数值插值与拟合 课程设计论文
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
数值分析实验插值与拟合
《数值分析》课程实验一：插值与拟合一、实验目的1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；2. 编写MATLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象；3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理；4. 编写MATLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。
二、实验内容1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。
2. 设]5,5[,11)(2-∈+=x xx f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。
不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。
(2) 编写MATLAB 程序绘制出曲线拟合图。
三、实验步骤1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件：⎩⎨⎧≠===ji j i x l ij j i ,0,,1)(δ的一组基函数{}ni i x l 0)(=，l i (x )的表达式为∏≠==--=nij j ji j i n i x x x x x l ,0),,1,0()(有了基函数{}ni i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为∑==ni i i n x l y x L 0)()((2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为1102110],,,[],,,[],,,[x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=-则n 次多项式)())(](,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N差商表的构造过程：x i f (x i ) 一阶差商 二阶差商三阶差商 四阶差商x 0 f (x 0) x 1 f (x 1) f [x 0, x 1]x 2 f (x 2) f [x 1, x 2] f [x 0, x 1,x 2]x 3 f (x 3) f [x 2, x 3] f [x 1, x 2,x 3] f [x 0, x 1,x 2,x 3]x 4 f (x 4)f [x 3, x 4]f [x 2, x 3,x 4]f [x 1, x 2,x 3,x 4]f [x 0, x 1,x 2,x 3,x 4]试验结果：2. MATLAB程序实现：试验结果：3. 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n ； （2）列表计算)2,,1,0(0n j xmi ji=∑=和∑==mi i j i n j y x 0),,1,0( ；（3）写出正规方程组，求出),,1,0(n k a k =； （4）写出拟合多项式∑==nk kk n xa x p 0)(。
数值分析实验报告--插值与拟合及其并行算法
《数值分析》实验报告实验五、插值与拟合及其并行算法一．实验目的：1．学会拉格朗日插值， 分段线性插值或三次样条插值以及曲 线拟合等数值分析问题，通过 MATLAB 编程解决这些数 值分析问题，并且加深对此次实验内容的理解。
2．加强编程能力和编程技巧，练习从数值分析角度看问题， 同时用 MATLAB 编写代码。
二．实验要求：学会在计算机上实现拉格朗日插值，分段线性插值或三次 样条插值以及曲线拟合等数值分析问题，分析几种插值方法的异 同。
三．实验内容：分别用下列题目完成①：拉格朗日插值及其误 差分析 ②：三次样条 ③: 曲线拟合及其误差分析，实验要求。
四．实验题目： （1）已知 sin 30 D = 0.5 ， sin 45D = 0.707 1 ，sin 60 D = 0.866 0 ，用拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序求 sin 20D 的近似值，并估计其误差。
（2）观测得出函数 y=f(x)在若干点处的值为 f(0)=0, f(2)=16, f(4)=36, f(6)=54, f(10)=82 和 f＇(0)=8, f＇(10)=7, 试求 f(x)的三次样条函数,并计算 f(3)和 f(8)的近似值. （ 3 ） t=[2.1 7.9 10.1 13 14.5 15.3];r=[13.5 36.9 45.7 求出 r 与 t 之间的关系， 及三 57.3 62.78 74.9];根据给出数据， 种误差，并作出拟合曲线。
五．实验原理：（1）拉格朗日插值公式：P5 ( x) = ∑ y i l i ( x)i =05li ( x) =( x − x 0 ) " ( x − xi −1 )( x − xi +1 ) " ( x − x n ) ( xi − x0 ) " ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 ) " ( xi − x n )（2）三次样条插值公式：Ｓn（x）=｛Ｓi（x）=a i x ＋b i x ＋c i x＋d i ， x ∈ ［x i −1 ，x i ］ ，i=1,2,….,n｝32（3）曲线拟合： 最小二乘法并不只限于多项式，也可以用于任何具体给出的函数 形式。
数值分析插值法范文
数值分析插值法范文数值分析是一门研究利用数值方法解决实际问题的学科，它涵盖了数值计算、数值逼近、数值解法等内容。
在数值分析中，插值方法是一种重要的数学技术，用于从给定的数据点集推断出函数的值。
本文将详细介绍插值法的基本原理、常用插值方法以及应用领域等内容。
一、插值法的基本原理插值法是利用已知的数据点集构造一个函数，使得这个函数在给定区间内与已知数据吻合较好。
插值法的基本原理是，假设已知数据点的函数值是连续变化的，我们可以通过构造一个满足这种连续性的函数，将数据点连接起来。
