电大《工程数学》(本)期末考试真题10套
《工程数学》电大历年期末试题及答案 (2)
工程数学电大历年期末试题及答案第一章：复数及其运算1.1 复数的定义和性质试题：1.请简要叙述复数的定义和性质。
2.复数的共轭运算是指什么？给出其定义和性质。
3.试证明虚数单位i满足i2=−1。
答案：1.复数是由实数和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
复数的性质有：–复数可以相加：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i–复数可以相乘：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i–复数的加法和乘法满足交换律和结合律。
2.复数的共轭运算是指改变虚数部分的符号，即将a+bi变为a-bi。
共轭运算的定义和性质如下：–定义：对于任意复数z=a+bi，其共轭复数为z* = a-bi。
–性质：(a+bi) * (a-bi) = a^2 + b^2，即一个复数与其共轭的乘积等于实数部分的平方加虚数部分的平方。
3.可以通过计算i2来证明虚数单位i满足i2=−1：–i2=(0+1i)∗(0+1i)=−1。
1.2 复数的指数表示和三角函数形式试题：1.请简要叙述复数的指数表示形式和三角函数形式。
2.试证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} =\\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
答案：1.复数的指数表示形式是通过欧拉公式来表达，即$z= r \\cdot e^{i\\theta}$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
复数的三角函数形式是通过复数的实部和虚部来表示，即$z = a + bi = r\\cos\\theta + r\\sin\\theta i$，其中r是复数的模，$\\theta$是复数的辐角。
2.可以通过欧拉公式来证明对于任意复数z，有$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$：–欧拉公式表示为$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
电大 工程数学试卷及答案汇总(完整版)
当1 x 2 时， F(x） P(X 1) 1 ; 6
当 2 x 3时， F(x） P( X 1) P( X 2) 2 ; 3
当 x 3 时， F(x） 1;
（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6
（3 分） （1 分） （1 分） （1 分）
（1 分） （1 分） （1 分）
1 )n) N
15.解答： （1）随机变量 X 的取值为 1，2，3。
(2 分) （1 分）
《工程数学》试题
第 7 页 共6 页
依题意有： P{X 1} 1 ; P{X 2} 3 ; P( X 3) 2
6
6
6
X 的分布函数 F(x) P{X x} 由条件知：当 x 1时， F(x） 0;
《工程数学》试题
第 3 页 共6 页
15．设一口袋中依此标有 1，2，2，2，3，3 数字的六个球。从中任取一球，记随机 变量 X 为取得的球上标有的数字，求 (1)X 的概率分布律和分布函数。(2)EX
得分 评卷人
四、证明题（共 10 分）
16.设 a=(a1,a2,…,an)T，a1≠0,其长度为║a║，又 A=aaT, (1)证明 A2=║a║2A； (2) 证明 a 是 A 的一个特征向量，而 0 是 A 的 n-1 重特征值； (3) A 能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.
=0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52
(2)由贝叶斯公式
有
P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A)
=0.8x0.6/0.52=12/13
（2 分） （1 分） （2 分） （1 分） （1 分） （2 分） （1 分）
电大 工程数学试卷及答案汇总(完整版)
F(w)= [e|t| ] e|t|e jt dt e( j )t dt e( j )t dt
0
0
（3 分）
= 1 1 2 j j 2 2
(2 分)
由付氏积分公式有
f(t)= 1[ F(w)]=
1
F ( )e jt d
2
(2 分)
= 1 2 (cost j sint)d
dx f (x, y)dy 1
即 从而
dx ce(2x4y)dy 1
00
c=8
(2) P(X Y )
f
(x,
y)dxdy
x
dx
8e(2x4 y) dy
2
x y
00
3
(3) 当 x>0 时， f X (x) f (x, y)dy 8e(2x4y)dy 2e2x
0
=–( y2 –7000y + 4•106 ) /1000 求极值得 y=3500 (吨)
(3 分) (1 分)
工程数学（本）10 秋模拟试题（一） 一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．设 A, B 都是 n 阶方阵，则下列命题正确的是( AB A B )．
《工程数学》试题
第 8 页 共6 页
12．求线性方程组
x1 3x2 x3 x4 1 x12x14x27x23x32x32x4x41 2
的
全
部
解
．
解
：
2x1 4x2 8x3 2x4 2
将方程组的增广矩阵化为阶梯形
1 3 1 1 1 1 3 1 1 1
2 7 2 1 2 0 1 0 1 0 1 4 3 2 1 0 1 2 3 0
13．设二维随机变量 (X ,Y ) 的联合概率函数是
电大《工程数学》(本)期末考试真题10套
学（本）试题
2002 年 1 月
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分）
4．设 A，B 均为 n 阶方阵，若 AB=0，是一定有（ ）。 A． A． A=0 或 B=0 B． B． 秩（A）=0 或秩（B）=0 C． C． 秩（A）=n 或秩（B）=n
Ａ
２． Ｄ
３． Ａ
５． Ｃ
６． Ａ
７． Ｂ
二、填空题【每小题 ３分，本题共 １５分）
２００３年 １月
４． Ｂ
２．ｒ ｎ又 ５
３． Ｕ．８
２ｐ － ｔ－１
无偏估计
三、计算题 （每小题 １０分 ，本题共 ：３０分）
解：Ｘ＝（］一Ａ）－＇１３
得 分 评卷人
五、证明题（本题 ４分）
