习题课：正弦定理与余弦定理 学案(含答案)
第04讲 正弦定理和余弦定理 (精练)(含答案解析)
第04讲正弦定理和余弦定理(精练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第04讲正弦定理和余弦定理(精练）一、单选题（2022·全国·高三专题练习）1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c +<，则ABC 是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形（2022·江苏·高一课时练习）2．已知正三角形的边长为2，则该三角形的面积（）A ．4BC D ．1（2022·江苏·高一课时练习）3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45,30,6A C c === ，则a 等于()A ．B ．C ．D ．（2022·河南·高二阶段练习（文））4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，5CD =，6BC =，则CAD ∠=（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒（2022·江苏·南京市第九中学高一期中）5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD ＝1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94，则△ABC 的面积为（）A ．94B C ．134D ．4（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）6．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos c A C =，c =，18ab =，则a b +的值是（）A ．B ．C ．9D ．11（2022·重庆八中高一期中）7．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，则ACD 的面积为（）A ．6B ．2C ．6D ．6（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）8．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯ ．可知a b ⨯是一个向量，它的模为||||||sin a b a b θ⨯=⋅．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,3a b c A π=，)22||896BA BC b a ⨯=- ，则cos B =（）A B ．C ．7-D 二、多选题（2022·山东淄博·高一期中）9．在ABC 中，如下判断正确的是（）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC 为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．若sin sin A B >，则A B>10．在ABC 中，内角、、A B C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A ．sin sin sin +=+a b cA B CB ．若A B >，则sin 2sin 2A B >C ．cos cos c a B b A =+D ．若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为等边三角形（2022·山东菏泽·高一期中）11．在ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD，cos CDB ∠=则（）A．sin CDB ∠B ．△DBC 的面积为3C ．ABC的周长为8+D ．ABC 为钝角三角形三、填空题（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））12．已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，且AD 为BAC ∠的角平分线，若3BAC π∠=，AD =，则4b c +最小值为___________.（2022·全国·高三专题练习）13．一艘渔船航行到A 处看灯塔B 在A 的北偏东75°，距离为C 在A 的北偏西45°，距离为海里，该船由A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东45°方向，则CD =______海里.四、解答题（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）14．如图，在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2cos 2b A c a =-.(1)求角B ；(2)若2sin sinC sin A B ⋅=，2AD CD ==，求四边形ABCD 面积的最大值.（2022·宁夏·平罗中学三模（文））15．已知函数()f x m n =⋅ ，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =- ，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a cb +的最大值.（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））16．在锐角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,,4,sin 4a b c a b A ===.(1)求sin C 的值；(2)点,D E 分别在边,AB AC 上，ABC 的面积是ADE V 面积的2倍.求DE 的最小值.参考答案：1．D【分析】根据余弦定理，得到cos 0C <，求得(,)2C ππ∈，即可求解.【详解】因为222a b c +<，由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，又由(0,)C π∈，所以(,)2C ππ∈，所以ABC 是钝角三角形.故选：D.2．B【分析】由三角形面积公式可求出.【详解】根据三角形面积公式可得该三角形的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=故选：B.3．B【分析】根据正弦定理即可求解﹒【详解】由正弦定理得sin sin a c A C ＝，∴66sin4521sin302a＝＝＝故选：B ﹒4．B【分析】先求出22,AC AD ,再利用余弦定理求解.【详解】因为2226240AC =+=，2226(52)45AD =+-=，在ACD 中，由余弦定理得222cos 22AD AC CD CAD AD AC +-∠==⋅，又因为0180CAD ︒<∠<︒，所以45CAD ∠=︒.故选：B.5．D【分析】设小正三角形边长为x ，由面积比求得x ，再计算出小正三角形面积可得大正三角形面积．【详解】设DE x =，则211sin 1(1)sin12013224ABD DEFBD AD ADB x S x S x ⋅∠⨯⨯+︒+==!!，解得2x =（23-舍去），所以224DEF S ==!，94ABCS ==!故选：D ．6．C【分析】由条件sin cos c A C =结合正弦定理可求C ，再结合余弦定理求a b +.【详解】∵sin cos c A C =，∴sin sin cos C A A C =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，∴tan C =(0,)C π∈，∴3C π=，又2222cos c a b ab C =+-，c =18ab =，∴222718a b =+-，∴222()281a b a b ab +=++=，∴9a b +=，故选：C.7．C【分析】先在ABC 利用余弦定理求出边AC ，再利用正弦定理求出直径BD ，进而利用直角三角形求出AD 、CD ，再利用三角形的面积公式进行求解.【详解】在ABC 中，因为4AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，所以由余弦定理，得AC =由正弦定理，得=sin sin 603AC BD ABC ==∠；在Rt △ABD 和Rt BCD中，3AD ===3CD ===，又180120ADC ABC ∠=-∠= ，所以ACD 的面积为123326S =⨯⨯⨯=.故选：C.8．B【分析】根据新定义及三角的面积公式可化为()22182129sin b a bc A -=，再由余弦定理转化为关于,b c 的方程，得出3b c =，再由余弦定理求出cos B 即可.【详解】因为()22||896BA BC b a ⨯=-，所以)221sin 289ac b a B -=,即)2289△ABC S b a -=,)221829sin b a A -=,由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即222a b c bc =+-，代入上式得，22289()b b c bc ⎤-+-=⎦，化简得22690-+=b bc c ，即2(3)0-=b c ，3b c ∴=，此时.a ==22214cos 2a c b B ac +-∴-==.