12.4用公式法进行因式分解1
因式分解——运用公式法
因式分解——运用公式法因式分解是一种将多项式表达式表示为若干个更简单的乘积形式的方法。
这种分解有许多不同的方法，其中之一是公式法。
公式法是一种将多项式分解为两个不可约的因子的方法，其中一个因子为公因式，另一个则为多项式的剩余因子。
本文将详细介绍使用公式法进行因式分解的步骤和技巧。
首先，我们需要明确所给多项式的形式，并找出其中的特征和模式。
一般来说，多项式可以表达为如下形式之一：$ax^2 + bx + c$，$ax^3 + bx^2 + cx + d$，或者其它类似形式。
接下来，我们需要寻找多项式的因子。
寻找因子的方法主要有以下几种：1.公因式法：如果多项式的各项都有一个或多个公因子，那么我们可以先将这些公因子提取出来，然后再对剩余的部分进行进一步的分解。
例如，对于多项式$2x^2+4x$，我们可以先提取出公因子2，得到$2(x^2+2x)$，然后再对括号中的部分进行分解。
2.模式法：有些多项式具有特定的模式，我们可以利用这些模式进行因式分解。
例如，多项式$x^2-y^2$具有差平方模式，我们可以将其分解为$(x+y)(x-y)$。
3.公式法：一些多项式可以通过特定的公式直接进行因式分解。
例如，二次三项式可以使用二次公式进行因式分解，三次三项式可以使用三次公式进行因式分解。
下面以一些例子来进一步说明公式法的具体步骤和技巧。
例子1：分解多项式$a^2-b^2$。
这个多项式具有差平方模式，我们可以根据差平方公式进行分解。
差平方公式表示为$(a+b)(a-b)$，其中$a$是一个数，$b$是一个数。
将这个公式应用于我们的多项式，我们可以得到$(a+b)(a-b)$。
所以，多项式$a^2-b^2$可以分解为$(a+b)(a-b)$。
例子2：分解多项式$4x^2-9y^2$。
这个多项式还是具有差平方模式，我们可以将其分解为$(2x)^2-(3y)^2$，再根据差平方公式进行因式分解。
根据差平方公式，我们可以将其分解为$(2x+3y)(2x-3y)$。
12.4.3因式分解公式法
3.结论： （正底+负底）（正底-负底）
4.a与b可以取哪些： 单项式，多项式
方法探究
将下面的多项式分解因式 1) m² - 16 2) 4x²- 9y²
1.文字语言描述： 两数的平方差等于这两数和乘以这两数差 2.使用条件：
两项；一正一负；两项都能改写成整式的平方的形式
x y 3
2
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为 （10x-y)2,那么k的值是（ B ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式， B） 那么m的值为（ A、6 B、±6 C 、3 D、±3
9、把 a b 4 a b 4 分解因式得 C （ ） 2 2 a b 1 A、 a b 1 B、 2 2 C 、 a b 2 D、 a b 2
10.（2010·眉山中考）把代数式 m x
结果中正确的是（
2 m ( x 3) A．
2
6 m x 9 m 分解因式，下列
2 m ( x 3) D．
）
2 m ( x 4 ) C．
m ( x 3)( x 3) B．
11.（2010·黄冈中考）分解因式：2a2–4a+2
12.（2010·杭州中考）因式分解：9x2－y2－4y－4＝__．
3.结论： （正底+负底）（正底-负底）
4.a与b可以取哪些： 单项式，多项式
（正底+负底）（正底-负底）
例1.把下列各式分解因式
（1）16a² -1 ( 2 ) 4x² - m² n²
山东省聊城市高唐县第二实验中学七年级数学下册 12.4
用公式法进行因式分解 学习目标：1、通过乘法公式的逆向观察，能用公式法分解因式；2、会根据公式的特点，对某些能直接运用公式的多项式进行分解因式。
重点：公式法因式分解难点：根据公式的特点灵活选用公式进行因式分解学习过程：一、预习导航：1、填空：（1）()222=b a （2）()22251=x2、把下列各式因式分解：（1）y x z x 26- （2）()a a m -+-323）（3、完成下列填空：（a ＋b ）(a －b)＝________ ； （a ＋b ）2＝_______ ，（a －b ）2＝_________ __ 。
4、自学教材121页，相信你能很快写出下面的答案！（1）、22b a -＝（ ）（ ）（2）、=++222b ab a （ ）2 （3）、=+-222b ab a （ ）2二、典型例题：例1：把下列各式进行因式分解（1）4x 2-25 （2）16a 2-9b 2概括：1、能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点？例2：把下列各式进行因式分解(1) 25x 2+20x+4 (2) 9m 2-6mn+n 2 （3）x 2+x+41概括：2、能用完全平方公式分解因式的多项式有什么特点？三、基础练习：1、完成122页练习1、2。
2、把下列各式进行因式分解（1)、14-x （2）、()()122++-+y x y x温馨提示： 1、因式分解一定要彻底，即分解到每个因式再也不能分解为止；2、可用整式乘法检验因式分解的正确性。
挑战自我: 多项式4x 2-x 加上怎样的单项式 ， 就成为一个完全平方式？多项式0.25x 2+1呢？四、达标测试：1、在22y x - ；22y x +；22y x +-；22y x --中能用平方差公式分解因式的有（ ）个。