设 Ａ，Ｂ为 ｎ阶对称矩阵，则 ＡＢ是对称矩阵的充分必要条件是ＡＩ３＝ Ｂ Ａ．
７４８
试卷代号 ：１０８０
中央广播电视大学 ２００２－２００３学年度第一学期“开放本科”期末考试
土木工程专业工程数学试题答案及评分标准
（供 参 考 ）
一、单项选择题 （每小题 ３分 ，本题共 ２１分 ）
1
D． D． 秩（A）<n 或秩（B）<n 三、计算题（每小题 10 分，共 30 分）
2
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分） 1． 1． B 2． 2． D 3． 3． B 4． 4． D 5． 5． C 6． 6． A 7． 7． C
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． 1． 相等 2． 2． t，s（答对一个给 2 分） 3． 3． P（A）P（B） 4． 4． p（1-p）
2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案
2019年电大本科《工程数学》期末考试题库及答案一、单项选择题1.若10010020*******=aa ，则=a （12）．⒊乘积矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1253014211中元素=23c （10）． ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是()AB BA --=11）．⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）．D. -=-kA k A n () ⒍下列结论正确的是（A. 若A 是正交矩阵则A -1也是正交矩阵）．⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ ）． ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（A ≠0）⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（D ）． D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．A. ()A B A AB B +=++2222⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C. [,,]--'1122 ）．⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（ 有唯一解）．⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ 3）． ⒋设向量组为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111,0101,1100,00114321αααα，则（ααα123,, ）是极大无关组．⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量9．设A ，Ｂ为n 阶矩阵，λ既是Ａ又是Ｂ的特征值，x 既是Ａ又是Ｂ的属于λ的特征向量，则结论（ A ）成立． Ａ．λ是AB 的特征值10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n 阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似．Ｃ．B PAP =-1 ⒈A B ,为两个事件，则（ B ）成立． B.()A B B A +-⊂ ⒉如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件．C. AB =∅且AB U =⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ D. 307032⨯⨯..）． 4. 对于事件A B ,，命题（C ）是正确的．C. 如果A B ,对立，则A B ,对立⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D.)1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（6, 0.8）．7.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（A ）． A. xf x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则=<<)(b X a PD.f x x ab()d ⎰）．10.设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（C ）时，有E Y D Y (),()==01．C. σμ-=X Y1.A 是34⨯矩阵，B 是52⨯矩阵，当C 为（ B 24⨯）矩阵时，乘积AC B ''有意义。
2019年电大工程数学（本科）期末考试试题及答案
2019年电⼤⼯程数学（本科）期末考试试题及答案电⼤⼯程数学(本科)期末考试试题及答案⼀、单项选择题1．设B A ,都是n 阶⽅阵，则下列命题正确的是(AB A B= )． 2．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成⽴的是( ()BAAB 11=- )． 3. 设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成⽴的是（B A B A '+'='+)( ）．4．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成⽴的是（ BAAB = ）．5．设A ，B 是两事件，则下列等式中（ )()()(B P A P AB P =，其中A ，B 互不相容）是不正确的． 6．设A 是n m ?矩阵，B 是t s ?矩阵，且B C A '有意义，则C 是( n s ? )矩阵． 7．设是矩阵，B 是矩阵，则下列运算中有意义的是（）8．设矩阵?--=1111A 的特征值为0，2，则3A 的特征值为 ( 0，6 ) ． 9. 设矩阵--=211102113A ，则A 的对应于特征值2=λ的⼀个特征向量α=( ??011 ) ． 10．设是来⾃正态总体的样本，则（321535151x x x ++ ）是µ⽆偏估计．11．设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=µH 采⽤统计量U =（nx /15-）．