第十一章曲线积分与曲面积分例题课件

高等数学曲线积分和曲面积分课件

投影区域为Dxy , R(x, y, z)在S上连续，则
R(x, y, z)dxdy R(x, y,（ z x, y）)dxdy.
S
D xy
其中，当S取上侧时，取“+”号。
其余的类似积分。
11-6 高斯公式
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
11-1 对弧长的曲线积分
11-2 对坐标的曲线积分
习题11-3 格林公式及其应用
设闭区间D由分段光滑的曲线L围成，函数P x, y及 Qx, y在D上具有一阶连续的偏导数，则有

D

Q x

P y
dxdx

L
Pdx

Qdy成立，其中L取正向。
需要说明以下几点：
（1）格林公式说明了平面闭区域D上的二重积分可通过
沿闭区域D的边界曲线上的曲线积分来表达，即面积分
可以转化为线积分。
（2）格林公式的简单应用：设闭区域D由分段光滑的
曲线L围成，则D的面积A=
1 2
L
xdy

ydx.
（3）在应用格林公式时，首先检验格林公式的条件
是否满足，即P x, y,Q x, y在由分段光滑的闭曲线
所围成的闭区域额D上具有一阶连续偏导数，当条件
不满足时，公式不能用。例如考虑积分
xdy ydx L x2 y2 ,
其中L是区域D的边界曲线，如果D包含原点，那么
P 与 Q 在原点就不存在，就不可能连续，这时就不 y x
能运用格林公式将其转化为二重积分。
解：
解：

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (1)

( )
10
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例1 计算
L
yds, 其中L是抛物线y x 上点
2
O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧.
解

L 1
yds
0
1
y
y x2
0
x
2
2 1 ( x ) dx 2
B
x 1 4 x 2 dx
i 1 n
y
B
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 M A 1
o
x
3
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第十一章
曲线积分与曲面积分
如果当各小弧段的长度的最大值 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作 f ( x , y )ds, 即
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
2 ( t ) 2 ( t ) 0，则曲线积分 f ( x , y )ds
L
存在，且

L
f ( x , y )ds
曲线积分与曲面积分
定义设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y )
在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,, M n1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 si , 又( i , i )为第 i个小段上任意取定的一点, 作乘积f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,

高数下第十一章曲线积分与曲面积分【优质PPT】

(2)抛物线x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧 ; (3) 有向折线 OAB，这里O, A, B依次是(点0,0)
(1,0),(1,1).
解 (1) 化为x对的积. 分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0 4 1 x3dx 1. 0 2021/5/27
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
y)dy ,其中L
为圆周
x 2 y 2 a 2(按逆时针方向饶行)；
3、 dx dy ydz,其中为有向闭折线 ABCA,这里
32
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
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33
格林公式的实质 : 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系 .
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34
y
例 1 计算 xdy,其中曲 AB
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其 F P i Q j ,中 d d i s d j . x y
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13
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.

第十一章_曲线积分与曲面积分习_[1]...

x y z x y z S1 xdydz z 2dxdy xdydz z 2dxdy 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x S2 S3
S
xdydz z 2dxdy 例12 计算曲面积分 2 2 2 , 其中S是由曲面 x y z S

4 a3 . 3
2 3
0 ( x 2 y 2 z 2 )ds

( x2 z 2 )ds
L关于xOz轴平面对称, y是L上关于y 的奇函数
2 1 2 2 2 ( x y z )ds ( x y z)ds 3 3
4 a3 3
(二) 曲线面积分的计算法 1. 基本方法第一类( 对面积 ) 曲面积分第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面 P, Q, R以及它们的一阶偏导数不连续的情况下,考虑通过投影化为二重积分处理.

z
2 1
1
2z dxdydz 4dxdy dxdy 2 2 zdz dxdy 4 dxdy dxdy 1 2 2 x2+y24
1 2
+ +
1 2
Dz
2
x
O
n
y
1+2
2 z
1
2
所以
BA
(x2y)dx+(y 2x)dy x2 dx
2 3 a . 3
a
a
例4 计算曲线积分 , 其中且取正向 . y 2 2 Q y x P 1 2 2 L 2 解当 x +y 0 时 , x ( x y 2 )2 y D x 在D内作圆周l: x2+y2=1, 取逆时针方向, l O D1 2 由格林公式, 有

