行星运动的能量分析

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利用质心动能定理

利用质心动能定理一、引言在物理学中，质心动能定理是描述质点系统运动的重要定理之一。

它可以帮助我们更好地理解物体的运动规律和动能的转化。

本文将通过阐述质心动能定理的原理和应用，以及一些具体的例子，来详细解析质心动能定理的作用和意义。

二、质心动能定理的原理质心动能定理是基于质心的概念提出的。

质心是指物体或物体系统的整体运动的平均位置。

对于一个由N个质点组成的系统，其质心的位置可以用以下公式表示：X_c = (m_1x_1 + m_2x_2 + ... + m_Nx_N) / M其中，X_c表示质心的位置，m_i表示第i个质点的质量，x_i表示第i个质点的位置，M表示整个系统的总质量。

质心动能定理是指在一个惯性系中，质点系的总动能等于质心动能加上相对质心的动能之和。

具体表达式如下：K = K_c + K_r其中，K表示质点系的总动能，K_c表示质心的动能，K_r表示相对质心的动能。

三、质心动能定理的应用1. 质心运动分析利用质心动能定理，我们可以更方便地分析复杂物体的运动。

例如，对于一个旋转的刚体，我们可以将其看作一个质点系，通过计算质心动能和相对质心动能，来研究刚体的整体运动状态。

2. 动能转化质心动能定理还可以用于研究动能的转化。

在物体运动过程中，动能可以从质心动能转化为相对质心动能，或者相反。

例如，当一个物体在空中自由下落时，其质心动能会逐渐转化为相对质心动能，当物体触地后，相对质心动能会转化为形变能或其他形式的能量。

3. 质心运动与碰撞在研究碰撞过程中，质心动能定理也起到了重要的作用。

通过计算碰撞前后物体的质心动能和相对质心动能的变化，可以得出碰撞过程中的能量守恒和动量守恒的结论。

四、质心动能定理的例子1. 旋转的飞盘当我们向空中抛出一个旋转的飞盘时，飞盘的质心会沿着抛出方向运动，同时也会有自身的旋转。

利用质心动能定理，我们可以计算出飞盘的质心动能和相对质心动能的变化，从而分析飞盘的运动状态和旋转速度。

椭圆轨道上行星运动速度和能量

卫星椭圆轨道问题探析速度），此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动；当发射速度达gR 2时（又称第二宇宙速度），卫星以地球球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线；当发射速度介于gR 和gR 2之间时，卫星作椭圆运动，并随发射速度的增大椭圆越扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点；当卫星速度大于gR 2而小于第三宇宙速度时，它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后，将绕太阳运动成为太阳的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星；当发射速度大于第三宇宙速度时，卫星将脱离太阳系的束缚，向其他星系运动。

对于圆轨道，由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力，因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。

但对于椭圆轨道，相对来说求解某些问题有一定的困难，下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明。

一、椭圆上任一点的曲率半径。

根据数学知识，曲率半径由公式3222)x y r y x x y ''+=''''''-（给出，为了便于求导，借助椭圆的参数方程cos x a φ=，sin y b φ=（a 、b 分别为椭圆的半长轴、半短轴），把x 、y 的一、二阶导数代入r 表达式，有322222sin cos )a b r ab φφ+=（．在远地点和近地点，参数Φ分别取0、π代入，得到在椭圆上(,0)a ±这两个点所在处的曲率半径相同，等于2b a,不等于a c +或a c -，式中c 为椭圆焦距。

该知识点中的数学能力要求已超出高中要求，但是其结论有必要作适当的介绍。

例题1：某卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点离地球中心的距离是c ,远地点离地球中心的距离为d ,若卫星在近地点的速率为c v ,则卫星在远地点时的速率d v 是多少？解析：做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于r 。

高中物理天体运动知识点详解

高中物理天体运动知识点详解01开普勒的行星运动三定律开普勒第一定律开普勒第一定律即为椭圆轨道定律，其内容为：所有的行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，如图。

此定律说明不同行星的椭圆轨道是不同的。

开普勒第二定律开普勒第二定律又叫面积定律，其内容为：连接太阳和行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积，如图。