12．设2321321321=c c c b b b a a a ，则=---321332211321333c c c b a b a b a a a a （2-）． 13．设??~X ，则=<)2(X P （0.4 ）． 14．设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体22,)(,(σµσµN 均未知）的样本，则（ 1x ）是统计量． 15．若是对称矩阵，则等式（A A ='）成⽴． 16．若（）成⽴，则元线性⽅程组AX O =有唯⼀解．17. 若条件（ ?=AB 且A B U += ）成⽴，则随机事件，互为对⽴事件． 18．若随机变量X 与Y 相互独⽴，则⽅差)32(Y X D -=（ )(9)(4Y D X D + ）．19若X 1、X 2是线性⽅程组AX =B 的解⽽21ηη、是⽅程组AX = O 的解则（213231X X +）是AX =B 的解．20．若随机变量)1,0(~N X ，则随机变量~23-=X Y （ )3,2(2-N ）． 21．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（）．22. 若0351021011=---x ，则=x （3 ）．30. 若)4,2(~N X ，（22-X ），则． 23. 若满⾜（)()()(B P A P AB P = ），则与是相互独⽴．24. 若随机变量X 的期望和⽅差分别为)(X E 和)(X D 则等式（22)]([)()(X E X E X D -= ）成⽴．25. 若线性⽅程组只有零解，则线性⽅程组（可能⽆解）．26. 若元线性⽅程组有⾮零解，则（）成⽴．27. 若随机事件,满⾜，则结论（与互不相容）成⽴．28. 若?=4321432143214321A ，则秩=)(A （1 ）．29. 若??=5321A ，则=*A （ --1325 ）．30．向量组--732,320,011,001的秩是（ 3 ）．31．向量组的秩是（4）．32. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的⼀个极⼤⽆关组可取为（21,αα）．33. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα，则=-+32132ααα（[]2,3,1--）．34．对给定的正态总体),(2σµN 的⼀个样本),,,(21n x x x Λ，2σ未知，求µ的置信区间，选⽤的样本函数服从（t 分布）． 35．对来⾃正态总体，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（∑=-312)(31i i X µ ）不是统计量．)3,2,1(=i ．36. 对于随机事件，下列运算公式（)()()()(AB P B P A P B A P -+=+）成⽴．37. 下列事件运算关系正确的是（ A B BA B += ）．38．下列命题中不正确的是（ A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量）．39. 下列数组中，（1631614121）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布．40. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr ⾄多是（ 2）．41. 已知=??-=21101210,20101B a A ，若??=1311AB ，则=a （ 1- ）． 42. 已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（1,21-==b a ）．43. ⽅程组=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( 0321=-+a a a )，其中0≠i a ，44. 线性⽅程组=+=+013221x x x x 解的情况是（有⽆穷多解）．45. n 元线性⽅程组有解的充分必要条件是（)()(b A r A r M= ） 46．袋中有3个红球，2个⽩球，第⼀次取出⼀球后放回，第⼆次再取⼀球，则两球都是红球的概率是（25） 47. 随机变量)21,3(~B X ，则=≤)2(X P （87）．48．=-15473（ 7543--??）⼆、填空题1．设B A ,均为3阶⽅阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= 8．2．设B A ,均为3阶⽅阵，2,3A B ==，则13A B -'-= -18 ． 3. 设B A ,均为3阶矩阵，且3==B A ，则=--12AB —8 ． 4. 设B A ,是3阶矩阵，其中2,3==B A ，则='-12B A 12 ． 5．设互不相容，且，则0 ．6. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为11,--B A ，则='--11)(A B B A )(1'-．7. 设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独⽴．8．设A 为n 阶⽅阵，若存在数λ和⾮零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称λ为A 的特征值． 9．设A 为n 阶⽅阵，若存在数λ和⾮零n 维向量X ，使得AX X λ=，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 10. 设是三个事件，那么A 发⽣，但C B ,⾄少有⼀个不发⽣的事件表⽰为)(C B A +. 11. 设A 为43?矩阵，B 为25?矩阵，当C 为（42? ）矩阵时，乘积B C A ''有意义．12. 设D C B A ,,,均为n 阶矩阵，其中C B ,可逆，则矩阵⽅程D BXC A =+的解=X 11)(---C A D B ．13．设随机变量012~0.20.5X a ?? ???，则a14．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X 15. 设随机变量)15.0,100(~B X ，则=)(X E 15 ．16．设随机变量的概率密度函数为≤≤+=其它,010,1)(2x x kx f ，则常数k = π4 ．17. 设随机变量??-25.03.0101~a X ，则45.0 ． 18. 设随机变量?5.02.03.0210~X ，则=≠)1(X P 8.0． 19. 设随机变量X 的概率密度函数为≤≤=其它0103)(2x x x f ，则=<)21(X P 81．