插值与拟合试验
插值与拟合实验
x x x x
j 1 j 1 j + 1 j + 1
, x , x 其
j 1
≤ x
x ≤
≤ x
x
j
j
≤ 它
j + 1
1 , 6≤ x≤6 【例 2】 g ( x ) = 】 2 1+ x
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差 用分段线性插值法求插值 并观察插值误差. 并观察插值误差 1.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取5个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch11) 2.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取11个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch12) 3.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取21个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch13) 4.在[-6,6]中平均选取 个点作插值 在 中平均选取41个点作插值 中平均选取 个点作插值(xch14)
Matlab程序： 程序： 程序 ch607.m
【例 5】 】 已知飞机下轮廓线上数据如下， 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 每改变0.1时的y 0.1时的
X Y
0 0
3 5 7 9 11 12 13 14 15 12 17 20 21 20 18 12 10 16
机翼下 轮廓线
【例 6】 】 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 3*5网格点处的温度分别为 测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 z=f(x,y)的图形 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 先在三维坐标画出原始数据 输入以下命令： 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 以平滑数据, 方向上每隔0.2个单位的地方进行插值. 0.2个单位的地方进行插值
如何使用物理实验技术进行线性插值与拟合
如何使用物理实验技术进行线性插值与拟合在科学研究和工程应用中，线性插值和拟合是常用的一种技术。
它们能够通过实验数据的处理和分析，帮助我们了解事物之间的关系并预测未知值。
这篇文章将介绍如何使用物理实验技术进行线性插值和拟合，以及它们在实际应用中的意义和局限性。
一、线性插值的原理与方法在物理实验中，我们常常会遇到数据的缺失或者需要预测某个未知值的情况。
线性插值是一种通过已知数据点之间的直线来估算未知值的方法。
其基本原理是假设两个已知点之间的关系是线性的，并且用线性方程来描述这种关系。
然后我们根据已知的两个数据点，通过插入未知值对应的自变量值，计算出相应的因变量值。
线性插值的步骤如下：1. 找到已知数据点中最接近未知值的两个点，并设为（x1，y1）和（x2，y2）。
2. 计算两个点之间的斜率 k：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)3. 根据斜率和已知点的坐标，计算未知值对应的因变量值 y0：y0 = y1 + k * (x0 - x1)这样，我们就得到了一个在已知数据点之间的线性函数，可以用于估算或预测未知值。
二、实验中的线性插值应用在线性插值的实际应用中，我们经常会用到两个主要的情况：样条插值和反函数插值。
1. 样条插值样条插值是一种通过插入多个线性插值的结果，来逼近原始数据的方法。
它的优点是能够更精确地拟合非线性关系，但需要更多的已知数据点。
在物理实验中，我们有时会遇到复杂的数据曲线，不适合仅用线性插值的方法进行处理。
这时，我们可以使用样条插值，将一段数据区间分成多个小区间，分别进行线性插值，最终得到整个数据曲线的拟合结果。
这样就能够更准确地分析实验数据和预测未知值。
2. 反函数插值在某些情况下，我们可以通过已知函数的反函数关系，进行线性插值来预测未知值。
例如，我们有一组已知数据是 x 的函数关系，而我们需要估算相应的 y 值。
如果我们能找到 x 和 y 之间的反函数关系，那么我们就可以使用线性插值来得到 y 的值。
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得
到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）将1994～2022岁婴儿的性别比设为2022，预测性别比例为2022～2022。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各
年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）根据时间分布分析城镇、城镇的生育率，以时间为自变量，以生育率为因变量，拟合城镇、城镇的生育率，并将生育率从2022预测到2022。
（4）将某年的城镇化水平pu(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
Karmeshu（1992）发现，自20世纪50年代以来，随着经济发展水平的提高，发达国
家城市人口的增长速度一直快于农村地区。
但是，随着城市化水平的提高，达到100%，速度将会放缓。
城市化水平的增长曲线粗略地表现为“S”型Logistic曲线〔4〕，对中国
人口1%的调查数据进行了曲线拟合，从附录2中给出了2001～2022的数据，得到了曲线，并绘制了城市化水平从2001到2050的曲线。
2.处理2021年大学生数学建模竞赛a题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中
的数据，完成下列问题
（1）以城区采样点为插值节点，绘制城区地形图和等高线图；（2）绘制城区8种
重金属浓度的空间分布图。
并指出最高和最低浓度点的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、shepard插值等。
工具可用matlab，也可
用surfer软件实现。
插值与拟合
x[ a ,b ]
即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§ 7.1.4 实际应用中两种方法的选择
在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰 当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采 用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来 考虑：
1．如果给定的数据是少量的且被认为是严 格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方 法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处 完全相等。
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的 结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地 控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这 是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完 全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误 差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如 果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效 果往往较差。
0
(
x)
1
2
x x1
x0 x0
x x0
x1 x1
2
1(x)
1
2
x x1 x0 x1
x x0 x1 x0
2
2
0
(
x)
(
x
x0
)
(7.2.3)
下 面 的 (7.2.9) 、 (7.2.10) 两 式 构 成 了 三 次 Hermite 插值基本提法二的插值公式
P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)
0 ( x)
(x ( x0
(完整版)第8讲excel插值与拟合
使用Excel求解
1.1.2 二次插值
线性插值并不 y
一定总是能够
满足精度要求。
y2 y1
y=?
