微积分(二)_9 第二类曲面积分与高斯公式_
二型曲面积分三合一公式
二型曲面积分三合一公式曲面积分是数学中的重要概念，在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
在曲面积分的计算中，二型曲面积分三合一公式是一种常用的方法。
该公式结合了高斯定理、斯托克斯定理和格林公式，可以用于简化曲面积分的计算过程。
首先，我们来看一下高斯定理。
高斯定理将曲面积分与体积积分联系起来。
它表达了曲面积分与该曲面所包围的空间区域内的体积积分之间的关系。
根据高斯定理，我们可以将曲面积分转化为体积积分来计算。
接下来是斯托克斯定理。
斯托克斯定理描述了曲线积分与曲面积分之间的关系。
它指出，在一个封闭曲面上进行的曲面积分等于该曲面上的边界曲线上进行的曲线积分。
斯托克斯定理为我们提供了一种将曲面积分转化为曲线积分进行计算的方法。
最后是格林公式。
格林公式描述了平面曲线积分与曲线环绕的面积之间的关系。
根据格林公式，我们可以将平面曲线积分转化为面积积分进行计算。
综上所述，二型曲面积分三合一公式将高斯定理、斯托克斯定理和格林公式相结合，可以在曲面积分计算中进行灵活的转化。
通过利用这个公式，我们可以简化曲面积分的计算过程，并提高计算的效率。
这对于曲面积分在物理学和工程学等领域的应用具有重要意义。
需要注意的是，在使用二型曲面积分三合一公式时，我们需要根据具体问题的要求选择合适的定理进行转化。
同时，我们还需要熟练掌握高斯定理、斯托克斯定理和格林公式的条件和推导过程，以确保计算的准确性。
总之，二型曲面积分三合一公式是一种在曲面积分计算中常用的方法，它将高斯定理、斯托克斯定理和格林公式相结合。
通过灵活运用这个公式，我们可以简化曲面积分的计算过程，并提高计算的效率。
这对于曲面积分在物理学和工程学等领域的应用具有重要意义。
第二类曲面积分的计算方法,DOC
第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2预备知识2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ.若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量cos cos cos n i j k αβ=++则若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1)分割将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积. (2)近似(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值： (3)求和 (4)取极限2.1.2定义.S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z.S xy i i i S xoy S z ∆在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,.S xy i i xoy S ∆他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)i i i ξηζ.若lim1T ni P →=∑,(,)i iiξηζyziS ∆0lim1T ni Q →=+∑,(,)i iiξηζzxi S∆0lim1T ni R →=+∑,(,)i iiξηζxyiS ∆存在，或者(,,)(,,)(,,)SSSP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.S 据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为2．2第二型曲面积分的性质性质1(方向性)设向量值函数v 在定向的光滑曲面S 上的第二型曲面积分存在.记S -为与S 取相反侧的曲面，则v 在S -上的第二型曲面积分也存在，且成立SSv ndS v ndS -⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰.注意这个等式两边的n 是方向相反的.性质2（线性性）若ii i SPdydz Q dzdx R dxdy ++⎰⎰(1,2,k i =…，)存在，则有111()()()k k k i ii ii ii i i Sc P dydz c Q dzdx c R dxdy ===++∑∑∑⎰⎰=1kiiiii Sc Pdydz Q dzdx R dxdy =++∑⎰⎰，其中i c i 12k =⋯（，，，）是常数. 性质3(曲面可加性)若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块12,,S k S S …，所组成，且 存在，则有2.3第二型曲面积分的数量表达式记{cos ,cos ,cos }{,,}dS n dS dS dS dS dydz dzdx dxdy αβγ=⋅==，称dS 为曲面 从而SSA ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰.即(,,)S SA x y z ndS Pdydz Qdzdx Rdxdy ⋅=++⎰⎰⎰⎰，dydz 是dS 在yoz 面上的投影；dzdx 是dS 在zox 面上的投影；dxdy 在dS 在xoy 面上的投影.他们的取值可正、可负、也可为零.如当cos 0α<时，dxdy 取符号. 特殊形式：(,,)SP x y z dydz ⎰⎰称为P 对坐标,y z 的曲面积分；(,,)SQ x y z dzdx ⎰⎰称为Q 对坐标,z x 的曲面积分；(,,)SR x y z dxdy ⎰⎰称为R 对坐标,x y 的曲面积分.2.4介绍两类曲面积分之间的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S 为光滑曲面，并以上侧为正侧，R 为S 上的连续函数，曲面积分在S 的正侧进行.