2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析
2018最新第34届中国数学奥林匹克试题及详细解析!
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勿e 心 e t 心，如e 知e 如 心“
微信公众号 数学竞赛的那些事儿
倾倾 倾
欲证 ∠BAK = ∠C AQ ,而显然 ∠ABK = ∠AQC ,从而 △ABK ∼ △ AQC ,图形中显然最后生成的是点 Q,它最难描述,它是两圆交点,但是 A, K, D, Q 共圆很难用,而 △ABK ∼ △AQC 很好用. 考虑到点 Q 的唯一性可以考虑用同一法,即在圆 O 上取 Q ′ 使得 ∠ABK = ∠AQ ′C ,下面只需证明 A, 共圆即可,如下图： K, D, Q ′
2 a + 2 b + 2 c + 2d + = 32. )5 2e 5
则必有 2 个正数不相邻. 又显然 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a ∈ [−2, 8] ,故原式 ≤ (−2)2 × 9 × 8 = 288 . (3) 若 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 中恰一个正,不妨设 a + b > 0,由 (b + c ) + (d + e ) ≤ 0 知 a ≥ 5, 由 e ≥ −1,知 e + a ≥ 4,矛盾. 综上,原式 ≤ 288 ,当 a = b = c = −1, d = e = 4 时取等. 解法二 令 a1 = a + b, a2 = c + d, a3 = e + a, a4 = b + c, a5 = d + e 则有
5 ∑
不妨设 a + b, c + d > 0,则 a + b + c + d = 5 − e ≤ 6,从而 (a + b)(c + d) ≤ 9.
2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题(一)及答案
2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）深圳中学 邹新宇1、假定正整数N 的8进制表示为8)43211234567765(=N ，那么下面四个判断中，正确的是（ ）A 、N 能被7整除而不能被9整除B 、N 能被9整除而不能被7整除C 、N 不能被7整除也不能被9整除D 、N 既能被7整除也能被9整除2、已知数列{}n a 满足)(,2007,2000*1221N n a a a a a n n n ∈-===++,则2007a 等于（ ）A 、2007B 、-2007C 、7D 、-7 3、在12)2(++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）A 、1312++n ； B 、123+n ； C 、12321+⨯n ； D 、)13(2112++n4、在1，2，3，4，5的排列54321,,,,a a a a a 中，满足条件,,2321a a a a <<4543,a a a a <<的排列个数是（ ）A 、10；B 、12；C 、14；D 、16.5、直线3-=mx y 与抛物线x m x y C m mx x y C )12(:,45:2221-+=-+=323:,3232--+=-+m mx x y C m 中至少有一条相交，则m 的取值范围是（ ） A 、283-≤≥m m 或 B 、231-≤-≥m m 或 C 、R m ∈ D 、以上均不正确 6、若关于x 的不等式032<+-x xae e有实数解，则a 的取值范围是（ ）A 、()32,-∞-B 、()32,∞-C 、()32,32- D 、),32(+∞二、填空题7、设a 为实数，集合{}{}φ≠+---=+-=B A a a B a a a a A ,1,1,1,,,222，则=B A ____________________．8、在三角形ABC 中，已知三个内角A 、B 、C 成等差数列，设他们所对的边分别是a 、b 、c ，并且a c -等于AC 边上的高h ，则=-2sin AC ____________________．9、斜率为1的直线与椭圆2214y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB=. 则P 点的轨迹方程是____________________．10、已知当[]1,0∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 22>-+--θθx x x x 恒成立，其中πθ20≤≤，则θ的取值范围是____________________．11、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。