A 、1B 、2C 、3D 、42、下列各式不是完全平方式的是（ ）A 、442++x xB 、222y xy x +-C 、1222++xy y xD 、2221n mn m +- 3、把下列各式进行因式分解（1）()12-+b a （2） x x 14492++（3）22254y x - （4）2mn-m 2-n 2五、作业：必做：课本P124习题：12.4 第2题 选做：第6题（2）（4）六、个案补充第41课时 12.4用公式法进行因式分解（2）学习目标：1、综合运用提公因式法和公式法进行因式分解。
因式分解的公式法
因式分解的公式法
因式分解是将一个多项式表达式写成若干个因式相乘的形式。
有以下几种常用的公式法进行因式分解：
1. 公因式提取法：
当多项式的每一项都有一个公因子时，可以将这个公因子提
取出来。
例如：2x + 4y = 2(x + 2y)
2. 完全平方公式：
当一个二次多项式是一个完全平方时，可以使用完全平方公
式进行因式分解。
例如：x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
3. 差平方公式：
当一个二次多项式可以表示为两个项的差的平方时，可以使
用差平方公式进行因式分解。
例如：x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)
4. 因式定理：
当一个多项式可以被一个因式整除时，可以使用因式定理进
行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)
5. 一般情况下，可以使用试除法、短除法等方法进行因式分解。
以上是一些常用的公式法进行因式分解的方法，具体的应用需要根据多项式的形式和特点来选择相应的方法进行因式分解。
青岛版七年级下册数学 用公式法进行因式分解素养提升练习(含解析)
第12章乘法公式与因式分解12.4用公式法进行因式分解基础过关全练知识点1用平方差公式分解因式1.(2021浙江杭州中考)因式分解:1-4y2=()A.(1+2y)(1-2y)B.(2+y)(2-y)C.(2+y)(1-2y)D.(1+2y)(2-y)2.(2023浙江绍兴柯桥期中)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是()A.x2+9y2B.3x2-9yC.-x 24+y29D.−x24−y293.(2023甘肃兰州中考)因式分解:x2-25y2=.4.【一题多变】(2023吉林长春中考)分解因式:m2-1=. [变式:先提公因式再用公式法分解因式](2022山东淄博中考)分解因式:x3-9x=.5.分解因式:(1)3x-12x3.(2)(a+b)2-c2.知识点2用完全平方公式分解因式6.给出下列多项式:①x2+2xy-y2;②-x2-y2+2xy;③x2+xy+y2;④4x2+1+4x.其中能用完全平方公式分解因式的是()A.①②B.②③C.①④D.②④7.【易错题】(2023四川眉山中考)分解因式:x3-4x2+4x=.8.(2023山东菏泽二模)若a+b=2,ab=-2,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.9.分解因式:(1)-x3y+2y2x2-xy3.(2)1-a2+2ab-b2.10.利用因式分解计算:2072-414×297+2972.11.【新独家原创】已知9a2+b2+6a-6b+10=0,求(ab)2 024的值.能力提升全练12.(2023浙江杭州中考,3,★☆☆)分解因式:4a2-1=()A.(2a-1)(2a+1)B.(a-2)(a+2)C.(a-4)(a+1)D.(4a-1)(a+1)13.(2023湖南张家界中考,10,★☆☆)因式分解:x2y+2xy+y=.14.(2023山东菏泽中考,9,★☆☆)因式分解:m3-4m=.15.(2023山东东营中考,12,★★☆)因式分解:3ma2-6mab+3mb2=.16.(2023黑龙江绥化中考,13,★★☆)因式分解:x2+xy-xz-yz=.17.【一题多解】(2022四川广安中考,12,★★☆)已知a+b=1,则代数式a2-b2+2b+9的值为.18.(2023山东济宁中考改编,14,★★☆)已知有理数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9=.素养探究全练19.【运算能力】【新考向·阅读理解题】(2023山东枣庄滕州期末)阅读下列材料:对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成(x+a)2的形式,但是对于二次三项式x2+2ax-3a2,就不能直接应用完全平方公式,我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加一项a2,使其一部分成为完全平方式,再减去a2项,使整个式子的值不变,于是有下面的因式分解:x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a).领会上述解决问题的思路、方法,认真分析完全平方式的构造,结合自己对完全平方式的理解,解决下列问题:(1)因式分解:①x2-4x+3.②(x2+2x)2-2(x2+2x)-3.(2)【拓展】因式分解:x4+4.答案全解全析基础过关全练1.A1-4y2=12-(2y)2=(1+2y)(1-2y).故选A.2.C-x 24+y29=(-x2+y3)(x2+y3).故选C.3.(x-5y)(x+5y)解析x2-25y2=x2-(5y)2=(x-5y)(x+5y).4.(m+1)(m-1)[变式]x(x+3)(x-3)解析原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3).5.解析(1)3x-12x3=3x(1-4x2)=3x(1+2x)·(1-2x).