因而有1lim(,,)(,,)xyniiii T i SR x y z dxdy R Sξηζ→==∆∑⎰⎰(1)由曲面面积公式1cos i xyi S S dxdy γ∆=⎰⎰，其中γ是曲面i S 的法线方向与z 轴正向的交角，它是定义在xyi S 上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以γ是锐角.又由S 是光滑的，所以cos γ在闭区域xyi S 上连续.应用中值定理，在xyi S 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角i γ*满足等式1cos xy i i iS S γ*∆=∆或cos xy i i i S S γ*∆=⋅∆.于是(,,)(,,)cos xyi i i i i i i i i R S R S ξηζξηζγ*∆=∆.n 个部分相加后得11(,,)(,,)cos xynniiii i i i i i i i R SR S ξηζξηζγ*==∆=∆∑∑(2)现在以cos i γ表示曲面i S 在点(,,)i i i x y z 的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，则由cos γ的连续性，可推得当0T →时，(2)式右端极限存在.因此由(1)式得到(,,)(,,)cos SSQ x y z dzdx Q x y z dS β=⎰⎰⎰⎰(3)这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角γ改为γπ±.因而cos γ也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号. 同理可证：(,,)(,,)cos SSQ x y z dzdx Q x y z dSβ=⎰⎰⎰⎰(4)其中,αβ分别是S 上的法线方向与x 轴正向和与y 轴正向的夹角.一般地有[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]SP x y z Q x y z R x y z dSαβγ=++⎰⎰（5）3介绍第二型曲面积分的多种计算方法在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。
微积分-高斯公式
cos
d
S
R u v z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
分析:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
练习1、设f二次可微，求
f ( r ), ( f ( r ) r ), ( f ( r ) r )
其中 r { x, y }, r r x2 y2 .
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的有向闭曲
面 所围成, 的方向取外侧,向量场F { P,Q,R }
divv 0
故它是无源场.
*例5.置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为
E
q r3
r
q r3
(x,
y,
z)
(r 0)
求 div E .
解:
div E
q
x
x r3
y
y r3
z
z r3
q
13
12
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
u
2v x2
2v y2
第二类曲面积分的计算方法
第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧•由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点，许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用2预备知识2. 1第二型曲面积分的概念2.1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1 )的速度为v v v vv(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x,y,z)j R(x, y,z)k,刀是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面刀一侧流向另一侧的流量若为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，指定侧的单位法向量v v v vn cos i cos j cosk则v v vS v cos S v n.若为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量(1) 分割将任意分成小块S i(i 1,2…,n), S同时代表其面积•M i( i, i, i) S 以点M j处的流速v i v(M i)和单位法向量^分别代替(2) 近似S i 上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过S i指定侧的流量的近似值：v vS i v i n i (i 1,2,…,n).(3) 求和n v vV i n i S ii 1(4) 取极限n v v设T| i吧｛ S的直径｝,则=常。
二型曲面积分高斯公式斯托克斯公式
( 分别取 y 1 x 与 x 1 y )
3 4 x ) dx ( 3 4 y ) dy (
1 0
0
1
2 (34x)dx2
0
1
二. 第二型曲面积分
F (x ,y ,z) d S
[ F ( x ,y , z ) e ( x ,y , z )] d S n
P Q 6 ( x y ) 解： ( x y 0 ) 4 y x ( x y )
曲线积分在半平面 x y 0 内与路径无 .
