水平 =1 - a
a 为是总体参数未在区间内的比例
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 a 为0.01，0.05，0.10
置信区间 (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信
区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生
的区间是否包含总体参数的真值
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也
可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个
总体参数以一定的概率落在这一区间的表述是错误的
置信区间 (95%的置信区间)
8.1.3 评价估计量的标准
无偏性 (unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数
有效性 (efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效
一致性 (consistency)
一致性：随着样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数
P (
)
B
A 无偏有偏θ
θ
ˆθˆ
A
B
的抽样分布1ˆθ2ˆθP ()θθˆθˆ
8.2 一个总体参数的区间估计
8.2.1 总体均值的区间估计
一个总体参数的区间估计
8.2.1-1总体均值的区间估计(正态总体、s２已知，或非正态总体、大样本)
总体均值的区间估计 (大样本)
1.假定条件
总体服从正态分布,且方差(σ２) 已知
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n³ 30)
2.使用正态分布统计量z
3.总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为
8.2.1-2总体均值的区间估计(正态总体、s２未知、小样本)
总体均值的区间估计 (小样本)
1.假定条件
总体服从正态分布,但方差(σ２) 未知
小样本 (n < 30)
2.使用t分布统计量
3.总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。
一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。
随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
8.2.2 总体比例的区间估计
总体比例的区间估计
1.假定条件
总体服从二项分布
可以由正态分布来近似
2.使用正态分布统计量z
3.总体比例π在1-α置信水平下的置信区间为
8.2.3 总体方差的区间估计
总体方差的区间估计
1.估计一个总体的方差或标准差
2.假设总体服从正态分布
3.总体方差s 2的点估计量为s2,且
一个总体参数的区间估计 (小结)
8.3 两个总体参数的区间估计
8.3.1 两个总体均值之差的区间估计
8.3.2 两个总体比例之差的区间估计
8.3.3 两个总体方差比的区间估计
两个总体参数的区间估计
8.3.1-1两个总体均值之差的区间估计(独立大样本)
两个总体均值之差的估计 (大样本)
1.假定条件
▪两个总体都服从正态分布，σ1２、σ2２已知
▪若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n1≥30和n2≥30)
▪两个样本是独立的随机样本
2.使用正态分布统计量z
3.σ1２,σ2２已知时，两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
4.σ1２,σ2２未知时，两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.1-2 两个总体均值之差的区间估计(独立小样本)
两个总体均值之差的估计(小样本: s12=s 22 )
1.假定条件
▪两个总体都服从正态分布
▪两个总体方差未知但相等：σ1２=σ2２
▪两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2.总体方差的合并估计量
3.估计量⎺x1-⎺x2的抽样标准差
4.两个样本均值之差的标准化
5.两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
两个总体均值之差的估计(小样本: s12≠s 22 )
1.假定条件
▪两个总体都服从正态分布
▪两个总体方差未知且不相等：σ1２≠σ2２
▪两个独立的小样本(n1<30和n2<30)
2.使用统计量
⏹两个总体均值之差μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.1-3 两个总体均值之差的区间估计(匹配样本)
两个总体均值之差的估计(匹配大样本)
1.假定条件
▪两个匹配的大样本(n1≥ 30和n2 ≥ 30)
▪两个总体各观察值的配对差服从正态分布
2.两个总体均值之差μd =μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
两个总体均值之差的估计(匹配小样本)
1.假定条件
▪两个匹配的小样本(n1< 30和n2 < 30)
▪两个总体各观察值的配对差服从正态分布
2.两个总体均值之差μd=μ1-μ2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.2 两个总体比例之差区间的估计
两个总体比例之差的区间估计
1.假定条件
①两个总体服从二项分布
②可以用正态分布来近似
③两个样本是独立的
2.两个总体比例之差π1-π2在1-α置信水平下的置信区间为
8.3.3 两个总体方差比的区间估计
两个总体方差比的区间估计
1.比较两个总体的方差比
2.用两个样本的方差比来判断
▪如果S12/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近
▪如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异
3.总体方差比在1-α置信水平下的置信区间为
两个总体参数的区间估计 (小结)
8.4 样本量的确定
8.4.1 估计总体均值时样本量的确定
估计总体均值时样本量的确定
1.估计总体均值时样本量n为
2.样本量n与总体方差σ2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为
▪与总体方差成正比
▪与边际误差的平方成反比
▪与可靠性系数成正比
3.样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位
成整数，如24.68取25，24.32也取25等等
8.4.2 估计总体比例时样本量的确定
估计总体比例时样本量的确定
1.根据比例区间估计公式可得样本量n为
2.E的取值一般小于0.1
3.π未知时，可取使方差达到最大的值0.5
8.4.3 估计两个总体均值之差时样本量的确定
1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2
2.根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为
8.4.4 估计两个总体比例之差时样本量的确定
1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2
2.根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为
本讲小结
1.参数估计的一般问题
2.一个总体参数的区间估计
3.两个总体参数的区间估计
4.样本量的确定。