2019届高三四模考试数学(理)试卷含解析
数学（理科）能力测试
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数 z
i 1
i （ i 为虚数单位） ，则 z
z
（
1 A. i
2
1
B.
4
）
1
C.
4
1
D.
2
【答案】 D
运算法则求解其值即可 .
先解不等式求出 N ，再求 M N 即可 .
【详解】由 x2 3x 0 ，解得 0 x 3 ，则 N { x |0 x 3} .
D. { 1,2}
又 M { 1,0,1,2} ，所以 M N 1,2 .
故选 C． 【点睛】本题考查列举法、描述法表示集合，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
3.设 x R ，则“ 1 x 2 ”是“ x 2 1 ”的（ ）
当 x＝ 1 时， y＝ 3；当 x＝2 时， y＝ 8；
当 x＝ 3 时， y＝ 15， x＝ 4，结束．
所以 y 的最大值为 15，可知 x≤３符合题意．
判断框应填： x 3 故选 C
【点睛】 本题主要考查程序框图的循环结构流程图， 属于中档题 . 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不
要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构； (3) 注意区分当型循环结构和直到
型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；
(5) 要注意各个框的顺序 , （ 6）在给出程序框
图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可
要条件，选 A.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法： 直接判断“若 p 则 q”、“若 q则 p ”的真假． 并注意和图示相结合， 例如“ p ? q ”为真，则 p 是 q
的充分条件．
2．等价法：利用 p ? q与非 q? 非 p ， q ? p 与非 p ? 非 q， p ? q与非 q? 非 p 的等价关系，对于条件或结论
【详解】由题意可得： z z | z |2
2
i
1i
2
1
1
.
22
本题选择 D 选项 .
【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题
.
2.已知集合 M { 1,0,1,2} ， N { x | x2 3x 0} ．则 M N （ ）
A. {0,1}
B. { 1,0}
C. {1,2}
【答案】 C 【解析】 【分析】
）
A. x 1
【答案】 C 【解析】 【分析】
B. x 2
C. x 3
D. x 4
计算出输出 y 15 时， x 3；继续运行程序可知继续赋值得： x 4 ，此时不满足判断框条件，结束程序，从而
可得判断框条件 . 【详解】解析 当 x＝－ 3 时， y＝3；当 x＝－ 2 时， y＝0； 当 x＝－ 1 时， y＝－ 1；当 x＝ 0 时， y＝ 0；
【点睛】本题考察了统计部分的基础知识，关键在于读懂折线图，属于基础题。
5.在等差数列 { an} 中，若 2a8 6 a11 ，则 a4 a6 （ ）
A. 6
B. 9
【答案】 C
【解析】
【分析】
C. 12
D. 18
由 2a8 6 a11 得 a1 4d a5 6 ，然后再根据等差数列项的下标和的性质得到所求．
【详解】 A 选项： 折线图整体体现了上升趋势， 但存在 2016年 9 月接待游客量小于 2016年 8 月接待游客量的情况， 故并不是逐月增加，因此 A 错误；
B 选项：折线图按照年份划分，每年对应月份作比较，可发现同一月份接待游客数量逐年增加，可得年接待游客 量逐年增加，因此 B 错误；
C 选项：根据折线图可发现，每年的 7 ， 8 月份接待游客量明显高于当年其他月份，因此每年的接待游客高峰期均 在 7 ， 8 月份，并非 6， 7 月份，因此 C 错误； D 根据折线图可知， 每年 1月至 6月的极差较小， 同时曲线波动较小； 7 月至 12 月极差明显大于 1月至 6月的极差， 同时曲线波动幅度较大，说明 1月至 6 月变化比较平稳，因此 D 正确 . 本题正确选项： D
是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 A ? B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A ＝ B ，则 A 是 B 的充要条件．
4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A. 3
【答案】 D
B. 4
C. 2 4
D. 3 4
【解析】 该几何体为半圆柱，底面为半径为 【此处有视频，请去附件查看】
1 的半圆，高为 2，因此表面积为 π 12
1 2π 1 2+2 2
3π+4 ,选 D.
2
7.如图的程序框图，当输出 y 15 后，程序结束，则判断框内应该填（
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 【答案】 A 【解析】 【分析】 先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果 .
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
( ) 【详解】 x 2 1 1 x 2 1,1 x 3 , 又 1,2
1,3 ，所以“ 1 x 2 ”是“ x 2 1 ”的充分不必
【详解】设等差数列 an 的公差为 d ，
则由 2a8 6 a11 得 2(a1 7 d ) 6 a1 10d ，整理得 a1 4d a5 6 ，
所以 a4 a6 2a5 12 ． 故选 C． 【点睛】 本题考查等差数列的基本运算和下标和的性质， 基础题．
运用下标和性质解题可简化运算， 提高解题的效率， 属于
.