20. 设随机变量的期望存在，则0． 21. 设随机变量，若5)(,2)(2==X E X D ，则=)(X E 3．22．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时23．设θ是未知参数θ的⼀个估计，且满⾜θθ=)?(E ，则θ?称为θ的⽆偏估计． 24．设θ是未知参数θ的⼀个⽆偏估计量，则有?()E θθ=． 25．设三阶矩阵A 的⾏列式21=A ，则1-A = 2 ． 26．设向量β可由向量组n ααα,,,21Λ线性表⽰，则表⽰⽅法唯⼀的充分必要条件是n ααα,,,21Λ线性⽆关． 27．设4元线性⽅程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次⽅程组的基础解系含有 3 个解向量．28. 设1021,,,x x x Λ是来⾃正态总体)4,(µN 的⼀个样本，则~101101∑=i i x )104,(µN ．29. 设n x x x ,,,21Λ是来⾃正态总体的⼀个样本，∑==ni i x n x 11，则=)(x D n2σ30．设412211211)(22+-=x x x f ，则0)(=x f 的根是 2,2,1,1-- ． 31．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 1，-1，2，-2 ． 32.设??=070040111A ，则_________________)(=A r ．2 33．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P 0.3 ．34．若样本n x x x ,,,21Λ来⾃总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x )1,0(nN35．若向量组：-=2121α，=1302α，-=2003k α，能构成R 3⼀个基，则数k 2≠ ． 36．若随机变量X ~ ]2,0[U ，则=)(X D 3137. 若线性⽅程组的增⼴矩阵为=41221λA ，则当λ＝（ 21）时线性⽅程组有⽆穷多解． 38. 若元线性⽅程组0=AX 满⾜，则该线性⽅程组有⾮零解． 39. 若5.0)(,1.0)(,9.0)(===+B A PB A P B A P ，则=)(AB P 0.3 ．40. 若参数θ的两个⽆偏估计量1θ和2?θ满⾜)?()?(21θθD D >，则称2?θ⽐1θ更有效． 41．若事件A ，B 满⾜B A ?，则 P （A - B ）= )()(B P A P - ． 42. 若⽅阵满⾜A A '=，则是对称矩阵．43．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 44．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D 20 ． 45. 向量组),0,1(),1,1,0(),0,1,1(321k ===ααα线性相关，则k=1- 46. 向量组的极⼤线性⽆关组是（）．47．不含未知参数的样本函数称为统计量． 48．含有零向量的向量组⼀定是线性相关的．49. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P 0.6 ．50. 已知随机变量?-5.01.01.03.05201~X ，那么=)(X E 2.4 ． 51. 已知随机变量??-5.05.05.05.05201~X ，那么=)(X E 3． 52．⾏列式701215683的元素21a 的代数余⼦式21A 的值为= -56 ．53. 掷两颗均匀的骰⼦，事件“点数之和为4”的概率是（ 121）. 54. 在对单正态总体的假设检验问题中，T 检验法解决的问题是（未知⽅差，检验均值）．55. 1111111---x x 是关于x 的⼀个多项式，该式中⼀次项x 系数是 2 ．56. =-1--451231． 57. 线性⽅程组b AX =中的⼀般解的⾃由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则⽅程组增⼴矩阵)(b A r M = 3 ． 58. 齐次线性⽅程组0=AX 的系数矩阵经初等⾏变换化为--→→000020103211ΛA59. 当λ= 1 时，⽅程组-=--=+112121x x x x λ有⽆穷多解．1．设矩阵，且有，求X ．解：利⽤初等⾏变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．设矩阵??=--=500050002,322121011B A ，求B A 1-．解：利⽤初等⾏变换得--→--102340011110001011100322010121001011----→----→14610013501000111146100011110001011 ??-----→146100135010134001 即 ??-----=-1461351341A 由矩阵乘法得-----=-----=-52012515105158500050002146135 1341B A 3．设矩阵=--=210211321,100110132B A ，求：（1）AB ；（2）1-A ．解：（1）因为2100110132-=--=A 12111210211110210211321-=-===B 所以 2==B A AB ．（2）因为 []--=100100010110001132I A--→--→10010011001012/32/1001100100110010101032 所以 ??--=-10011012/32/11A ． 4．设矩阵100111101A ??=--，求1()AA -'．解：由矩阵乘法和转置运算得100111111111010132101011122AA --'=-=----- 利⽤初等⾏变换得100201001111→-??100201011101001112??→---即 1201()011112AA -'=??5．设矩阵??---=423532211A ，求（1）A ，（2）1-A ．解：（1）1100110211210110211423532211=---=---=---=A（2）利⽤初等⾏变换得-----→---1032100121100012 11100423010532001211即6．已知矩阵⽅程B AX X +=，其中--=301111010A ，?? --=350211B ，求X ．解：因为B X A I =-)(，且-----→---=-1012100111100010111002010101010010----→-----→11010012101012000111010011110010101即 ??