高等数学-第十一章-曲线积分与曲面积分

⑥牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件
对弧长的曲线积分及其计算
y
B
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
L Mn1
(i,i)
M2
Mi
Mi1
匀质之质量 M s. A M 1
o
x
分割 M 1 , M 2 , , M n 1 s i ,
取 (i,i) s i, M i (i,i) s i.
B
M
实L 例:A : 变B 力,沿曲线所作的功 ALMM1i1
M
yi 2xi
iMn1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A . B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M n , 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n B , .
3
3
ds
2a3 . 3
(2a d,s球面大) 圆周长
注关于对弧长的曲线积分的对称性
对 Lf(x,y)ds
①若 L 关于 y 轴对称
( 1 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 L f ( x , y ) d 0 s
( 2 ) 当 f ( x , y ) f ( x , y ) 时 f ( x , y ) d 2 f s ( x , y ) d
n
f(x ,y ,z)d s l i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L ( 或 ) 是分 , (L 段 L 1 L 2 ) 光
f ( x , y ) d s f ( x , y ) d s f ( x , y ) d . s
L 1 L 2

第十一章曲线积分与曲面积分

5考研专题解析第十一章曲线积分与曲面积分1.(98年数一)设L 为椭圆,13422=+y x 其周长为a ,则._______)432(22=++⎰ds y x xy L179解析 L 关于x 轴（y 轴）对称，2xy 关于y （关于x ）为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上22222213412(34)121243LLx y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰.因此，原式=222(34)12LLxyds x y ds a ++=⎰⎰.2.（09年数一）已知曲线2:(0L y x x =≤，则_______L xds =⎰180解析直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得Lxds ==⎰1222014)(14)8x d x =++ 32212113(14)(271)83126x =⋅+=-=.1.(00年数一) 计算曲线积分,422⎰+-=L y x ydxxdy I 其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1>R ),取逆时针方向.181解析记2222,44y xP Q x y x y-==++,则L I Pdx Qdy =+⎰直接计算较繁琐，想借助格林公式.当220x y +≠时，222224(4)Q P y x x y x y ∂∂-==∂∂+, 记L 围成的圆域为D ,因D 内含原点(0,0),而P Q 、在(0,0)无意义，所以不能直接在D 上用格林公式.现作一小椭圆C ε（取逆时针方向）：2224x y ε+=，0ε>充分小，使C ε位于D 内，记L 与C ε围成区域D ε，在D ε上用格林公式得()0LC D Q PPdx Qdy Pdx Qdy dxdy x yεε∂∂+-+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰, 即222222222241122442L C C x y xdy ydx xdy ydx ydx xdy dxdy x y x y εεεεπεπεεε+≤--==-+===++⎰⎰⎰⎰⎰. 2.（04年数一）设L 为正向圆周222x y +=在一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为_______182解析已知L的参数方程,x t y t =，t 从0到2π.直接代公式得202)()]Lxdy ydx t t t t dt π-=-⎰⎰,2220322sin 242dt tdt πππππ=+=+⋅=⎰⎰. 3.（08年数一）计算曲线积分2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.183解析将曲线L 的方程代入直接计算2sin 222LLI xdx ydy x ydy =-+⎰⎰(,0)220(0,0)1(cos 2)2sin cos 2x y x x xdx ππ=--+⎰221sin 2cos 22x xdx x d x ππ==-⎰⎰2001cos 2cos 22x x x xdx ππ=-+⎰201sin 222xd x ππ=-+⎰ 220011sin 2sin 22222x x xdx ππππ=-+-=-⎰.1.（97年数一）计算积分⎰-+-+-Cdz y x dy z x dx y z )()()(，其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+,2,122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的.184 解析用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围成有限部分，由L 的定向，按右手法则S 取下侧.()()()2CS dydz dzdx dxdy z y dx x z dy x y dz dxdy x y z z y x z x y∂∂∂-+-+-==∂∂∂---⎰⎰⎰, S 在xoy 平面上的投影区域22{(,)1}xy D x y x y =+≤.