故选：B 9．BCD【分析】选项A.由题意可得22A B =或22A B π+=，从而可判断；选项B.若A B >,则a b >，由正弦定理可判断；选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>，即所以022A B ππ>>->，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，从而可判断.【详解】选项A.在ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=所以A B =或2A B π+=，所以ABC 为等腰或直角三角形.故A 不正确.选项B.在ABC 中,若A B >,则a b >，由正弦定理可得2sin 2sin R A R B >,即sin sin A B >，故B 正确.选项C.若ABC 为锐角三角形，则2A B π+>所以022A B ππ>>->，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,故C 正确.选项D.在ABC 中,若sin sin A B >，由正弦定理可得22a bR R>，即a b >，所以A B >，故D 正确.故选：BCD 10．ACD【解析】利用正弦定理以及边角互化可判断A 、B 、C ，利用向量数量积可判断D.【详解】对于A ，由sin sin sin sin sin a b c b cA B C B C+===+，故A 正确；对于B ，若A B >，当120A =o ，30B = 时，则sin 2sin 2A B <，故B 不正确；对于C ，()cos cos sin sin cos sin cos sin sin c a B b A C A B B A A B C =+⇒=+=+=，故C 正确；对于D ，由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，可得BAC ∠的角平分线与BC 垂直，所以ABC 为等腰三角形又12AB AC AB AC ⋅=，可得3BAC π∠=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确；故选：ACD 11．ABD【分析】由同角的三角函数关系即可判断A ，设CD a =，利用余弦定理及面积公式即可判断B ，利用余弦定理求得AC ，进而判断C ，利用余弦定理可判断D.【详解】因为cos CDB ∠=sin CDB ∠，故A 正确；设CD a =，则2BC a =，在BCD △中，2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠，解得a =，所以112sin 33225DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯= ，故B 正确；因为ADC CDB π∠=-∠，所以()cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=,在ADC △中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠，解得AC =所以ABC 的周长为()3584AB AC BC ++=+++，故C 错误；因为8AB =为最大边，所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅，即C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故D 正确.故选：ABD.12．9【分析】第一步利用等面积法求出,b c 的关系式，再利用基本不等式求解即可.【详解】由题意画图如下：因为AD 为BAC ∠的角平分线，3BAC π∠=，ABC ABD ADC S S S =+ 所以111sin 60sin 30sin 30222AB AC AB AD AD AC ⋅︒=⋅︒+⋅︒化简得11111,,1222c c b bc b c b c⋅==++=利用基本不等式“1的代换”得()()1145+449154b c b c b c c b b c b c ⎛⎫++=+⨯=+=+≥+ ⎪⎝⎭故答案为：9.13．【分析】利用方位角求出B 的大小，利用正弦定理直接求解AD 的距离，直接利用余弦定理求出CD 的距离即可．【详解】如图，在△ABD 中，因为在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东45°方向上，所以B ＝180°−75°−45°＝60°由正弦定理sin sin AD ABB ADB=∠，所以sin 6s in AB BAD ADB==∠海里；在△ACD 中，AD ＝6，AC＝CAD ＝45°，由余弦定理可得：(222222cos 4563263182CD AD AC AD AC ︒=+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以CD＝故答案为：14．(1)π3B =(2)【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式即可求解.（2）由余弦定理得到ABC 为等边三角形，在ADC △中，利用余弦定理表达出2=88cos x θ-，然后根据三角形面积公式即可求解.（1）由正弦定理得：2sin cos 2sin sin B A=C A ⋅-,所以()2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A+A=A B A B A B⋅+=+即sin 2sin cos A=A B⋅()10,π,sin 0cos 2A AB ∈∴≠⇒= ,()π0,π3B B ∈∴=（2）由2sin sin sin A C =B ⋅2b =ac∴由余弦定理得222222222cos b a c ac B a c ac a c b =+-=+-=+-，222+2a c =b ∴()222222+2+20a c =a c ac =a cb =∴---a c∴=ABC ∴ 为等边三角形，设=AC =x ADC θ∠，，在ADC △中，24+4cos 222x =θ-⨯⨯，解得2=88cos x θ-2++2sin 88cos +2sin ABC ACD ABCD S =S S ==θθθ- 四边形）π4sin3=θ-（）当ππ=32θ-，即5π6=θ时，S 有最大值15．(1)3A π=(2)【分析】（1）利用平面向量数量积运算法则和恒等变换公式化简函数()f x 的解析式，然后求解即可，要注意角A 的取值范围；（2）利用余弦定理和基本不等式求解即可.（1）由题()22cos sin cos 2sin 26f x m n x x x x x π⎛⎫=⋅=-+=+ ⎪⎝⎭所以()2sin 216f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得：223b c bc =+-，整理得到()()()2222133324b c b c bc b c b c 骣+琪=+-³+-´=+琪桫解得b c +≤b c ==等号成立.故c b +的最大值为16．(1)4(2)【分析】（1）根据题意1cos 4A =，进而结合正弦定理得sin B =cos B =()sin sin C A B =+求解即可；（2）结合（1）得4c b ==，进而根据面积关系得8AD AE ⋅=，最后结合基本不等式与余弦定理得212DE ≥，进而得答案.(1)解：ABC是锐角三角形，1sin cos 44A A =∴=.在ABC中，4a b ==，由正弦定理得4sin sin b A B a ==，cos 4B ∴=.()C A B =π-+ ，()1sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+=⨯(2)解：由（1）知，sin sin ,4B C c b =∴==.由题意得1sin 1622,81sin 2ABC ADE bc A S AD AE S AD AE AD AE A ==∴⋅=⋅⋅⋅ .由余弦定理得，222132cos 21222DE AD AE AD AE A AD AE AD AE AD AE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=，当且仅当AD AE ==“=”成立.所以DE的最小值为。
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
习题课：正弦定理和余弦定理(A3)
鸡西市第十九中学学案
(2)数列：1，12，13，14，1
5
，…
n
1
2 3 4 a n 1 12
13
14
①用公式法表示：a n ＝ . ②用列表法表示：
③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出)：
探究点三 数列的通项公式
问题 什么叫做数列的通项公式？谈谈你对数列通项公式的理解？答 如果数列{a n }的第n 项a n 与序号数列{a n }的通项公式．和函数不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．一个数列
的通项公式不唯一，可以有不同的表现形式，＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1(n 为奇数)，－1(n 为偶数). 探究 根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，你能准确快速地写出它们的通项公式吗？。
正弦定理和余弦定理知识点总结(学案)
