第4章 弹性力学空间问题的有限单元法.
《弹性力学问题的有限单元法》
《弹性力学问题的有限单元法》弹性力学问题的有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）是一种经典的多学科跨领域的计算方法，它用于估算连续体结构中非线性材料力学性能，如强度、刚度和破坏。
有限单元法已成为工程和材料科学中最重要的数值计算方法，可用于解决各种复杂多学科优化和设计问题。
有限单元法的基本思想是把复杂的连续体结构划分成许多小的、较容易处理的有限元素，而不是像一般的解析方法那样求取整体的解析解。
基于有限元素重要的性质，即小元素经过一系列的连接后就可以构成整个结构的模型，有限单元法的本质是数值分析，也就是根据模型的物理知识，选择有效的数值化方法，用数值计算的方法求解所要求的结果，从而使这些数值计算结果符合实际结构物理知识。
有限单元法是一种有效计算弹性力学问题的方法，它可以用来求解任意形状的结构问题，无论是有边界条件还是无边界条件，无论是线性或者非线性的形状变化，有限单元法都能够有效地应用。
其优势在于以节省计算时间和消耗的成本，在特殊的材料条件下，它可以比较快速地获得弹性力学问题的有效精确解。
其精度依赖于计算模型元素的类型、形状和几何尺寸等，因此通常需要调节元素的类型、形状和尺寸，以满足计算需要。
在计算机技术的发展下，有限单元法的计算能力越来越强大，可以对更多的复杂问题进行分析，可以更有效地解决工程设计中的实际问题。
由于计算机可以模拟各种变形和应力的变化，因此有限单元法可以为工程设计和材料研究提供更可靠的结果。
有限单元法在工程应用中的实际作用是显而易见的。
它不仅可以用来计算弹性结构中的材料力学特性，还可以分析复杂结构的动态响应。
此外，有限单元法还可以用来计算弹性结构中的表面张力、刚度，以及各种材料的裂缝扩展。
通过有限单元法的应用，可以获得有效的数值结果，从而提高设计效果和工程安全性。
因此，有限单元法对于材料科学和工程设计都具有重要价值，今后还将发挥更多的功能。
有限单元法是多学科跨学科的计算方法，它可以用来有效地分析复杂形状结构的力学特性，计算出精确的结果，从而提高工程设计的效果和安全性。
弹性力学基础及有限单元法
第一章1、弹性力学的任务是什么弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。
实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。
根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。
(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。
这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。
钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。
木材不是各向同性的。
(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。
同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。
在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。
在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。
(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。
也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。
物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。
若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。
上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。
弹性力学平面问题的有限单元法
(c)
深梁（离散化结构）
14
§6.2 有限单元法的概念
例如：将深梁划分为许多三角形单元，这
些单元仅在角点用铰连接起来。
图（c）与图( a）相比，两者都是离散 化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而 图（c）的单元是三角形块体（注意：三角 形单元内部仍是连续体）。
15
§6.2 有限单元法的概念
2.单元分析
f y )T 。
f y )T 。
T
面力: f ( f x 应变:
应力:
位移函数: d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。
ε (ε x ε y γxy )T 。 σ (σ x σ y τ xy )T 。
F ( Fix Fiy Fjx Fjy )T 。
T δ ( u v u v ) 。 结点位移列阵: i i j j
5.本章介绍平面问题的FEM 仅叙述按位移求解的方法。 且一般都以平面应力问题来表示。
7
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
8
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
基本物理量： 体力: f ( f x
25
§6.3 单元的位移模式与解答的收敛性
1 ~ 6
xi , yi ,及ui , vi ,。
将式（a）按未知数 ui , vi , 归纳为:
u N i ui N j u j N m u m , v N i vi N j v j N m vm。
或用矩阵表示为:
结点力列阵:
9
§6.1 基本量和基本方程的矩阵表示
《弹性力学及有限单元法》学习指南
第一章绪 论学习指导在学习本章时，要求学生理解和掌握下面的主要内容：1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别；2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处；3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。
§1－1弹性力学的内容弹性体力学，简称弹性力学，弹性理论（Theory of Elasticity或Elasticity），研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体；研究的目标是变形等效应，即应力、形变和位移；而引起变形等效应的原因主要是外力作用，边界约束作用（固定约束，弹性约束，边界上的强迫位移等）以及弹性体内温度改变的作用。
首先，我们来比较几门力学的研究对象。
理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。
材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。
结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合的构架等。
而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。
因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。