此定律说明行星离太阳越近，其运行速率越大。

开普勒第三定律开普勒第三定律即为周期定律，其内容为：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常数。

即，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星运动的公转周期，k是一个与行星无关的常量。

对的认识：在图中，半长轴是AB间距的一半，不要认为a等于太阳到A 点的距离；T是公转周期，不要误认为是自转周期，如地球的公转周期是一年，不是一天。

说明（1）在以后的计算问题中，我们都把行星的轨道近似为圆，把卫星的运行轨道也近似为圆，这样就使问题变得简单，计算结果与实际情况也相差不大。

（2）在上述情况下，的表达式中，a就是圆的半径R，利用的结论解决某些问题很方便。

注意①比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同。

②在太阳系中，不同行星的半长轴都不相同，故其公转周期也不相等。

③卫星绕地球转动、地球绕太阳转动遵循相同的运动规律。

易错点在认识行星做椭圆运动时的向心力大小及速度大小时易错，行星的运动符合能量守恒定律，它们离太阳近时半径小，速度大，向心力也大；离太阳远时半径大，速度小，向心力也小，另一个易错点是找椭圆的半长轴时易错，许多同学在初学时，往往将2倍的半长轴代入题中进行运算。

忽略点本节中的行星运动的轨道为椭圆，是曲线运动，行星在轨道上任一点的速度方向沿该点的切线方向，速度方向易忽略，如：有部分同学认为行星的速度方向垂直于行星与太阳的连线，这种认识是错误的，是将行星的运动视为圆周运动，而实质上其轨道为椭圆。

02卡文迪许扭称实验卡文迪许设计了扭称实验来测量万有引力常量，下图是扭称实验的原理图。

分析力学拉格朗日方程

分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。

拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。

拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。

拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。

根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。

在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。

根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。

通过变分运算可以得到拉格朗日方程。

拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。

它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。

拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。

拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。

例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。

在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。

在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。

总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。

它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。

开普勒第三定律

开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与万有引力均遵循“平方反比”规律，通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆运动也遵循开普勒第三定律。
先构造一个匀速圆周运动的模Fra bibliotek，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算圆周运动周期，再将粒子由静止开始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭圆运动，用开普勒第三定律计算粒子运动时间。
开普勒第三定律为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。
定律定义
开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。
常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（ a³）跟它的公转周期的二次方（T²）的比值都相等，即，（其中M为中心天体质量，k为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量，G为引力常量，其 2 0 0 6 年国际推荐数值为 G = 6 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ N · m ²/ k g ²）不确定度为 0 . × 1 0 ⁻ ¹ ¹ m ³k g ⁻ ¹ s ⁻ ² 。
用开普勒第三定律解决二体问题时，可将两个质点在相互作用下的运动，可约化为一个质点相对另一个质点的相对运动，质点的质量需改用约化质量，即，其中，为两质点的质量。
开普勒第三定律也可以表示为：
引入天体质量后可表示为：
其中，为两个相应的行星质量，，为两个相应行星围绕同一恒星运动的周期，，为两个行星围绕同一恒星运动的平均轨道半径。通过拓展形式，可以根据绕同一行星的两星体轨道半径估测星体质量，或根据星体质量估测运行轨道。
由运动总能量，得，则运动周期为即其中，，，和是方程的根，它们是椭圆运动的两个转折点，a为轨道半径，G为引力常量，M为中心天体的质量。

