高等结构动力学：阻尼
阻尼
在机械系统中，线性粘性阻尼是最常用的一种阻尼模型。阻尼力R的大小与运动质点的速度的大小成正比，方向相反，记作R=-C，C为粘性阻尼系数，其数值须由振动试验确定。由于线性系统数学求解简单，在工程上常将其他形式的阻尼按照它们在一个周期内能量损耗相等的原则，折算成等效粘性阻尼。物体的运动随着系统阻尼系数的大小而改变。如在一个自由度的振动系统中，[973-01],称临界阻尼系数。式中为质点的质量,K为弹簧的刚度。实际的粘性阻尼系数C 与临界阻尼系数C之比称为阻尼比。＜1称欠阻尼,物体作对数衰减振动；＞1称过阻尼，物体没有振动地缓慢返回平衡位置。欠阻尼对系统的固有频率值影响甚小，但自由振动的振幅却衰减得很快。阻尼还能使受迫振动的振幅在共振区附近显著下降，在远离共振区阻尼对振幅则影响不大。新出现的大阻尼材料和挤压油膜轴承，有显著减振效果。
在某些情况下，粘性阻尼并不能充分反映机械系统中能量耗散的实际情况。因此，在研究机械振动时，还建立有迟滞阻尼、比例阻尼和非线性阻尼等模型。
大家知道，使自由振动衰减的各种摩擦和其他阻碍作用，我们称之为阻尼。而安置在结构系统上的“特殊”构件可以提供运动的阻力，耗减运动能量的装置，我们称为阻尼器。
泰勒Taylor公司从1955年起经过长期大量航天、军事工业的考验，第一个实验将这一技术应用到结构工程上，在美国地震研究中心作了大量振动台模型实验，计算机分析，发表了几十篇有关论文。结构用阻尼器的关键是持久耐用，时间和温度变化下稳定，泰勒公司的阻尼器经过了长期考验和各种对比分析，其他公司的产品很难望其向背。美国相应设计规范的制定都是基于泰勒公司阻尼器的产品。其产品技术先进，构造合理可靠，技术的透明度高，而且可以按设计者的要求制造适合各种用途的阻尼器。每个产品出厂前都经过最严格的测试，给出滞回曲线。泰勒Taylor公司从世界上130多个工程，32座桥梁的实际应用中，积累了大量的实际经验。
第12章 结构的动力计算(2)
t
v0 y0 y0 cosrt sin rt r
e t 称为衰减系数。
v y0 y et y0 cosrt 0 sin rt r
设
v0 y0 a cos r
n y 1 1 1 ln 0 ln 29.9 0.1 0.05 2 π yk 2 π 2π 取n＝30 (周)。
(3求柱子的总抗剪刚度k11 由 有
k11
t n nTr nT n 2 π m k11
2 π n2 m 2 3.1416 302 2500N/m 142.12103 N/m
12.5.4 有阻尼的强迫振动（ ＜1） 运动方程为
2y 2 y FP t m y
1.任意荷载作用下的有阻尼强迫振动
可仿照相应的无阻尼强迫振动的方法（冲量法）推导如下： v0 y0 t 1) 由式 y e y0 cos r t sin r t 可知，单独由v0 r （y0为二阶微量，被忽略）所引起的振动为
4) 求结构刚度
k11
5) 求阻尼系数
2 π n m
2
t
式中，
2 n
tn nT 2 π n m k11
C 2m
6) 求振动n周后的振幅
y1 y n y0 y 0
n
【例12-20】图示刚架，它的横梁为无限刚性，质量为2500kg，由于柱顶施 以水平位移y0（初始振幅）作有阻尼自由振动。已测得对数递减率g =0.1。
t
振幅
At a e
按照等比级数
e Tr或 yk 1 yk
逐渐衰减的波动曲线。
结构不同阶频率 阻尼关系曲线
结构不同阶频率阻尼关系曲线一、引言结构工程中，频率和阻尼是一个结构动态特性的重要指标，对结构的安全性、舒适性以及耐久性都有着重要的影响。
而不同结构的频率和阻尼的关系曲线又是一个比较复杂的问题。
本文将深入探讨结构不同阶频率和阻尼的关系曲线的理论基础、计算方法和实际应用等内容。
二、结构频率和阻尼的理论基础1. 结构的频率结构的频率是指结构在受到外部激励时，产生共振现象的频率。
在自由振动的情况下，结构的振动频率与结构体系的刚度和质量有关，可以通过有限元分析等方法进行计算和预测。
2. 结构的阻尼结构的阻尼是指结构在振动时受到的阻碍和耗散作用。
