正余弦函数图像的对称轴和对称中心
高中函数对称轴的总结归纳
高中函数对称轴的总结归纳在高中数学中，函数作为一个重要的概念经常被学生们所接触和学习。
而其中一个重要的内容就是函数的对称性质，特别是对称轴。
本文将对高中函数对称轴的相关知识进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、对称轴的定义及特点对称轴是指函数图像关于某一条直线对称的性质。
在平面直角坐标系中，如果对于函数图像上的任意一点，它关于直线x=a对称的点也在图像上，那么直线x=a就是函数的对称轴。
对称轴有以下几个特点：1. 对称轴一般是垂直于x轴的直线，但也可以是斜线。
2. 对称轴将函数图像分成两个部分，每个部分关于对称轴对称。
3. 对称轴上的点对应的x坐标值是相等的，即x=a对应于x=-a。
二、常见函数及其对称轴1. 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
奇函数的对称轴一定是y轴，因为对于任意的x，有f(x)=-f(-x)。
奇函数的图像关于y轴中心对称。
2. 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
偶函数的对称轴一定是x轴，因为对于任意的x，有f(x)=f(-x)。
偶函数的图像关于x轴中心对称。
3. 二次函数二次函数的一般形式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0。
二次函数的对称轴的x坐标可以通过求解方程f(-x)=f(x)得到。
具体而言，首先将f(x)中的x替换为-x，然后将f(-x)与f(x)进行比较，令两个函数相等，解方程得到x的值，即得到对称轴的x坐标。
4. 三角函数三角函数的对称轴一般与x轴垂直，具体位置与函数的性质相关。
例如，正弦函数和余弦函数的对称轴为x轴，而正切函数的对称轴为直线x=π/2+kπ，其中k为整数。
三、对称轴的求解方法1. 根据函数的性质直接判断根据函数的定义和性质，可以直接判断函数的对称轴。
例如，奇函数的对称轴为y轴，偶函数的对称轴为x轴。
2. 求解方程判断对称轴位置对于一些复杂的函数，可以通过求解方程f(-x)=f(x)来确定对称轴的位置。
正弦与余弦知识点总结
正弦与余弦知识点总结正弦与余弦的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边和斜边的比值为正弦值，邻边和斜边的比值为余弦值。
假设在直角三角形ABC中，∠C为90°，AB为斜边，BC为对边，AC为邻边，那么正弦与余弦的定义如下：正弦值：sin∠A=对边/斜边=BC/AB余弦值：cos∠A=邻边/斜边=AC/AB在直角三角形中，正弦与余弦的值可以用来描述角度和三角形边长的关系。
在不同的三角形中，正弦与余弦的值并不相同，但其性质和图像是相似的。
正弦与余弦的性质1. 周期性：正弦与余弦函数都具有周期性，其周期为2π。
这意味着在一个周期内，函数值将重复出现。
在[-π, π]或[0, 2π]范围内，正弦与余弦的函数图像将呈现出周期性的特点。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
奇函数具有对称中心原点，即f(-x)=-f(x)，在图像上关于原点对称。
而偶函数则具有对称中心y轴，即f(-x)=f(x)，在图像上关于y轴对称。
3. 交替性：正弦与余弦函数在图像上呈现出交替变化的特点。
在一个周期内，正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
两个函数的图像像是上下振荡的波形。
4. 相关性：正弦与余弦函数是相互关联的。
在直角三角形中，三角函数的相互关系可以由勾股定理推导出来。
sin²x + cos²x = 1是三角函数基本关系式，也称为三角恒等式。
正弦与余弦的图像正弦与余弦函数的图像是学习三角函数的重要内容之一。
它们的图像形状、周期性、奇偶性等特点对于理解三角函数的性质至关重要。
正弦函数的图像是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、奇函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内呈现出从最小值-1到最大值1的振荡变化。
正弦函数的图像具有对称性，关于原点对称。
余弦函数的图像也是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、偶函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内同样呈现出从最大值1到最小值-1的振荡变化。
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
三角函数的对称轴
y=sinx 对称轴为x=k∏+ ∏/2 （k 为整数），对称中心为（k∏，0）（k 为整数）。
y=cosx 对称轴为x=k∏（k 为整数），对称中心为（k∏+ ∏/2，0）（k 为整数）。
y=tanx 对称中心为（k∏，0）（k 为整数），无对称轴。
这是要记忆的。
对于正弦型函数y=Asin(ωx+Φ），令ωx+Φ = k∏+ ∏/2 解出x 即可求出对称轴，令ωx+Φ = k∏ 解出的x 就是对称中心的横坐标，纵坐标为0。
（若函数是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式，那此处的纵坐标为k ）余弦型，正切型函数类似。
以f （x ）＝sin （2x －π／6）为例令2x-π/6=Kπ 解得x=kπ/2+π/12那么函数的对称中心就是（kπ/2+π/12,0)三角函数y=Asin （ωx+φ）中的对称轴正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π（k ∈Z ），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。
