用公式法进行因式分解
公式法因式分解
公式法因式分解公式法因式分解是一种有效的数学方法，它可以帮助我们快速找出复杂的表达式的因式分解结果。
它的基本原理是，通过运用因式的定义和性质，将一个复杂的表达式分解成若干个简单的因式，从而得到它的因式分解式。
因式分解是一个十分复杂的概念，它涉及到多个关键概念，如因式、因数、展开式、积式、系数、系数和系数等。
因式分解的过程可以概括为：①将一个表达式分为因式；②将这些因式各自因数分解；③用展开式、积式等简单形式重新构造出因式分解式。
公式法因式分解的基本思想是，将一个复杂的多项式以特定的形式分解成若干个因式，从而使其因式分解式更加清晰明了。
例如，将多项式2x2+7x+6分解成因式，可以先将其分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，再重新构造出它的因式分解式：2x2+7x+6=(2x+3)(x+2)，这样就得到了它的因式分解式了。
公式法因式分解的步骤如下：①根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式；②把每个因式因数分解；③用展开式、积式等形式重新构造出因式分解式。
本文将从实例出发，重点介绍公式法因式分解的实践方法。
首先，根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式。
需要特别注意的是，分解时一定要满足因式分解的特殊性质，即每个因式至少有一个非零系数。
例如：将多项式2x2+7x+6分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，即可满足因式分解的特殊性质。
其次，要把每个因式的因数分解出来，以便重新构造出因式分解式。
这一部分最重要的是，要能够分解出每一组因式的因数，具体的方法是，把因式的项的系数分别乘起来，得到它的常数项，再根据它的单项式把它分解出对应的因数，就可以得到完整的因式分解式了。
最后，要把因式按照正确的形式重新构造出因式分解式。
首先，要根据因式分解的特殊性质重新排列因式，使每个因式的非零系数在因式分解式的头部；其次，要把多项式的最高次数项保留，其他项按降幂排序；最后，要对除系数外的各项因数进行乘积运算，把它们组合成因式分解式。
《公式法》因式分解
汇报人： 2023-12-26
目录
• 公式法因式分解简介 • 公式法因式分解的基本步骤 • 公式法因式分解的常见类型 • 公式法因式分解的实例解析 • 公式法因式分解的注意事项
01
公式法因式分解简介
因式分解的定义
01
02
03
因式分解的定义
将一个多项式表示为几个 整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做分解因式。
在化简过程中，需要注意消除项和合 并同类项。
简化多项式可以使其更容易理解和计 算。
03
公式法因式分解的常见类型
二次多项式的因式分解
01
02
03
04
总结词
利用完全平方公式和平方差公 式进行因式分解
公式法
$ax^2+2abx+b^2=(ax+b) ^2$
公式法
$ax^2-b^2=(ax+b)(ax-b)$
二次多项式的实例解析
总结词
二次多项式是多项式中最简单的一类， 其因式分解方法相对固定，公式法是其 中最常用的方法之一。
VS
详细描述
对于形如ax^2+bx+c的二次多项式，我 们可以使用公式法进行因式分解。首先计 算判别式b^2-4ac的值，然后根据判别式 的值选择合适的公式进行因式分解。当判 别式大于0时，二次多项式有两个实根， 可以使用公式法分解为两个一次多项式的 乘积；当判别式等于0时，二次多项式有 一个重根，可以分解为一个一次多项式的 平方；当判别式小于0时，二次多项式没 有实根，无法使用公式法进行因式分解。
因式分解的步骤
提取公因式、公式法、十 字相乘法、分组分解法等 。
因式分解的作用
多项式的因式分解方法
多项式的因式分解方法在代数学中，多项式因式分解是将一个多项式拆分成一些乘积的形式，以便更好地理解和求解问题。
多项式因式分解是代数中重要的解题方法之一，它可以帮助我们简化计算，寻找方程的解，以及进行数学模型的建立等。
本文将介绍几种常见的多项式因式分解方法。
一、公式法公式法是多项式因式分解中最常见的方法之一。
它基于一些常见的应用公式和恒等式，通过将多项式转化为已知的因式形式进行分解。
1. 平方差公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$平方差公式可以用来因式分解具有平方项的多项式。
例如，对于多项式 $x^2+6x+9$，我们可以将其看作是 $(x+3)^2$，因此可以分解为$(x+3)(x+3)$。
2. 差平方公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$差平方公式和平方差公式相似，只是符号相反。
例如，对于多项式$x^2-10x+25$，可以将其看作是 $(x-5)^2$，因此可以分解为 $(x-5)(x-5)$。
3. 因式分解公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$因式分解公式适用于具有差平方形式的多项式。
例如，对于多项式$x^2-4$，我们可以将其分解成 $(x+2)(x-2)$。
二、提公因式法提公因式法是另一种常用的多项式因式分解方法，它利用多项式中的公因式进行分解。
1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来，并将剩余部分分解为简单的因式形式。