A 到点 B . 设 L : x y 1 , 从点 1
原式 3 y x ) dx ( 3 x y ) dy (
2 2
例2 求常数 a 与 b 的值 ,使
[( xy 1 ) e ae] dx [ be (xy 1 ) e] dy
x y x y
为全微分 ,并求全微分的原函数 .
P x y 解： e ae y
Q x y be e x
P Q 由 ,得 a 1 ,b 1 y x
第十二节 第二类面积分 高斯公式 斯托克斯公式
一、平面曲线积分与路径无关的条件
(1) 设G是单连通域, F C (G ), ( x , y ) ( P ( x , y ), Q ( x , y ))
则以下四个命题等价:
C
( 1 ) 分段光滑闭曲线 C G , P d x Q d y 0 ;
( ,0 ) 2
( 0 , 0 )
( 1 2 xy y2) dx (xy )2dy
( 2,1 )
( 1 2 xy y2) dx (xy )2dy
曲面积分(第九讲)
1 0 0
闭曲面外侧． 解：对第一个积分可以用高斯公式，即
is
1 ， 4
2
2 2
Ò òò
S
xy z 2 dxdy + x y 2 zdydz ，其中 S 为由曲面 z = x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围成的
x 2 + y 2 £1 x ³ 0, y ³ 0
对于第二个积分不能用高斯公式，因为 x y z = P 在 x = 0 处偏导数不存在，只能投影，将 曲面 S 分成两块， S1 z = 1, x + y £ 1 上侧， S 2：z = x + y , 0 £ z £ 1 下侧， 因为 z = 1 垂直于 yoz 平面，所以 对于积分
第二类曲面积分计算、高斯公式
p 1 a4 = - [2p a 4 + 4p òp cos j sin j dj ] + ap a 2 a 4 2
p 3 p a + p a3 = - a3 ． 2 2 方法 2：投影法：曲面 S 投影到 yoz 平面上应分成前后两块，即
= -2p a 3 +
S前：x = a 2 - x 2 - y 2 ü ï ý 2 2 2 S后：x = - a - x - y ï þ
=
，
cos g =
2z 4x + 4 y + 4z
2 2 2
=
z x + y2 + z2
2
所以
例 4． 计算
I1 = òò xy z 2 dxdy = òòò xy
S W
= 2 òòò xy zdv = 8òòò xyzdv
W W1
nR
1 x +y
第二型曲面积分、Gauss公式、Stokes公式与空间向量场 (2)
]
= ∫∫ [( z n − y n ) cos α + ( x n − z n ) cos β + ( y n − x n ) cos γ ]dS
S + S1
n n n n n n − ∫∫ [( z − y ) cos α + ( x − z ) cos β + ( y − x ) cos γ ]dS S1
+y +R x
2 2
2
dxdy − ∫∫ x
R
2
2 2
D1 x
+y +R −x
பைடு நூலகம்2 D2
2
dxdy x
2
D2
2 2 R −x R +z
dxdz − ∫∫ dxdz dx
2 2 R −x R +z
dxdz
= 2 ∫∫
x2 +z ) R −x dz R2 + z
2 ∫− R R 2 2 2
D2 ( R 2
根据曲面 S 关于坐标面的对称性，得
１
第二型曲面积分、Ｇａｕｓｓ公式、Ｓｔｏｋｅｓ公式与空间向量场 作者：扈志明 第 ２ 页 共 １３ 页
I = ∫∫ [( z n − y n )
S
x y +( x n − z n ) ]dS = 0 ， R R
同样的理由，得
n n ∫∫ y zdS = ∫∫ x zdS ， S S
2 2 2
a 2 − x 2 − y 2 ，所以 a dxdy 。 a 2 − x2 − y 2
记 D = {( x, y) x + y ≤ a , x ≥ 0, y ≥ 0} ，则
大学数学微积分第九、十章 多元函数积分学曲面积分 知识点总结
第九、十章 多元函数积分学§9.4 曲面积分一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）基本计算公式：设曲面S 的方程 ()(),,,z z x y x y D =∈，(),z x y 在D 上有连续偏导数，(),,f x y z 在S 上连续，则()(),,,,,SDf x y z ds f x y z x y =⎡⎣⎰⎰⎰⎰这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算 二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）基本计算公式：如果曲面S 的方程 ()(),,,xy z z x y x y D =∈()xy ,Z x y D 在上连续，(),,R x y z 在S 上连续，则()(),,,,,xySD R x y z dxdy R x y z x y dxdy =±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 若曲面S 指定一侧的法向量与Z 轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积分化为xy 平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