阻尼可以分为固有阻尼和非固有阻尼，固有阻尼是由结构本身的材料和结构形式所决定的，而非固有阻尼则是由结构与周围环境的相互作用所产生的。
3. 结构频率和阻尼的关系结构的频率和阻尼之间有着密切的关系，频率与阻尼的大小和分布都会对结构的动态特性产生重要的影响。
不同阶频率和阻尼之间存在着复杂的关系，对于结构的设计和分析来说，需要对这种关系进行深入的研究。
三、结构不同阶频率和阻尼的计算方法1. 频率的计算方法结构的频率可以通过有限元分析或者是分析解法进行计算。
在有限元分析中，可以通过建立结构的模型，进行模态分析来获得结构的频率。
而在分析解法中，则需要对结构的特征方程进行求解，在求解得到的特征值中，频率就是这些特征值的平方根。
2. 阻尼的计算方法对于结构的阻尼，其计算方法通常包括实验法和理论计算法。
实验法主要通过现场测试或者试验进行测定；理论计算法则包括了振动材料的阻尼、结构与基础的耦合阻尼、结构内部的阻尼等多个方面。
3. 不同阶频率和阻尼的关系曲线的计算方法不同阶频率和阻尼的关系曲线可以通过结构的模态分析来求解。
结构的模态分析可以得到结构的模态振型和频率，然后可以根据公式计算不同阶频率和阻尼的关系曲线。
四、结构不同阶频率和阻尼的实际应用1. 结构设计在结构设计中，频率和阻尼是一个重要的设计指标。
结构中的常用阻尼
结构动力学中的阻尼摘要：静止的结构，一旦从外界获得足够的能量（主要是动能），就要产生振动。
在振动过程中，若再无外界能量输入，结构的能量将不断消失，形成振动衰减现象。
振动时，使结构的能量散失的因素的因素称为结构的阻尼因素。
本文列举了常见的几种阻尼模型以及其适用条件，关键词：阻尼，粘性阻尼，滞变阻尼，比例与非比例阻尼1、粘性阻尼1.1粘滞阻尼的模型1865年，Kelvin提出固体材料中存在内阻尼，为了描述这种内阻尼，他借用了粘滞性模型，提出固体材料的内阻尼与粘滞流体中的粘滞阻尼相似，与变形速度有关。
1892年，V ougt发展并完成了此理论，形成了粘滞阻尼模型，其数学表示为d =σηε•其中η为材料的粘滞阻尼常数，ε为材料应变，ε•为材料应变速率。
1.2粘滞阻尼的适用线性粘滞阻尼模型很好描述了粘滞液体中结构的耗能特性，但将此模型用于描述固体材料的内阻尼，则缺乏物理实验基础，其能力耗散系数与振动频率成不合理性已经被许多实验证实。
2、滞变阻尼（频率相关阻尼）2.1滞变阻尼的模型在粘性阻尼模型的基础上，为了保证结构振动时每周消耗掉的能量与结构振动频率的增加而线性增加，提出迟滞阻尼模型，如下：d h f =x θ•式中，h 为材料迟滞阻尼常数，θ为振动频率，h/θ可以看作一个与频率相关的阻尼因子。
2.2滞变阻尼的适用实际工程中，通过阻尼比的选取使粘性阻尼的理论能正确反映所有频率情况下的体系耗能是不可能的，方法是使阻尼比ζ的选取能较为正确的反映感兴趣频段内的耗能能力，通常取外荷载频率等于结构自振频率。
3、库伦阻尼3.1库伦阻尼模型该阻尼模型经常被用来表示被铆接或者栓接的两个结构单元的摩擦。
有库伦定律：d f =N μ式中，d f 为库伦阻尼力，μ为摩擦系数，N 为正压力。
3.2库伦阻尼的适用库伦阻尼描述来自于长压力下的两个干滑动表面支教的干摩擦。
在实际工程中，该阻尼模型经常被用来表示被铆接或者栓接的两个结构单元之间的摩擦。
高等结构动力学1-3
○弹簧的等效质量在图示中，设弹簧具有质量，其单位长度的质为，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。
k ρ图示弹簧等效质量系统示意图设质量的位移用表示，弹簧的长度为，那么距左端为的质量为的微单元的位移则可假设为，设为常数。
()t x L ξξρd ()()t x L /ξρm §2.3有阻尼单自由度体系自由振动()())()3(213)(21)(212121223222202t xL m L t x t x m d t x L t x m T L L ρξρξρξ+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰)(212t kx V =根据Lagrange 方程L T V Lagrange =----函数则系统的动能和势能可分别表示为0(1,2)kkd LLk n dt qq ⎛⎫∂∂-== ⎪∂∂⎝⎭ §2.3有阻尼单自由度体系自由振动可得0)()(=+t kx t x m eff 此处称为等效质量。