其次，从研究方法来看，弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。
弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。
而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。
例如，材料力学常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，使问题的求解大为简化；並在许多方面进行了近似的处理，如在梁中忽略了бy的作用，且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。
一般地说，由于材料力学建立的是近似理论，因此得出的是近似的解答。
但是，对于细长的杆件结构而言，材料力学解答的精度是足够的，附合工程上的要求（例如误差在5%以下）。
有限元基本理论
2、虚应力原理
第1章 预备知识
1.4.4 线弹性力学的变分原理
1、最小位能原理
第1章 预备知识
设：
第1章 预备知识
2、最小余能原理
第1章 预备知识
第1章 预备知识
第2章 弹性力学有限元
2.1 平面问题3结点三角形单元
第2章 弹性力学有限元
2.1.1 单元位移模式及插值函数
第2章 弹性力学有限元
取：
则：
2.3.3 3结点环状单元的等效结点荷载
第2章 弹性力学有限元
例：计算3结点环状单元自重荷载
由面积坐标
第2章 弹性力学有限元
积分
则：
2.4 空间问题有限元
2.4.1 4结点四面体单元
第2章 弹性力学有限元
1、位移函数
第2章 弹性力学有限元
其中：
代入结点坐标得：
有限元基本理论
目 录
第1章 预备知识 第2章 弹性力学有限元 第3章 单元插值函数的构造 第4章 杆件结构力学问题 第5章 平板弯曲问题 第6章 应用中的若干问题 第7章 材料非线性问题
第1章 预备知识
1.1 引言
数值分析方法
有限差分法
微分方程近似解法
有限单元法
几何形状规则
几何形状规则
则两项近似解为：
力矩法
一项近似解，取W1=1（0≤x≤1）
则一项近似解为：
由
第1章 预备知识
两项近似解，取W1=1，W2=x
由
则两项近似解为：
伽辽金法
第1章 预备知识
一项近似解，取W1= N1 = x(1-x)
由
则一项近似解为：
两项近似解，取W1= N1= x(1-x) ，W2= N2 = x2(1-x)
弹性力学问题有限单元的一般原理
80%
有限单元法的步骤
包括离散化、单元分析、整体分 析、求解等步骤。
02
弹性力学基础
弹性力学基本方程
平衡方程
描述了物体内部力的平衡状态 ，是弹性力学中最基本的方程 之一。
几何方程
描述了物体在应力作用下的变 形和位移，涉及到应变和位移 的关系。
物理方程
描述了应力与应变之间的关系 ，涉及到材料的弹性常数。
单元分析
对每个单元体进行力学分析， 建立其平衡方程和本构关系， 并推导出单元刚度矩阵和等效 节点载荷。
整体分析
将所有单元的刚度矩阵和等效 节点载荷进行集成，形成整体 的平衡方程和约束条件，并求 解得到结构的位移和应力分布 。
结果后处理
对计算结果进行可视化、分析 和评估，以便更好地理解结构 的性能和行为。
弹性力学问题的分类
根据边界条件和载荷情况，弹性力学问题可以分为 多种类型，如静力问题、动力问题、稳定问题等。
有限单元法的概述
80%
有限单元法的基本思想
将连续的弹性物体离散成有限个 小的单元，对每个单元进行分析 ，然后通过单元组合来近似描述 整个物体的行为。
100%
有限单元法的优点
可以处理复杂的几何形状和边界 条件，能够适应各种复杂载荷和 材料性质，计算精度可调等。
弹性力学问题有限单元的一般 原理
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学基础 • 有限单元法的基本原理 • 有限单元法的应用 • 弹性力学问题有限单元法的实现 • 结论与展望
01
引言
弹性力学简介
弹性力学
研究弹性物体在外力作用下的应力、应变和位移的 学科。
弹性力学的基本方程
包括平衡方程、几何方程、物理方程等，用于描述 物体的应力、应变和位移之间的关系。
平面单元的有限元法
u
1
5
3
2
y
2x
3
5
2
y
则单元刚体位移为
v
4
5
2
3
x
6
y
3
2
5
u
1
5
3
2
y
v
4
5
2
3
x
记为
u v
1 4
0 y 0x
显然，位移函数包含 了单元的刚体位移 （平动和转动）
u v
j j
um
vm
[I]是单位矩阵，
[N]称为形函数矩阵，
Ni只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
4-2 平面问题的常应变(三角形)单元
据弹性力学几何方程得单元的应变分量
u
x y
xy
x
4-1 有限单元法的计算步骤
弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤： 1、所分析问题的数学建模 2、离散化 3、单元分
析 4、整体分析与求解 5、结果分析
图 3-1
4-2 平面问题的常应变(三角形)单元
有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合 体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为 由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简 单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题 的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可 视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单 元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到 节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量 可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相 应的连杆支座。如图3-1
第3讲—弹性力学问题的有限单元法
1 T U d Kd 2
u1 d u 2 u 3
有限单元法
崔向阳
Step 3: 单元集成
单元集成——外力功
整体节点 位移列阵
整体等效节 点力列阵
u1 d u2 u 3
f1 R1 f f 2 0 f F 3
有限单元法
崔向阳
Step 2.单元特征分析
xi
单元节点位移列阵： 单元节点坐标列阵： 单元等效节点力列阵：
II＝0
有限单元法 崔向阳
真实位移
6
最小势能原理
1 II ij ij dV bi ui dV pi ui dA 2 Sp 1 II Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp 2
ij
ij
dV biui dV piui dA
Sp
弹性问题中等价于最小势能原理！
有限单元法 崔向阳
比较：虚功原理和能量变分原理
虚功原理是理论力学上的一个根本性原理，可以用于
一切非线性力学问题。
最小势能原理只是虚功原理对弹性体导出的一种表述
形式，但是对于线弹性问题，最小势能原理的应用非 常方便。
ij ui ij ui Dijkl ij kl dV bi ui dV pi ui dA Sp ij ij dV bi ui dV pi ui dA Sp
V= – W
弹性势能—弹性体变形后，产生弹性内力，这种力也具有对外作 功的能力，称为弹性势能，或弹性应变能。