比较几种判定正项级数收敛性的方法
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
级数收敛的概念和判别法则
级数收敛的概念和判别法则级数是数学中重要的概念之一，它是由无穷多个数相加而成的一种数列。
级数的收敛性与数列的求和有着密切的关系，它在分析学、数学物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍级数收敛的概念及其判别法则。
一、级数收敛的概念级数是指由无穷多个数按照一定次序相加而成的表达式。
设a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……是一个数列，则级数可以表示为S = a₁ +a₂ + a₃ + …… + aₙ + ……当数列{Sₙ}存在有限的极限值S时，称级数S收敛，记作∑aₙ = S。
反之，若数列{Sₙ}不存在有限的极限值，则称级数S发散。
二、级数收敛的判别法则为了判断一个级数是否收敛，数学家们提出了多种判别法则，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 初等判别法初等判别法适用于一些简单级数的判断。
对于级数∑aₙ，如果当n趋于无穷大时，aₙ趋于零，即lim(aₙ) = 0，那么级数必收敛。
2. 比较判别法比较判别法适用于正项级数的判定。
设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，且对于所有n，都有0 ≤ aₙ ≤ bₙ成立。
若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。
3. 极限判别法极限判别法适用于形式为aₙ = f(n)的级数。
若存在正整数N和常数p，使得当n > N时，有aₙ ≤ (n^p)成立，那么根据级数∑(n^p)的收敛性来判断∑aₙ的收敛性。
4. 比值判别法比值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数q，使得当n足够大时，有(aₙ₊₁/aₙ) ≤ q成立，那么如果q < 1，级数∑aₙ收敛，如果q > 1，级数∑aₙ发散，若q = 1，则该方法不适用。
5. 根值判别法根值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数r，使得当n足够大时，有(n√aₙ) ≤ r成立，那么如果r < 1，级数∑aₙ收敛，如果r > 1，级数∑aₙ发散，若r = 1，则该方法不适用。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。
求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。
以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。
1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。
例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。
但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。
2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。
若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。
其中，$a_n$和$b_n$都是正数。
3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。
该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。
此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。
将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。
若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法有以下几种：
1. 比较判别法：如果对于正项级数∑a_n和正项级数∑b_n，有
a_n≤b_n对于所有的n成立，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也发散。
2. 极限判别法：如果对于正项级数∑a_n，有
lim(n→∞)a_n/a_(n+1)=L，其中L为有限值，则当L<1时，级数∑a_n收敛；当L>1时，级数∑a_n发散；当L=1时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
3. 比值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)a_(n+1)/a_n=q，则级数∑a_n收敛；如果
lim(n→∞)a_(n+1)/a_n＞1，则级数∑a_n发散。
4. 根值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)√(a_n)=q，则级数∑a_n收敛；如果lim(n→∞)√(a_n)＞1，则级数∑a_n发散。
需要注意的是，这些判别法只对正项级数有效，即级数中的每一项都是非负的。
对于一般的级数，可以考虑正项级数的收敛性质来推导一般级数的收敛性。
数项级数2——正项级数的收敛性
数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。
例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。
例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。
例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。
例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。
例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。
例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。
例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。
例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。
例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。
例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。
例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。