全面解读2018年五大学科竞赛，看懂少走弯路！
全面解读2018年五大学科竞赛，看懂少走弯路！2018年元旦新年刚过，意味着五项学科竞赛的大幕即将正式开启。
关注学科竞赛网的朋友们都知道学科竞赛是锻炼人智力，超出课本范围的一种特殊的考试。
往往要求学生补充大量知识，需要的思维量很大，从而提高学生的思维快速判断能力。
使得学习的学生对知识掌握具有很高的灵活性和熟练度。
同时学科竞赛的国家集训队成员具有高校保送资格，省级以上奖项和市级奖项均具有参加高校自主招生的资格，也就是说在现行高考制度下，学科竞赛在选拔培养拔尖学科后备人才方面发挥了非常独特的作用。
所以学科竞赛关乎所有优秀学生的切身利益，学科竞赛的重要性和社会关注度可想而知。
今天学科竞赛网（jingsai985）就分三大板块为大家解析五大学科竞赛，希望对大家有所帮助（文章比较长可以收藏，可以放到朋友圈帮助更多高中孩子）。
一、概述五大学科竞赛五项学科竞赛是指数学、物理、信息学、化学、生物五门学科。
不同的科目竞赛的时间、赛制略有不同，名字也不统一。
比如数学一直叫数学联赛，物理叫物理竞赛。
数学竞赛1956年起，在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。
1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。
联赛分为初赛和复赛（即一试和二试），在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200多名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”。
冬令营邀请各省、市、自治区在全国高中数学联赛中的优胜者参加，分配原则是每省市区至少一人，然后设立分数线择优选取。
为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。
各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。
竞赛时间流程图物理竞赛全国中学生物理竞赛，始于1984年，是由中国科协主管，中国物理学会主办，每年举行一次，各省、自治区、直辖市自愿参加的群众性的课外学科竞赛活动，至今已经是第34届。
高中数学奥林匹克竞赛全真模拟试题及答案
高中数学奥林匹克竞赛全真模拟试题及答
案
这份文档提供了一套完整的高中数学奥林匹克竞赛全真模拟试题及答案。
这些试题旨在帮助参与奥林匹克竞赛的高中学生进行练和复，以提高他们在数学竞赛中的表现。
试题内容
本文档包含多个数学奥林匹克竞赛模拟试题，涵盖了高中数学的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
试题的难度逐渐增加，以适应不同水平的竞赛参与者。
每个试题都经过精心设计，以鼓励学生思考和运用创造性的解题方法。
试题答案
除了试题本身，本文档还提供了所有试题的答案。
每个题目后面都有详细的解答和步骤，帮助学生理解和掌握解题方法。
答案部分的内容经过仔细验证，确保准确无误。
使用建议
- 学生可以利用这份文档作为练材料，并按照自己的进度逐步完成试题。
- 学生可以尝试独立解答试题，并在查看答案之前，评估自己的解题能力和方法的正确性。
- 学生可以在解答完试题后，对比自己的解答和文档中的答案和解析，以便发现和纠正自己的错误。
参考书目
- 《高中数学奥林匹克竞赛真题及解析》
- 《高中数学竞赛题研究》
- 《数学奥赛理论与实战攻略》
这份文档旨在为高中数学竞赛的学生提供有用的学习资源，帮助他们在竞赛中取得更好的成绩。
祝愿每位使用这份文档的学生都能够在数学奥林匹克竞赛中大放异彩！。
2018年协作体数学奥林匹克夏令营A水平考试答案
pi f ( xi ) （ i = 1, , M ）.由中国剩余定理，同余方程组
x ≡ x1 ( mod p1 ) , x ≡ x ( mod p ) M M
有整数解 x ≡ x0 ( mod p1 pM ) .
取其中一个解 n0 使得 f (n0 ) > 1 .则 pi f (n0 ) （ i = 1, , M ） ，这说明 p1 , , pM 都是 f (n0 ) 的素因数，所以 g (n0 ) ≥ M . ………… 30 分 下面回到原题，假设结论不成立，则存在正整数 N ，使得 n > N 时有如下 性质： （1） f ( n ) > 1, f ( n + 1) > 1 ； （2） g (n) ≥ g (n + 1) .