例如，对于多项式 $3x^2+6x$，我们可以提取公因式 $3x$，然后将剩余部分 $x+2$ 进行分解，最终得到 $3x(x+2)$。
2. 分组分解：对于某些特殊的多项式，可以将其通过分组分解的方法进行因式分解。
例如，对于多项式 $3x^3+3x^2+4x+4$，我们可以将其分成两组，然后提取公因式，得到 $3x^2(x+1)+4(x+1)$，进而将$(x+1)$ 提取出来，得到最终的因式分解形式 $(x+1)(3x^2+4)$。
因式分解的公式法
因式分解的公式法
因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因式相乘的形式。
有以下几种常用的公式法进行因式分解：
1. 公因式提取法：
当多项式的每一项都有一个公因子时，可以将这个公因子提
取出来。
例如：2x + 4y = 2(x + 2y)
2. 完全平方公式：
当一个二次多项式是一个完全平方时，可以使用完全平方公
式进行因式分解。
例如：x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
3. 差平方公式：
当一个二次多项式可以表示为两个项的差的平方时，可以使
用差平方公式进行因式分解。
例如：x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)
4. 因式定理：
当一个多项式可以被一个因式整除时，可以使用因式定理进
行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
5. 一般情况下，可以使用试除法、短除法等方法进行因式分解。
以上是一些常用的公式法进行因式分解的方法，具体的应用需要根据多项式的形式和特点来选择相应的方法进行因式分解。
因式分解的方法有哪些
在初高中，同学们都会接触到很多因式分解的例子与试题，那有什么因式分解的方法呢，须注意什么。
以下是由编辑为大家整理的“因式分解的方法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
因式分解的方法一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子： a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 和 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 和 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项;②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同;③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
用公式法进行因式分解“五技巧”
用公式法进行因式分解“五技巧”运用公式法分解因式是一种重要的方法，为帮助大家尽快掌握该方法，下面以基本习题为例，分类说明使用公式法分解因式的几点技巧.一、直接运用公式例1 分解因式：（1）()224n m m +-；（2）4)(4)(2++++y x y x . 分析：把m 2、)(n m +、()y x +作为一个整体处理，直接运用公式分解． 解：（1）原式=()[]()[]n m m n m m +-++22=()()n m n m -+3（2）原式=()22++y x 二、排序后用公式例2 分解因式：（1）2216y x +-； （2）222y x xy ---.分析：初看这二个多项式都不符合公式的特征，但只要重新排序后，就可以直接运用公式分解．解：（1）原式=2216x y -=()()x y x y 44-+（2）原式=222)()2(y x y xy x +-=++-三、指数变换后用公式例3 分解因式：（1）14-x ；（2）4241a a ++. 分析：表面上看不是平方差公式、完全平方公式的形式，但对指数变形后就可以转化为公式形式，进而应用公式直接分解．解：（1）原式=)1)(1)(1()1)(1(1)(22222-++=-+=-x x x x x x（2）原式=()222221212⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+a a =2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+a 四、系数变换后用公式例4 分解因式：（1）224169y x -； （2）2)(9)(124y x y x -+--.分析：将系数写成平方的形式，使之符合公式的特征，为运用公式创造条件． 解：（1）原式=)213)(213()2()13(22y x y x y x -+=-；（2）原式=2222)332()](32[)](3[)(3222y x y x y x y x +-=--=-+-⨯⨯-.五、去括号后用公式例5 分解因式： 1)3)(1(+++x x .分析：显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式分解，可先把)3)(1(++x x 展开后再解题．解：原式=222)2(44134+=++=+++x x x x x .。
因式分解的7种方法和4种思路
1.提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
2.运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解中常用的公式，例如：