----=--110121120)(1A I 所以 ??---=------=-=-334231350211110121120)(1B A I X ．7．已知B AX =，其中??==108532,1085753321B A ，求X ．解：利⽤初等⾏变换得------→1055200132100013211001085010753001321----→---→12110025*********1121100013210001321 ??-----→121100255010146001 即 ??-----=-1212551461A 由矩阵乘法运算得--=????-----==-1282315138 1085321212551461B A X8．求线性⽅程组=++-=++--=+-+-=-+-234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解．解：将⽅程组的增⼴矩阵化为阶梯形 ----→-------0462003210010101113122842123412127211131?---→---→0000002200010101113106600022000101011131 ⽅程组的⼀般解为：（其中为⾃由未知量）令=0，得到⽅程的⼀个特解)0001(0'=X .⽅程组相应的齐⽅程的⼀般解为：-===4342415xx x x x x （其中为⾃由未知量）令=1，得到⽅程的⼀个基础解系)1115(1'-=X .于是，⽅程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）9．求齐次线性⽅程组=++--=++++=++++0233035962023353215432154321x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解： A =??→--326001130012331203313596212331 →100001130012331??→100000130001031 ⼀般解为 ??=-=--=0313543421x x x x x x ，其中x 2，x 4 是⾃由元令x 2 = 1，x 4 = 0，得X 1 =)0,0,0,1,3('-； x 2 = 0，x 4 = 3，得X 2 =)0,3,1,0,3('--所以原⽅程组的⼀个基础解系为 { X 1，X 2 }．原⽅程组的通解为： 2211X k X k +，其中k 1，k 2 是任意常数．10．设齐次线性⽅程组=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ，λ为何值时⽅程组有⾮零解？在有⾮零解时，求出通解．解：因为A =---λ83352231---→610110231λ??---→500110101λ 505==-λλ即当时，3)(⽅程组的⼀般解为： ==3231x x x x ，其中3x 为⾃由元．令3x =1得X 1=)1,1,1('，则⽅程组的基础解系为{X 1}．通解为k 1X 1，其中k 1为任意常数．27．罐中有12颗围棋⼦，其中8颗⽩⼦，4颗⿊⼦．若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦的概率；（2）取到3颗棋⼦颜⾊相同的概率．解：设1A =“取到3颗棋⼦中⾄少有⼀颗⿊⼦”，2A =“取到的都是⽩⼦”，3A =“取到的都是⿊⼦”，B =“取到3颗棋⼦颜⾊相同”，则（1）)(1)(1)(211A P A P A P -=-=745.0255.01131238=-=-=C C ．（2）)()()()(3232A P A P A A P B P +=+==273.0018.0255.0255.031234=+=+C C ．11．求下列线性⽅程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=??-++=??-++=? 解利⽤初等⾏变换，将⽅程组的增⼴矩阵化成⾏简化阶梯形矩阵，即245353652548151115-?? ?- ? ?-??→245351201000555-?? ?-- ? →120100055500555--?? ? ? ???→120100011100000--?? ? ? ???⽅程组的⼀般解为：1243421x x x x x =+??=-+?，其中2x ，4x 是⾃由未知量．令042==x x ，得⽅程组的⼀个特解0(0010)X '=，，，．⽅程组的导出组的⼀般解为：124342x x x x x =+??=-?，其中2x ，4x 是⾃由未知量．令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，．所以⽅程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数．12. 当取何值时，线性⽅程组+=++-=++-=+-2532342243214321421λx x x x x x x x x x x 有解，在有解的情况下求⽅程组的全部解．解：将⽅程组的增⼴矩阵化为阶梯形由此可知当时，⽅程组⽆解。
《工程数学》广播电视大学历年期末试题及答案
试卷代号：1080工程数学(本) 试题2012年1月 一、单项选择题1． 设A ，B 为三阶可逆矩阵，且0k >，则下列（ ）成立．B ．AB A B '= 2． 设A 是n 阶方阵，当条件（ A ）成立时，n 元线性方程组AX b =有惟一解．3．设矩阵1111A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值为0，2，则3A 的特征值为（ ）。
B ．0，6 4．若随机变量(0,1)X N :，则随机变量32Y X =-: ( D )．5． 对正态总体方差的检验用( C )．二、填空题(每小题3分，共15分)6． 设,A B 均为二阶可逆矩阵，则111OA B O ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．8． 设 A ， B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =,则称A 与B ．9．若随机变量[0,2]X U :，则()D X = ．10．若12,θθ都是θ的无偏估计，且满足 ______ ，则称1θ比2θ更有效。
三、计算题(每小题16分，共64分)11． 设矩阵234123231A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111111230B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么A B -可逆吗？若可逆，求逆矩阵1()A B --．12．在线性方程组123121232332351x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩ 中λ取何值时，此方程组有解。