当得到这个函数后，我们可以通过输入任意的$x$值，得到相应的$y$值，从而实现对函数的近似。
插值法的基本步骤如下：1.给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i$是已知的数据点的$x$值，$y_i$是对应的函数值。
2.构造一个函数$f(x)$，使得$f(x_i)=y_i$，即函数通过已知数据点。
3.根据实际需要选择合适的插值方法，使用已知数据点构造函数，得到一个满足插值要求的近似函数。
4.对于输入的任意$x$值，利用插值函数求出相应的$y$值，从而实现对函数的近似估计。
二、常用插值方法1.拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种使用拉格朗日多项式进行插值的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，拉格朗日插值多项式可以表示为：$$L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$其中$L(x)$为插值函数，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
2.牛顿插值法牛顿插值法是一种使用差商来表示插值多项式的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，牛顿插值多项式可以表示为：$$N(x) = y_0 + \sum_{i=1}^{n} f[x_0, x_1, ..., x_i]\prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j)$$其中$N(x)$为插值函数，$f[x_0,x_1,...,x_i]$是差商，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
数值分析中的插值和拟合
数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。
一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。
然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。
二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。
以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。
假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。
插值与拟合算法分析
插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。
插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。
一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。
常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。
它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。
拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。
2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。
它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。
相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。
3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。
它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。
样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。
二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。
常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。
1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。
它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。
最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。
论文通过三维数据插值进行电阻率的拟合与估计
论文通过三维数据插值进行电阻率的拟合与估计SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#摘要在实际问题中，我们无法对一个物体进行密集测量，一般等间隔的选取部分点进行测量，这时候就需要采用数学方法，根据已知位置的数据计算未知位置的数据。
本文根据题目要求建立了两种合理的差值加密模型——反距离加权插值模型、克里金插值模型，对文件中给出的坐标网格大小为10m*10m*10m的三维电阻率数据进行插值，得到坐标网格大小为1m*1m*1m的数据。
我们借助多种数学软件，处理大量数据并对其进行可视化处理，绘制出颜色图反映插值效果，根据插值拟合特点对插值效果给出定量指标。
针对问题一，首先对所给出的三维的电阻率数据进行分析，根据不同空间插值方法的优势，结合已知数据的网格化特点，确定插值模型——反距离加权插值模型、克里金插值模型。
反距离加权插值模型算法简单易于实现，但对权重函数的选择十分敏感，而网格化的数据恰好规避了这一劣势。
克里金插值是在变异函数理论及结构分析基础上，进行无偏、最优估计的一种方法，不仅考虑了观测点与待估计点的相对位置，而且考虑了各观测点之间的相对关系，插值效果较好。
利用两种方法分别计算出空间某点,,处的电阻率数值。
反距离加权插值法结果为Z1=196.；克里金插值结果为Z2=。
