2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学最后一考试卷 (含答案解析)
浙江省2020年高考数学压轴卷含解析
浙江省2020年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-A B = A ．B ．{0,1}{0,1,2}C ．D ．{1,0,1}-{1,0,1,2}-2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）21+i i A ．B ．C ．D ．-1+i 1-i 1+i -1-i3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．84．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A ．B ．8CD ．835．若实数满足不等式组，则( ),x y 02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩………3x y -A ．有最大值，最小值B ．有最大值，最小值22-83-83C ．有最大值2，无最小值D ．有最小值，无最大值2-6．“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）()()11x xe f x x e +=-e A ．B ．C ．D ．8．已知、，且，则（ ）a b R ∈a b >A ．B ．C ．D ．11a b<sin sin a b>1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22a b >9．设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过P ABCD -M PC 作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱AM AEMF PB PD E F 锥的体积的取值范围为（ ）P AEMF -A ．B ．C ．D ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,210若对圆上任意一点，的取22(1)(1)1x y -+-=(,)P x y 34349x y a x y -++--值与，无关， 则实数a 的取值范围是( )x y A ．B ．C ．或D ．4a ≤46a -≤≤4a ≤6a ≥6a ≥第II 卷（非选择题)二､填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.12．二项式的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为521x __________．13．设双曲线的半焦距为c ，直线过（a ，0），（0，b ）两点，()222210x y b a a b -=>>l 已知原点到直线，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为l_________.14．已知函数，若，则实数_____；若22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩(1)(1)f f -=a =存在最小值，则实数的取值范围为_____.()y f x =a 15．设向量满足，，，．若，则,,a b c 1a = ||2b = 3c = 0b c ⋅= 12λ-≤≤的最大值是________．(1)a b cλλ++- 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．17．已知函数若在区间上方程只有一()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩[1,1]-()1f x =个解，则实数的取值范围为______．m三､解答题:本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡18．已知函数.()()222cos 1x R f x x x =-+∈(1)求的单调递增区间;()f x (2)当时,求的值域.,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 19．如图，四棱柱的底面是菱形，1111ABCD A B C D -ABCD AC BD O = 底面，.1A O ⊥ABCD 12AA AB ==（1）求证：平面平面；1ACO ⊥11BB D D （2）若，求与平面所成角的正弦值.60BAD ∠=︒OB 11A B C20．等比数列的各项均为正数，且.{}n a 212326231,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设 ，求数列的前项和.31323log log ......log nn b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 21．已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.22y px =0p >()11,A x y ()22,B x y 线段的中点为，且点到抛物线的焦点F 的距离之和为8AB ()03,My （1）求抛物线的标准方程；（2）若线段的垂直平分线与x 轴交于点C ，求面积的最大值.AE ABC ∆22．已知函数.2()(1)(0)x f x x e ax x =+->（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；()f x (0,)+∞a （2）若函数有两个不同的零点.()f x 12,x x （ⅰ）求实数的取值范围；a （ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）12011111x x t +->+0t ()f x参考答案及解析1．【答案】C【解析】由，得，选C.2．【答案】C【解析】因为,所以其共轭复数是，选C.21+i =1-i 1+i 【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．【答案】C【解析】设公差为，，d 45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，联立解得，故选C.611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，{}n a 若，则.m n p q +=+m n p q a a a a +=+4．【答案】C【解析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；224S ==h ==所以该四棱锥的体积是.11433V Sh ==⨯=故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5．【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；2222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩……设，则直线是一组平行线；3z x y =-30x y z --=当直线过点时，有最大值，由，得；A z 022y x y =⎧⎨-=⎩(2,0)A 所以的最大值为，且无最小值.z 3202x y -=-=z 故选：C.6．【答案】C 【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选0x y +=0x ay -=1()110a ⨯-+⨯=1a =C7．【答案】A【解析】∵f（﹣x）f （x ），()()()111111x x x x x x e e e x e x e x e--+++====-----∴f（x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，<0，()e 111e f +=-∴排除B ，故选A ．8．【答案】C 【解析】对于A 选项，取，，则成立，但，A 选项错误；1a =1b =-a b >11a b >对于B 选项，取，，则成立，但，即，B 选项a π=0b =a b >sin sin 0π=sin sin a b =错误；对于C 选项，由于指数函数在上单调递减，若，则，C 选13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭R a b >1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭项正确；对于D 选项，取，，则，但，D 选项错误.1a =2b =-a b >22a b <故选：C.9. 