8.长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB AA1 2 ， AD 1 ， E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦
根据该折线图，下列结论错误的是（
）
A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7， 8 月
D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】 A
【解析】
【分析】
根据折线图的数据，依次判断各个选项所描述的数据特点，得到正确结果。
精品解析：【省级联考】湖北省2019届高三4月份调研考试数学(理)试题(解析版)
2019年湖北省第四届高考测评活动4月调考理科数学试卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A.C.【答案】D【解析】【分析】..故答案为：D.【点睛】这个题目考查了集合的并集的解法，以及指数不等式的解法.2.）A. B. D. 【答案】D【解析】【分析】.AB，故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的模长的计算，属于简单题.3.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数化一公式的应用，以及诱导公式的应用，属于基础题.4.）A.C.【答案】B【解析】【分析】.的离心率为，双曲线的渐近线方程为：故答案为：B.【点睛】这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系，属于基础题.5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，由棱锥体积公式计算得到结果.2，棱锥的高为1故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6.集为（）A.C.【答案】A【解析】【分析】可得到函数是单调递增的，故在整个实属故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的问题，如果不等式的解析式未知或者已知表达式，直接解不等式非常复杂，则通常是研究函数的奇偶性和单调性来达到解不等式的目的.7.甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（）A. 36种B. 30种C. 24种D. 12种【答案】C【解析】【分析】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种, 剩下三门，选出不同的两门，分别给.【详解】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，.故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．8.）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；故得到故最大值为：2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.9..其中正确说法的个数有（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据三角形中大边对大角以及正弦定理得到①正确；由正弦函数的单调性得到②正确；由前两个判断的基.【详解】在中，若，根据大边对大角可得到故①正确；正弦函数在这一区间内是单调递增的，故②正确；若，即故三角形为钝角三角形，故③错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意正弦定理、诱导公式等知识的合理运用．10.）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】点,故这两个零点应该是进而求解.，其中，,,故这两个零点应该是，解得故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的性质的应用，整体思想的应用，整体思想是将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x。
吉林省长春市2019高三四模理科数学试题(解析版)
1.2 .3 .4 .5 .6 .7 .长春市普通高中2019届高三质量监测（四）、选择题：本题共题目要求的。
设集合A { 3,A. {1, 3}... 1 iA.1为考察A,1 ai数学试题卷（理科）12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合1,1,3},B.为纯虚数,一， 2 一一B {x|x 2x 3 { 1,3}则实数a的值为B.B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到等高条形图，根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是A.药物B的预防效果优于药物A的预防效果B.药物A的预防效果优于药物B的预防效果C.药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D.药物A、B对该疾病均没有预防效果已知△ ABC的三个顶点坐标分别为A（1,1）, 方向上投影为A. .10B. .100}.C.C.B(则AI (e.B)1,3} D. {1,3}D.uuur3,3) , C(4,2),则向量AB 在ACC 2C.2设公差小于0的等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3 11a6,则当&取得最大值时n的值为A. 6函数 f (x) Asin(图像如图所示，则1A.12B.7C.8x )(A 0, 0,f㈠3,3B. ----2-）（x R）的部分如图，在三^柱ABC AB1C1中，侧^^AA I 三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是A. CC I与BE是异面直线B. AC 平面ABB1A1C.2底面AB1C1 ,底面三角形ABQ I是正C.AE, B1c l为异面直线且D.AC1//平面AB1EAE B1c l3x 8.设x , y满足约束条件x y 6< 0y 2 > 0 ,若目标函数z A.C. ax37x> 0, y > 0 y(a 0)的最大值为18,则a的值为9.如图所示程序框图，若输出的A. 1C. 1B. 5D. 9 x为1,则输入x0的值为1B.一2D. 210.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有面中，最大面的面积为A.C. 4.28 2B.D.4、.68.6F2,左、右顶点分别为A2x11.双曲线—a b21(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F l和和A2,过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为IAF2I的等比中项，则该双曲线的离心率为P ,若|PA i|是〔FEI 和12.已知函数f(x)恒成立，则实数A. [ 2,2]1 1 C.[,]2 2二、填空题：本题共B.43e x,对任意的x1,x2k的取值范围是4小题，每小题5分。
2019-2020年高三第四次模拟考试数学(理)含答案
答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．
．
14．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是
__________
15．已知函数的部分 图像如图，令
则
．
16．给出下列四个命题：
①圆与圆相交；
② 总体的概率密度函数 f(x)=，x∈R 的图象关于直线 为.
A．
B．
C．
D．
12．已知方程在（ 0， +∞）上有两个不同的解 a， b（ a＜ b），则下面结论正确的是
A． sina=acosb B． sina=－ acosb
C ． cosa=bsinb
D． sinb=－ bsina
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做
24.(本小题满分 10 分 ) 选修 4－ 5：不等式选讲 ⑴ 已知都是正数，且，求证： ； ⑵ 已知都是正数，求证： .
银川一中 xx 届高三第四次模拟考试数学 (理科 )参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
D
A
A
C
B
A
B
C
C
D
B
B
二、填空题：
13. 6 14. . 15、 0．
16、①②③
17、【解】 （Ⅰ） f ( x)
3 sin( x) 2 1 cos( x) m 2sin( x ) 1 m.
0) 的最小正周期为 ,当 时，函数的最小
2019届黑龙江省高三下四模理科数学试卷【含答案及解析】
2019届黑龙江省高三下四模理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数（是虚数单位）的虚部是（）A． B．2 C．D．2. 已知集合，，则（）A．_____________________________________ B．______________________________________ C．______________________________________ D．3. 已知幂函数图像的一部分如下图，且过点，则图中阴影部分的面积等于（）A． B． C．D．4. 设向量，且，则锐角为（）A．_____________________________________ B．_____________________________________ C． D．5. 直线与圆（）交于两点，且弦的中点为，则直线的方程是（）A．_________________________________ B．___________________________________ C．_________________________________ D．6. 如图，程序框图输出的结果是（）A．12______________________________________B．132______________________________________C．1320_____________________________________ D．118807. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．___________________________________ B．______________________________ C．____________________________D．8. 下列命题中正确命题的个数是（）（1）设随机变量服从正态分布，若，则；（2）在区间上随机取一个数，则事件“ ”发生的概率为；（3）两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数越接近1；（4），则的最小正周期是 .A．0个 B．1个_____________________________________ C．2个 D．3个9. 若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围（）A． B． C．D．10. 在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为（）A．_____________________________________ B．______________________________________ C． D．11. 如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线和所成角的大小为（）A． B． C．______________________________________ D．12. 已知函数则关于函数的零点个数的判断正确的是（）A．当时，有3个零点；当时，有2个零点；B．当时，有4个零点；当时，有1个零点；C．无论为何值，均有2个零点；D．无论为何值，均有4个零点.二、填空题13. 命题“存在，使得”的否定是_________.14. 假设要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋牛奶进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001， (799)行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号_________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442 1753 3157 2455 0688 7704 7447 6721 7633 5025 8392 1206 766301 6378 5916 9556 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 5415. 