例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。
例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。
例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。
例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。
例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。
例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。
二、上面例题的详细解答。
情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性 例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。
解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。
例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。
解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。
数学分析中的级数收敛的判定方法
级数是数学分析中一个重要的概念，它由无穷多个数的和组成。
在研究级数时，我们常常希望知道该级数是否收敛。
本文将介绍数学分析中的一些级数收敛的判定方法。
首先我们来介绍级数的收敛和发散的定义。
对于给定的级数∑an，它的部分和序列是指Sn=∑an的前n项和。
如果该序列有极限L，即limn→∞Sn=L，那么我们称级数∑an收敛，并且极限L是该级数的和。
如果该序列没有极限，或者极限为无穷大，那么我们称级数∑an发散。
接下来我们将介绍一些级数收敛的判定方法。
1.比较判别法比较判别法是级数判定方法中最基本的方法之一。
其思想是将待判定的级数与一个已知的级数进行比较。
设∑an和∑bn是两个级数，如果对于所有的n，我们有0≤an≤bn，那么有以下结论：•如果∑bn收敛，那么∑an也收敛；•如果∑bn发散，那么∑an也发散。
通过比较判别法，我们可以快速判断某些级数的收敛性。
2.比值判别法比值判别法是另一种常用的级数收敛判定方法。
它通过计算级数的相邻两项的比值来判断级数的收敛性。
设∑an是一个级数，定义rn=|an+1/an|，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
比值判别法在实际运用中非常有用，特别是对于一些指数函数形式的级数。
3.根值判别法根值判别法是一种级数收敛的判定方法，它利用级数的项求极限的方法进行判定。
设∑an是一个级数，定义rn=|an|^(1/n)，如果以下条件满足：•如果rn<1，则级数∑an收敛；•如果rn>1，则级数∑an发散；•如果rn=1，则比较判别法不起作用，我们需要采用其他方法进行判定。
根值判别法是一种常用的方法，特别适用于指数函数形式的级数。
4.正项级数判别法正项级数判别法是一种判定正项级数（即级数的每一项都是非负数）收敛性的方法。
它通过判断级数的部分和序列是否有上界来进行判定。
正项级数收敛的必要条件
正项级数收敛的必要条件摘要：一、正项级数收敛的定义二、正项级数收敛的必要条件1.项数趋于无穷2.级数绝对值趋于零3.级数符号不变正文：在数学领域，正项级数收敛性是一个重要概念。
所谓正项级数，是指由一系列正数构成的数列，按照一定的规则进行求和。
当我们讨论正项级数收敛时，我们需要了解其必要条件。
首先，我们来了解一下正项级数收敛的定义。
一个正项级数收敛，当且仅当其各项绝对值趋于零，且级数符号不变。
换句话说，当级数中的每一项的绝对值都越来越小，且级数的正负性始终保持不变时，这个级数就是收敛的。
接下来，我们详细探讨正项级数收敛的必要条件。
1.项数趋于无穷：一个级数要想收敛，就必须拥有无穷多的项。
这是因为，如果项数有限，那么无论级数和是多少，都不可能趋于一个确定的值。
因此，项数趋于无穷是正项级数收敛的必要条件之一。
2.级数绝对值趋于零：正项级数收敛的另一个必要条件是，各项的绝对值趋于零。
这是因为，如果级数中的某一项或几项的绝对值过大，那么这些项会对级数的和产生显著的影响，使级数和无法稳定在一个确定的值上。
因此，级数绝对值趋于零是正项级数收敛的必要条件之一。
3.级数符号不变：正项级数收敛的最后一个必要条件是，级数的正负性始终保持不变。
这是因为，如果级数的正负性发生变化，那么级数的和也将发生变化，级数就不可能收敛。
因此，级数符号不变是正项级数收敛的必要条件之一。
综上所述，正项级数收敛的必要条件包括：项数趋于无穷、级数绝对值趋于零、级数符号不变。
掌握了这些必要条件，我们就能够判断一个正项级数是否收敛，从而为后续的数学分析奠定基础。
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
比较几种判定正项级数收敛性的方法【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析，找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径.【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题一：比较判别法. 1:定义若从某一项起11n n n nn na b a kb a b ++≤≤（或者）（k >0）,则由1n n b ∞=∑的收敛性可推出1n n a ∞=∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n na b a b ++≥或者（k >0）,则由1n n b ∞=∑发散可推出1n n a ∞=∑发散.2：比较判别法的极限形势 设limn n na b →∞=λ（+λ∞为有限数或）则：（i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同.（ii ）：11=0b n n n n a λ∞∞==∑∑时，由收敛可推出收敛.（iii ）：11b n n n n a λ∞∞===+∞∑∑时,由发散课推出发散.3:例题(1):证明：若级数1n n a ∞=∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级数1n n A ∞=∑其中11n npn i i p A a -+==∑（11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举出例子.证 设级数1n n A ∞=∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则1111n p n ni i i l Aa -+∞====∑∑级数由于1n n a ∞=∑收敛，故其余部分和序列{}n S 趋于定值S ，因此，11lim lim n n pn n l S S -+→∞→∞==即级数1n n A ∞=∑是收敛的，且与级数n na ∞∑有相同的和.反之不真。
