运用公式法因式分解
因式分解运用公式法
第六节 因式分解（二）运用式法【细心听讲】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
【大家一起学】例1．把下列各式分解因式： （1）224b a - （2）11622-y x （3）22481916b a +-（4）2916a - （5）36122+-m m （6）2241y xy x +-（7）222y xy x -+-（8）224649b ab a ++例2．把下列多项式分解因式：（1）222224)(b a b a -+（2）502022+-x x（3）424255b m a m - （4）222231212m n m n m +-例3．分解因式（1）9)(6)(222+-+-x x x x （2）22)3()2(--+y x（3）22)2(25)1(16+--x x （4）)()(2x y b y x a -+-（5）)(12)(9422n m m n m m ++++ （6）)()(422m n b n m a -+-例4．已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++。
例5．已知7,1-==+xy y x ，利用分解因式，求代数式222y xy x +-的值。
例6．已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
例7．利用分解因式计算： （1）433.1922.122⨯-⨯ （2）2298196202202+⨯+【大家一起练】1．分解因式=-x x 2. 2．分解因式=-2225y x 。
因式分解有哪些方法
在初高中，同学们都会接触到很多因式分解的例子与试题，那有什么因式分解的方法呢，须注意什么。
以下是由编辑为大家整理的“因式分解有哪些方法”，仅供参考，欢迎大家阅读。
因式分解的方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。
用公式法进行因式分解“五技巧”
用公式法进行因式分解“五技巧”运用公式法分解因式是一种重要的方法，为帮助大家尽快掌握该方法，下面以基本习题为例，分类说明使用公式法分解因式的几点技巧.一、直接运用公式例1 分解因式：（1）()224n m m +-；（2）4)(4)(2++++y x y x . 分析：把m 2、)(n m +、()y x +作为一个整体处理，直接运用公式分解． 解：（1）原式=()[]()[]n m m n m m +-++22=()()n m n m -+3（2）原式=()22++y x 二、排序后用公式例2 分解因式：（1）2216y x +-； （2）222y x xy ---.分析：初看这二个多项式都不符合公式的特征，但只要重新排序后，就可以直接运用公式分解．解：（1）原式=2216x y -=()()x y x y 44-+（2）原式=222)()2(y x y xy x +-=++-三、指数变换后用公式例3 分解因式：（1）14-x ；（2）4241a a ++. 分析：表面上看不是平方差公式、完全平方公式的形式，但对指数变形后就可以转化为公式形式，进而应用公式直接分解．解：（1）原式=)1)(1)(1()1)(1(1)(22222-++=-+=-x x x x x x（2）原式=()222221212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+a a =2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 四、系数变换后用公式例4 分解因式：（1）224169y x -； （2）2)(9)(124y x y x -+--.分析：将系数写成平方的形式，使之符合公式的特征，为运用公式创造条件． 解：（1）原式=)213)(213()2()13(22y x y x y x -+=-；（2）原式=2222)332()](32[)](3[)(3222y x y x y x y x +-=--=-+-⨯⨯-.五、去括号后用公式例5 分解因式： 1)3)(1(+++x x .分析：显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式分解，可先把)3)(1(++x x 展开后再解题．解：原式=222)2(44134+=++=+++x x x x x .。
公式法求因式分解
公式法求因式分解
在研究一元二次方程时，关于因式分解的概念是考虑的重头戏。
因式分解是将一个多项式拆分成最简单的多项式乘积形式，也就是各个项都是单项式。
因式分解也是解决一元二次方程的重要基础，是求解多项式比较难以求解的情况下有用的一个系统化的方法。
那么，公式法求因式分解又是怎样的过程呢？
公式法求因式分解，是以一元二次方程为基础，根据定理，使用“一元二次方程的系数定义”，得出“一元二次方程的根的公式”。
一元二次方程的系数定义是a\times X^2+b\times X+c=0, 其中a, b, c为常数， X为未知数。
这里定义了a, b, c，接下来要求出该方程的根，即X的值。
左右乘以一个该方程本身的共轭乘数①，这里定义共轭乘数为D，再由共轭乘数定义得出一元二次方程的根的公式：X1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}；X2=\frac{-b-
\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。
由此，我们可以把一元二次方程分解成多项式乘积，也是因式分解的过程：(X-X1)(X-
X2)=0，那么，X=X1或X=X2。
可以看到：X-X1=0 即X1=X；X-X2=0即X2=X，因此：X^2-X1X-X2X+X1X2=0，等号后面正好是一个一元二次方程，也就是说原来的多项式可以分解成2个单项式的乘积。
因此，通过使用公式法求因式分解，可以将一元二次方程精确拆分出多项式的单项式，为求解一元二次方程的根提供了可靠的基础。
有了因式分解的这种方法，可以精确求解一元二次方程的根，从而进一步探究一元二次方程的解以及其对开变换的运用。
由此可见，公式法求因式分解在研究一元二次方程时发挥着十分重要的作用。
公式法进行因式分解
公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。
它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。