(2)(a+b)2-c2=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b+c)·(a+b-c).6.D-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2,4x2+1+4x=(2x+1)2.故选D.7.x(x-2)2解析本题解答过程中易只提公因式,不用公式法分解,导致分解不彻底.原式=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.8.-8解析a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,把a+b=2,ab=-2代入,得原式=-2×22=-8.故答案为-8.9.解析(1)原式=-xy(x2-2xy+y2)=-xy(x-y)2.(2)原式=1-(a2-2ab+b2)=1-(a-b)2=(1+a-b)(1-a+b).10.解析2072-414×297+2972=2072-2×207×297+2972=(207-297)2=(-90)2=8 100.11.解析∵9a2+b2+6a-6b+10=0,∴9a2+6a+1+b2-6b+9=0,∴(3a+1)2+(b-3)2=0,∴3a+1=0,b-3=0,解得a=-13,b=3,则(ab)2 024=[(-13)×3]2 024=1.能力提升全练12.A4a2-1=(2a)2-12=(2a-1)(2a+1).故选A.13.y(x+1)2解析x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+1)2.14.m(m+2)(m-2)解析原式=m(m2-4)=m(m+2)(m-2).15.3m(a-b)2解析3ma2-6mab+3mb2=3m(a2-2ab+b2)=3m(a-b)2.16.(x+y)(x-z)解析原式=(x2+xy)-z(x+y)=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z).17.10解析解法一:∵a+b=1,∴a2-b2+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9=a-b+2b+9=a+b+9=1+9=10. 解法二:a2-b2+2b+9=a2-(b2-2b+1)+10=a2-(b-1)2+10=(a+b-1)(a-b+1)+10,∵a+b=1,∴原式=0+10=10.18.8解析∵m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴2m3-3m2-m+9=(2m3-2m2)-m2-m+9=2m(m2-m)-m2-m+9=2m-m2-m+9=-m2+m+9=-(m2-m)+9=-1+9=8.素养探究全练19.解析(1)①原式=x2-4x+4-1 =(x-2)2-1=(x-2+1)(x-2-1)=(x-1)(x-3).②原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 =(x2+2x-1)2-4=(x2+2x-1-2)(x2+2x-1+2)=(x2+2x-3)(x2+2x+1)=(x-1)(x+3)(x+1)2.(2)原式=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2+2x)(x2+2-2x).。
七年级数学下册12.4用公式法进行因式分解2
a2b2(ab)a (b)
20a 21/122/1 2 2abb2ab2
第三页，共十三页。
在因式分解时，如果发现(fāxiàn)各项中含有公因式，应该先把它提 出来，然后再进一步因式分解。例如：
例1 把下列(xiàliè)各式因式分解：
(1)-2x4+32x2
(2)3ax2-6axy+3ay2
(1)(a-2b)2-(2a+b)2 解：
原式
(2)50n-20n(x-y)+2n(x-y)2 解：原式
=[(a-2b)+(2a+b)][(a-2b)-(2a+b)]
=2n[25-10(x-y)+(x-y)2]
=(3a-b)(-a-3b)
a3b3ab
=2n[52-2×5(x-y)+(x-y)2]
=2n[5-(x-y)]2=2n(5-x+y)2
=(3a-b)(-a-3b)
a3b3ab
2021/12/12
第六页，共十三页。
5 0 n2 0 nxy2 nxy2
解：
原式 2n 2510xyxy2
2 n 5 2
25•xy x
y
2
2n5xy2
2n5xy2
2021/12/12
第七页，共十三页。
例2 把下列(xiàliè)各式进行因式分解：
平方差公式(gōngshì)的逆
用a2b2(ab)a (b)
完全平方公式的逆用
a22abb2ab2
主20要21/1检2/12验除公因式以外的多项式还能不能继续分解！
第十二页，共十三页。
内容(nèiróng)总结
12.4 用公式法进行。12.4 用公式法进行。当各项系数都是整数时，它们(tā men)的最大公约数就是公因式的 系数。公因式的字母应是多项式各项中都含有的字母，其指数取最低的。例2 把下列各式进行因式分解：。例2
初中数学_用公式法进行因式分解教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计学情分析学生已经学习了乘法公式中的完全平方公式和平方差公式，在上一节课学习了提公因式法和平方差公式分解因式，初步体会了分解因式与整式乘法的互逆关系，为本节课的学习奠定了良好的基础。
学生已经建立了较好的预习习惯，为本节课的难点突破提供了先决条件。