在有解的情况下，求出通解。
13. 设随机变量(8,4)X N :,求(81)P X -<和(12)P X ≤。
(已知(0.5)0.6915Φ=，(1.0)0.8413Φ=，(2.0)0.9773Φ=)14. 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm ，标准差为0.15cm 。
从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm ）10.4, 10.6, 10.1, 10.4问：该机工作是否正常（0.9750.05, 1.96u α==）？四、证明题（本题6分）15. 设n 阶矩阵A 满足2,A I AA I '==,试证A 为对称矩阵。
电大《工程数学》期末复习题
《工程数学》期末复习题库工程数学（本）模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． A ．BA AB = B ．B A B A +=+ C ．111)(---+=+B A B A D ．111)(---=B A AB2．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-331232121a x xa x x a x x 相容的充分必要条件是( )，其中0≠i a ，)3,2,1(=i ．A ．0321=++a a aB ．0321=-+a a aC ．0321=+-a a aD ．0321=++-a a a3．下列命题中不正确的是（ ）． A ．A 与A '有相同的特征多项式B ．若λ是A 的特征值，则O X A I =-）（λ的非零解向量必是A 对应于λ的特征向量 C ．若λ=0是A 的一个特征值，则O AX =必有非零解 D ．A 的特征向量的线性组合仍为A 的特征向量4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）． A ． B ． C ． D ．5．设n x x x ,,,21 是来自正态总体)1,5(N 的样本，则检验假设5:0=μH 采用统计量U =（ ）．A ．55-xB ．5/15-xC ．nx /15- D ．15-x二、填空题（每小题3分，共15分）1．设22112112214A x x =-+，则0A =的根是 ． 2．设4元线性方程组AX =B 有解且r （A ）=1，那么AX =B 的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量． 3．设互不相容，且，则 ． 4．设随机变量X ~ B （n ，p ），则E （X ）= ．5．若样本n x x x ,,,21 来自总体)1,0(~N X ，且∑==ni i x n x 11，则~x ．三、计算题（每小题16分，共64分）1．设矩阵100111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求1()AA -'． 2．求下列线性方程组的通解．123412341234245353652548151115x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 3．设随机变量X ~ N （3，4）．求：（1）P （1< X < 7）；（2）使P （X < a ）=0.9成立的常数a ． (已知8413.0)0.1(=Φ，9.0)28.1(=Φ，9773.0)0.2(=Φ)．4．从正态总体N （μ，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x = 2.5，求μ的置信度为99%的置信区间.(已知 576.2995.0=u )四、证明题（本题6分）4．设n 阶矩阵A 满足0))((=+-I A I A ，则A 为可逆矩阵．工程数学（本）11春模拟试卷参考解答一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 二、填空题（每小题3分，共15分）1．1，-1，2，-2 2．3 3．0 4．np 5．)1,0(nN三、（每小题16分，共64分） 1．解：由矩阵乘法和转置运算得10011111111010132101011122AA --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ………6分 利用初等行变换得10020001112011101⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1002001110101112⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦即 1201()011112AA -⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦………16分 7-2．解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 245353652548151115-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭→245351201000555-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭→120100055500555--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→120100011100000--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 方程组的一般解为：1243421x x x x x =+⎧⎨=-+⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． ……8分令042==x x ，得方程组的一个特解0(0010)X '=，，，．方程组的导出组的一般解为： 124342x x x x x =+⎧⎨=-⎩，其中2x ，4x 是自由未知量． 令12=x ，04=x ，得导出组的解向量1(2100)X '=，，，；令02=x ，14=x ，得导出组的解向量2(1011)X '=-，，，． ……13分所以方程组的通解为：22110X k X k X X ++=12(0010)(2100)(1011)k k '''=++-，，，，，，，，，，其中1k ，2k 是任意实数． ……16分3．