①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．
②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用
例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 <cosA，则△ABC为()
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
(2)在△ABC中，cos2 ＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()
2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定．
第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况．
下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．
法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
(1)若sinB＝ >1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；
(2)sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4) ＝ ＝ ＝ ；
(5)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝ ；解的个数的探究
正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：
1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角；
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
正弦定理、余弦定理习题及答案
正弦定理、余弦定理练习题年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____一、选择题(共20题，题分合计100分)1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题(共18题，题分合计75分)1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.8.已知在△ABC中，a=10,b=5,A=45°,则B= .9.已知△ABC中，a=181,b=209,A=121°14′，此三角形解.10.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c= .11.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为；若a2=b2+c2，则△ABC为；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为.12.在△ABC中，sin A=2cos B sin C，则三角形为_____________.13.在△ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题(共24题，题分合计244分)1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题(共20题，合计100分)1 A 2A3C 4 B 5 C 6D 7A 8 D 9B 10 B 11 B 12C 13C 14C 15.B 16. C 17：C 18A 19C 20. A二、填空题(共18题，合计75分)1. 2（-1） 2 3. 45° 4. 8 5.等腰三角形 6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、解答题(共24题，合计244分)1.a=B=105°b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3（2）C=45°,B=15°。
课时作业40：习题课 正弦定理和余弦定理
习题课 正弦定理和余弦定理基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15B.－16C.－17D.－18解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，∴B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则C ＝( ) A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析 根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ， 所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ， 由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB→·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________. 解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×12＝3， ∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴a cos B －b cos A ＝0， ∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B .同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A为钝角，所以cos B＝1－sin2B＝255.于是sin 2B＝2sin B cos B＝45，cos 2B＝1－2sin2B＝35，故sin(2B－A)＝sin 2B cos A－cos 2B sin A＝45×⎝⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.7.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B＝3b.(1)求角A的大小；(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积.解(1)由2a sin B＝3b及正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝3 2.因为A是锐角，所以A＝π3.(2)因为a＝6，cos A＝1 2，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得b2＋c2－bc＝36.又因为b＋c＝8，所以bc＝28 3.由三角形面积公式S＝12bc sin A，得△ABC的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为()A.922 B.924C.928 D.229解析不妨设c＝2，b＝3，则cos A＝13，sin A＝223.∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a＝3.∵asin A＝2R，∴R＝a2sin A＝32×223＝928.答案C9.已知△ABC中，三边与面积的关系为S△ABC＝a2＋b2－c243，则cos C的值为()A.12 B.22 C.32 D.0解析S△ABC ＝12ab sin C＝a2＋b2－c243＝2ab cos C43，∴tan C＝33，又C∈(0，π)，∴C＝π6，∴cos C＝32.答案C10.在△ABC中，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝________.解析由sin C＝23sin B，根据正弦定理，得c＝23b，代入a2－b2＝3bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b22b·23b＝6b243b2＝32.又∵0°＜A＜180°，∴A＝30°.答案30°11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝12a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________.解析由2sin B＝3sin C及正弦定理可得：2b＝3c，由b－c＝12a可得：a＝c，b＝32c，由余弦定理的推论可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝34.答案3 412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值； (2)设BA→·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ， 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA→·BC →＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34， 可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.