y0
x0
x1
x2
x
二次插值方法
已知数据点x0,y0,x1,y1，x2,y2 (x0<x1<x2)，求在x处 (x0<x<x1)相应的y值。
解法：由x0,y0,x1,y1 ,x2,y2构造二次曲线，并求取在x 点的函数值。
x
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
y
12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
使用Excel求解
一次、二次插值结果比较
15
14.5
y=exp(x)
一次插值
14
二次插值
13.5
13
12.5
12
2.5
2.55
2.6
2.65
2.7
2.75
1.1.3 插值方法评价
插值方法广泛应用于查表，对于表格中没有的 数据可以考虑外推。
一般的，外推的准确性较内插差。
线性插值是最常用的插值方法，可以满足大多 数工程要求。
二、拟合与参数估值
2.2.1 介绍
图1-1 含有噪声的数据
200
150
Y Y
在化工设计及化工模拟计算中，需要大100
量的物性参数及各种设备参数。这些参数有50
些可以通过计算得到，但大量的参数还是要
通过实验测量得到。实验测量得到的常常是0
2.2.2 拟合的标准
前面已经提到按Q与Y之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近 函数，称为拟合函数，而向量Q与Y之间的误差或距离有各种不同的定义方 法，一般有以下几种。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
数值计算插值法与拟合实验
dy0=-10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;dyn=10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);
plot(xx,m,'ok')
2、
程序：
x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]';
plot(xx,m,'ok')
第二个方程
程序
x=-5:0.2:5;
y=atan(x);
plot(x,y,'r');
hold on
x1=-5:1:5;
y1=atan(x1);
xx=-4.5:0.5:4.5;
yy=malagr(x1,y1,xx);
plot(xx,yy,'+')
dy0=1./(1+25);dyn=1./(1+25);
实验报告三
一、实验目的
通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。
二、实验题目
1、插值效果比较
实验题目：将区间 10等份，对下列函数分别计算插值节点 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与 的图形进行比较：
y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]';
plot(x,y,'or');hold on
%三.2:1.5;
y1=p1(1)*x1.^3+p1(2)*x1.^2+p1(3)*x1+p1(4);
曲线拟合和插值运算原理和方法
实验10 曲线拟合和插值运算一． 实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。
二． 实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1） 测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2） 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。
最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。
[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。
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实验：插值与拟合实验目的1.掌握用MATLAB计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值的结果进行初步的分析。
2.掌握用MATLAB作线性最小二乘的方法。
3.通过实例学习如何用插值方法与拟合方法解决实际问题，注意二者的联系和区别。
实验内容选择一些函数，在n个节点上（n不要太大，如5~11）用拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值方法，计算m个插值点的函数值（m要适中，如50~100）。
通过数值和图形输出，将三种插值结果与精确值进行比较。
适当增加n，再作比较，由此作初步分析。
y=exp(-x2),-2≤x≤2.取n=5,m=80用MATLAB计算插值数据比较如下：y是精确值，y1是分段线性值，y2是三次样条法插值，y3是拉格朗日插值由于对称性，只给出x>0的值程序：function y=lagr(x0,y0,x)%函数输入：n个节点以数组x0，y0输入，m个插值点以数组x输入?%函数输出：输出数组y为m个插值?n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end结果：x0=-2:0.5:2;y0=exp(-1*x0.^2);x=-2:0.05:2y=exp(-1*x.^2);y1=lagr(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=spline(x0,y0,x);[x;y;y1;y2;y3]'plot(x,y,'k--',x,y1,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y1')title('拉格朗日插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','拉格朗日插值曲线'), pause,plot(x,y,'k--',x,y2,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y2')title('分段线性插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','分段线性插值曲线'), pause,plot(x,y,'k--',x,y3,'r'),xlabel('x')ylabel('y/y1')title('三次样条插值(n=9,m=21)'),legend('原函数曲线','三次样条插值曲线'), x =Columns 1 through 9-2.0000 -1.9500 -1.9000 -1.8500 -1.8000 -1.7500 -1.7000 -1.6500 -1.6000Columns 10 through 18-1.5500 -1.5000 -1.4500 -1.4000 -1.3500 -1.3000 -1.2500 -1.2000 -1.1500Columns 19 through 27-1.1000 -1.0500 -1.0000 -0.9500 -0.9000 -0.8500 -0.8000 -0.7500 -0.7000Columns 28 through 36-0.6500 -0.6000 -0.5500 -0.5000 -0.4500 -0.4000 -0.3500 -0.3000 -0.2500Columns 37 through 45-0.2000 -0.1500 -0.1000 -0.0500 0 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000Columns 46 through 540.