从而 BC ≥
(
5 − 4 cos A BD ．
)
………… 20 分
当 ∠C ≥ 90° 时，设 = x BD = DE ,= y EC ，则点 D 到直 线 BC 的 距 离 为 x sin B ， 点 E 到 直 线 BC 的 距 离 为 y sin( A + B ) ， 因 为 x < y , sin B < sin( A + B ) ， 所 以 x sin B < y sin( A + B ) ，于是 ∠DEA > 90° ，故 = x DE < AD ， B AB 从而 x < ．又 x < y ≤ AC ，所以 2 c x ≤ min , b ． 2 2 c c 2 2 2 于是 a = b + c − 2bc cos A = 4 + b2 − 4b cos A 2 2 c c ≥ 3 + 2b (1 − 2 cos A) 2 2 ≥ (5 − 4 cos A) ⋅ x 2 ， 从而
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。
2018年蒙古数学奥林匹克几何题
2018年蒙古数学奥林匹克几何题2018年蒙古数学奥林匹克几何题是一道考察几何知识和解题能力的数学题目。
本文将对该题进行详细分析和解答。
题目描述：在平面上给定一个三角形ABC，点D、E、F分别是BC、CA、AB的中点。
设点P在平面内，且满足∠BAP = ∠CAP，∠CBP = ∠ABP。
证明：∠EPF = 90°。
解题思路：首先，我们可以通过观察得知，点P位于三角形ABC的外接圆上。
因为∠BAP = ∠CAP，所以点P与点A、点D、点E共线；同理，点P 与点B、点D、点F共线。
这样，我们可以得到以下结论：结论1：点P位于三角形ABC的外接圆上。
结论2：三角形APB与三角形APC相似。
结论3：三角形BPC与三角形BAC相似。
接下来，我们将利用这些结论来证明∠EPF = 90°。
证明：根据结论1，我们可以得知∠APB = ∠APC = ∠ABC。
由结论2可知，∠PAB = ∠PCA。
因此，∠PAB + ∠PBA = ∠PCA + ∠PAC，即∠PBA = ∠PAC。
同理，根据结论3，我们可以得知∠PBC = ∠BAC。
因此，∠PBC+ ∠PCB = ∠BAC + ∠ABC，即∠PCB = ∠ABC。
由于∠PBA = ∠PAC，且∠PBC = ∠ABC，所以∠PBA + ∠PBC =∠PAC + ∠ABC。
根据三角形内角和定理，我们可以得知∠ABC +∠ACB + ∠BAC = 180°。
因此，∠PBA + ∠PBC + ∠PCB = 180°。
根据三角形内角和定理，我们可以得知∠PBC + ∠PCB + ∠PBA = 180°。
结合前面的结论，我们可以得到∠PBA + ∠PBC + ∠PCB =∠PBA + ∠PAC + ∠PBC + ∠PCB = 180°。
由于∠PBA + ∠PBC + ∠PCB = 180°，所以∠PAC + ∠PBC +∠PCB = 180°。
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2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析
一、前言
2018年协作体数学奥林匹克夏令营，作为一项具有挑战性和深度的数学活动，吸引着全国各地优秀的数学爱好者参与。
其中，o水平解析
作为该夏令营的重要内容之一，具有一定的难度和复杂性。
本文将深
入剖析2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析的相关内容，
帮助读者更加全面、深刻和灵活地理解这一主题。
二、o水平解析的基本概念
o水平解析是指在数学奥林匹克竞赛中，对o水平题目进行深入剖析，探讨解题思路和方法，以及解题过程中可能遇到的困难和技巧。
这需
要对数学知识有着深厚的理解和灵活的运用，同时也需要具备较强的
逻辑思维能力和解决问题的能力。
在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析更是成为了参与者们深入思考和探讨的热点之一。
我们将对该夏令营中的o水平解析
进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解这一
主题。
三、解析题目和思路
在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析的题目主要涉及到数论、代数、几何等多个领域。
我们先从数论领域的题目入手，逐
步深入探讨其中的解题思路和方法。
1. 数论题目解析