【答案】D 【解析】依题意表示到两条平行343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+(),P x y 直线和的距离之和与无关，故两条平行直线340x y a -+=3490x y --=,x y 和在圆的两侧，画出图像如下图所示，340x y a -+=3490x y --=22(1)(1)1x y -+-=故圆心到直线的距离，解得或（舍去）()1,1340x y a -+=3415ad -+=≥6a ≥4a ≤-故选：D.10．【答案】B【解析】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点S ABC -,,SA SB SC 111,,A B C则，设与平面所成角，111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅SB SAC θ，证毕.11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABCB SACSA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅四棱锥中，设，P ABCD -,PE PF x y PB PD ==212343P ABCDV -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy-=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCDP ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y-=+即，又，3,31x x y xy y x +==-01,0131xx y x ≤≤≤=≤-解得112x ≤≤所以体积，令2313,[,1]312x V xy x x ==∈-131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，在递减，在递增()V t 1[,1]2t ∈[1,2]t ∈所以函数最小值，最大值，()V t 4(1)3V =13(2)()22V V ==四棱锥的体积的取值范围为P AEMF -43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B11．【答案】1031165【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，n a {}n a 设数列的前n 项和为，则，解得，{}n a n S ()51512512a S -==-1531a =所以，.2110231a a ==()10105123116512S -==-故答案为：，.1031165【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12．【答案】 325【解析】展开式的通项为，5552215521()r rrr r r T C C x x --+==令，解得，55022r -=1r =所以展开式中的常数项为，1255T C ==令，得到所有项的系数和为，得到结果.1x =5232=点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13．【答案】2y =【解析】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离l 1x ya b +=0bx ay ab --=，解得，两式同时平方可得，又ab d c ===24ab =224163a b c =，代换可得，展开得：，同时除以222b c a =-()2224163a c a c -=224416162a c a c -=得：，整理得，解得或，又，4a 2416163e e -=()()223440e e --=243e =40b a >>所以，所以；2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>24,2c e e a ===b a ===by x a =±=故答案为：2；y =14．【答案】1[1,0)-【解析】，(1)(1)f f -= ，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=1a ∴=易知时，；0x <()2(0,1)xf x =∈又时，递增，故，0x …2()log ()f x x a =-2()(0)log ()f x f a =-…要使函数存在最小值，只需，()f x 20()0a log a ->⎧⎨-⎩…解得：.10a -<…故答案为：，.1[1,0)-15．【答案】1+【解析】令，则，因为，()1n b cλλ=+- n == 12λ-≤≤所以当，，因此当与同向时的模最大，1λ=-max n == n aa n + max 1a n a n +=+=+16．【答案】36【解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，4242A A 48=把“民俗调查”安排在周一，有，3232A A 12⋅=∴满足条件的不同安排方法的种数为，481236-=故答案为：36．17．【答案】或1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩1}m =【解析】当时，由，得，即；当时，由01x ≤≤()1f x =()221x x m +=212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10x -≤<，得，即.()1f x =1221x x m +--=1221x x m +-=+令函数，则问题转化为函数与函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩的图像在区间上有且仅有一个交点.()h x =2x m +[1,1]-在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩2y x m =+上的大致图象如下图所示：[1,1]-结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；(0)1h =1m =当时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩的取值范围是.m 1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或18．【答案】（1）；（2）.,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦⎡-⎣【解析】(1) 函数，()222cos 122226f x x x cos x in x x s π⎛⎫ ⎪=⎝=-+-=⎭-令，求得，222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈故函数f(x)的增区间为；,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)若，则，故当时，函数f(x)取得最小,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦262x ππ-=-值为−2；当时，函数f(x).263x ππ-=⎡-⎣【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19．【答案】（1）证明见解析（2（1）证明：由底面可得，1A O ⊥ABCD 1AO BD ⊥又底面是菱形，所以，ABCD CO BD ⊥因为，所以平面，1A O CO O ⋂=BD ⊥1A CO 因为平面，BD ⊂11BB D D 所以平面平面.1ACO ⊥11BB D D （2）因为底面，以为原点，，，为，，轴建立如图1A O ⊥ABCD O OB OC 1OAx y z 所示空间直角坐标系，O xyz-则，，，，(1,0,0)BC (0,A 1(0,0,1)A ，，11A B AB ==()11A C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)m x y z =由，取得，1110000m A B x m A C z ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 1x=1,1m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又，(1,0,0)OB =所以，cos ,||||OB mOB m OB m ⋅===所以与平面.OB 11A B C 20．【答案】（1）（2）13n n a =21nn -+（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a2a 6得＝9,所以q 2＝．23a23a24a 19由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．