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500Columns 55 through 630.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500 1.0000 1.0500 1.1000Columns 64 through 721.1500 1.2000 1.2500 1.3000 1.3500 1.4000 1.4500 1.5000 1.5500Columns 73 through 811.6000 1.6500 1.7000 1.7500 1.8000 1.8500 1.9000 1.95002.0000ans =-2.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183 -1.9500 0.0223 0.0048 0.0270 0.0207 -1.9000 0.0271 0.0011 0.0357 0.0243 -1.8500 0.0326 0.0044 0.0444 0.0292 -1.8000 0.0392 0.0127 0.0531 0.0355 -1.7500 0.0468 0.0243 0.0619 0.0433 -1.7000 0.0556 0.0381 0.0706 0.0525 -1.6500 0.0657 0.0535 0.0793 0.0633 -1.6000 0.0773 0.0700 0.0880 0.0757 -1.5500 0.0905 0.0873 0.0967 0.0897 -1.5000 0.1054 0.1054 0.1054 0.1054 -1.4500 0.1222 0.1244 0.1316 0.1229 -1.4000 0.1409 0.1446 0.1579 0.1421 -1.3500 0.1616 0.1660 0.1841 0.1633 -1.3000 0.1845 0.1889 0.2104 0.1863 -1.2500 0.2096 0.2136 0.2366 0.2114 -1.2000 0.2369 0.2402 0.2629 0.2384 -1.1500 0.2665 0.2689 0.2891 0.2675-1.1000 0.2982 0.2998 0.3154 0.2988 -1.0500 0.3320 0.3328 0.3416 0.3322 -1.0000 0.3679 0.3679 0.3679 0.3679 -0.9500 0.4056 0.4050 0.4090 0.4058 -0.9000 0.4449 0.4439 0.4501 0.4455 -0.8500 0.4855 0.4844 0.4912 0.4867 -0.8000 0.5273 0.5261 0.5322 0.5288 -0.7500 0.5698 0.5687 0.5733 0.5716 -0.7000 0.6126 0.6117 0.6144 0.6145 -0.6500 0.6554 0.6547 0.6555 0.6571 -0.6000 0.6977 0.6972 0.6966 0.6989 -0.5500 0.7390 0.7388 0.7377 0.7397 -0.5000 0.7788 0.7788 0.7788 0.7788 -0.4500 0.8167 0.8168 0.8009 0.8159 -0.4000 0.8521 0.8524 0.8230 0.8507 -0.3500 0.8847 0.8850 0.8452 0.8827 -0.3000 0.9139 0.9142 0.8673 0.9117 -0.2500 0.9394 0.9397 0.8894 0.9372 -0.2000 0.9608 0.9610 0.9115 0.9588 -0.1500 0.9778 0.9779 0.9336 0.9763 -0.1000 0.9900 0.9901 0.9558 0.9892 -0.0500 0.9975 0.9975 0.9779 0.99720 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.0500 0.9975 0.9975 0.9779 0.9972 0.1000 0.9900 0.9901 0.9558 0.9892 0.1500 0.9778 0.9779 0.9336 0.9763 0.2000 0.9608 0.9610 0.9115 0.9588 0.2500 0.9394 0.9397 0.8894 0.9372 0.3000 0.9139 0.9142 0.8673 0.9117 0.3500 0.8847 0.8850 0.8452 0.8827 0.4000 0.8521 0.8524 0.8230 0.8507 0.4500 0.8167 0.8168 0.8009 0.8159 0.5000 0.7788 0.7788 0.7788 0.7788 0.5500 0.7390 0.7388 0.7377 0.7397 0.6000 0.6977 0.6972 0.6966 0.6989 0.6500 0.6554 0.6547 0.6555 0.6571 0.7000 0.6126 0.6117 0.6144 0.6145 0.7500 0.5698 0.5687 0.5733 0.5716 0.8000 0.5273 0.5261 0.5322 0.5288 0.8500 0.4855 0.4844 0.4912 0.4867 0.9000 0.4449 0.4439 0.4501 0.44550.9500 0.4056 0.4050 0.4090 0.40581.0000 0.3679 0.3679 0.3679 0.3679 1.0500 0.3320 0.3328 0.3416 0.33221.1000 0.2982 0.2998 0.3154 0.2988 1.1500 0.2665 0.2689 0.2891 0.2675 1.2000 0.2369 0.2402 0.2629 0.2384 1.2500 0.2096 0.2136 0.2366 0.2114 1.3000 0.1845 0.1889 0.2104 0.1863 1.3500 0.1616 0.1660 0.1841 0.1633 1.4000 0.1409 0.1446 0.1579 0.1421 1.4500 0.1222 0.1244 0.1316 0.1229 1.5000 0.1054 0.1054 0.1054 0.1054 1.5500 0.0905 0.0873 0.0967 0.0897 1.6000 0.0773 0.0700 0.0880 0.0757 1.6500 0.0657 0.0535 0.0793 0.0633 1.7000 0.0556 0.0381 0.0706 0.0525 1.7500 0.0468 0.0243 0.0619 0.0433 1.8000 0.0392 0.0127 0.0531 0.0355 1.8500 0.0326 0.0044 0.0444 0.0292 1.9000 0.0271 0.0011 0.0357 0.02431.9500 0.0223 0.0048 0.0270 0.02072.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0.0183上图是根据插值数据作出的曲线。