将第二类曲面积分化为二重积分得22Sdxdy π==-⎰⎰原积分.这里S 取下侧，故公式取负号. 2.（01年数一）计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面2x y z ++=与柱面1=+y x 的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.185解析用斯托克斯公式来计算，记S 为平面2xy z ++=上L 所围部分.由L 的定向，按右手法则S==S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )n a r β==，于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23Sa r I ds x y z y z z x x y β∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰([(24(2622Sy z z x x y ds =----+--⎰⎰(423)2(6)S Sx y z dS x y z x y dS =++++=+-⎰⎰. 将第一类曲面积分化为二重积分得(62(6)S SI x y x y dxdy =+-=-+-⎰⎰，其中D 为S 在xoy 平面上的投影区域1x y +≤.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰,所以21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.专题二、求曲面积分与高斯公式∑体222x y x +≤内的部分.179解析将曲面积分I 化为二重积分(,)xyD I f x y dxdy =⎰⎰首先确定被积函数(,)f x y==，对锥面z =而言，==, 其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域22{(,)(1)1}xy D x y x y =-+≤xyD I =⎰⎰作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==，则{(,)02cos ,}22r D r r θππθθθ=≤≤-≤≤. 2cos 2cos 322000213I d r rdr r d θππθπθθ-=⋅==⎰2.（07年数一）设曲面:1x y z ∑++=，则()______x y dS ∑+=⎰⎰187 解析 ∑关于yoz 平面对称，x 对x 为奇函数⇒0xdS ∑=⎰⎰,由变量的轮换对称性⇒x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,⇒()111()1333I x y dS y dS x y z dS dS ∑∑∑∑=+==++==⋅∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰曲面的面积记∑在第一卦限部分的面积为111cos ,2r σσ==即,因此118833I σ=⋅==1.（05年数一）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则______xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰192解析在Ω上用高斯公式得(111)31I dV dV ΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰作球坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθρϕθρϕ===，{(,,)0,0,02}4RπρϕθρϕθπΩ=≤≤≤≤≤≤,所以22240003sin (2RI d d d R ππθϕρϕρπ==⎰⎰⎰.2.（06年数一）设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则23(1)_____x d y d z y d z d x z d x d y ∑++-=⎰⎰192解析添加辅助面221:1(1)z x y ∑=+≤，法向量朝上，123(1)0000xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=++=⎰⎰,∑与1∑围成区域Ω，用高斯公式得123(1)(123)623xdydz ydzdx z dxdy dV ππ∑∑Ω++-=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰,原式202ππ=-=. 3.（08年数一）设曲面∑是z =的上侧，则2_________xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰193解析直接代入公式将第二类曲面积分化为二重积分，曲面∑的方程是,)z x y D =∈,其中22{(,)4}D x y x y =+≤，z z x y ∂∂==∂∂所以22()()00D D z zxy x x dxdy x dxdy x y ⎡⎤∂∂-+-+=++⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰221()42Dx y dxdy π=+=⎰⎰.1.（01年数一）设222z y x r ++=则(1,2,2)()______div gradr -=195解析先求(,,)x y zgradr r r r =，再求()()()()x y zdiv gradr x r x r x r∂∂∂=++∂∂∂.2223331112()()()x y z r r r r r r r=-+-+-=.所以(1,2,2)2()3div gradr -=.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you Yet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。