已知变量满足约束条件，则的最大值为_________.16. 在中，内角所对的边长分别为且满足，若，边上中线，则的面积为_________.三、解答题17. 已知数列满足：（） .（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和 .18. 甲、乙两个学校高三年级分别有1100人、1000人，为了解两个学校高三年级全体学生在该地区三模考试的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布表，规定考试成绩在内为优秀. 甲校：乙校：（1）计算的值；（2）由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？（3）若将频率视为概率，从乙校高三学年任取三名学生的三模数学成绩，其中优秀的人数为，求的分布列和期望.参考数据：参考公式：19. 已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.（1）求证：直线平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.20. 已知抛物线，过焦点作动直线交于两点，过分别作圆的两条切线，切点分别为，若垂直于轴时， .（1）求抛物线方程；（2）若点也在曲线上，为坐标原点，且，，求实数的取值范围.21. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为 .（1）求的值；（2）证明：当时，；（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围.22. 如图，是的直径，是上的两点，，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点 .求证： .23. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离.24. 设函数 .（1）当时，解不等式；（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第23题【答案】。
山东省2019届高三4月高考模拟训练数学(理)试卷附答案解析
山东省2019年高三4月模拟训练数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.详解：由题意或，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A.的虚部为B.C.为纯虚数D.的共轭复数为【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案 【详解】∵z ，∴z 的虚部为﹣1，|z |，z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i 为纯虚数，z 的共轭复数为1+i ．，故选：AC ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知函数 ，则（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.4. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积，所以由几何概型知，所求事件概率，故选A．考点：几何概型．【此处有视频，请去附件查看】5.如图，在中，是边上的高，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，•（）••；⊥；•||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．【详解】•（）•••＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×44；故选：C．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，同时考查了线性运算，属于中档题．6.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 最低气温低于的月份有个B.月份的最高气温不低于月份的最高气温C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份D. 每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关【答案】A【解析】【分析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.如图正方体，点为线段的中点，现用一个过点的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（）A.尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.9.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图像为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求.【详解】∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4x+15≥25＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，∴a＝2，b＝1，,排除BC.此时g（x）＝2|x+1|，此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键。
山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟数学(理)试题(解析版)
山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=lg(x+2)}，B={x|x<3}，则A∩B=()A. (−2,3)B. (0,3)C. (−3,0)D. (−3,−2)【答案】A【解析】解：集合A={x|y=lg(x+2)}=(−2,+∞)，B={x|x<3}=(−∞,3)，则A∩B=(−2,3)，故选：A．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设复数z=−1+i(i是虚数单位)，则1+z1−z=()A. 15+25i B. −15+25i C. 15−25i D. −15−25i【答案】B【解析】解：∵z=−1+i，∴1+z1−z =1−1+i1−(−1+i)=i2−i=i(2+i)(2+i)(2−i)=−15+25i．故选：B．把z=−1+i代入1+z1−z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是()A. ∃x∈R，x2+x≤1B. ∀x∈R，x2+x≤1C. ∃x∈R，x2+x<1D. ∀x∈R，x2+x<1【答案】C【解析】解：全称命题的否定为特称命题，命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是∃x∈R，x2+x<1，故选：C．根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案本题考查了命题的否定，属于基础题．4.在等差数列{a n}中，a8=12a10+1，则数列{a n}的前11项和S11=()A. 8B. 16C. 22D. 44【答案】C【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 8=12a 10+1， ∴a 1+7d =12(a 1+9d)+1，整理得a 1+5d =2， ∴数列{a n }的前11项和： S 11=112(a 1+a 11)=11(a 1+5d)=22．故选：C ．利用等差数列通项公式推导出a 1+5d =2，由此能求出数列{a n }的前11项和．本题考查数列的前11项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 在△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60∘，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. 1B. 12C. 13 D. 23【答案】D【解析】解：在△ABD 中，BD =12AB =1 又BC =3 所以BD =13BC∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∵O 为AD 的中点∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴λ=12,μ=16∴λ+μ=23故选：D ．通过解直角三角形得到BD =13BC ，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出AD⃗⃗⃗⃗⃗ 利用向量共线的充要条件表示出 AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面向量就不定理求出λ，μ值． 本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．6. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为×1×1=24×12由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为√13，对角线长为2，故棱锥的高为√(√13)2−22=3×2×3=2此棱锥的体积为13故选：B．由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，×底面积×高.三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，其公式为13三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log3(x+1)，则f[f(−8)]=()A. 2B. 1C. −1D. −2【答案】C【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=log3(x+1)，则f(8)=log39=2，又由函数为奇函数，则f(−8)=−f(8)=−2，f[f(−8)]=f(−2)=−f(2)=−log3(2+1)=−1，故选：C．根据题意，由函数的解析式可得f(8)的值，结合函数的奇偶性可得f(−8)的值，则有f[f(−8)]=f(−2)=−f(2)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性与函数值的计算，关键掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．8. 定义运算：∣∣∣a 1a 2a 3a 4∣∣∣=a 1a 4−a 2a 3，将函数f(x)=∣∣∣√3sinωx 1cosωx ∣∣∣(ω>0)的图象向左平移2π3个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A. 14B. 54 C. 74 D. 34【答案】B【解析】解：函数f(x)=∣∣∣√3sinωx 1cosωx ∣∣∣=√3cosωx −sinωx =2cos(ωx +π6)(ω>0)， f(x)的图象向左平移2π3个单位，所得图象对应的函数为 y =2cos[ω(x +2π3)+π6]=2cos(ωx +2ωπ3+π6)；又函数y 为偶函数， ∴2ωπ3+π6=kπ，k ∈Z ，解得ω=3k 2−312，k ∈Z ；当k =1时，ω取得最小值是54． 故选：B ．化函数f(x)为余弦型函数，写出f(x)图象向左平移2π3个单位后对应的函数y ，由函数y 为偶函数，求出ω的最小值．本题考查了三角函数的化简与图象平移的应用问题，是基础题．9. 已知三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB =SA =SB =SC =2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 83πB. 4√33π C. 43πD. 163π【答案】D【解析】解：如图所示：三棱锥S −ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB =SA =SB =SC =2， 则：SD =√3， 设外接球的半径为R ，则：在△BOD中，利用勾股定理：(√3−R)2=12+R2，解得：R=2√3所以：S=4π⋅R2=4π⋅43=16π3．