针对问题二：利用问题一中两种插值方法，分别计算出网格大小为1m*1m*1m的三维电阻率数据（由于数据量过大，具体数据见电子版附件1、2），分析两种模型的计算流程可知，克里金算法计算过程较为复杂，数据量较大，计算时间与占用内存大，而反距离加权插值计算过程较为简单，计算时间明显短于克里金方法，但计算精度较低。
将原网格数据及两种方法加密网格后针对问题三：对插值加密网格后的数据，利用颜色图直观展示。
将电阻率最小值置为纯蓝色，中间值置为纯绿色，最大值置为纯红色，中间数值采用过渡的颜色，利用matlab对切片Z=0,50分别给出原数据，两种方法加密网格后数据的颜色对比图。
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《科学与工程计算课程设计》报告书题目：数值插值与拟合姓名：XXX同组人员：XXXXXXXXX XXX班级：XXXXXX学号：08100XXX指导教师：XXXX2010年06月21 日目录一、引言1．插值------------------------------------------------------------- 1 2．拟合--------------------------------------------------------------1二、理论描述1.插值法的基本原理-------------------------------------------------2 2．常见插值法---------------------------------------------------------33.插值法公式描述-------------------------------------------------------3三、插值与拟合的Matlab或C程序实现------------------------6四、插值及拟合实际应用例------------------------------------------7五、插值及拟合优缺点------------------------------------------------11六、参考文献--------------------------------------------------------------11一 引言1、在我们生活中许多实际问题都是用函数y=f(x)来表示某种内在规律的关心，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。
虽然f(x)在某个区间[a,b]上存在的，有的还是连续的，但却只能给出[a,b]上一系列点xi 的函数值yi=f(xi)（i=0,1,…,n ），这只是一张函数表，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值，因此我们希望根据给定的函数表构造一个既能反映函数f(x)的特性、又便于计算的简单函数P(x)，用P(x)近似f(x)。
通常选一类较简单的函数如代数多项式或分段函数代数多项式作为P(x)并使P(xi)=f(xi)对于i=0,1…，n 成立,这样确定的P(x)就是我们希望得到的插值函数。
插值法是一种古老的数学方法，它来自于生产实践，早在一千多年前我国科学家在研究历法中就应用里线性插值与二次插值，但它的基本理论和结果却是在微积分产生以后逐步完善的，其应用也日益增多。
特别是在电子计算机广泛使用以后，由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，插值法在实践上和理论上显得更为重要。
例如：在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(xi,yi)(i=0,1,…,n)，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。
2、在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据(xi,yi) (i=0,1,…,n)中寻找自变量x 与因变量y 之间的函数关系y=F(x)。
由于观测数据数据往往不准确，因此不要求y=F(x)经过所有点(xi,yi),而只要求在给定点xi 上的误插σi=F(xi)—yi (i=0,1…,m) 按某种标准最小。
求拟合曲线时首先要确定F(x)的形式，这不是单纯的数学问题，还与所研究的问题的运动规律及所得观测数据(xi,yi)有关，通常要从问题的运动规律及给定数据描述图来确定F(xi)的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
如果待定函数是线性的就叫做线性拟合或线性回归，否则叫做非线性拟合或非线性回归，表达式也可以是分段函数这种情况下叫做样条拟合。
本文主要就插值与拟合的常用方法进行简要的分析与程序实验及 实际例题分析。
二 理论算法描述 1．插值法的基本原理设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, X0 X1 …Xn 是[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知 f(x0) f(x1) …f(xn) ,即 yi=f(xi) 若存在一个f(x)的近似函数满足（2.1）则称为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点xi 为插值节点, 称(2.1)式为插值条件, 而误差函数R(x)= 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插插值函数 在n+1个互异插值节点 xi (i=0,1,…,n )处与f(xi)相等,在其它点x 就用 的值作为f(x) 的近似值。
这一过程称为插值，点x 称为插值点。
换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。
用 的值作为f(x)的近似值。
)(x ϕ),,2,1()()(n i x f x i i ==ϕ)(x ϕ)()(x x f ϕ-)(x ϕ)(x ϕ)(x ϕ2.常见插值法与拟合曲线1代数插值法，2 Lagrange 插值，3逐次线性插值，4 Newon 插值，5等距节点插值，6 Hermite, 7 分段低次插值，8三次样条插值，9多元函数插值，10切比雪夫多项式零点插值 11三角插值。