1313故数列{a n }的通项公式为a n ＝．13n（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．()21n n +故．()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列的前n 项和为1n b⎧⎫⎨⎬⎩⎭21n n -+21．【答案】（1）（224y x =【解析】（1）由题意知,126x x +=则,1268AF BF x x p p +=++=+=,2p ∴=抛物线的标准方程为∴24y x=（2）设直线:（）,AB x my n =+0m ≠由,得,24x my n y x =+⎧⎨=⎩2440y my n --=124y y m∴+=,即,212426x x m n ∴+=+=232n m =-即,()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩,2AB y ∴=-=设的中垂线方程为:,即,AB ()23y m m x -=--()5y m x =--可得点C 的坐标为,()5,0直线:,即,AB 232x my m =+-2230x my m -+-=点C 到直线的距离,∴AB d ()21412S AB d m ∴=⋅=+令,则（,t =223m t =-0t <<令,()()244f t t t=-⋅,令,则,()()2443f t t'∴=-()0ft '∴=t =在上；在上,⎛⎝()0f t '>()0f t '<故在单调递增,单调递减,()ft ⎛ ⎝当,即,∴t =m =maxS =22．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见⎛-∞ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭解析.【解析】（1）由，得，2()(1)x f x x e ax =+-2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭设，；则；2()x x g x e x +=⋅(0)x >2222()xx x g x e x +-'=⋅由，解得，()0g x '…1x ≥-所以在上单调递减，在上单调递增，()gx 1)1,)-+∞所以1min()1)(2==+⋅g x g 因为函数在上单调递增，所以在恒成立()f x (0,)+∞()0f x '…(0,)+∞所以；1(22+⋅≥a 所以，实数的取值范围是：.a ⎛-∞ ⎝（2）（i ）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.()f x ()fx a >因此有两个根，设为，且，()0f x '=10,tt 1001t t <<-<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x ()10,t ()10,t t ()0,t +∞又，，当充分大()1(0)1f t f >=()22()(1)(1)x x xf x x e ax a e x x a e =+-=-++-⋅x 时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即()f x ()f x ()00f t <；()200010t t e a t +-⋅<又因为；()()0000220tf t t e at '=+-=所以：，解得，所以；()()000002202t tt t e t e +-⋅+<0t>12>=a g 因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.()f xa ⎫+∞⎪⎪⎭（ⅱ）先证明不等式，若，，则.12,(0,)x x ∈+∞12x x≠211221112x x x xnx nx -+<<-证明：不妨设，即证，210x x >>21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<<+设，，，211x t x =>()ln g t t =-2(1)()ln 1t h t t t -=-+只需证且；()0g t <()0h t >因为，，()0g t '=<22(1)()0(1)t h t t t -'=>+所以在上单调递减，在上单调递增，()g t (1,)+∞()h t (1,)+∞所以，，从而不等式得证.()(1)0g t g <=()(1)0h t h >=再证原命题.12011111x x t +->+由得；()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩所以，两边取对数得：()()2212221211xx x e x e x x ++=；()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦即.()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+因为，()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x-+-+-<--+-++++所以，121221112x x x x +<<+++因此，要证.12011111x x t +->+只需证；1202x x t +<因为在上单调递增，，所以只需证，()f x ()0,t +∞1020x t x <<<()()2022f x f t x <-只需证，即证，其中；()()1012f x f t x <-()()00f t x f t x +<-()0,0x t ∈-设，，只需证；()()00()r x f t x f t x =+--00t x -<<()0r x <计算得；()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--.()()2000()33t xr x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦由在上单调递增，()()20033x y x t e x t =+++--()0,0t -得，()()0003030y t e t <++--=所以；即在上单调递减，()0r x ''<()r x '()0,0t -所以：；()0()(0)20r x r f t '''>==即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.()r x ()0,0t -()(0)0r x r <=。
2020年浙江省高考数学压轴试卷 (含答案解析)
2020年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x||x|<2}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {−1,0，1，2} 2. 复数5i−2的共轭复数是( )A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i3. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 4D. 84. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则四棱锥的表面积为( )A. 83B. 4√3C. 4√5+1D. 4(√5+1)5. 已知x 、y ∈R ，不等式组{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k 所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知直线l 1:mx +y −1=0，直线l 2:(m −2)x +my −1=0，则“l 1⊥l 2”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 函数f(x)=(e x +1)lnx 2e x −1(e 是自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.8. 已知实数a >b >0,m ∈R ，则下列不等式中成立的是( )A. (12)a <(12)bB. a −2>b −2C. m a >m bD. b+m a+m >ba 9. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB =2PN ，则三棱锥N −PAC 与四棱锥P −ABCD 的体积比为( )A. 1：2B. 1：3C. 1：6D. 1：810. 若对圆(x −1)2+(y −1)2=1上任意一点P(x,y)，|3x −4y +a|+|3x −4y −9|的取值与x ，y无关，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤−4B. −4≤a ≤6C. a ≤−4或a ≥6D. a ≥6二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为______ ．