解：（1）P （1< X < 7）=)23723231(-<-<-X P =)2231(<-<-X P =)1()2(-Φ-Φ= 0.9773 + 0.8413 – 1 = 0.8186 ……8分（2）因为 P （X < a ）=)2323(-<-a X P =)23(-Φa = 0.9 所以 28.123=-a ，a = 3 + 28.12⨯ = 5.56 ……16分 4．解：已知2=σ，n = 625，且nx u σμ-= ~ )1,0(N ……5分因为 x = 2.5，01.0=α，995.021=-α，576.221=-αu206.06252576.221=⨯=-nuσα……10分所以置信度为99%的μ的置信区间为：]706.2,294.2[],[2121=+---nux nux σσαα. ……16分四、（本题6分）证明： 因为 0))((2=-=+-I A I A I A ，即I A =2．所以，A 为可逆矩阵． ……6分《工程数学》综合练习一、单项选择题1．设B A ,都是n 阶方阵，则下列命题正确的是( )． A ．AB A B = B ．222()2A B A AB B -=-+ C ．AB BA = D ．若AB O =，则A O =或B O = 正确答案：A2．向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡732,320,011,001的秩是（ ）． A . 1 B . 3 C . 2 D . 4正确答案： B3．n 元线性方程组有解的充分必要条件是（ ）．A . )()(b A r A r =B . 不是行满秩矩阵C .D . 正确答案：A4. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（ ）．A . 256B . 103 C . 203 D . 259正确答案：D 5．设是来自正态总体的样本，则（ ）是μ无偏估计．A . 321515151x x x ++ B . 321x x x ++C . 321535151x x x ++D . 321525252x x x ++正确答案： C6．若是对称矩阵，则等式（ ）成立． A . I AA =-1 B . A A =' C . 1-='A A D . A A =-1正确答案：B7．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-15473（ ）． A . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3547 B . 7453-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ C . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 7543-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 正确答案：D8．若（ ）成立，则元线性方程组AX O =有唯一解．A .B . A O ≠C .D . A 的行向量线性相关 正确答案：A9. 若条件（ ）成立，则随机事件，互为对立事件．A . ∅=AB 或A B U += B . 0)(=AB P 或()1P A B +=C . ∅=AB 且A B U +=D . 0)(=AB P 且1)(=+B A P正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记∑==3131i i X X ，则下列各式中（ ）不是统计量．A . XB .∑=31i iXC . ∑=-312)(31i i X μ D . ∑=-312)(31i i X X正确答案： C二、填空题1．设B A ,均为3阶方阵，2,3A B ==，则13A B -'-= ．应该填写：-182．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称λ为A 的特征值．应该填写：AX X λ=3．设随机变量012~0.20.5X a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a = ．应该填写：0.34．设为随机变量，已知3)(=X D ，此时．应该填写：275．设θˆ是未知参数θ的一个无偏估计量，则有 ．应该填写：ˆ()E θθ=6．设B A ,均为3阶方阵，6,3A B =-=，则13()A B -'-= ． 应该填写：87．设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量X ，使得 ，则称X 为A 相应于特征值λ的特征向量． 应该填写：AX X λ=8．若5.0)(,8.0)(==B A P A P ，则=)(AB P ． 应该填写：0.39．如果随机变量的期望2)(=X E ，9)(2=X E ，那么=)2(X D ．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为 ． 应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，且有，求X ．解：利用初等行变换得即由矩阵乘法和转置运算得2．求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++--=+-+-=-+-2284212342272134321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x的全部解．解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------0462003210010101113122842123412127211131 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→0000002200010101113106600022000101011131 方程组的一般解为： （其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解)0001(0'=X .方程组相应的齐方程的一般解为： ⎪⎩⎪⎨⎧-===4342415xx x x x x （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系)1115(1'-=X .于是，方程组的全部解为：10kX X X +=（其中k 为任意常数）3．