正项级数比较判别法
12.2正项级数的判别法
正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有 un 0， 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后 我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为 正项级数的收敛性问题. 2.正项级数收敛的充要条件 定理1 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
n 1
注: 其重要性并不在于利用它来直接判别正项级数
(n a ) 例6 判别级数 的敛散性. n a n n1 n n n a a n 1 1 n (n a ) n n u , 解 记 n n a n a a n n n n 1 v , 因 采用比较法的极限形式, 取 n a n n un a a e 0, lim lim 1 n v n n n 1 所以原级数与级数 a 具有相同的敛散性, 从 n1 n
解
3
lim n
n
sin
n 1. 3 6 n
因级数 收敛, 所以原级数也收敛. n1 n
注: 从以上解答过程中 可以看到极限中的某些等价 无穷小在级数审敛讨论时十分有用的。事实上级数 的收敛性取决于通项 un 趋向于零的“快慢”程度.
u 与v
n 1 n n 1
n
有相同的敛散性.
5.极限判别法：
推论1 设 un为正项级数.
nu , (1) 若 lim nun l 0 或 lim 则级数 n n n
n 1
u
n 1
n
发散;
n 1
p lim n ( 2) 若 p 1, 而 n un 存在, 则级数 un 收敛.
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法
正项级数比值判别法是数学中常用的一种级数收敛性判别法。
它是通过比较相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
具体来说，如果相邻两项的比值小于1，则级数收敛；如果相邻两项的比值大于1，则级数发散；如果相邻两项的比值等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的原理可以通过数学公式来表示。
假设有一个正项级数a1, a2, a3, …，则它的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) an+1/an
如果这个极限存在且小于1，则级数收敛；如果这个极限存在且大于1，则级数发散；如果这个极限不存在或等于1，则无法判断级数的收敛性。
这个判别法的应用非常广泛，可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
例如，可以用它来判断调和级数的收敛性。
调和级数是指形如
1/1 + 1/2 + 1/3 + …的级数。
根据正项级数比值判别法，调和级数的相邻两项的比值为：
lim(n→∞) (1/(n+1))/(1/n) = lim(n→∞) n/(n+1) = 1
因此，调和级数的收敛性无法判断。
实际上，调和级数是发散的，这可以通过其他方法来证明。
除了调和级数，正项级数比值判别法还可以用来判断几何级数、指
数级数、幂级数等各种类型的级数的收敛性。
在实际应用中，我们通常会结合其他的级数收敛性判别法来判断级数的收敛性，以确保判断的准确性。
正项级数比值判别法是一种非常有用的级数收敛性判别法，它可以用来判断各种类型的级数的收敛性。
在使用时，我们需要注意判断条件的准确性，以确保判断的正确性。
级数收敛的判别方法
级数收敛的判别方法1. 比较判别法：若级数的通项与一个已知的收敛级数或发散级数之间存在比较关系，通过比较它们的大小可以判断级数的收敛性。
2. 极限判别法：对于正项级数，若其通项在n趋于无穷大时的极限存在且非零，那么级数收敛；若极限为零或不存在，则级数发散。
3. 比值判别法：对于正项级数，计算相邻两项的比值的极限，若极限小于1，则级数收敛；大于1，则级数发散；等于1，则判别不出结果，可能为发散也可能为收敛。
4. 高斯判别法：对于形如an = f(n)g(n)的级数，若函数f(n)和g(n)满足一定的条件，那么级数收敛。
5. 绝对收敛和条件收敛：若级数的绝对值级数收敛，则原级数也收敛，否则原级数发散。
条件收敛是指原级数在绝对收敛的前提下仍然收敛。
6. 积分判别法：对于正项级数，将通项进行积分，若积分级数收敛，则原级数收敛；若积分级数发散，则原级数发散。
7. Ratio Test：For a series with positive terms, if the ratio of consecutive terms has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.8. Root Test：For a series with positive terms, if the nth root of the absolute value of each term has a limit less than 1, then the series converges. If the limit is greater than 1 or does not exist, the series diverges.9. Alternating Series Test：For an alternating series with decreasing terms, if the absolute value of the terms tends to zero as n approaches infinity, then the series converges.10. Power Series Convergence Test：For a power series of the form ∑(an(x-c)^n), if there exists a number R such that the series converges for |x-c| < R and diverges for |x-c| > R, then the series converges for the interval (c-R, c+R) and diverges elsewhere.。
正项级数知识
sn
1
1 2p
1 3p
n1pn1p
n
n1
dx xp
y
y
1 xp
(
p
1)
1
12
dx xp
n
n1
dx xp
1
1n
dx xp
o 1234
1
1
1
1
(1 p 1
n p1 ) 1
p 1
即sn有界,则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
x
收敛 发散
例2证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明
+
ln 2
dt tq
故q 1时发散，q 1时收敛。
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法 nlimuunn1
根值审敛法
lim n
n
un
1
1
收敛
发散
比较审敛法
1
不定
部分和极限
用它法判别
积分判别法
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1时失效.