1直线 2 多项式一般n=2,3 不宜过高 3双曲线 (一支) 4指数曲线 3.插值与拟合公式描述 1）代数插值法设 若满足P(xi)=f(xi) ai ∈R (i=0,1,…n) 则称P(x)为f(x)的n 次插值多项式。
由插值条件P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n)知因为称为Vandermonde （范德蒙）行列式，因xi ≠xj （当i ≠j ），故V ≠0。
根据解线性方程组的克莱姆（Gramer ）法则，方程组的解存在惟一，从而P(x)被惟一确定。
grange 插值法两个插值点可求出一次插值多项式,而三个插值点可求出二次插值多项式。
插值点增加到n+1个时,也就是通过n+1个不同的已知点(xi yi) (i=0,1,…n)来构造一个次数为n 的代数多项式P(x)。
与推导抛物插值的基函数类似,先构造一个特殊n 次多项式的插值问题,使其在各节点 xi 上满足即由条件 ( ) 知, 都是n 次 的零点,故可设 0111)(a x a x a x a x P n n n n ++++=-- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------)()()(01111011111100011010n n n n n n n n n n n n n n n n x f a x a x a x a x f a x a x a x a x f a x a x a x a ∏∏=-=-==n i i j j i nn n n n n x x x x x x x x x x x V 11212110200)(111 )(x l i 0)(,,0)(,1)(,0)(,,0)(110=====+-n k k k k k k k k x l x l x l x l x l ⎩⎨⎧≠===)(0)(1)(k i k i x l ki i k δ0)(=i k x l k i ≠n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-)(x l k )())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+- 01y a x a =+11nn ny a x a x a -=++∧+01a y a x=+bxy ae=其中 为待定常数。
由条件 ,可求得 由 知 代入上式有称 为关于基点 xi 的n 次插值基函数(i=0,1,…,n) 以n+1个n 次基本插值多项式 为基础,就能直接写出满足插值条件 的n 次代数插值多项式。
事实上，由于每个插值基函数 都是n 次值多项式,所以他们的线性组合是次数不超过n 次的多项式 , 称形如上式的插值多项式为n 次拉格朗日插值多项式。
并记为 引入记号101()()()() n n x x x x x x x ω+=--∧-则得 1011()()()()() nk k k k k k k n x x x x x x x x x ω+-+'=-∧--∧- 于是101()() ()()nn n kk k nk x L x y x x x ωω+=+='-∑插值余项为 (1)1()()()()(1)!n n fR nf x L n x w x n ξ++=-=+3.Newton 插值法由线性代数知,任何一个不高于n 次的多项式, 都可以表示成函数0010111,,()(),,()()()n x x x x x x x x x x x x ----∧--∧-的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件P(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n 次插值多项式, 写成如下形式其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数,这种形式的插值多项式我们把它记为Nn(x)即(3.1) 它满足其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数，形如(3.1)插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。
m 阶插商 经数学证明知所以n 次牛顿(Newton)插值公式为k A 1)(=k k x l k A 1)(0=-∏≠=nkj j j k k x x A ∏≠=-=nkj j jkkx x A 0)(1∏∏∏≠=≠=≠=--=--=nkj j j k jn kj j j k nkj j j k x x x x x x x x x l 000)()()()(x l k),,1,0)((n k x l k =),,2,1,0()()(n i x f x P i i ==n n y x l y x l y x l x P )()()()(1100+++= ),,1,0)((n k x l k =∑==nk kky x l x P 0)()()(x L n )())(())(()(110102010----++--+-+n n x x x x x x a x x x x a x x a a )())(())(()()(110102010----++--+-+=n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x N )())(()()(1101-----+=n n n n x x x x x x a x N x N 01102110],,[],,[],,[x x x x x f x x x f x x x f m m m m --=- []),,1,0(,,,10n k x x x f a k k ==其余项为 4.三次样条插值法对于给定节点a=x0<x1<…<xn=b,若存在函数S(x)满足： 1)在每个小区间1[,]j j x x +是一个次数不超过3次得多项式；2)在每一个内节点上具有直到二阶的连续导数，则称s(x)是节点x0,x1,…xn 上的三次样条函数，若在节点上给定函数f(xj)=yj (j=0,…，n)，并满足 3）S(xj)=yj,j=0,1,…，n则称S(x)是三次样条插值函数。