创新突破13.在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： (1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积. 条件①：c ＝7，cos A ＝－17； 条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 解 (从条件①②中任选一个即可)选条件①：c ＝7，cos A ＝－17，且a ＋b ＝11. (1)在△ABC 中，由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（11－a ）2＋72－a 22×（11－a ）×7＝－17，解得a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－149＝437.在△ABC 中，由正弦定理，得 sin C ＝c ·sin A a ＝7×4378＝32.∵a ＋b ＝11，a ＝8，∴b ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3. 选条件②：cos A ＝18，cos B ＝916，且a ＋b ＝11. (1)∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，cos A ＝18，cos B ＝916， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－164＝378， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫9162＝5716. 在△ABC 中，由正弦定理，可得 a b ＝sin A sin B ＝3785716＝65. 又∵a ＋b ＝11，∴a ＝6，b ＝5. (2)sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B＝378×916＋18×5716＝327128＝74.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.。
正弦定理、余弦定理的应用(一) 学案
1.3正弦定理、余弦定理的应用(一) 学习目标 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题(重点).2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题(重点).3.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题(难点).预习教材P18 19，完成下面问题：知识点1有关的几个术语1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1、θ2即表示点A 和点B的方位角.故方位角的范围是[0°，360°).2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.5.坡角坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＝h l ，如图.【预习评价】图(1)图(2)上图中的两个方向，用方位角应表示为________(图(1))与________(图(2)).答案60°210°知识点2解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形).②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)1.某次测量中，A在B的北偏东55°方向，则B在A的南偏西35°方向.(×)2.某人从A地向正东方向走了3米到达B地，再从B地向右转60°后又走了3米到达C地，则A、C两地间的距离是33米.(√)3.某人在A处测得一电线杆的仰角为15°，向前走了10米到达B处，又测得电线杆的仰角为30°，于是就说电线杆的高度为5米.(√)题型一测量距离问题【例1】如下图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为1 m，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离.(结果可含根号)解在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BCsin 30°＝CDsin 45°，则BC＝CD sin 30°sin 45°＝22m.在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形，∴AC＝CD＝1 m.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝1＋12－2×1×22×22＝12，∴AB＝22m.答：A、B两点间的距离为22m.规律方法求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.【训练1】如图，货轮在海上以40 m/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解在△ABC中，BC＝40×12＝20( m)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20×sin 30°sin 45°＝102( m).答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 2 m.题型二测量高度问题【例2】如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.【训练2】如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选两点A ，B ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h . ∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2×3h ×h ×12， 解得h 2＝4004－3＝400（4＋3）13，∴h ＝204＋313＝201352＋13 3.答：旗杆的高度为2013 52＋133m.题型三 测量角度问题【例3】如图，甲船在A 处遇险，在甲船西南10海里B 处的乙船收到甲船的警报后，测得甲船是沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，则乙船应以多大速度，以何方位角航行？(已知cos 68°13′≈0.37)解 设乙船速度为x 海里/时，且乙船在40分钟后在点C 处追上甲船，则 BC ＝4060x ＝23x (海里)， AC ＝4060×9＝6(海里).由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2＝102＋62－2×10×6×cos(90°－15°＋45°)，∴x ＝21，BC ＝14. 由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴sin B＝614sin 120°≈0.37，∴B≈21°47′.答：乙船应以每小时21海里的速度沿北偏东23°13′航行.规律方法(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题.(2)解决它们的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.【训练3】甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝3x，由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC＝12， 而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝a .∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a nmile.课堂达标1.甲、乙两楼相距a ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.解析 甲楼的高为a tan 60°＝3a ， 乙楼的高为3a －a tan 30°＝3a －33a ＝233a .答案 3a ，233a2.某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334 m 2，则此人这时离开出发点的距离为________m.解析 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ， ∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9 ＝3(m).答案 33.一艘船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是________海里/时.解析 由题意得在三角形SAB 中，∠BAS ＝30°，∠SBA ＝180°－75°＝105°，∠BSA ＝45°.由正弦定理得SA sin 105°＝AB sin 45°， 即82sin 105°＝AB sin 45°，得AB ＝8(6－2)， 因此此船的航速为8（6－2）12＝16(6－2)(海里/时). 