从近地点到远地点运动过程中动能、势能和机械能的变化

从近地点到远地点运动过程中动能、势能和机械能的变化1.引言1.1 概述概述近地点到远地点的运动过程中，动能、势能和机械能都会发生变化。

本文将重点讨论这些能量的变化过程，并对近地点和远地点运动过程中能量变化进行比较与分析。

在天体力学中，近地点和远地点是指物体在椭圆轨道上离中心点最近和最远的两个位置。

物体在这两个位置之间运动时，会经历动能、势能和机械能的转变。

动能是物体运动时所具有的能量，它与物体的质量和速度有关。

在近地点运动过程中，由于物体离中心点较近，其速度较快，因此动能较大。

而在远地点运动过程中，物体离中心点较远，速度较慢，因此动能较小。

由此可见，近地点和远地点之间，动能发生了明显的变化。

势能是物体由于位置而具有的能量，它与物体的质量、位置和引力场强度有关。

在近地点运动过程中，物体离中心点较近，引力场强度较大，因此势能较小。

而在远地点运动过程中，物体离中心点较远，引力场强度较小，势能较大。

因此，近地点和远地点之间，势能也发生了明显的变化。

机械能是动能和势能的总和，是物体的总能量。

在近地点运动过程中，由于动能较大、势能较小，机械能较大。

而在远地点运动过程中，由于动能较小、势能较大，机械能较小。

因此，近地点和远地点之间，机械能也发生了明显的变化。

通过比较近地点和远地点运动过程中能量的变化，我们可以得出结论：近地点运动过程中的动能和机械能较大，势能较小；而远地点运动过程中的动能和机械能较小，势能较大。

这与近地点和远地点的位置关系和引力场强度有关。

了解近地点和远地点运动过程中能量的变化，对我们深入理解天体运动、预测天体轨道以及开展相关应用具有重要意义。

通过研究天体的动能、势能和机械能变化，在航天领域中可以更好地探测、控制和利用天体运动，为航天器设计和太空任务规划提供理论依据和实际操作指导。

综上所述，本文将深入探讨近地点到远地点运动过程中动能、势能和机械能的变化，通过比较和分析不同能量之间的关系，旨在加深我们对天体运动过程的理解和运用。

万有引力与行星运动规律的总结

万有引力与行星运动规律的总结万有引力是牛顿于17世纪提出的重要物理理论，它描述了质点之间的相互作用力。

在天体力学中，万有引力是解释行星运动轨迹以及太阳系中天体相互作用的核心原理。

本文将对万有引力与行星运动规律进行总结，并探讨它们在天文学中的重要性。

1. 简介万有引力是指任何两个质点之间都存在相互吸引的力，这种吸引力与它们的质量成正比，与它们的距离成反比。

万有引力公式由牛顿提出，即F=G*(m1*m2)/(r^2)，其中F为引力，m1和m2为两个质点的质量，r为它们之间的距离，G为万有引力常数。

2. 行星运动规律根据万有引力的作用，行星绕太阳的运动规律可以总结为以下几个方面：2.1 开普勒第一定律：行星轨道是椭圆形开普勒第一定律也被称为椭圆轨道定律。

根据此定律，行星绕太阳的轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

椭圆轨道的形状可以由离心率来描述，离心率为0时，轨道为圆形；离心率大于0时，则为椭圆形。

2.2 开普勒第二定律：面积速度相等开普勒第二定律也被称为面积速度定律或等面积定律。

根据此定律，行星在单位时间内扫过的椭圆轨道面积是相等的。

这意味着行星在靠近太阳的位置运动较快，在远离太阳的位置运动较慢。

2.3 开普勒第三定律：调整周期与轨道半长轴的关系开普勒第三定律也被称为调整周期定律或调整轨道定律。

根据此定律，在太阳系中，行星轨道的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

这表明行星离太阳越远，其公转周期越长。

3. 万有引力与天文学的重要性万有引力的发现与应用对天文学研究有着重要的影响：3.1 解释行星运动规律万有引力理论成功地解释了行星在太阳系中的运动规律，如行星轨道的形状、运动速度以及公转周期等。