效果分析通过本节课的学习，大部分学生能够发现用公式法进行因式分解与乘法公式互为逆运算，能够说出平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能运用公式法进行因式分解。
但一部分同学因为公式不熟，用错公式，还有几个同学对因式分解的概念理解不足，在计算时错用乘法公式，因此还应多加强练习，并及时反馈。
总体来说，安排的检测题题型并不复杂，直接运用公式不超过两次，习题难易有梯度，满足不同层次学生的需要。
教材分析分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后面的学习过程中应用广泛，如： 将分式通分和约分，二 次 根 式 的 计 算 与 化 简 ， 以及解方程都将以它为基础。
因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时， 在因式分解中体现了数学的众多思 想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
因此，因式分解的学习是数学学习的重要 内容。
根据《课标》的要求，本 章 介 绍 了 最 基 本 的 两 种 分 解 因 式 的 方 法 ： 提公因式 法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。
因此公式法是分解因式的重要方法之一， 是现阶段的学习重点。
评测练习一、选择题(5分)1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A.y 2－49x 2B.4491x - C.－m 4－n 2 D.9)(412-+q p2.下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（ ） A.a ²+b ² B. －a ²－b ² C.－a ²+b ² D. a ²+(-b)²3．下列因式分解错误的是（ ） A.1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ） B.x 3－x ＝x （x 2－1）C.a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）D.)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 4.下列各式分解因式的结果是-（2x-y ）(2x+y)的是（ ） A.4x ²-y ²B. 4x ²+y ²C. -4x ²-y ²D. -4x ²+y ²5.把x ²-22x+121分解因式可得（ ） A.（x-11）² B. （x+11）² C. x(x-22)+121 D.(x-11)(x+11)二、解答题（10分）1.9a 2－41b 2 2.9a 2+6ab+b 23.m 2–9132+m 214.4x x ++2225.25a b c -课后反思没有一节课能够做到真正的完美,总是会有这样那样的不足,而这些不足和遗憾,正是提升我们教学水平的动力。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
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诸城市初中数学导学稿（七下）
课题：12.4用公式法进行因式分解(1)
繁华初中学校备课组编写
学习目标：
1．会用公式法进行因式分解。
2．了解因式分解的步骤。
重点：会用公式法进行因式分解。
难点：熟练应用公式法进行因式分解。
在具体问题中，会正确运用完全平方公式。
教学过程：
【温故知新】
1、（a+b）(a-b)= 用语言叙述为
2、(a+b)2 = 用语言叙述为
把这两个公式反过来，就得到（1）
（2）
把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
【探索新知】
例1：把下列各式进行因式分解:
（1）4 x 2-25 (2) 16a2 -1/9 b2
解：(1) 4 x 2-25
=(2x)2-52
=(2x+5)(2x-5)
(2) 16a2 -1/9 b2
=
=
要求：完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？试试看。
思考：（1）遇到例1题型时，使用哪个公式，注意什么事项?
例2：把下列各式进行因式分解:
(1)25x2+20x+4 (2)9m2-3mn+1/4n2
解：(1) 25x2+20x+4
=(5x) 2+2ⅹ5x ⅹ2+22 (为什么这样变形？)
=(5x+2)2
[教学要点]引导学生观察原式,启发他们发现第一步,可以用公式法分解因式了。
学生自己完成（2），然后总结一下学例题的收获。
(2) 9m2-3mn+1/4n2
=
=
【巩固提升】
[课堂练习一] 课本122页练习1、2
[课堂练习二]用公式法进行因式分解：
（1）-16+9x 2
（2）x 2-6x+9
(3) m 2+2/3mn+1/9n 2
[课堂练习三]下列各式是不是完全平方式？
2224444y x x a a +++- 2
2224124b ab a b ab a +-++ 25.09622++--a a x x 挑战自我
1、多项式4 x 2-x 加上一个怎样的单项式，就成为一个完全平方式？多项式0.25 x 2+1呢？
【课堂小结】
1、主要内容
2、规律总结
【达标检测】
用公式法分解因式：
（1）64m 2-25n 2 (2)a 2b 2-0.25c 2 (3)-x 2+81y 2
(4)(x+y) 2-6(x+y)+9
【我的反思】。