故选：D．首先确定外接球的球心，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥与外接球的关系，球的体积公式的应用．10.函数f(x)=sinx⋅ln|x|的图象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：f(−x)=sin(−x)ln|−x|=−sinxln|x|=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，∴函数f(x)的图象关于原点对称，故排除B，C，当x→+∞时，−1≤sinx≤1，ln|x|→+∞，∴f(x)单调性是增减交替出现的，故排除，D，故选：A．先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D．本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题．11.已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|>2，则A点到原点的距离为()A. 3B. 4√2C. 4D. 4√3【答案】B【解析】解：设点A的坐标为(x1,y1)，抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，∴x1+1|y1|=54，∵y12=4x1，∴解得x 1=14或x 1=4， ∵|AF|>2， ∴x 1=4，∴A 点到原点的距离为√16+16=4√2， 故选：B ．设点A 的坐标为(x 1,y 1)，求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可． 本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．12. 已知直线x +y −k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−2，那么k 的取值范围是( )A. (√3,+∞)B. [√2,2 √2)C. [√2,+∞)D. [√3,2 √2)【答案】B【解析】解：根据题意，圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0)，半径r =2，设圆心到直线x +y −k =0的距离为d ； 若直线x +y −k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ，B ，则d =√1+1=√2<2，则有k <2√2；设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角即∠OAB =θ， 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−2，即|OA|×|OB|×cosθ≥−2，变形可得cosθ≥−12，则θ≤2π3，当θ=2π3时，d =1，若θ≤2π3，则d =√2≥1，解可得k ≥√2，则k 的取值范围为[√2,2√2)； 故选：B ．根据题意，设圆心到直线x +y −k =0的距离为d ；由直线与圆相交的性质可得d =√1+1=√2<2，则有k <2√2；设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角即∠OAB =θ，由数量积的计算公式可得|OA|×|OB|×cosθ≥−2，变形可得cosθ≥−12，则θ≤2π3，结合直线与圆的位置关系分析可得d =√2≥1，解可得k ≥√2，综合可得答案．本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2=4，则S6S 4=______．【答案】134【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S4S 2=4，则S 4=S 2+q 2S 2=4S 2，解可得q 2=3， 则S 6=S 2+q 2S 4=4S 2+9S 2=13S 2，则S6S 4=13S 24S 2=134；故答案为：134．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列前n 项和的性质可得S 4=S 2+q 2S 2=4S 2，解可得q 2=3，进而可得S 6=S 2+q 2S 4=4S 2+9S 2=13S 2，相比即可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．14. 设实数x 、y 满足约束条件，{y ≤xx +y ≤y ≥−11，则z =3x +y 的最大值是______．【答案】5【解析】解：由约束条件画出可行域如图：目标函数z =3x +y 可化为：y =−3x +z 得到一簇斜率为−3，截距为z 的平行线 要求z 的最大值，须满足截距最大 ∴当目标函数过点C 时截距最大 又{y =−1x+y=1∴x =2，y =−1 ∴点C 的坐标为(2,−1) ∴z 的最大值为：3×2−1=5 故答案为：5先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度.属简单题15. 若正数x ，y 满足x +5y =3xy ，则5x +y 的最小值是______． 【答案】12【解析】解：正数x ，y 满足x +5y =3xy ，则1y +5x =3， ∴5x +y =13(5x +y)(1y +5x )=13(25+1+5x y+5yx)≥13(26+2√5x y ⋅5yx)=12，当且仅当x =y =2时取等号， 故5x +y 的最小值是12，故答案为：12利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式及其应用.属基础题．16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>b>0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF=θ，且θ∈(π12,π4)，则双曲线C离心率的取值范围是______．【答案】(√2,+∞)【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，，AF⊥FB，可得四边形为矩形，设|AF|=m，|BF|=n，即有，且m2+n2=4c2，n−m=2a，tanθ=mn，e2=c2a2=4c24a2=m2+n2m2−2mn+n2=11−2mnm2+n2=11−2mn+nm=11−2tanθ+1tanθ，由θ∈(π12,π4)，可得t=tanθ∈(2−√3,1)，则t+1t ∈(2,4)，可得2t+1t∈(12,1)，即有1−2t+1t∈(0,12)，则11−2tanθ+1tanθ∈(2,+∞)，即有e∈(√2,+∞)．故答案为：(√2,+∞)．设双曲线的左焦点为，连接，，AF⊥FB，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知m⃗⃗⃗ =(√3sinx,cosx),n⃗=(cosx,cosx),x∈R,设f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．(I)求f(x)的解析式及单调递增区间；(II)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，b+c=2，f(A)=1，求△ABC的面积．【答案】解：(Ⅰ)知m⃗⃗⃗ =(√3sinx,cosx),n⃗=(cosx,cosx),x∈R,设f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗．∴f(x)=√3sinx⋅cosx+cos2x=√32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12．∴f(x)的解析式：f(x)=sin(2x+π6)+12．令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ⇒−π3+kπ≤x≤π6+kπ,(k∈Z)∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ] (k∈Z)(Ⅱ)由f(A)=sin(2A+π6)+12=1⇒sin(2A+π6)=12，又∵A∈(0,π)，∴2A+π6∈(π6,13π6)∴2A+π6=5π6⇒A=π3由余弦定理，可得a2=b2+c2−2bc⋅cosA=(b+c)2−2bc⋅(1+cosA)∴bc=1，∴S△ABC=12bc⋅sinA=√34．【解析】(I)根据f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，根据向量乘积的运算，可得f(x)的解析式，化简后.将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；(II)根据f(A)=1，求解A的大小.利用余弦定理求解bc的值，可得△ABC的面积．本题考查了向量乘积的运算，正余弦函数的运用，三角函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．18.数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b na n=(√2)1+a n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：(1)∵S n+1=S n+a n+2，∴a n+1=S n+1−S n=a n+2∴数列{a n}是公差为2的等差数列；又a1，a2，a5成等比数列，∴a1⋅(a1+4d)=(a1+d)2⇒a1⋅(a1+8)=(a1+2)2∴a1=1，∴a n=2n−1(n∈N∗)(2)由(1)可得：bn=(2n−1)⋅√22n=(2n−1)⋅2n∴T n=b1+b2+b3+⋯+b n−1+b n=1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n−3)⋅2n−1+(2n−1)⋅2n∴2T n=1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n−3)⋅2n+(2n−1)⋅2n+1错位相减得：−T n=2+2(22+23+⋯+2n)−(2n−1)⋅2n+1=2+2×4(1−2n−1)1−2−(2n−1)⋅2n+1=2+2n+2−8−(2n−1)⋅2n+1=−6−(2n−3)⋅2n+1∴T n=(2n−3)⋅2n+1+6．【解析】(1)利用数列的递推关系式推出a n+1=a n+2，得到数列是等差数列，然后求解通项公式；(2)利用递推关系式，求出数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的判断，数列求和的方法的应用，考查计算能力．19. 四边形ABCD 是菱形，ACEF 是矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AB =2AF =2，∠BAD =60∘，G 是BE的中点．(Ⅰ)证明：CG//平面BDF(Ⅱ)求二面角E −BF −D 的余弦值．【答案】(I) 证法一：设AC ∩BD =O ，BF 的中点为H ，因为G 是BE 的中点， GH//EF//AC,GH =12AC =OC ，∴OCGH 是平行四边形∴CG//OH ，CG ⊄平面BDF ， OH ⊂平面BDF ， ∴CG//平面BDF证法二：因为G 是BE 的中点，2CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CG//DF ，∵CG ⊄平面BDF ，DF ⊂平面BDF ， ∴CG//平面BDF(II)设EF 的中点为N ，ACEF 是矩形，ON ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥面ABCD ∴ON ⊥AC ，ON ⊥BD 四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为Y 轴，ON 所在直线为Z 轴 建立空间直角坐标系， AB =2，AF =1，∠BAD =60∘，则DB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),BF ⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,1),EF ⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,0) 平面BEF 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面BDF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−2√3y 1=0−x 1−√3y 1+z 1=0令z 1=1，则n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 由{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2x 2=0−x 2−√3y 2+z 2=0⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3) 设二面角 E −BF −D 的大小为θ则cosθ=|cos <n 1,⃗⃗⃗⃗⃗ n 2⃗⃗⃗⃗ >|=|√3√2×2|=√64， 则二面角E −BF −D 的余弦值是√64． 