十一章曲线积分与曲面积分

- -第十一章曲线积分与曲面积分一、内容提要（一）曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长）(1)定义：设),(y x f 是光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设i 段的弧长为i s ∆（最长者记{}i s ∆=max λ），在其上任取一点),(i i ηξ，则),(y x f 在L 上的第一类（对弧长）曲线积分为 ∑⎰=>-∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ.(2) 几何意义与物理意义几何意义是柱面面积，该柱面以L 为准线、其母线平行于z 轴、介于平面0=z 和曲面),(y x f z =之间的部分（图10.1）. 物理意义是线密度为),(y x f 的物质曲线L 的质量. (3)计算方法：即“定限、代入”两步法第一步（定限）：写出L 的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 βα≤≤t ，并且一定有βα<.第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds .将L 的方程和ds 一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式：参数式 L ： ⎩⎨⎧≤≤==,),(),(βαψϕt t y t x ds t t ds 22))(())((ψϕ'+'=⎰⎰'+'=Ldt t t t t f ds y x f βαψϕψϕ22))(())(())(),((),(；直角坐标把L ：)()(b x a x y ≤≤=ψ看做曲线参数表达式⎩⎨⎧==)(x y xx ψ可以得到如下公式：⎰⎰'+=Lb adx x x x f ds y x f 2))((1))(,(),(ψψ；极坐标 L ：,),(βθαθ≤≤=r r θθθd r r ds 22))(()('+=，⎰⎰'+=Ld r r r r f ds y x f βαθθθθθθθ22))(()()sin )(,cos )((),(.2．第二类曲线积分（对坐标）（1）定义：设),(y x P 和),(y x Q 是有向光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设第i段的- -分点为),(i i i y x M ，在弧 ⋂-i i M M 1上任取一点),(i i ηξ，设1--=∆i i i x x x , 1--=∆i i i y y y ，则),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni i i i x P dx y x P 1),(lim ),(ηξλ；而),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni iiiyQ dy y x Q 1),(lim ),(ηξλ；在应用上往往表现为两者的和：⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dyy x Q dx y x P ),(),(),(),(（记为）.（2）物理意义第二类曲线积分的物理意义是变力j y x Q i y x P F),(),(+=沿有向曲线L 移动所作的功，即⎰⋅=Lr d F W⎰+=L dy y x Q dx y x P ),(),(.其中 j dy i dx r d+= .由微分三角形知ds dy dx r d =+=22，向量r d在切线上.（4）计算方法直接计算即“定向、代入”两步法. 第一步（定向）：写出L 的方程及自变量的变化范围，α和β分别对应L 的起点（下限）和终点（上限）.即变量“t 由α向β”积分.与第一类曲线积分不同，在这里可能出现βα>的情况.第二步（代入）：把L 的方程及dy dx ,代入被积分式中，即变为定积分，α和β分别是下限和上限.例如，（定向）L ：⎩⎨⎧==βαψϕ向由t t y t x ),(),(.（代入）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),((([.间接计算主要使用两个重要定理.格林定理设：① D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+L D dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy QP y x D⎰⎰∂∂∂∂. 注意：如果D 是单连通域，则L 逆时针方向为正.如果D 是复连通域，则 L 的外周界逆时针方向为正，而内周界顺针方向为正.如果L 的方向为负，那么在使用格林时时一定要补加一个负号.与路径无关定理设：① D 是单连通域，有向曲线L ∈D ；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 中有- -连续的偏导数.则⎰+LQdy Pdx 与路径无关<=>yPx Q ∂∂=∂∂ 对于一个第二类曲线积分计算题，如果不宜直接计算或直接计算较繁，就需要计算yPx Q ∂∂∂∂和，依不同情况，或使用格林定理或改变积分路径.（5）曲线积分与全微分的关系设D 是单连通域；P 和Q 具有连续偏导数.则在D 中存在),(y x u 使yPx Q Qdy Pdx du ∂∂=∂∂⇔+= .其计算公式是 ⎰⎰⎰+=+=xx yy y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y x u 000),(),(),(),(),(0),(),(⎰⎰+=y y x x dx y x P dy y x Q 0),(),(0. 3．两类曲线积分之间的转换设曲线了L ：)(),(t y t x ψϕ==.在曲线上L 任一点的切向量是=t {)(),(t t ψϕ''}，容易求出单位切向量{}ααsin ,cos 0=t，由微分三角形知ααsin ,cos ds dy ds dx ==.将这两式代入第二类曲线积分中得⎰⎰+=+LLds Q P Qdy Pdx ]sin cos [αα如用向量表示，{}{}{}{}ds t ds ds dy dx r d y x r Q P A 0sin ,cos ,,,,, =====αα，于是ds t A r d A LL⎰⎰⋅=⋅0（此式在三维空间也正确）.4．常用计算技巧代人技巧若计算⎰Lds y x f ,),(而L 的方程恰是a y x f =),(，则⎰⎰==LLal ads ds y x f ),(（l 是l 的长度）.注意：这种代入技巧在两类曲线积分和两类曲面积分中都适用.但是绝不可以用在重积分上.例如，设D 是由222a y x =+围成的区域，则下面的“代入”是错误的：⎰⎰⎰=+DDdxdy a dxdy y x 222)( 错误的原因是在D 的内部222a y x <+.利用奇偶对称性第一类曲线积分的奇偶对称性与二重积分类似.设L 关于y 轴对称，则- -⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x y x f x y x f ds y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当),(2),(,0),(1其中1L 是L 在y 轴右边的部分.若L 关于x 对称，则有结果类似. 第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反.设L 关于y 轴对称，（1L 是L 在y 轴右边的部分）则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x Q x Q dy y x Q 为偶函数。