3L m m effρ+=可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到3Lm k n ρω+=上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按规律变形的。
如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同。
())(/t x L ξ§2.3有阻尼单自由度体系自由振动§ 2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动t F x k x c xm ωsin 0=++ tmF x x x n n ωωξωsin 202=++ 简谐激励:激励力函数表示成三角函数的形式tF t F ωsin )(0= (1)1.运动方程的解设)()()(21txtxtx+=)cossin()(211tctcetxddt nωωξω+=-)sin()(2ϕω-=tXtx222224)1(1λξλω+-=nmFX (2)将(2)式代入(1)式tmFtXtXtXnnωϕωωϕωωξωϕωωsin)sin()cos(2)sin(22=-+-+--nωωλ=)1(2arctan2λξλϕ-=12()(sin cos )sin()n td d x t ec t c t X t ξωωωωϕ-=++-00)0()0(x xx x ==1122()sin()sin()sin()n n td td x t A et A et X t ξωξωωϕωϕωϕ--=++++-20021)(dn x xx A ωξω++= 0001tan x xx n d ξωωϕ+=衰减振动的响应:1x kF x st 0=22221(1)4st X x βλξλ==-+设静变形动力放大系数：表示振幅相对于静变形的放大倍数。
动力学分析中的阻尼(!需要更新一下,图片没有了!)
ANSYS结构动力学分析中的阻尼ANSYS动力学分析中提供了各种的阻尼形式，这些阻尼在分析中是如何计算，并对分析有什么影响呢？本文将就此做一些说明何介绍.一．首先要清楚，在完全方法和模态叠加法中定义的阻尼是不同。
因为前者使用节点坐标，而后者使用总体坐标.1．在完全的模态分析、谐相应分析和瞬态分析中，振动方程为：阻尼矩阵为下面的各阻尼形式之和：α为常值质量阻尼（α阻尼）（ALPHAD命令）β为常值刚度阻尼（β阻尼）（BETA命令）ξ为常值阻尼比，f为当前的频率（DMPRAT命令）βj为第j种材料的常值刚度矩阵系数（MP,DAMP命令）[C]为单元阻尼矩阵（支持该形式阻尼的单元）2．对模态叠加方法进行的谐相应分析、瞬态分析何谱分析，动力学求解方程为：每个模态产生有效阻尼比ξid而不是创建阻尼矩阵α为常值质量阻尼β为常值刚度阻尼ξ为常值阻尼比ξmi为第i个模态的常值阻尼比ξj为第j个材料的阻尼系数Ejs为第j个材料的应变能，ANSYS由{f}T[K]{f}计算得到。
二．对谱分析，阻尼仅仅包含在模态组合里，而在计算模态系数的时候并没有考虑。
当使用模态叠加法时，材料阻尼被添加到扩展的模态中，因此，用户必须在进行模态分析之前，就包括材料阻尼（MP,DAMP）并进行单元应力的计算（MXPAND命令）。
三．模态叠加法支持使用QR阻尼，但是用户必须知道尽管是模态组合方法，阻尼在模态分析中已包含了，所以应该使用上面的完全阻尼矩阵[C]来计算阻尼。
如果使用QR阻尼的的模态提取方法（MOPT,QRDAMP），并且在前处理或模态分析中指定了任何形式的阻尼，那么ANSYS将在进行模态叠加时忽略阻尼。
四．了解MP,DAMP在不同的情况下有不同的作用非常重要。
在完全分析中，材料阻尼代表了该材料的一个刚度矩阵乘子，与粘性阻尼（与频率成线性关系，但针对所有的材料）类似。