答案 16(6－2)4.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°方向，则灯塔A 在灯塔B的北偏西________方向.解析由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA ＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.答案10°5.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的飞行高度为18 m，速度为1 000 m/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，1分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的高度约为多少？(精确到0.1 m)解AB＝1 000×160＝503，∴BC＝ABsin 45°·sin 30°＝5032.∴航线离山顶的距离h＝5032×sin 75°＝5032×6＋24＝25（3＋1）6≈11.4.∴山高约为18－11.4＝6.6( m).课堂小结1.测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.基础过关1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________.解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.答案34°27′2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么d1，d2的大小关系是________.解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.答案d1<d23.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a m，灯塔A在观察站C 的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是________ m.解析如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝3a( m)，即灯塔A与灯塔B的距离为3a m.答案3a4.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A ＝30°，则其跨度AB的长为________米.解析△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48， ∴AB ＝4 3 米.答案 4 35.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________.解析 在△ABC 中，由正弦定理AB sin 30°＝AC sin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，ACsin （θ＋90°）＝CD sin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD ＝3－1. 答案 3－1 6.如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，求通信塔CD 的高.解在Rt△ABM中，AM＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt∠CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以ACsin 105°＝AMsin∠ACM＝206sin 30°，所以AC＝60＋203，所以CN＝30＋103，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60.∴通信塔CD的高是60 m.7.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.解如图所示，AB为塔高，某人从C处沿CD方向前进，过B作BE⊥CD于E，连接AE，则∠AEB＝30°.在△BDC 中，CD ＝40，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠DCB， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米).∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米).在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米).故所求的塔高为103(3－3)米.能力提升8.在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________.解析 如图，设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸.则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6. 答案 π69.某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为 3 m ，那么x 的值为________.解析 如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余弦定理(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°，∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝ 3 或2 3.答案 23或 310.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为________ m.解析 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋（519）2－1522×10×519＝7219， ∠ABC ∈(0°，180°)， ∴sin ∠ABC ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫72192＝33219， ∴在Rt △ABD 中， AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝1523. 答案 152 311.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线和甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度为________米.解析由题可知，如图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处.则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，∴在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(3h)2＝5002＋h2－2×500×h×cos 120°，∴h＝500(米).答案50012.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴甲船用34小时能最快追上乙船.13.(选做题)如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 m 处和54 m 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A 、20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是 1.5 m/s.(1)设A 到P 的距离为x m ，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离.(精确到0.01 m)解 (1)由题意得PA －PB ＝1.5×8＝12( m)，PC －PB ＝1.5×20＝30( m)，∴PB ＝(x －12) m ，PC ＝(x ＋18) m.在△PAB 中，AB ＝20 m ，由余弦定理，得cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ×20＝3x ＋325x .同理，可得cos ∠PAC ＝72－x 3x .又cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327.(2)由题意作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt △PDA 中，PD ＝PA ·cos ∠APD ＝PA cos ∠PAB ＝x ·3x ＋325x≈17.71( m).答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 m.。
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习题课：正弦定理与余弦定理学案（含答案）
习题课正弦定理与余弦定理学习目标
1.进一步熟练掌握正弦.余弦定理在解决各类三角形中的应用.