例如，级数1111-+-+…1(1)n -+-+… 是发散的，但是按下述方法组成的级数(11)(11)-+-+…(11)+-+… 却是收敛的. (2):判断级数：2211135+++…21(21)n -….解 由于22110(21)n n<≤-，且级数211n n∞=∑收敛，故级数211(21)n n ∞=-∑也收敛.4：小结由上可知，比较判别法一般是由通过一个级数作为标杆，根据这个级数的收敛或者发散，判断两一个级数的敛散性，一般这种方法通过极限形势更容易判断，而且这两个级数一般都可以进行相互联系性的化简，要特别注意的是被判断级数放在分子的位置，标杆级数放在分母的位置.二：根植判别法 1：定义111,n n n n q a a ∞∞==≤<∑∑则收敛；若从某一项起11n n a ∞=≥∑，则发散.2：根植判别法极限形势设n lim(+)q q →∞=∞为有限或者：（i ）则11n n q a ∞=<∑时，收敛.（ii ）11.n n q a ∞=>∑时，发散（iii ）11n n q a ∞==∑时，的收敛性不定.3：例题（1）研究下列级数的收敛性：1n ∞=-∑…2解 由于21limlim 1n n n n na a +→∞→∞==1<故级数1n ∞=∑…2收敛.（2）2211(2)n n n∞=+∑解 由于limlimn n →∞→∞=1lim122+n n→∞==<故级数2211(2)n n n∞=+∑收敛（3）判断111()n nn nn n+∞=+∑的敛散性解 由于1111(1)0,1(1)()n nn nnnn n n nn n+-⋅≥=+>++对于级数11+nnn n n-∞=⋅∑（1）其通项趋于10e≠，故它是发散的.因此，原级数也是发散的.（3）1113(1)2n n n +∞+=+-∑解由于1limlim2n n →∞→∞==. 但是111,3(1)42[3(1)]1n n nnn a a n ++⎧+-⎪==⎨+-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时4：小结这种、方法一般通过通项求出极限，根据极限的范围判断级数是否收敛，这种方法一般是看级数是否开n 次方，是否容易求出极限，极限是否为有限数.一般的级数都可以用此种方法判断.三：达朗伯耳判别法 1：定义 若从某一项起11111,1n n n n n n nna a q a a a a ∞∞++++≤<≥∑∑则收敛，若从某一项起，则发散2：达朗伯耳判别法的极限形势 设1lim(+)n n na q q a +→∞=∞为有限或则11n n q a ∞=<∑时，收敛；11n n q a ∞=>∑时，发散;11n n q a ∞==∑时，的收敛性不定 3:例题(1)分析21n ∞=∑.的敛散性解 由于21limlim 1n n n n na a +→∞→∞==-1<故级数1n ∞=∑…2收敛.（2.的敛散性解 注意到2s2sin,44co ππ=2sin8π==2sin16π===利用数学归纳法能，可以证得通项公式为12sin.2n n a π+=由于2112sin 12limlim122sin2n n n n nn a a ππ++→∞→∞+==<级数收敛.（2）证明：若111lim(0),(),nn n n n n a q a a o q q q a +→∞=>=>则其中.证 由于1lim.limn n n na q q a +→∞→∞==故.令1001()0,2q q n n n ε=->≥则由上式知存在，使得时，有q ε<，从而有1q q ελ<+= 0()n n ≥.其中1111.(1),()nnnnn nq q o a q o q a λλλ+=<===利用证得.（3）证明：若1lim1(0),n n n n a q a a +→∞=<>则级数1n n a ∞=∑收敛.相反结论不真，研究例子2233111111232323++++++….证 取01q ε<<-，由于1lim1(0),n n n na q a a +→∞=<>故存在00,n n n ≥使得时.有11n na q l a ε+<+=<.从而，0000().n n n n a a ln n -<≤≥由于级数0n n n n l∞-=∑收敛，故0n n n a ∞=∑收敛.从而，级数1n n a ∞=∑收敛.反之不真，例如，级数2233111111232323+++++…显然是收敛的.但是，112(),21312(),223m n m nn m a a n m ++⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当当. 通过上述证明 故有 1l i mn n na a +→∞=+∞. 即本题证毕.4：小结具体一个级数，用后一项比上前一项通常可以进行化简，化简之后求其极限，若是得出一个具体数或者近似具体数通常可以直接判断是否收敛了，这种方法非常便捷，但不适用于带有非常难开的根号形式的级数. 四：例题方法：求出通项n a 减小的阶，从而研究级数1n n a ∞=∑的收敛性.1：判断1sin.n pa nnπ=的敛散性解 由于0n a ≥且11sin lim 1pn p nn nππ→∞+= 或 11()n p a o n+=*，故 仅当110,p p +>>即时级数收敛.2：证明：设正项级数1n n a ∞=∑的项单调减小，则级数1n n a ∞=∑与级数212n n n a ∞=∑同时收敛或同时发散.证 设122nS a a =++ (2)a ，则因12a a >> (22)1nna a +>>>…0>，故得12320()nS a a a <<+++…+1221(++)nn a a +-…122a a <++…22n na + （2） 且有12342()nS a a a a =++++ (1)21(n a -+++…+2)n a 124122a a a >+++ (1)22n n a -+=221221222a a a +++（…22nna +）0>. （3）由（2）得知：若212nnn a ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑也发散.由此本题获证.五：总结由以上通过对各个判别法的分类讨论及例题的解题过程，浅谈了对于不同级数使用不同判别法的方法，针对有根号的判别法可以使用根植判别法；对于与典型级数有一定相似方面，可以使用其为敛散性的判别标杆的使用比较判别法（要注意具体探讨比较判别法时注意事项）；对于达朗伯耳判别法，一般都是级数的后一项和前一项的比值可以进行相当程度的化简，化简后的极限是有限数，根据极限判断其级数的敛散性.还有很多级数用以上三种判别法不能够简便的判断，因为我只讨论了一部分判定法，还有很多判别法对很多类型级数十分适用.【参考文献】1 费定辉，周学圣. 数学分析习题集精选精解【M】. 山东科学级数出版社. 2007年12月第一版. 238页—248页.2 宋国柱. 分析中的基本定理和典型方法【M】. 科学出版社. 2006年1月第二次印刷. 71页—80页.3 刘玉莲. 数学分析（下）【M】. 高等教育出版社 2007年.。