22
22
(1)(a+b)(a-b) = a -b ——a -b =(a+b)(a-b)；
2
2
2
2
2
2
(2) (a±b) = a ±2ab+b —— a ±2ab+b =(a±b) ；
4.十字相乘法
(1)二次项系数为 1 的二次三项式
直接利用公式—— x 2 ( p q)x pq (x p)(x q) 进行分解。
特点：a.二次项系数是 1； b.常数项是两个数的乘积； c.一次项系数是常数项的两因数的和。
例 已知 0＜ a ≤5，且 a 为整数，若 2x2 3x a 能用十字相乘法分解因 式，求符合条件的 a .
则 x 2 y 2 mx 5 y 6 = x 2 y 2 (a b)x (b a) y ab
7
a b m
a 2 a 2
比较对应的系数可得： b a 5 ，解得： b 3 或 b 3
ab 6
m 1 m 1
∴当 m 1时，原多项式可以分解；
当 m 1时，原式= (x y 2)(x y 3) ；
解：原式= (am an) (bm bn) = a(m n) b(m n) = (m n)(a b)
每组之间还有公因式！
例 2 分解因式： 2ax 10ay 5by bx
解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。
解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。
二次三项式因式分解用公式法
二次三项式因式分解用公式法二次三项式因式分解是指将一个二次三项式表达式分解为两个一次因式的乘积。
对于给定的二次三项式 $ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，我们可以使用公式法来进行因式分解。
公式法主要分为两个步骤，先求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，然后根据根的性质进一步分解。
首先，根据求根公式，二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根可以分为两种情况：实根和共轭复根。
1. 实根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac \geq 0$，则方程有两个实根。
此时，我们可以使用根与系数的关系来进行因式分解。
设方程的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]2. 共轭复根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac < 0$，则方程有两个共轭复根。
此时，我们需要使用复数的知识来进行因式分解。
设方程的两个共轭复根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\]其中，$x_1$ 和 $x_2$是共轭复数，可以表示为 $x_1 = p + qi$ 和$x_2 = p - qi$。
总结一下，二次三项式因式分解的公式法主要分为以下几个步骤：1. 求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
2.根据根的性质将二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积。
公式法进行因式分解
公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。
它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。
公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。
下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。
一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。
该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。
例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。
常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。
因式分解的基本方法
因式分解的基本方法
因式分解的基本方法有以下几种：
1. 提取公因子法：将多项式中的公因子提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。
2. 乘法公式法：利用乘法公式将多项式进行展开，然后再将展开后的多项式进行合并和简化。
3. 平方差公式法：通过平方差公式将二次多项式进行因式分解。
4. 完全平方公式法：通过完全平方公式将二次多项式进行因式分解。
5. 分组法：将多项式中的项进行相应的分组，然后对分组后的项进行因式分解。
6. 公式法：利用一些常见的因式分解公式，如差平方公式、立方差公式等，将多项式进行分解。
除了以上基本方法外，根据具体的多项式形式，还可以利用特定的方法进行因式分解，如有理根定理、因凑定理等。
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第二章第4节用公式法进行因式分解
郝戈庄初中八年级王春美