因此，在这种情况下，对单自由度结构，材料阻尼值等于ξ/πf或c/k。
结构动力学中的阻尼
结构动力学中的阻尼 一、租你的分类1）粘滞阻尼（大小与啥速度成正比，方向与速度相反） 2）滞后阻尼（结构阻尼，大小与位移成正比，方向与速度相反）3）干摩擦阻尼（库伦阻尼，大小与正压力成正比，方向与速度相反） 二、阻尼的测定1）自由振动衰减法，见教材p7)1n n ln(个循环的幅值第个循环的幅值第+=δ （1）tT t t n n e eu e u u u ςωςωςω==+--+)(001 （2） πςςωδ2==t （3）如果相隔n 个周倜，则ςπδn n 2= （4）2）共振法222m a x )2()1(1ςρρ+-===st d y y DLF 最大静位移最大动位移 （5） 222)(210)(ωςρρΩ=-=⇒=d DLF d （6）2max 121ςς-=DLF （7）当共振时，1≈ρ，可以推出；maxmax 2121DLF DLF =⇒=ςξ（8）3）带宽法 （0.707法）频率反应曲线ωωως212-=（9）式（9）推导如下：2222222)121()21())2()1(1(ςςςρρ-=+- （10） 化简 式（10），可得0)1(81)21(222224=--+--ςςρςρ （11）解得：2221221ςςςρ-±-= （12）由于2ζ很小，式（12）可以化简为：ςρ212±= （13）ζρζρ±≈⇒±=121 （14）ωωωζζωωω221212-=⇒=- （15）三、对几种阻尼的比较 1)粘滞阻尼yc fd -= （16）)sin(ϕ+Ω=t A y （17） )cos(ϕ+ΩΩ=t A y（18） )cos(ϕ+ΩΩ-=t cA f d （19） 2222222222222222222222)(sin ))(sin 1()(cos y c A c t A c A c t A c t A c f d Ω-Ω=+ΩΩ-Ω=+Ω-Ω=+ΩΩ=ϕϕϕ （20）1222222=+ΩA y c A f d （椭圆方程） （21）椭圆面积为阻尼李在一个周期内所做的功⎰Ω==Td T cA dy f W /202ππ （22）221kA U =（23） 能量耗散系数kcU W T Ω==πφ2 (24) 实验表明Ω与φ无关，与实际不符。
1工程结构中的阻尼及其力学模型
y1 2 ln y 2 1 2
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
例题：研究一座桥梁的竖向振动，对于基频，结 构可以看成是单自由度体系。让桥梁在跨中产生 挠度（用绞车把桥梁向下拉），然后突然释放。
在初始扰动之后，求得振动按指数衰减，即在频
率为1.62Hz的三个周期内，振幅从10mm衰减为 5.8mm。在跨中停放质量为40000kg的车辆重复进
宏观尺度的滑动被降低而微观滑动开始这种微观滑动包括接触面间的相互凹凸的微小位移相对于滑动面的对面3连接处嵌固压力的进一步增加将使粗糙面的贯入度变得更大
结构动力学
——单自由度系统的振动 湖南大学土木工程学院
尹华伟
2013年7月
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
粘滞阻尼
k c m
cy ky 0 m y
对库仑阻尼，可导出等效粘滞阻尼系数：
cd
4 Fd
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
阻尼引起的能量耗散
滞变阻尼： 对简谐激励： 得:
y sin t
Fdy k (1 j )ydy
y , cost y /
2 2
2 2
F k sin t jk sin t k sin t k cost
行试验，并测得其自振频率为1.54HZ。
求有效质量，有效刚度系数和结构阻尼。
设m为有效质量，k为有效刚度系数。
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
因为：