三、两类曲面积分之间的关系：[]cos cos cos SSpdydz Qdzdx Rdxdy p Q R dS αβγ++=++⎰⎰⎰⎰其中()cos ,cos ,cos ,,S x y z αβγ为曲面在点处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦{}{}00,,,cos ,cos ,cos SSF P Q R n Pdydz Qdzdx Rdxdy F n ds αβγ==++=⎰⎰⎰⎰令四、高斯公式定理 设Ω是由分块光滑曲面S 围成的单连通有界闭区域，()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在Ω上有连续的一阶偏导数，则S P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰[]cos cos cos SP Q R dS αβγ=++⎰⎰其中cos ,cos ,cos αβγ为S 在点(),,x y z 处的法向量的方向余弦 五、斯托克斯公式定理：设L 是逐段光滑有向闭曲线，S 是以L 为边界的分块光滑有向曲面，L 的正向与S 的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 在包含S 的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有L Sdydz dzdx dxdyPdx Qdy Rdz x y z P Q R∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰S R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 也可用第一类曲面积分cos cos cos L SPdx Qdy Rdz dS x y z P QRαβγ∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰ 六、梯度、散度和旋度(外侧)1、梯度 设(),,,,,u u u u u x y z gradu x y z ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭则称为u 的梯度 ，令,,x y z ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭是算子则 gradu u =∇2、散度设()()()(),,,,,,,,F P x y z Q x y z R x y z =则P Q R divF F x y z∂∂∂=++=∇⋅∂∂∂ 称为F 的散度高斯公式可写成0SdivFdv F n dS Ω=⎰⎰⎰⎰⎰（外侧） 其中()0cos ,cos ,cos n αβγ=为外侧单位法向量 3、旋度()()()(),,,,,,,,,ij k F P x y z Q x y z R x y z rotF F x y z PQR∂∂∂==∇⨯=∂∂∂设 R Q P R Q P i j k y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，称为F 的旋度。
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zdxdy
例1. 用Gauss 公式计算
其中 S 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
z
解: 这里 X ( y z) x, Y 0, Z x y
3
利用Gauss 公式, 得
原式 = ( y z) d x d y d z (用柱坐标)
o
(r sin z)r dr d d z
S
Dxy
Z (x, y, z)dxdy Z (x, y, z( x, y))dxdy
S
Dxy
•若
则有
Y (x, y, z) d z d x Y (x, y(z, x) , z) d z d x
S
Dz x
•若
则有
X (x, y, z) d y d z
X ( x( y, z) ,y, z) d y d z
(S )zx
( )zx ,
( ) zx ,
0,
cos 0 cos 0 cos 0
第二类曲面积分的计算
三、第二类曲面积分的计算
思想：化为相应的二重积分进行计算
(1) 确定曲面在相应坐标面上的投影区域； (2) 确定投影区域的正负 (3) 用曲面方程化简被积函数
Z (x, y, z)dxdy Z (x, y, z( x, y))dxdy
S
Dy z
例1. 计算 zdxdy xdydz ydzdx, S 为柱面 x2 y2 1 S
被平面 z 0 和 z 3 所截得的在第一卦限部分的曲面，
取曲面的外侧。
z
解 由于曲面垂直于 xOy 面
Dyz
故 S 在xOy 面的投影为0, 因此
zdxdy 0
1
y
S
S 在yOz 面的投影区域为矩形
x1
y
2
0
d
1
0 rd
3
r 0 (r
sin
z)
dz
9
2
思考: 若 S 改为内侧, 结果有何变化? 若 S 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
例2. 利用Gauss 公式计算积分
其中 为锥面 x2 y2 z 2 介于 z = 0 及 z = h (h 0) 之间部分的下侧.