公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。
下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。
一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。
该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。
例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。
常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。
因式分解的9种方法
1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。
2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1•a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a 1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。
《运用公式法分解因式》
《运用公式法分解因式》分解因式是一个求解多项式的过程，通过将多项式化简为乘积的形式，可以更加方便地进行计算和研究。
运用公式法分解因式是其中一种常用的方法，适用于特定类型的多项式。
公式法是基于代数公式进行因式分解的一种方法。
在这种方法中，我们使用一些常见的代数公式来分解因式。
下面将介绍几种常用的公式以及它们的运用方式。
1.平方差公式：平方差公式是指两个平方数之差的公式。
具体表达式为：a²-b²=(a+b)(a-b)。
这个公式可以用来分解差的平方的因式。
例如，要将多项式x²-4分解因式，可以运用平方差公式：x²-4=(x+2)(x-2)。
2.完全平方公式：完全平方公式是指一个二次多项式的平方是由一或两个二次项的和组成的。
具体表达式为：a² + 2ab + b² = (a + b)²。
这个公式常常用来分解完全平方的因式。
例如，要将多项式x² + 4x + 4分解因式，可以运用完全平方公式：x²+4x+4=(x+2)²。
3.因式分解公式：因式分解公式是将多项式分解为一系列二次因式的公式。
具体表达式为：ax² + bx + c = (px + q)(rx + s)。
其中，p、q、r、s是常数，通过将多项式的系数与这些常数进行匹配，就可以分解因式。
例如，要将多项式2x² + 7x + 3分解因式，可以运用因式分解公式：2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)。
除了上述的公式，还有一些其他的公式也可用于因式分解，例如差的立方公式、和的立方公式、四项同乘公式等等。
运用这些公式，我们可以将复杂的多项式分解为简单的因式，从而更加方便地进行计算和分析。
除了公式法，还有其他的方法可以用于分解因式，例如公因式提取法、因式分解法等等。
不同的方法适用于不同类型的多项式，我们需要根据具体的问题选择最合适的方法。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运用公式法因式分解
一、教学目标
1. 认知目标：分解因式的意义.
2. 能力目标：掌握公式法分解因式的步骤，灵活运用公式法分解因式.
二、教学重难点
1. 重点：观察各项多项式是否含有公因式.
2. 难点：提取公因式要提“全”提“净”;合理选用公式进行因式分解.
三、教学过程
（一）温故
1. 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.
2. 乘法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方式：(a-b)2＝a2-2ab＋b2
(a+b)2＝a2+2ab＋b2
3. 练一练
（二）知新
例1. 把下列各式分解因式：
(1) (a+b)2 -1 (2) x4-1
(1) (a+b)2 -1
解析：应先观察多因式的特征，后利用公式法分解.
解： (a+b)2 -1=(a+b)2 -12=(a+b+1)(a+b-1)
(2) x4-1
解析：发现两项均可写成平方的形式，并且两项符号相反，故可用平方差公式分解，且注意一定要分解彻底.
x4-1= x4-12=(x2+1)(x2-1)= (x2+1)(x+1)(x-1)
小练手1:
(1) (x-3y)2-4x2
(2) 9(a+2b)2-4(a-b)2
例 2. x3-xy2
分析：观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，根据其特点，首先采取提公因式法，之后利用公式法分解。
x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)
小小总结：
分解因式步骤：提取公因式法---公式法---直到各个因式能化简到不能化简为止.
小练手2
(x-3y)2-4x2 9(a+2b)2-4(a-b)2
例 3.把下列各式分解因式：
(1) m2-12m+36 (2) –a2+2ab-b2
(1) m2-12m+36
解析：直接利用完全平方差公式
m 2-12m+36=(m-6)2
(2) –a 2+2ab-b 2
解析：先提取-1，之后利用完全平方差公式
–a 2+2ab-b 2=-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b)
2 小练手 3：
(1) 19 m 2+1+23
m (2)x 4+16y 2-8x 2y
例 4.2a 3b+8a 2b 2+8ab 3
解析：先提取公因式，然后再利用完全平方式。
2a 3b+8a 2b 2+8ab 3
=2ab(a 2+4ab+4b 2)=2ab(a+2b)2
小练手4：
（1）-4m 3+16m 2-16m
（2)多项式4a 2+ma+25是完全平方式，那么m 的值是（）
A 、10
B 、20
C 、-20
D 、+20
四、总结
经过一节课程的学习，我们有学习到另外一类分解因式的方法。
在以后学习过程中，我们需合理利用所学知识。
五、课后习题
（1） a 2x 2-4ax 2y+4x 2y
2 (2) (2m-n)2-169(m+n)
2 （3） -4(m+n)2+25(m-2n)2
（4） m2+(m+1)2+(m2+m)2。