设)4,3(~N X ，试求: (1))95(<<X P ；(2))7(>X P ． （已知,8413.0)1(=Φ9987.0)3(,9772.0)2(=Φ=Φ）解：(1))3231()23923235()95(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 1574.08413.09987.0)1()3(=-=Φ-Φ=(2))23723()7(->-=>X P X P )223(1)223(≤--=>-=X P X P 0228.09772.01)2(1=-=Φ-=4．据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度)21.1,5.32(~N X ，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg ／cm 2）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）．解： 零假设．由于已知，故选取样本函数已知，经计算得，由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。
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ｘ １ 一３ ｘ ｚ ＋２ ｘ ３ ＝０
求出一个基础解系及通解． 得 分 评卷人
３ ． “ 次 一｛
２ ｘ ， －５ ｘ ｚ ＋３ ｘ ３ ＝０ ， ａ 为何值时方程组有非零解？在有非零解时，
３ ｘ ， 一８ ｘ ｚ ＋ａ ｘ ３ ＝０
四、 计算题（ 每小题 １ ０分， 共３ ０分）
（ １ ） Ｐ＜ ２ ＜Ｙ ＜５ ） ；
（ ２ ） 求使 Ｐ＜ Ｙ ｝ｃ ） ＝０ ． ０ ２ ２ ７的 。 值． （ 已知 ｃ ｝ （ ０ ． ５ ） ＝０ ． ６ ９ １ ５ ， ｘ（ １ ） ＝０ ． ８ ４ １ ３ ， ｘ（ ２ ） ＝０ ． ９ ７ ７ ３ ）
０ ０ ０ ２
已知 ４阶矩阵 Ａ＝
３ ０
， 则｛ Ａ｝ 今（
０ ０
Ａ ． ２ ４
１ ３ ． 一 ２ ４
Ｃ．０
Ｕ ． １ ２
’，口“ ｚ ＋ ＂ ＋ ａ ． ｝ ， 若有 Ｏ ａ ， 十Ｏ ａ ｚ － ｝ － ． ． ． ０ ａ ． ＝ ０ ， 则向量组 ａ ｝ ， ａ ｚ ・， 对 于向量组 ａ ＇ ，ａ
中央广播电视大学 2001—2002 学年度第一 学期“开放本科”期末考试土木专业工程数 学（本）试题
2002 年 1 月
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分）
4．设 A，B 均为 n 阶方阵，若 AB=0，是一定有（ A． A． A=0 或 B=0 B． B． 秩（A）=0 或秩（B）=0 C． C． 秩（A）=n 或秩（B）=n
阶矩阵．
３ ． 若事件 Ａ， Ｂ互斥， 且已知 Ｐ （ Ａ） ＝０ ． ５ ， Ｐ （ Ｂ ） ＝０ ． ３ 则Ｐ （ Ａ－ ｝ Ｂ ） ＝ ４ ．已知随机变量 Ｘ服从两点分布 Ｐ（ Ｘ＝１ ） ＝ｐ ， Ｐ＜ Ｘ＝０ ） ＝１ 一Ｐ ， 则 Ｅ（ ２ Ｘ十１ ） ＝
５ ． 设 样 本Ｘ 的 分 布 依 赖 于 一 个 参数。 ， 咨 是 基于 样本ｘ ｘ ｚ ， ． ． ． ， ｘ ， 的 一 个 统 计量 ， 若 Ｅ ｃ ｅ ） 一 。 ， 则 称ｅ 是。 的
Ｃ ．至少一件不合格 Ｄ ． 两件都合格
６ ．对于随机变量 Ｘ， 函数 Ｆ （ ｘ ） ＝Ｐ＜ Ｘ簇ｘ ） 称为 Ｘ的（ ） ．
Ａ ． 分布函数 Ｃ ． 概率分布
Ｂ ． 概率 Ｄ ． 概率密布
） ．
７ ．设 Ｘ是随机变量， Ｄ（ Ｘ） －ａ Ｚ ， 设 Ｙ＝ｕ Ｘ－ ｉ － ｂ ， 则 Ｄ＜ Ｙ） ＝＜ Ａ．“ 扩－ ｛ － ｂ Ｂ ．矿尹
Ｃ ． ｕ ａ Ｚ Ｄ ． ａ ２ 尹 十ｂ
得
分
评卷人
பைடு நூலகம்
二、 填空题（ 每小题 ３分， 共１ ５分）
１ ． 设 Ａ是 ４ 阶方阵， 若｛ Ａ｝ ＝２ ， 则｛ ２ Ａ － ＇ ｝ ＝＿
，
２ ． 若Ａ是， ｉ Ｘ ｒ ｎ 矩阵， Ｂ是， Ｘ ： 矩阵， 则Ａ ＇ Ｂ是＿
１ ． ２ ０ 件产品中有 ３件次品， 进行抽样检验， （ １ ） 从中任取 ２ 件， 求其中至少有一件次品的概率； （ ２ ） 不放回地抽取两次， 求第二次才取到次品的概率． ２ ． 设随机变量Ｙ服从正态分布Ｙ ＾ － Ｎ（ ３ ， ２ Ｚ ） ， 求
７ ４ ６
Ｄ ． 解不能确定 ） ， 则 Ａ是可逆矩阵． ｝ ３ ． 存在矩阵Ｂ， 使ＡＢ ＝Ｉ Ｄ ． 秩（ Ａ ） Ｇｎ
５ ． 从一批产品中随机抽取两件， 用 Ａ， Ｂ两个事件分别表示两件产品是合格品， 则兀十百
表示（ ） ．
Ａ ． 两件都不合格
Ｂ ．至少一件合格
1
） 。
D． D． 秩（A）<n 或秩（B）<n
三、计算题（每小题 10 分，共 30 分）
2
一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 21 分） 1． 1． B 2． 2． D 3． 3． B 4． 4． D 5． 5． C 6． 6． A 7． 7． C 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1． 1． 相等 2． 2． t，s（答对一个给 2 分） 3． 3． P（A）P（B） 4． 4． p（1-p）
3
5． 5． 无偏估计 三、计算题（每小题 10 分，共 30 分）
4
试卷代号： １ ０ ８ ０
座位号 巨 二 口
中 央广播电视大学２ ０ ０ ２ －２ ０ ０ ３ 学年度 第一学期“ 开 放本 科” 期末考试
土木工程专业工程数学试题
２ ０ ０ ３年 Ｉ月 题 分 号 数
四 五
总
分
得
分
评卷人
一、 单项选择题 （ 每小题 ３分， 本题共 ２ １分）
得 分 评卷人 三、 计算题（ 每小题 １ ０分 ， 共３ ０分）
１ ．已知 Ｘ＝ＡＸ＋Ｂ， 其中
门 口 卜 陇‘ ｜防Ｌ 一 一
一 １
「 ｌ ｅｓ ｅｓｅｓ ｌ ｅｅｗｅ ｅｓ、 ｅｓ ｅｓｅｓ Ｊ 「 一
厂． １月 １１‘ ｅｓｌ ｅｓｅｓｅｓＬ
Ｘ． 求
Ｂ
一 － Ａ
１ １ １
０ ３
十 」
一 －
一 ３
７ ４ ７
２ ．求向量组 ａ ｌ ＝［ １ ａ ｓ ＝［ １
０ ０ ２ ０
４ ］ ＇ ， ａ ｚ ＝［ ０ １ ２ ３ ］ ＇ ， ａ ３ ＝［ １ ２ ３ ４ ］ ＇ ， ａ ａ ＝［ １ ２ ３ ０ ］
是（
） 的向量组．
Ａ ． 全为零向量
Ｃ 。线性无关
Ｂ ． 线性相关
Ｄ ．任意向量
３ ， 若线性方程组ＡＸ＝６ 有唯一解， 则方程组 Ａ Ｘ＝Ｏ ｔ
Ａ． 有唯一解 Ｂ ．有非零解
）
Ｃ ， 无解 ４ ． 设矩阵 Ａ是、阶方阵， 若（ Ａ ． ｝ Ａ｝ “。 Ｃ ． 矩阵Ａ没有零行