选修4-5全套教案.doc

由上面的结论，我们又可得到
定理2（基本不等式）：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b
2
≥ab （当且仅当a ＝b 时取
“＝” 号）
证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab ∴a ＋b ≥2ab
，即
a ＋b
2
≥ab
显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b
2
＝ab
说明：1）我们称
a ＋b
2
为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，
此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2）a 2＋b 2
≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，
而后者要求a ，b 都是正数.
3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解：
例1 已知x ，y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2
证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y
2
≥xy
（1）积xy 为定值P 时，有
x ＋y
2
≥P ∴x ＋y ≥2P
上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S
2 ∴xy ≤ 1
4 S 2
上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值1
4
S 2.
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ）等号成立条件必须存在。

例2 ：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：
（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd
分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明：由a 、b 、c 、d 都是正数，得
推广：
n
a a a n +++ 21≥n
n a a a 21 。

当且仅当n a a a === 21时，等号成立。

语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 33
3
3
≥++（当且仅当
c b a ==时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析： 例1：求函数)0(3
22
>+
=x x
x y 的最小值。

解一： 33222
43212311232=⋅⋅≥++=+=x
x x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222
=⋅≥+=当x
x 322
=即2123=x 时
∴633
min
324212322
12
62==⋅=y
上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？
变式训练1 b
b a a b a R b a )(1
,,-+>∈+求且若的最小值。

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________
例2 ：如下图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
由例题，我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 三、巩固练习 1.函数)0(12
32
>+
=x x x y 的最小值是 ( ) A.6 B.66 C.9 D.12 2.函数2
22
)1(16
4++
=x x y 的最小值是____________
教学札记
a
a b
+b
（2）2
a a =， （3）
b a b a ⋅=⋅， （4）
)0(≠=
b b
a
b
a 那么?
b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：
结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,
综合10, 20
知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
（1）若把b a ,换为向量b a
,情形又怎样呢？
根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。

所以，b a b a -≥+。

定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立.
教学札记
探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系? b a -||,||()||||||||(||||)||||2
2222222=+=+=++=++=+=+ab ab a b a b a ab b a a b b a b a b ||,||()||||||||||||||(||||)||||
2
2222
22
2
222=-+=+=++=-+<++=+=+ab ab a b a b a ab b a ab b a a b b a b a b a b
+a
12n n a a a +++≤
2
=+
=+2c d
a
22
=+-+++
(2(
a b ac bd c d
2
=-≥0恒成立.
)())
x ax c d
222
+≥
c d
c d
+≥222
,αβ是两个向量，则|β.
讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,αβ共线）
应用柯西不等式讨论：其几何意义？（构造三角形）
b
b0 b
=
1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）
2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例.
二、讲授新课：
1. 教学排序不等式：
①看书：P41~P44.
如如图，设AOBα
∠=，自点O沿OA边依次取n个点
12
,,,
n
A A A，
OB边依次取取n个点
12
,,,
n
B B B，在OA边取某个点
i
A与OB边
某个点
j
B连接，得到
i j
AOB
∆，这样一一搭配，一共可得到
n个三角形。

显然，不同的搭配方法，得到的
i j
AOB
∆
不同，问：OA边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形的
面积和最大（或最小）？
设,(,1,2,,)
i i j j
OA a OB b i j n
===，由已知条件，得
123123
,
n n
a a a a
b b b b
<<<<<<<<
因为
i j
AOB
∆的面积是，而是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为
代数问题：
1212
,,,,,,,
n n
c c c b b b
设是数组的任何一个排列则
1122n n
S a c a c a c
=+++
何时取最大（或最小）值？
我们把
1122n n
S a c a c a c
=+++叫做数组
12
(,,,)
n
a a a与
12
(,,,)
n
b b b的乱序和.
其中,
1121321
n n n n
S a b a b a b a b
--
=++++称为序和.
2112233n n
S a b a b a b a b
=++++称为序和.这样的三个和大小关系如何?
设有两个有序实数组:
12
a a
≤≤···
n
a
≤;
12
b b
≤≤···
n
b
≤，
12
,,
c c···
n
c是
12
,b b，···,
n
b
教学札记
(21)(2n +-4
21
n
++
-、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩
+< 2n。