证明 当为有限数时,对 0,
N ,当n N时,有 un1 ,
un
即 un1 (n N )
un
当 1时,取 1 ,使r 1,
uN 2 ruN 1, uN 3 ruN 2 r 2uN 1, ,
uN m
n1
n1!，（2）n11n0!n
，（3）
n1
(2n
1 1)
2n
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
04第四讲 正项级数的概念,比较判别法
数学分析第十二章数项级数正项级数的概念，比较判别法第四讲数学分析第十二章数项级数正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同,则称为同号级数. 对于同号级数,只须研究各项都是由正数组成的级数(称正项级数).由级数与其部分和数列的关系，得：数学分析第十二章数项级数定理12.5>=0(1,2,),i u i 由于证所以{S n }是递增数列. 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界定理).仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不容易的，敛性判别法则.n u ∑正项级数收敛的充要条件是:{}n S 有界, <.n S M 即存在某正数M ,对一切正整数n 有而这就证明了定理的结论.部分和数列因此要建立基于级数一般项本身特性的收数学分析第十二章数项级数定理12.6（比较原则）n n u v ∑∑设和是两个正项级数，如果存在某正数N ,对一切n > N 都有,(1)n n u v ≤则(i),;n n v u 若级数收敛则级数也收敛∑∑(ii),.n n u v 若级数发散则级数也发散∑∑证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.'''∑∑nn n n S S u v 现在分别以和记级数与的部分和.散性,数学分析第十二章数项级数由(1)式可得,对一切正整数n ,都有.(2)nn S S '''≤,lim ,n nn v S →∞''∑若收敛即存在则由(2)式对一切n 有lim nn n S S →∞'''≤，n u ∑{}n S '即正项级数的部分和数列有由定理12.5级数n u ∑收敛, (ii)为(i)的逆否命题,自然成立.≤(1)n nu v 界,这就证明了(i).数学分析第十二章数项级数例1 -+∑21.1n n 考察的收敛性解≥2,n 由于当时有因为正项级数21(1)n n n ∞=-∑收敛(§1例2),原则, 级数211n n -+∑也收敛.22111n n n n≤-+-()1.1n n =-故由比较数学分析第十二章数项级数22,,0,0.nnn n u v u v >>∑∑收敛且例2 若级数2210(),2n n n n u v u v <≤+证因为根据比较原则, 得到正项级数n nu v∑收敛.在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.n n u v 则级数收敛.∑∑∑22,nnu v而级数均收敛，。
级数判别法
级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。
1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。
2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。
○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。
3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。
○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。
4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。
2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。
5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。
2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。
6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。
正项级数判别 法
1 n
5 4
,则
v
n 1 n n 1
1 5 n4
收敛
un ln n 4 ln x lim 1 lim lim lim 0 1 1 n x n v n x n 4 x 4 x 4
ln n 收敛。 由比较判别法的极限形式知， un 3 n 1 n 1 n 2
解: 1) 若 p 1,
1 因调和级数 发散 , 所以p 级数 n 1 n
1 由比较审敛法可知： n
发散 .
2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n 1 1 1 n 1 p 1 d x p 1 p 1 (n 1) n n 1 x p
1 1 1 1 1 2 3 4 n 2 2 2 2
即
1 1 n 1 n 2 n
而级数
1 2
n 1
n 1
收敛，
1 故级数 n 收敛。 n 1 n
定理3.(比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
0, 收敛 un lim l (0 l ), 和 n v n 发散 ,
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
（3）当 = 1 时，不能用此法判定级数的敛散性。
u n 1 知存在 N Z , 当n N 时, u 1 n
收敛 ,由比较审敛法可知 un 收敛 .