2.提高对正弦.余弦定理应用范围的认识.
3.初步应用正弦.余弦定理解决一些和三角.向量有关的综合问题.预习导引
1.三角形内角的函数关系在ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有1sinABsinC，cosABcosC，tanABtan
C.2sincos，cossin.2.正弦定理及其变形12R.2a2RsinA，
b2RsinB，c2Rsin
C.3.余弦定理及其推论1a2b2c22bccosA，cos
A.2在ABC中，c2a2b2C为直角，c2a2b2C为钝角；c2a2b2C 为锐角.题型一解三角形例1在ABC中，若ccosBbcosC，且cosA，求sinB的值.解由ccosBbcosC，结合正弦定理得，sinCcosBsinBcosC，故sinBC0，易知BC，故bc.因为cosA，所以cosA，得3a22b2，所以ab.所以cosB，故sin
B.规律方法正弦.余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择.跟踪演练1在ABC中，已知b2ac，且a2c2acbc.1求A的大小；2求的值.解1由已知b2accosA，A0，，
A.2由b2ac，得，sinBsinBsin
A.题型二正弦.余弦定理与三角变换的综合例2在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2cos2
A.1求A的度数.2若a，bc3，求b和c的值.解1由
4sin2cos2A及ABC180，得21cosBC2cos2A1，41cosA4cos2A5，即4cos2A4cosA10，2cosA120，解得cos
A.0A180，A
60.2由余弦定理，得cos
A.cosA，，化简并整理，得bc2a23bc，所以3223bc，即bc
2.则由解得或规律方法本题解题关键是通过三角恒等变换借助于ABC180，求出A，并利用余弦定理列出关于b.c的方程组.跟踪演练2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
a2c2b2ac.求2sin2sin2B的值.解由已知，所以cosB，又B0，，所以sinB，所以2sin2sin2B2cos2sin2B1cosB2sinBcosB
12.题型三正弦.余弦定理与平面向量的综合例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB，且
21.1求ABC的面积；2若a7，求角
C.解121，
21.||||cosBaccosB
21.ac35，cosB，sin
B.SABCacsinB35
14.2ac35，a7，c
5.由余弦定理b2a2c22accosB32，b
4.由正弦定理.sinCsin
B.cb且B为锐角，C一定是锐角.C
45.规律方法这是一道向量与正弦.余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系.跟踪演练3ABC的三个内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量mab，sinC，nac，sinBsinA，若mn，则角B的大小为.答案150解析mn，absinBsinAsinCac0，由正弦定理有abbacac，即a2c2b2ac，再由余弦定理，得cosB，B0，，B1
50.课堂达标
1.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若
2asinBb，则A
A.
B.
C.
D.答案D解析由正弦定理，得2sinAsinBsinB，即sinA，因三角形为锐角三角形，所以
A.2.在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形答案C解析c2acosB，由正弦定理得
2cosBsinAsinCsinAB，sinAcosBcosAsinB0，即sinAB0，A
B.3.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，则ABC的面积为________.答
案解析由bsinCcsinB4asinBsinC得
sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC，因为sinBsinC0，所以sin
A.因为b2c2a28，所以cosA，所以bc，所以SABCbcsin
A.4.在ABC中，cosB，b2ac0，则ABC的形状为三角形.答案等边解析cosB，0B180，B
60.b2a2c22accosBa2c2acac，a2c22ac0，ac
20.ac.ABC为等边三角形.课堂小结
1.判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形如锐角.直角.钝角.等腰.等边三角形等.
2.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法.代数恒等变形方法等进行转化.化简，从而得出结论.
3.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正.余弦定理求解.。