解: 作辅助面 S1 : z h, x2 y2 h2 , 取上侧
V 上有连续的一阶偏导数 , 则有
X Y Z
V
x
y
z
d xd
yd z
X d y d z Y d z d x Z d x d y (Gauss 公式) S
( X cos Y cos Z cos ) d S S
说明： 建立了曲面积分与三重积分之间的关系.
X
V
x
Y y
Z z
x
o Dx y 1 1
y
1 : z 1 x2 y 2
2 : z 1 x2 y2
( x,
y)
Dx y
:
x x
2
0
y2 ,y
1 0
xyz d xd y
x yzdxd y x yzdxd y
1
2
xy ( 1 x2 y 2 ) d x d y
d y
为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
（3）若 的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。
（4）若 为封闭曲面: 规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧），
朝内的一侧称为内侧（负侧）。
正、负侧分别记为 ，。
• 设 S 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S ) x y ,
的面积为
则规定
( ) x y , cos 0
(S ) x y ( ) x y , cos 0
0,
cos 0
类似可规定
(S ) yz
( ) yz , ( ) yz ,
0,
cos 0 cos 0 cos 0
Dx y
2
xy 1 x2 y2 d xd y
Dx y
2
r 2 sin cos 1 r 2 rd rd
Dx y
2 sin 2 d
1r3
1 r2 d r
0
0
2 15
z 2
x
o Dx y 1 1
y
高斯公式
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 V 由分片光滑的闭曲
面S 所围成, S 的方向取外侧, 函数 X, Y, Z 在
x1
Dyz {( y, z) | 0 y 1, 0 z 3}
S 的方程为 x 1 y2 , 其外侧为 前侧，得
xdydz xdydz 1 y2 dydz
S
S
Dyz
1
1 y2 dy
3
dz
0
0
z
Dzx Dyz
1
3
1 y2 dy
0
3 3
44
1
y
x1
对换 x 和 y，曲面 S 保持不变，由轮换对称性，知
S
ydzdx
S
xdzdy
3
4
得
S
zdxdy
xdydz
ydzdx
0
3 4
3 4
3
2
例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中 为球面 x2
y2 z 2 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z 2
根据对称性 xyz d x d y 0
解: 把 分为上下两部分
有向曲面及曲面元素的投影
一、有向曲面及曲面元素的投影
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双
n
侧
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
定义：
设 为一光滑曲面，M 为 上任意一点， 在 M 处的法向量有两个指向，取定一个指 向，记为 n，若动点从 M 点出发，在 上不 越过边界移动，最后回到 M 点时，n 的方向 没有改变，则称 为双侧曲面。否则称为单 侧曲面。
用曲面法向量的指向规定曲面的侧， 规定了侧的曲面称为有向曲面。
曲面侧的具体规定如下：
（1）若 的方程为 z z( x, y)： 规定：法向量与 z 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的上侧（正侧），另一侧称为下侧（负侧）。
（2）若 的方程为 x x( y, z)： 规定：法向量与 x 轴正向的夹角为锐角的一侧称
d xd
yd z
X d y d z Y d z d x Z d x d y (Gauss 公式) S
( X cos Y cos Z cos ) d S S
应用：（1）曲面积分可以转化为三重积分进行计算 (２) 利用曲面积分计算空间区域的体积
V
dV V
1 3
S
xdydz
ydxdz