1 f1 1.62 2 1 f 2 1.54 2
k m k 3 m 4010
3
故得：
1.62 m 4010 m 1.54 因此有效质量： m 375103 kg 2 有效刚度： k (2f1 ) m 38850 kN/m
第九章 阻尼结构系统的响应理论
第九章 阻尼结构系统的响应理论§9.1 结构系统的动响应概念9.1.1 结构动力学的两大基本问题结构动力学的研究对象在绪论中已作了阐述，它是研究激励、结构系统和响应三者之间的关系。
其中核心的内容是结构系统的数学模型，或简称为建模。
在已知结构系统模型的先验知识基础上，结构动力学的两个基本问题是振动特性分析与动响应分析。
通过对结构系统振动特性和动响应的分析，可更全面地了解结构系统数学模型，更深入地描述结构系统。
结构动力学的一个基本总问题是结构系统的振动特性，它在第七、八两章里已作了讨论，所分析的模态理论刻画了结构系统振动特性的主要内容。
结构系统的振动特性是用它的模态参数来作出全面的描述，模态参数包括正则化的模态向量，振动频率和阻尼比。
用模态参数可构造它在模态空间的数学模型。
结构动力学的另一基本问题是结构系统的动响应分析。
结构系统在外激励作用下，它产生有位移响应（运动响应）和应力响应。
前者将形成一个振动环境，后者则是结构系统的动强度问题。
它们是结构系统动力学问题的表现形式，或是环境振动太大，或是动强度太弱。
进而根据结构系统的振动特性进行动力学设计，从而解决存在的动力学问题。
从另一方面来说，动响应是与外加激励直接相关，从而给出输入与输出之间的关系。
系统的概念是输入与输出的变换，用输入输出之间的关系式形成响应空间，根据它也可构造结构系统的数学模型。
这是本章所要讨论的内容。
由上面分析说明结构动力学中所作的振动特性分析与动响应分析这两大基本问题是结构动力学研究中最基础的工作，它们将对结构系统的数学模型有一个透彻的理解和完整的描述。
前二章对振动特性的分析，首先分析无阻尼的结构系统，建立固有模态理论，是无阻尼结构系统所固有的基本振动特性。
再分析阻尼结构系统的振动特性，建立复模态理论，阐述阻尼对结构系统振动特性的影响。
这一章里将分析它的动响应问题。
动响应的分析是立足于阻尼结构系统，这是由于阻尼对结构系统的动响应有着显著影响，是个不可忽略的因素。
12[1].5 比例粘滞阻尼矩阵的建立
12.5 比例粘滞阻尼矩阵的建立
高等结构动力学
非比例阻尼矩阵的建立
前面所描述的比例阻尼矩阵适合于大多数结 构体系特性的建模，其阻尼机制相当均匀地分 布在整个结构中。但是，对于多于一种材料组 成的结构，由于不同材料在结构的不同部分提 供的能量损失机制差别很大，所以阻尼力的分 布将与惯性力和弹性力的分布不同；换句话说， 这种情况导致的阻尼将不是成比例的。
T 1
mM 1
(12-53)
将式(12-52)和(12-53)代入式(12-49)，得到
c mM
1
C M
1
m
T
(12-54)
12.5 比例粘滞阻尼矩阵的建立
高等结构动力学
由于矩阵C是一个对角矩阵，其元素为 Cn 2nn M n ， 所以式(12-54)的三个中间对角阵的乘积仍然为一个 对角阵，其元素为
2nn dn Mn
因此式(12-54)可以写为
(12-55)
c md m
T
其中d是含有元素为dn的对角阵。
12.5 比例粘滞阻尼矩阵的建立
高等结构动力学
每一个振型阻尼比对于阻尼矩阵的贡献都是独 立的，即有：
cn mn dnnT m
总阻尼矩阵由各振型贡献之和获得
N T c cn m n d nn m n 1 n1
§12.5 比例粘滞阻尼矩阵的建立
高等结构动力学
§12.5 比例粘滞阻尼矩阵的建立 Rayleigh阻尼
如上所述，用阻尼矩阵的方法来表示一个典型粘滞阻尼多自 由度体系的阻尼通常不是必须的，因为采用振型阻尼比来表 达更为方便，然而，至少在两种动力分析情况下有解耦的振 型反应叠加不可能得到反应。因此有阻尼比不可能表达阻 尼——用一个显式的阻尼矩阵来替代是必要的。这两种情况 是： （1）非线性反应，这种情况下振型是不固定的，而是随 着刚度的变化而改变。 （2）非比例阻尼线性体系的分析。