题目：已知整数序列$${a_n}$$满足$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，且$$a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{(-1)^n}{a_n}$$，证明：对于任意的
正整数$$n$$，$$a_n$$都是正整数。
解析思路：首先我们可以递归地计算出数列$$a_n$$的前几项，观察
规律。
可以假设$$a_k$$是正整数，再来证明$$a_{k+1}$$也是正整数。
通过数学归纳法证明，最终得出结论。
2. 代数题目解析
题目：设$$a,b,c$$是非负实数，且$$a+b+c=1$$，求证：$$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc \leq 1$$。
解析思路：这是一个典型的不等式证明题，可以通过各种方法进行证明，如洛必达法则、绝对值法、柯西不等式等。
我们可以从多个角度
出发，运用不同的方法进行求证，从而更全面地理解不等式的性质。
3. 几何题目解析
题目：已知$$\triangle ABC$$的内切圆半径为$$r$$，外接圆半径为$$R$$，证明等腰三角形的面积不小于直角三角形的面积。
解析思路：这是一个几何证明题，需要灵活运用三角形的性质和几何
知识。
我们可以利用面积公式、三角函数和几何变换等方法进行证明，从而得出结论。
通过以上三个领域的题目解析，我们可以看到o水平解析题目的广度
和深度，需要对各个领域有着很好的掌握和理解。
在解题过程中，需
要善于发现问题的本质和规律，通过多种方法进行求解，从而得到更
加全面和深入的思考。
四、个人观点和理解
从我个人的角度来看，o水平解析题目给出了一个很好的学习和思考
机会。
在解题过程中，不仅需要掌握扎实的数学基础知识，还需要保
持积极的思维活跃性，勇于尝试和探索未知领域。
通过分析和解析题目，可以不断提高自己的数学思维能力和解决问题的能力，培养灵活
的思维方式和逻辑推理能力。
五、总结和回顾
通过本文的论述，我们全面评估了2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析的相关内容，深入剖析了数论、代数和几何三个领域的题目解析，帮助读者更加全面、深刻和灵活地理解这一主题。
在解析过程中，我们发现o水平解析需要我们具备很好的数学基础知识，同时需要保持对问题的原创性和灵活性，通过多种方法进行求解，不断提高自己的解题能力和思维方式。
o水平解析是一项值得深入研究和思考的数学活动，不仅可以提高我们的数学素养，还可以培养我们的解决问题的能力和创新意识。
希望通过我们的努力，可以更好地推动数学奥林匹克活动的发展，为数学爱好者们提供更多更好的学习评台和交流机会。
六、具体分析与解答
在具体分析题目的解答过程中，我们不仅要深刻理解题目，还要善于运用数学知识和方法。
在数论领域的题目中，我们需要善用数列的递推关系和数学归纳法，找出规律并进行严谨的证明。
在代数题目中，我们可以采用洛必达法则、柯西不等式等方法，巧妙地运用不等式性质进行推导和证明。
而在几何题目中，我们需要善于利用三角形的相关公式和性质，以及面积公式和几何变换等方法，得出准确的结论。
在解答过程中，我们也要注重严谨性和清晰度。
不仅要给出正确的解答，还要清晰地展现解题思路和推导过程，使读者能够清晰地理解和
跟随我们的思维路径。
这样不仅能加深自己的理解，还能对他人有所
启发和帮助。
七、交流和合作
在解答过程中，交流和合作也是非常重要的。
通过和他人的交流和讨论，我们可以开拓视野，发现不同的解题思路和方法，从而得到更多
的启发和提高。
在合作中，我们也能够互相学习和促进，共同解决问题，共同提高。
八、实践与应用
在解答过程中，我们也要善于运用所学的知识和方法去解决现实生活
中的问题。
数学是一种智慧的体现，它不仅存在于书本和试题中，还
贯穿于日常生活的方方面面。
通过将所学的数学知识运用到实际问题中，我们不仅能够加深对知识的理解，还能够体会到数学在解决实际
问题中的强大力量。
九、个人成长与收获
通过参与o水平解析的活动，我们不仅能够提高自己的数学解题能力，还能够培养自己的思维方式和解决问题的能力。
在不断地思考和探索中，我们不断成长，不断收获。
这种收获不仅在于数学知识的提高，
还在于思维方式和逻辑推理能力的不断增强。
十、结语
在本文中，我们对2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析进行了深入剖析，阐述了解题的基本概念、具体分析与解答、交流和合作、实践与应用，以及个人成长与收获等方面。
通过这些内容的分析和阐述，希望读者能够对o水平解析有一个更加全面和深刻的理解，并在今后的学习和解题中能够有所启发和帮助。
希望各位数学爱好者能够在数学的海洋中不断探索，不断学习，不断成长。
愿我们的数学之路越走越宽广，越走越精彩！。