由于三角函数y=)sin(ϕω+⋅x A 是由正弦函数y=sinx 复合而成的，所以令ϕω+x =k π+2π，就能得到y=)sin(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+2k （k ∈Z ）。
通过类比可以得到三角函数y=)cos(ϕω+⋅x A 的对称轴方程x=ωϕππ-+k （k ∈Z ）。
下面通过几道典型例题来谈一谈如何应用它们的对称轴解题。
1．解析式问题例1．设函数)(x f = )2sin(ϕ+x （0<<-ϕπ），)(x f 图像的一条对称轴是直线8π=x ，求ϕ的值。
分析：正弦函数y=sinx 的对称轴是x=k π+2π，令2x+ϕ=k π+2π，结合条件0<<-ϕπ求解。
解析：∵8π=x 是函数y=)(x f 的图像的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴24ππππ+=+k ，k ∈Z ，而0<<-ϕπ，则43πϕ-=。
三角函数对称轴和对称中心
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
三角函数的性质对称性与单调性
03
三角函数的基本图像
正弦函数图像
1
正弦函数图像是周期函数，其周期为$2pi$。
2
正弦函数图像在$[0, pi]$区间内是单调递增的， 而在$[pi, 2pi]$区间内是单调递减的。
3
正弦函数图像关于直线$y = 0$对称，也即关于 原点对称。
余弦函数图像
余弦函数图像也是周期函数， 其周期为$2pi$。
在统计学中，三角函数用于描述数据的分布和变化规 律，如正态分布、泊松分布等。
计量经济学
在计量经济学中，三角函数用于建立经济模型和进行 预测分析，如时间序列分析、回归分析等。
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三角函数的有界性
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx都是有界函数， 其值域分别为[-1,1]。
有界性的应用
有界性是三角函数的一个重要性质，在解决 三角函数的值域、最值等问题中有着重要的 应用。
02
三角函数的对称性
轴对称
总结词
三角函数的图像关于y轴对称，这是由于三角函数的定义和性 质决定的。
振动与波动
三角函数在描述简谐振动和波动 问题时也经常用到，例如振幅、 相位、频率等参数都可以用三角 函数来表示。
电磁波
在研究电磁波的传播和辐射时， 三角函数也扮演着重要的角色， 如电磁波的极化、偏振等现象都 可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
01
机械振动
在机械工程中，三角函数被广泛 应用于描述各种振动现象，如弹 簧振荡、阻尼振荡等。
详细描述
三角函数在数学中有着广泛的应用，它们的图像具有特定的 对称性。例如，正弦函数和余弦函数的图像都是关于y轴对称 的。这种对称性是由三角函数的定义和性质决定的，对于理 解三角函数的性质和行为非常重要。
sin对称轴与对称中心公式
sin对称轴与对称中心公式
正弦函数的对称轴和对称中心是函数图像的重要特征。
正弦函数的对称轴是x=kπ+2π，其中k是整数。
正弦函数的对称中心是 (kπ,0)，其中k是整数。
这些公式可以帮助我们找到正弦函数图像的对称轴和对称中心。
对于正弦函数y=sin x，其对称轴的方程是x=kπ+2π，其中k是整数。
对于正弦函数y=sin x，其对称中心的坐标是 (kπ,0)，其中k是整数。
这些公式是基于正弦函数的周期性和振幅变化规律得出的。
正弦函数具有周期性，周期为 2π，因此在每个周期内，函数图像具有对称性。
对称轴和对称中心是正弦函数图像的重要特征，它们可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
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正余弦函数图像的对称轴和对称中心
【基本结论】:
正弦曲线x y sin =，R x ∈的对称轴方程是2ππ+=k x ，Z k ∈;对称中心坐标为 （πk ，0），Z k ∈。
余弦曲线x y cos =，R x ∈的对称轴方程是πk x =，Z k ∈;对称中心坐标为 （2
π
π+k ，0），Z k ∈。
【典例分析】： 例1 求函数)3
2cos(3π--=x y 的对称中心和对称轴方程。
解: 由于函数
x y cos =的对称中心为（2ππ+k ，0），（Z k ∈）对称轴方程是πk x = 又由232πππ+=-
k x ，得1252ππ+=k x （Z k ∈） 由ππ
k x =-32，得62π
π
+=k x （Z k ∈）
故函数)32cos(3π--=x y 的对称中心为（1252
ππ
+k ，3）（Z k ∈） 对称轴方程为62ππ+=
k x （Z k ∈） 例2 已知函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像关于直线8π
=x 对称，求ϕ的值。
解: 由于函数x x f sin )(=的图像的对称轴方程为ππ
k x +=2（Z k ∈）
所以，函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像的对称轴方程为
ππ
ϕk x +=
+22（Z k ∈） 即ϕππ
-+=k x 22（Z k ∈） 2
24ϕππ
-+=k x （Z k ∈） 又因为已知函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像的对称轴方程为8π=x
则有2
248ϕππ
π-+=k （Z k ∈）
解之得：4ππϕ+=k （Z k ∈）； 当0=k 时，4π
ϕ=。