一、课前预习：
课本43页---44页。
二、课内探究
（一）、学习目标
1．会用公式法进行因式分解．
2．了解因式分解的一般步骤．
（二）、学习重难点：
学习重难点：用公式法进行因式分解．
（三）、学习准备：
1 / 10
学生复习平方差公式和完全平方公式
（四）、学习过程：
1.自主探究
1、乘法公式：（a+b）(a-b)=______________；
（a+b）2 =___________________
2、将以上公式反过来，就得到：
a2－b2 =_____________________；
a2+2ab+b2 =________________________
把2作为公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
（注意：公式中的字母a和b可以表示任意的数、单项式或多项式）
例1 把下列各式进行因式分解：
2 / 10
1b2
（1）4x2–25 (2)16a2 -
9
在（1）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
在（2）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
1b2解：（1）4x2–25 (2)16a2 -
9 = =
练习1：把下列各式进行因式分解：
1、课本44页练习1
3 / 10
2、（1） a4 -81b4 (2) （m+n）2-（m-n）2
例2 把下列各式进行因式分解：
1n2
(1) 25x2+20x+4 (2) 9m2-3mn+
4
在（1）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
在（2）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
（小组讨论交流）
练习2：把下列各式进行因式分解：
1、课本44页练习2
2、(1) x2-ax+9是完全平方公式,则a的值为（）
4 / 10
A.6
B.-6
C. 6
D.无法确定
(2) 4x2 +__________xy+25y2 =（2x-5y）2；
（______）+8a+1=（_______+1）2
（小组讨论交流）
挑战自我:
课本44页“挑战自我”
（小组讨论交流）
你们的共识是__________________________。
__________________________________ ( 小组交流解决在预习中没有解决的问题)
5 / 10
精讲点拨：
（学生到黑板前展示重点问题）
____________________________________________________________________五、小结通过本节课，你学到了什么？说说你的收获。
六、课后检测
1、分解因式：
6 / 10
（1）x2－y2
（2）16m2－9n2
(3) m2-2mn+n2
(4) 9m2- 6mn + n2
2、若多项式4a2 +M 能用平方差公式分解因式，则单项式M=_____________
(写出一个即可)
3、下列代数式：（1）x2 – 4xy + y2；（2）6x2 + 3x + 1；
（3）4x2 - 4x + 1 ；（4）x2 + 4xy + 2y2；
（5）9x2 +16y2-20xy
能用完全平方公式分解因式的有______________(写序号)
4、分解因式：
（1）- x2 – 2xy - y2；（2）9（a-b）2 - 16（a+b）2
7 / 10
课时：第２课时
教案过程：
活动一：做一做
例3:分解因式：（1）－２4x+322x
（2）3a2x－6axy + 3ay2
练习：运用公式法因式分解
（1）(3a+2b)2－(2a+3b)2
（2）（m2+n2+1）2－4m2n2
（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16
1（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4
（4）
2
解：（1）(3a+2b)2－(2a+3b)2
＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)－(2a+3b)]
＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b－2a－3b)
8 / 10
＝(5a+5b)(a－b)
＝5(a+b)(a－b)
解：（2）（m2+n2－1）2－4m2n2
＝（m2+n2－1+2mn）（m2+n2－1－2mn）
＝[(m2+2mn+n2）－1][（m2－2mn+n2）－1]
＝[（m+n）2－12][（m－n）2－12]
＝（m+n+1）（m+n－1）（m－n+1）（m－n－1）
.
解：（x2+4x）2+8（x2+4x）+16
＝（x2+4x）2+2（x2+4x）×4+42
＝(x2+4x+4) 2
＝[（x+2）2]2＝（x+2）4
.
1（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4
解：
2
1[（x2－2y2）2－4（x2－2y2）y2+4y4]
＝
2
1[（x2－2y2）2－2（x2－2y2）（2y2）+（2y2）2] ＝
2
1（x2－2y2－2y2）2
＝
2
1（x2－4y2）2
＝
2
9 / 10
1[（x+2y）（x－2y）]2
＝
2
1（x+2y）2（x－2y）2
＝
2
作业
课本习题2.4P46 A3、4.
10 / 10。