【解析】(Ⅰ)根据线面平行的判定定理或者面面平行的性质定理即可证明：CG//平面BDF(Ⅱ)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E −BF −D 的余弦值．本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决二面角的关键.考查学生的运算和推理能力．20. 如图，设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是√32． (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．【答案】解：(1)∵椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2， 又∵椭圆C 1的离心率是√32.∴c =√3，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24+y 2=1． (2)过点F(2,0)的直线l 的方程设为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立{y 2=8x x=my+2得y 2−8my −16=0．y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16，∴|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m )2．过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =−m(x −2)联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1 得(1+4m 2)x 2−16m 2x +16m 2−4=0， x C +2=16m 21+4m 2，⇒x C =2(4m 2−1)4m 2+1． ∴|CF|=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1⋅√1+m 2．△ABC 面积s =12|AB|⋅|CF|=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2． 令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f(t)=16t 34t 2−3，f′(t)=16(4t 4−9t 2)(4t 2−3)2， 令f′(t)=0，则t 2=94，即1+m 2=94时，△ABC 面积最小．即当m =±√52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±√52y +2． 【解析】(1)由已知可得a ，又由椭圆C 1的离心率得c ，b =1即可．(2)过点F(2,0)的直线l 的方程设为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立{y 2=8x x=my+2得y 2−8my −16=0.|AB|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，同理得|CF|=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1⋅√1+m 2．△ABC 面积s =12|AB|⋅|CF|=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2．令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f(t)=16t 34t 2−3，利用导数求最值即可． 本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．21. 已知函数f(x)=x 2+ax +1，g(x)=e x (其中e 为自然对数的底数)．(Ⅰ)若a =1，求函数y =f(x)⋅g(x)在区间[−2,0]上的最大值；(Ⅱ)若a =−1，关于x 的方程f(x)=k ⋅g(x)有且仅有一个根，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若对任意的x 1，x 2∈[0,2]，x 1≠x 2，不等式|f(x 1)−f(x 2)|<|g(x 1)−g(x 2)|均成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)a =1时，y =(x 2+x +1)e x ，y′=(x +1)(x +2)e x ，令y′>0，解得：x >−1或x <−2，令y′<0，解得：−2<x <−1，∴函数y =f(x)⋅g(x)在[−2,−1]递减，在[−1,0]递增，而x =−2时，y =3e 2，x =0时，y =1，故函数在[−2,0]上的最大值是1；(Ⅱ)由题意得：k =f(x)g(x)=x 2−x+1e x 有且只有一个根， 令h(x)=x 2−x+1e x ，则h′(x)=−(x−1)(x−2)e x， 故h(x)在(−∞,1)上单调递减，(1,2)上单调递增，(2,+∞)上单调递减，所以h(x)极大=h(2)=3e 2，h(x)极小=h(1)=1e ，因为h(x)在(2,+∞)单调递减，且函数值恒为正，又当x →−∞时，h(x)→+∞，所以当k >3e 2或0<k <1e 时，k =h(x)有且只有一个根．(Ⅲ)设x 1<x 2，因为g(x)=e x 在[0,2]单调递增，故原不等式等价于|f(x 1)−f(x 2)|<g(x 2)−g(x 1)在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立，所以g(x 1)−g(x 2)<f(x 1)−f(x 2)<g(x 2)−g(x 1)在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立，即{f(x 1)+g(x 1)<g(x 2)+f(x 2)g(x 1)−f(x 1)<g(x 2)−f(x 2)，在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立， 则函数F(x)=g(x)−f(x)和G(x)=f(x)+g(x)都在[0,2]单调递增， 则有，在[0,2]恒成立， 当a ≥−(e x +2x)恒成立时，因为−(e x +2x)在[0,2]单调递减，所以−(e x +2x)的最大值为−1，所以a ≥−1；当a ≤e x −2x 恒成立时，因为e x −2x 在[0,ln2]单调递减，在[ln2,2]单调递增，所以e x −2x 的最小值为2−2ln2，所以a ≤2−2ln2，综上：−1≤a ≤2−2ln2．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；(Ⅱ)若a =−1，关于x 的方程f(x)=k ⋅g(x)有且仅有一个根，即k =f(x)g(x)=x 2−x+1e x ，有且只有一个根，令h(x)=x 2−x+1e x ，可得h(x)极大=h(2)=3e 2，h(x)极小=h(1)=1e ，进而可得当k >3e 2或0<k <1e 时，k =h(x)有且只有一个根； (Ⅲ)设x 1<x 2，因为g(x)=e x 在[0,2]单调递增，故原不等式等价于|f(x 1)−f(x 2)|<g(x 2)−g(x 1)在x 1、x 2∈[0,2]，且x 1<x 2恒成立，当a ≥−(e x +2x)恒成立时，a ≥−1；当a ≤e x −2x 恒成立时，a ≤2−2ln2，综合讨论结果，可得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是导数在最大值和最小值中的应用，利用导数分析函数的单调性，利用导数分析函数的极值，运算量大，综合性强，转化困难，属于难题．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为{x =1+t y =2+√3t(t 为参数) (1)写出直线L 的普通方程与Q 曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换{x′=x y′=12y 得到曲线C′，设M(x,y)为C′上任意一点，求x 2−√3xy +2y 2的最小值，并求相应的点M 的坐标．【答案】解：(1)∵直线l 的参数方程为{x =1+t y =2+√3t(t 为参数)， ∴消去参数t 得直线l 的普通方程为√3x −y −√3+2=0，∵ρ=2，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=4；(2)∵曲线C ：x 2+y 2=4经过伸缩变换{x ′=x y ′=12y 得到曲线，∴C′：x 24+y 2=1， 设M(2cosθ,sinθ)则x =2cosθ，y =sinθ，∴x 2−√3xy +2y 2=3+2cos(2θ+π3)，∴当θ=π3+kπ，k ∈Z 时，即M 为(1,√32)或(−1,−√32)时x 2−√3xy +2y 2的最小值为1．【解析】(1)直接消去参数t得直线l的普通方程，根据ρ2=x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；(2)先根据伸缩变换得到曲线C′的方程，然后设M(2cosθ,sinθ)，则x=2cosθ，y=sinθ代入x2−√3xy+2y2，根据三角函数的性质可求出所求．本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．23.已知实数a>0，b>0，函数f(x)=|x−a|−|x+b|的最大值为3．(I)求a+b的值；(Ⅱ)设函数g(x)=−x2−ax−b，若对于∀x≥a均有g(x)<f(x)，求a的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=|x−a|−|x+b|≤|x−a−x−b|=|a+b|=3，∵a>0，b>0，∴a+b=3；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，0<a<3，0<b<3，∴∀x≥a，x−a≥0，x+b>0，此时，f(x)=x−a−x−b=−3，若对于∀x≥a均有g(x)<f(x)，即x2+ax+b−3>0在[a,+∞)恒成立，即x2+ax−a>0在[a,+∞)恒成立，<0，对称轴x=−a2故只需a2+a2−a>0即可，，解得：a>12<a<3．故12【解析】(Ⅰ)根据绝对值的性质求出f(x)的最大值是a+b，从而求出a+b的值即可；(Ⅱ)根据a，b的范围，问题转化为x2+ax−a>0在[a,+∞)恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了绝对值的性质，考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．。
最新2019届高三四模考试数学(理)试题