这有助于人们理解天体之间的相互作用，揭示宇宙运行的法则。

3.2 预测行星位置和轨道基于万有引力理论，天文学家能够预测行星的位置和轨道。

这对于天文观测的准确性和天体定位有重要影响，同时也为人类航天探测任务的设计提供了重要参考。

第六章-1行星的运动

简化模型后的开普勒三定律：
1、多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心；
2、对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度大小）不变，即行星做匀速圆周运动；
3、所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
小结
1、开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星绕太阳的运动的轨道都是椭圆，太阳
“最酷最炫”的太空图片１０
• 十、经历暴风雨的木星看这幅由木星探测器发回地球的照片：木星上正经历暴风雨。在图片中，暴风雨地点被标以较醒目的颜色；插入的黑白小图则表明木星上还有闪电。
地心说是长期盛行于古代欧洲的宇宙学说。它最初由古希腊学者欧多克斯在公元前三世纪提出，后来经托勒密（90-168）进一步发展而逐渐建立和完善起来。
托勒密
地心说
地球是宇宙的中心,并且静止不动,一切行星围绕地球做圆周运动
2、日心说(Solarcentric Universe)
随着天文观测不断进步，“地心说”暴露出许多问题。逐渐被波兰天文学家哥白尼(1473-1543)提出的“日心说”所取代。
“最酷最炫”的太空图片５
• 五、饱经风霜的“爱神”小行星既然被取名为“Eros” ，“爱神”小行星在人们的心中是一个漂亮、干净的形象。但登陆“爱神”的 Shoemaker号探测器发回的照片却告诉我们，情况并非如此。照片显示，行星表面布满了坑洞——这些坑洞是由火山爆发以及小行星相撞形成。
“最酷最炫”的太空图片
3
• 三、绚烂、神秘的极光由于太阳活动频繁，美国北部几个州的居民难得地见到了平常只出现在南北极的美丽极光。极光绚烂、神秘，那些希望远离人类喧嚣的天文迷恨不得乘极光离开地球。

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行星运动的能量分析本文以行星绕太阳为例，求解轨道能量，验证位力定理，并给出开普勒积分的计算方法。

我们知道：各大行星都是绕太阳做椭圆运动的。

对任一行星（例如地球而言），它所受到的力主要是太阳对它的引力作用。

在有心力的作用下，质点始终在一固定平面内运动。

设行星质量为m，公转周期为τ，在计算时认为太阳是固定不动的。

行星绕太阳运动，只受到太阳对其的万有引力，故满足机械能守恒。

以无穷远点处作为势能零点，设行星与太阳构成的系统机械能为E，行星动能为T，行星与太阳间的引力势能为V，则有E=T+V。

将各个物理量具体化，则有T=12mv2，V=−k2mr。

式中，v表示行星的运动速度，k2是一个与行星无关而只和太阳有关的量，叫做太阳的高斯常数，r为行星和太阳之间的距离。

图一行星绕太阳运动示意图设日心（如图一所示）位于椭圆的右焦点上，行星运动的轨迹方程为x2 a2+y2b2=1(a>b)这是一个椭圆的标准方程，其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

根据牛顿第二定律，有k 2m (a −c )2=mv 2b 2a⁄动能的表达式为T =k 2m(a +c)2a(a −c)势能为V =−k 2ma −c得到机械能的表达式E =T +V =−k 2m2a可以发现，行星运动的轨道能量只与其质量和轨迹的半长轴有关。

我们可以类比到双曲线轨道和抛物线轨道，同样可以求出其轨道能量。

对于双曲线轨道，其轨道能量为k 2m2a ，而抛物线轨道能量为0。

在《理论力学》课上，对于不同的轨道，课本上只给出了定性的表述。

在本文中，对轨道能量进行了量化。

接下来从轨道能量出发来验证位力定理。

位力定理的表达式为<T >=−12<∑F i ·r i ni=1>本文中以“<>”来表示一个物理量的平均值。

根据E =T +V ，可得E =<T >+<V >=−k 2m 2a，所以<T >=E−<V >=E +k 2m τ∫1rτ0dt于是问题转化为求解积分∫1r τ0dt ，令I =∫1rτ0dt 。

以日心为极点，x 轴正向为极轴，可以写出椭圆的极坐标方程r =ep1+e cos θ式中，p 表示椭圆的焦准距，e (0<e <1)为椭圆的离心率。

行星作有心运动，满足角动量守恒定律，得到r 2θ=ℎ(h 为常数)。

于是可以得到，dt r 2=dθℎ将式(11)与式(12)带入积分表达式中，可以得到(4)(5)(6) (7)(8) (9)(10)(11)(12)I =∫1rτ0dt =ep ℎ∫dθ1+e cos θ2π0可以发现关于I 的计算引入了积分式∫dθ1+e cos θ2π。

对于此类广义积分，可利用留数定理求解。

令z =e iθ，dz =ie iθdθ=izdθ，利用欧拉公式可以得到∫dθ1+e cos θ2π=2ei ∮dzz 2+2ez +1|z |=1令函数f (z )=1z 2+2ez+1，求函数f (z )的奇点及其留数，令其分母为零，得z 1=−1e +1e √1−e 2,z 2=−1e −1e√1−e 2这就是函数f (z )的两个单极点。