证: (1) 当 1 时,
(2) 当 1 或 时,必存在 N Z , u N 0, 当n N 时 从而
un vn sn n (n 1, 2, )
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正项级数比较判别法
概述
正项级数比较判别法是微积分中用于判定无穷级数收敛或发散的一种方法。
通过将待判定的级数与已知的收敛或发散级数进行比较，可以推断待判定级数的收敛性。
前提条件
正项级数比较判别法只适用于正项级数，即级数的每一项都是非负数。
基本思路
正项级数比较判别法的基本思路是将待判定级数与已知的收敛或发散级数进行比较，通过比较判断待判定级数的收敛性。
具体步骤如下：
1.首先，找到一个已知的收敛级数（记作级数A）。
2.然后比较待判定级数与级数A的每一项，判断待判定级数的每一项是否都小
于等于级数A的每一项。
3.如果待判定级数的每一项都小于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定
级数收敛。
4.如果待判定级数的每一项都大于等于级数A的每一项，那么可以推断待判定
级数发散。
5.如果待判定级数无法与已知的收敛或发散级数进行比较，那么无法通过正项
级数比较判别法判断其收敛性。
比较级数的常用方法
比较法
比较法是正项级数比较判别法中最常用的方法之一。
比较法的基本思路是通过比较待判定级数与已知的收敛或发散级数的每一项，来判断待判定级数的收敛性。
比较法又可分为以下两种常用的具体方法：
1. 大于法
如果存在一个已知的收敛级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项
大于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数发散。
2. 小于法
如果存在一个已知的发散级数级数A，且对于所有的n，都有待判定级数的每一项
小于等于级数A的对应项，那么可以推断待判定级数收敛。
极限比值法
极限比值法利用级数项的极限比值与已知级数的极限比值比较来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：
1.首先计算待判定级数的每一项的绝对值与前一项绝对值的比值的极限值。
2.然后与已知的级数的极限比值进行比较。
根据比较结果，可以得出以下推断：
•如果待判定级数的极限比值小于已知级数的极限比值，那么待判定级数收敛；•如果待判定级数的极限比值大于已知级数的极限比值，那么待判定级数发散；•如果待判定级数的极限比值等于已知级数的极限比值，该方法无法判定级数的收敛性。
极限根值法
极限根值法利用级数项的极限根值与已知级数的极限根值比较来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：
1.首先计算待判定级数的每一项的绝对值的根值的极限值。
2.然后与已知的级数的极限根值进行比较。
根据比较结果，可以得出以下推断：
•如果待判定级数的极限根值小于已知级数的极限根值，那么待判定级数收敛；•如果待判定级数的极限根值大于已知级数的极限根值，那么待判定级数发散；•如果待判定级数的极限根值等于已知级数的极限根值，该方法无法判定级数的收敛性。
应用举例
下面通过几个具体的例子来说明正项级数比较判别法的应用。
例1
判断级数∑1
2n ∞n=1的收敛性。
由级数的通项可以看出，该级数是一个几何级数，且比值小于1，即|q |<1。
已知
几何级数∑q n ∞n=1在|q |<1时收敛。
因此，待判定级数收敛。
例2
判断级数∑1n 2∞n=1的收敛性。
考虑级数∑1n ∞n=1，该级数是一个调和级数，已知调和级数发散。
我们可以通过比较法来判断级数∑1n 2∞n=1的收敛性。
由于对于n ≥1，有1n 2≤1n ，因此可以得出待判定级数的每一项都小于等于级数
∑1n ∞n=1的每一项。
根据比较法推理，级数∑1
n 2∞n=1收敛。
例3
判断级数∑1
n 3∞n=1的收敛性。
注意到级数∑1n 3∞n=1是级数∑1n 2∞n=1的子级数。
并且对于所有的n ≥1，都有1n 3≥1n 2。
根据比较法推理，级数∑1
n 3∞n=1发散。
总结
正项级数比较判别法是一种用于判定无穷级数的收敛性或发散性的有力工具。
通过比较待判定级数与已知的收敛或发散级数，可以推断待判定级数的收敛性。
其中比较法、极限比值法和极限根值法是正项级数比较判别法中常用的方法。
通过学习和应用这些方法，可以高效地判定级数的收敛性，为微积分和数学分析领域的问题求解提供有力的支持。