第I卷（选择题)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2．已知集合M={-1，0，1，2}，N={x|}．则M∩N=（）A．{0,1} B．{-1,0} C．{1,2} D．{-1,2}3．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了年月至年月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是( )A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年减少C．各年的月接待游客量高峰期大致在月D．各年月至月的月接待游客量相对于月至月，波动性较小，变化比较稳定5．在等差数列{a n}中，若2a8＝6+a11，则a4+a6＝（）A．6 B．9 C．12 D．186.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋47．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ） A ．1x ≤ B ．2x ≤ C ．3x ≤D ．4x ≤8. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.310109. 已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ） A ．2xx y =B ．22xy =- C ．e xy x =- D ．|2|2x y x =﹣10．将函数f （x ）＝2sin （2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）为偶函数，则函数y ＝f （x ）在的值域为（ ）A ．[﹣1，2]B ．[﹣1，1]C ．D ．11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,抛物线24y cx =与双曲线在第一象限内相交于点P ,若212||||PF F F =,则双曲线的离心率为 A ．B ．1+C ．D ．12．若函数在区间上单调递增，则的最小值是（ ）A ．-3B ．-4C ．-5D ．第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.已知，，与的夹角为，则__________．14．若，则__________．15．数列满足：的前项和为，则 _______.16．点(),M x y 在曲线22:4210C x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b +∈R ，则111a b++的最小值为_______.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17.(本小题满分12分)已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，2a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127．6,140）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．附：．若，则，．19．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形，．（1）若，求证：平面；（2）若，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．20.（本小题满分12分）已知，为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且．求椭圆C 的标准方程；若直线l ：交椭圆C 于A ，B 两点，且原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，试求k 的取值范围．21.（本小题满分12分） 已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程 直线l 的极坐标方程为244sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 4y x （α为参数），（1）将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线错误！未找到引用源。
2019届湖北省高三4月份调研考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖北省高三4月份调研考试数学（理）试题、单选题已知集合M = {xl-3 <^<2},A . MDN = （-Z2） B.MAN - （-S-2）C D. 「、•*• = "•：: f；【答案】D【解析】根据指数不等式的解法得到N =&|xN-2}，再由集合的并集的概念得到结果【详解】集合M={x|-3<x<2}, =&|x > -2）,根据集合的并集的概念得到M U N = （ - * +叫）.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了集合的并集的解法，以及指数不等式的解法^2 .已知复数乙=T+2】，贝U下列关系式中正确的是（）A . |z|<2 B. C .|司字|1 十方| D . |z| = J -2i|【答案】D【解析】根据复数的模的计算得到I』=也2+（-1沪=泰进而判断其它选项的正误.【详解】复数上= -I十瓦冒=Jz2I（T）'=近排除AB , ll-2il = \] +2i\ = ^故得到I』=11 - 2il.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的模长的计算，属于简单题^3.已知^smx + cosx = y，则E J X—J=（）A . I B. T C. T D. I 【答案】B【解析】根据正弦函数的两角和的公式将原式子进行化一，再由诱导公式得到cos\x - +- y-5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗线C3【答案】C【详解】 已知 + CDSX = ~,化一得到 2sin(w+J = 则•'-故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数化一公式的应用，以及诱导公式的应用，属于基础题 ^4 .已知双曲线C:饵-春=1 (a^O/bX)的离心率为g ，贝U 双曲线C 的渐近线方程为( )A . 2x = y = 0B .*Hy=°C . <5xiy=O D.【答案】B—，一 ................................................................................. _ .，…，t i', b J dW 1—b 1 _____ ___ _________【解析】根据双曲线的离心率公式得到 ；孑=& ；=±菱进而得到渐近线万 程. 【详解】已知双曲线毛书=1 E 哄>0)的离心率为专，双曲线的渐近线方程为： 故答案为：B.【点睛】 这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系,属于基础题【解析】根据三视图还原几何体，由棱锥体积公式计算得到结果^【详解】根据题意得到原图是下图中的四棱锥GADDiAi,根据题意得到四边形ADD L A I边长为2,棱锥的高为1 ,故四棱锥的体积为：故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循长对正，高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6 .已知函数财）是定义域为R的奇函数，当xMO时，心）= ]n（l + x2）+ x,则不等式1）＞ 1+1点的解集为（）A. B.C 'MM 上 D. 5【答案】A【解析】忒株+1）＞1 + 1心守f（2x + l）＞f（]）,函数是定义域为R的奇函数，根据函数表达式可得到函数单调递增，故只需要株+ 1 ＞]=＞x＞0.【详解】当x潮时，史x）= 】n（l+G十X,Rl）= In2 + ] ±＜2x+ 1）＞1 + ln2^f（2x + 1）＞f（l）函数fix）是定义域为R的奇函数，当胰0时，林）= m（l +妒）+ X,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要2x+ 3 lf>0.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的问题，如果不等式的解析式未知或者已知表达式，直接解不等式非常复杂，则通常是研究函数的奇偶性和单调性来达到解不等式的目的.7.甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（）A . 36 种 B. 30 种 C . 24 种 D . 12 种【答案】C【解析】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有A；,进而得到结果.【详解】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有A；,故共有4XA¥=2斗种方法.故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.8.如图，圆。
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析
2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数的最小正周期为 .【知识点】三角函数的周期性及其求法. 【答案解析】解析 ：解：函数的最小正周期为. 【思路点拨】根据的周期等于，求得结果．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析 ：解：∵复数满足（为虚数单位），∴()()211223i i i z i i i -++=+=+=--，∴，故答案为：．【思路点拨】先解出复数的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线的准线方程是 ． 【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】解析 ：解：由题得，所以：所以，故准线方程为：．故答案为. 【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析 ：解：因为,所以，，则. 所以,故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由可确定，然后就可以确定的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环． 此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ 7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为， ∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率． 故答案为：．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则 . 【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域第5题将变形为，画出直线平移至点时，纵截距最大，最大，联立方程得33k xk y， 代入− +3×(−)＝8，∴． 故答案为.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点时，纵截距最大，最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若, 则AB 的长为 . 【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法. 【答案解析】解析 ：解：∵1,,2AC AB AD BEBC CE ADAB ∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ， ∴，＞0，解得＝．故答案为：．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为 ．【知识点】球内接多面体．【答案解析】解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：， ∴棱长为的正四面体的外接球半径为． 所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________． 【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】解析 ：解：当x ＞0时，与题意不符， 当时，又∵是定义在上的奇函数，∴1221x x f x f x f x f x ，，，1121<222x x ，＜，不等式的解集是．故答案【思路点拨】是指定义在R 上的函12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ． 33b 解得为：．33，求13．已知实数满足，则的最大值为 ． 【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析 ：解：∵， ∴41322x y xy x y ,则 解得：∴的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用进行求出的范围，即可求出所求． 14．数列满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ． 【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1 则,由累加法得：2n1nn1a a 22222解得,显然，当n=1时也适合，故．故存在实数=1，使得数列为等比数列，其通项公式为, 故121222201412n n nS ，解得，则满足的值为的最小正整数n s n 2014 10，故答案为10. 