单极点z 1的模|z 1|=1−√1−e 2e =1−√(1+e)(1−e)e <1−(1−e)e=1所以极点z 1在单位圆内。

而单极点z 2的模|z 2|=1+√1−e 2e>1所以z 2在单位圆外。

计算在极点z 1处的留数Resf (z )=lim z→z 1[(z −z 1)f (z )]=2√1−e 2所以积分值I =ep ℎ2ei 2√1−e 2=ℎ√1−e 2根据开普勒第二定律，2A =r 2θ=ℎ上式中A 表示矢径扫过的面积（如图2所示），所以有2πab =ℎτℎ=2πabτ(14)(15)(16)图2 开普勒第二定律将e =ca ,p =b 2a,ℎ=2πab τ带入(15)式中，可以得到I =2πepℎ√1−e 2=τa于是，动能的平均值为<T >=−k 2m 2a +k 2m ττa =k 2m2a然后计算−12<∑F i ·r i ni=1>=−12<−k 2m r 2r >=k 2m 2τ∫1r τ0dt =k 2m 2τI =k 2m2a于是验证了<T >=−12<∑F i ·r i ni=1>从以上的推导中，我们还可以得出<T >=k 2m2a<V >=−k 2ma<V >=−2<T >12π∫dθ1+e cos θ2π0=1√1−e 20<e <1 在附录中展示如何用牛顿-莱布尼兹公式求解(21)式。

(21)式所示积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以导出开普勒积分I 1=12π∫dθ(1+e cos θ)22π0=1230<e <1用e a ⁄代替e(a >e)，得12π∫dθa +e cos θ2π0=1√a 2−e 2(23)式两边对a 求导，得12π∫(−1)dθ(a +e cos θ)22π0=1223令a =1，得12π∫dθ(1+e cos θ)22π0=123另外，本文对课本中圆锥曲线的极坐标方程做了一个修正。

课本中，圆锥曲线的极坐标方程为(18)(17)(19)(20) (21)(22) (23) (25) (24)r=p1+e cosθ与本文中的圆锥曲线方程相差一个常数因子e。

实际上，我们通常以p表示圆锥曲线的焦准距，而课本中的p表示的是圆锥曲线正焦弦长度的一半。

对抛物线而言二者相等，但对椭圆和双曲线并不成立。

所以，作此修正，更符合人们的习惯，也使得方程中参数的意义更加明确。

本文中运用了比较多的数学推导，对课本中定性的描述进行了定量的推导，并给出了具体的结论公式。

最后，谈一谈我对《理论力学》课的感受。

从《力学》到《理论力学》，主要是在数学层面上进行了提高，但大多数数学的应用也都还是在《高等数学》和《线性代数》的范畴内，求解的方程也是常系数的线性方程。

内容虽多，却也不算很困难。

真正体现《理论力学》精髓的，还是在分析力学这一章节。

虚功原理，达朗贝尔原理，拉格朗日方程等在理论分析和工程计算中都有很多的应用。

对于分析系统，构建力学模型，具有指导意义。

附录利用牛顿-莱布尼兹公式求解式(21)中的积分1 2π∫dθ1+e cosθ2π=√1−e20<e<1先求不定积分∫dθ1+e cosθ。

令u=tanθ2,则θ=2tan−1u,dθ=21+u2du，所以∫dθ1+e cosθ=∫cos2θ2+sin2θ2cos2θ2+sin2θ2+e(cos2θ2−sin2θ2)dθ=∫1+tan2θ21+tan2θ2+e(1−tan2θ2)dθ∫dθ1+e cosθ=21−e∫du1+e1−e+u2=2√1−e2−1(√1−e1+eu)+C当θ:0→2π时;u:(0→+∞)&(−∞→0)所以原积分式转化为广义积分，即∫dθ1+e cosθ2π0=2√1−e2−1(√1−e1+eu)|0+∞2√1−e2−1(√1−e1+eu)|−∞0=2π√1−e2所以1 2π∫dθ1+e cosθ2π=1√1−e20<e<1于是(21)式中的积分得到解决。