【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1则其通项公式为,再由故，解得，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示⑵若,,弦函数．【答案解析】⑴ ⑵解析 ：解：⑴由三角函数的定义知 ∴.又由三角函数线知,为第一象限角，，24116177tan 224173177. (2) ，∵，ABCFE D∴． ∵sinsin cos cos sin ＝＝．又∵，∴＝．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出，然后再求； （Ⅱ）由，求出的正弦值，根据，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）a 3 解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △CEF ＝DC •CF ＝×4a ×2a ＝4a 2． 在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PCEF ＝V P −CEF ＝PQ •S △CEF ＝•4a 2•2a ＝a 3．（注：本题亦可利用V P −CEF ＝V B −CEF ＝V E −BCF ＝V D −BCF ＝DC •BC •CF ＝a 3求得） 【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S △CEF ＝DC •CF 的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点恰B好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程． 【答案解析】（1）（2）解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由, 解得F （3,0）…………… 2分设椭圆的方程为, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.…………… 6分（2）因为点在椭圆上运动,所以,…………… 8分 从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交, …………… 10分 又直线被圆截得的弦长为L ===分由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝，AB ＝1，BC ＝．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△MN ，使顶点落 在边BC 上(点和B 点不重合).设∠AMN ＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用． 【答案解析】(1) , (2) 解析 ：解：解：（1）设，则．…………2分 在Rt △MB 中，，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，点和B 点不重合，∴…7分 (2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= ,∴根据正弦定理得：2sinsin3ANMA ，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t ，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当时，有最大值,则θ=60°时，AN 有最小值为，即线段长度的最小值为．【思路点拨】（1）设，则，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数（），．(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断． 【答案解析】（1）（2）（3） 解析 ：解：（1）因为，所以，令 得：，此时，…………2分 则点到直线的距离为，即=4分(2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个， 等价于（1-a 2）x 2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a 2＜0，令h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a 2＜0（a ＞0）， 所以函数h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得． 解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a 2） x 2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a 2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a 2） x 2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0， 所以 ，又因为 0＜＜1， 所以 −3≤＜−2，解之得．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点． …………12分 设与存在 “分界线”，方程为， 由，对x ∈R 恒成立， 则在x ∈R 恒成立．所以成立，因此 k=．…（10分） 下面证明恒成立． 设，则．所以当 时，G ′（x ）＞0；当 x ＞ 时，G ′（x ）＜0． 因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则成立． 故所求“分界线”方程为：．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F (x )＝f (x )−g (x )＝x 2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出时，F （x ） 取得最小值0．设f （x ）与g （x ）存在“分界线”，方程为，由，对x ∈R 恒成立，求得k=．再利用导数证明成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用． 【答案解析】（1）（2） (3) 满足题意的正整数仅有.解析 ：解：（1）………………………………………………………4分 （2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由，得……………………………………………………7分 当时，，由，所以数列为等差数列………9分（3）因为，可得不合题意，合题意…………11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列 中的一项，则（2+2+…………+2）+(…………)=即………………………………………………………………13分 记则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+2+…………+2=，所以当时，=1+2+2+…………+2+1>1+2,又.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分25130 622A 截37186 9142 酂31381 7A95 窕F 21112 5278 剸433444 82A4 芤21558 5436 吶25939 6553 敓27809 6CA1 没x}30765 782D 砭q。
2019年高考数学四模试题 理(含解析)新人教 版新版
2019高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．162．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣15．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.99876．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K 的值为10，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．x ＞50？B ．x ＞90？C ．x ＞100？D ．x ＞200？9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（ ） A ．96里 B ．48里 C ．12里 D ．6里10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a ，在（2，4]上的最小值为b ，则a+b=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．212．P 是双曲线C ：x 2﹣y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 2是双曲线C 的右焦点，则|PF 2|+|PQ|的最小值为（ ）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则= ．15．下列命题中，正确的命题有．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．2017年辽宁省实验中学高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则集合A的子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【考点】16：子集与真子集．【分析】由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．【解答】解：由≤0，可得（x+1）（x﹣2）≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，又x∈Z，可得x=﹣1，0，1，∴A={﹣1，0，1}．∴集合A的子集的个数为23=8．故选：B．2．已知复数Z=（i是虚数单位），则复数Z的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C． D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，则复数Z的共轭复数是：．故选：D．3．对于实数x，y，若p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由已知可得p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．【解答】解：p：x+y≠4，q：x≠3或y≠1，则p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=（）A．0 B．1 C．32 D．﹣1【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．【解答】解：T r+1==（﹣1）r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=（1﹣1）2=0．故选：A．5．据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性得出P（X＞2300），从而可得P（X≤2300）．【解答】解：P=0.9974，∴P（X＞2300）=（1﹣0.9974）=0.0013，∴P（X≤2300）=1﹣0.0013=0.9987．故选D．6．已知函数f（x）的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为（）A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影部分的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．【解答】解：矩形部分的面积为S矩形=2×3=6，由题意可知： ==，∴S阴影==．∴=S阴影=．故选B．7．已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用数量积公式求向量夹角，得到所求．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，设PA=4，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），P（2，2，2）．所以E（3，1，），F（3，3，），所以=（3，1，），=（﹣1，3，），所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为： =；故选：C．8．执行如图所示的程序框图，若输入x=0，输出K的值为10，则判断框内可填入的条件是（）A．x＞50？B．x＞90？C．x＞100？ D．x＞200？【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，K=0执行循环体，x=3，K=2不满足条件，执行循环体，x=9，K=4不满足条件，执行循环体，x=21，K=6不满足条件，执行循环体，x=45，K=8，不满足条件，执行循环体，x=93，K=10由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出K的值为10．可得判断框内可填入的条件是：x＞90？故选：B．9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公子仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了”（）A．96里B．48里C．12里D．6里【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为： =；故选C．11．已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故选D．12．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C 的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为x﹣y=0，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，可得F1（﹣2，0）到l的距离d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），则圆M直径的长为10 ．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0），代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为标准式，可得圆的半径，进而得到直径．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2﹣4f＞0）圆M过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7），可得，解方程可得d=﹣2，e=4，f=﹣20，即圆的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即为（x﹣1）2+（y+2）2=25，即有圆的半径为5，直径为10．故答案为：10．14．已知平面向量的夹角为，且，若平面向量满足=2，则=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．【解答】解：设向量，夹角为α，则与夹角为（），由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，所以||===；故答案为：15．下列命题中，正确的命题有②④．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．【解答】解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为15×8+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．综上，正确的命题序号是②④．故答案为：②④．16．已知数列{a n}满足，则数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，则数列{a n•b n}的前n项和T n= ．【考点】8E：数列的求和．【分析】对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，求得n=1的情况，当n≥2时，将n换为n﹣1，相减求得b n=n，可得a n•b n=n•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n}满足，由b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，①令n=1，则b1a1=2﹣﹣1，解得b1=．∵b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，当n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+…+b n﹣2a2+b n﹣1a1=2n﹣1﹣（n﹣1）﹣1，将上式两边同乘公比2得，b1a n+b2a n﹣1+…b n﹣1a2=2n﹣n﹣1．②①﹣②可得：b n a1=n，（n≥2），由a1=2，可得b n=n，对n=1也成立，则a n•b n=n•2n，T n=（1•2+2•22+3•23+…+n•2n），可得2T n=（1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1），两式相减可得﹣T n=（2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1）=（﹣n•2n+1），化简可得T n=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）解△BCP，利用BCP中，，在△ABC中，由正弦定理求得；（2）利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．【解答】解：（1）在△BCP中，在△ABC中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米．（2）在△BCD中，由余弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，所以，山顶位于D处南偏东1350．18．甲乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元（1）设甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式为f（n），g（n），求f（n），g（n）；（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式f（n），g（n）．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：（1）甲快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：y=70+n，n ∈N+，∴f（n）=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送单数n的函数关系式为：．∴g（n）=．（2）①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，，，所以X的分布列为：②乙快递公司的“快递小哥”日平均送单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为70+45×1=115（元），由①知，甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．故推荐小赵去乙快递公式应聘．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．（1）求证：AC⊥BB1；（2）若AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC⊥BB1．（2）过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B，∴AC⊥平面A1ABB1，∵BB1⊂平面A1ABB1，∴AC⊥BB1．解：（2）过点A作AY∥A1B，∵A1B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC，又AB⊥AC，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），由，得B1（4，0，2），C1（2，2，2），M为B1C1的中点，M（3，1，2），，设平在ABM的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得平面ABM的法向量，，平面ABA1的法向量，∴，设二面角M﹣AB﹣A1的平面角为θ，由图知θ锐角，∴二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）过K（﹣1，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，点Q在FO的垂直平分线上，运用点到直线的距离，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（2）设A，B的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m 和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出AB的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点（，0），根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x=﹣的距离为，所以C：y2=4x．（2）设，①设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，②由①②可得4m2==λ++2，由2≤λ≤3可得y=λ++2递增，即有4m2∈[，]，又AB中点（2m2﹣1，2m），所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），令y=0，可得．21．已知f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的单调区间；（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，求a，b 的值，利用导数的正负讨论f（x）在[0，π]上的增减性；（2）由（Ⅰ）的单调性，设，推导F（x）的单调性，由x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，结合单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，f（x）的导数为f′（x）=2﹣2ax﹣bsinx，可得⇔⇔，所以，①当时，1﹣x≥0，1﹣sinx≥0，可得f′（x）＞0，所以f（x）在为增函数；②当时，，所以f（x）在为减函数；（2）由（1）得f（x）在为增函数，在上为减函数，所以，由f'（x）在恒为负，，设，则，所以F'（x）＞0，所以F（x）在递增，，当时，f（x）＜f（π﹣x），所以f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x2）=f（x1），所以，又f（x）在上为减函数，所以x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．（1）若曲线为参数）与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；（2）若M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数），可得（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，代入化简即可得出．【解答】解：（1）C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数）可化为为参数），代入，得，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，则，∴．（2）M（x，y）在曲线C1上，设为参数）则（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，则，那么，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|ax﹣1|，若f（x）≤2的解集为[﹣1，3]．（1）求实数a的值；（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出x的范围，结合不等式的解集，求出对应a的值即可；（2）求出x+y=1﹣z，根据z的范围，求出u的最小值即可．【解答】解：（1）|ax﹣1|≤2⇒﹣2≤ax﹣1≤2⇔﹣1≤ax≤3，当a＞0时，，当a＜0时，，此时无解，当a=0时，也无解．（2）由x+y+z=1⇒x+y=1﹣z，z∈（0，1），则，所以，此时．。