12. 在二项式(√2+x)9的展开式中，常数项是_____________，系数为有理数的项的个数是______________．13. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)，焦距为2c ，直线l 经过点(a,0)和(0,b)，若(−a,0)到直线l 的距离为2√23c ，则离心率为______． 14. 已知函数f(x)={|x +a|+|x −1|,x >0x 2−ax +2,x ≤0的最小值为a +1，则实数a 的取值范围为____________． 15. 若平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|2a ⃗ +b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b⃗ 的取值范围是______． 16. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务活动，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人中至少有一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务活动的日期不相邻，那么不同的安排方法种数为________(用数字作答)．17. 若方程x +m =√4−x 2有且只有一个实数解，则实数m 的取值范围为________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x −1．(1)求函数f(x)的递增区间；(2)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60∘．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB，求PC与平面PBD所成角的正弦值20.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21.已知点F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，一点M(0,√2)满足线段MF的中点在抛物线C2上．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．22.已知函数f(x)=lnx+ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的两个零点为x1，x2,且x2x1⩾e2，求证：(x1−x2)f′(x1+x2)>65．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B.解：∵集合A={x||x|<2}={x|−2<x<2}，B={−1,0，1，2，3}，∴A∩B={−1,0，1}．故选C．2.答案：C解析：解：复数5i−2=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=5(−2−i)5=−2−i的共轭复数为−2+i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：C解析：本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，∵a4+a5=24，S6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4，∴{a n }的公差为4．故选C ．4.答案：D解析：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长2，高为2，则四棱锥的斜高为√22+12=√5．所以该四棱锥侧面积为：4×12×2×√5=4√5，底面积为：2×2=4，故表面积S =4+4√5=4(√5+1)，故选：D由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，进而可得答案． 本题考查三视图复原几何体形状的判断，几何体的表面积与体积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 5.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域：则k >0由{x +2y =0y =k，解得{x =−2k y =k ，即A(−2k,k)， 由{x −y =0y =k，解得{x =k y =k ，即B(k,k) ∵平面区域的面积是9，∴12(3k)k =6，即k 2=4解得k =±2，解得k =2或k =−2(舍)，故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，以及三角形的面积公式的计算，比较基础． 6.答案：B解析：解：直线l 1：mx +y −1=0，直线l 2：(m −2)x +my −1=0，若“l 1⊥l 2”， 则m(m −2)+m =0，解得m =0或m =1，故“l 1⊥l 2”是“m =1”的必要不充分条件，故选：B ．利用两条直线相互垂直的充要条件求出m 的值，再根据充分必要条件的定义即可得出．本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：f(−x)=(e −x +1)ln(−x)2e −x −1=(1+e x )lnx 21−e x =−(e x +1)lnx 2e x −1=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C ．当x >1时，f(x)>0，排除D ，故选：A ．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值的符号是否对应进行排除．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性以及对称性是解决本题的关键． 8.答案：A解析：解：∵函数y =(12)x 在R 上单调递减，∴当a >b >0时，(12)a <(12)b ．故选：A ．根据函数y =(12)x 在R 上单调递减知当a >b >0时，(12)a <(12)b ．本题考查了利用函数的单调性判断比较大小和不等式的基本性质，属基础题．。
2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学仿真试卷(有答案解析)
A. sinx
B. cosx
C. sin2x
D. cos2x
3. 满足线性约束条件
，的目标函数 z=x+y 的最大值是（ ）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
4. 如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C. 4
D.
5. 某观察者站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹如 图所示．设观察者从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ=∠AOP，练车时间为 t，则函数 θ=f（t） 的图象大致为（ ）
出答案． 本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能 力．属于中档题．
5.答案：D
解析：【分析】 根据视角 θ=∠AOP 的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项． 本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题． 【解答】 解：根据小车从点 A 出发的运动轨迹可得，视角 θ=∠AOP 的值先是匀速增大，然后又减小，接着基 本保持不变，然后又减小，最后又快速增大， 故选：D．
且项数为偶数，设 n=2k，k∈N*，等差数列的公差设为 d，不妨设
，
则 a1＜0，d＞0，且 ak+1≤0，ak-1＜0 即 ak≤-1， 由 ak+1-1≥0， 则-1+kd≥ak+kd≥1，即 kd≥2， 即有 d≥2， 则|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+…+a2k
解析：【分析】 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的奇偶性，为中档题． 分别把四个选项中的值代入 f（x）·sinx，逐一进行验证即可． 【解答】 解：若 f（x）=sinx，则 f（x）·sinx=sin2x 为偶函数，不符合题意；
浙江省宁波市镇海中学2020届高三5月高考仿真测试数学试题
绝密★启用前2020年5月镇海中学高考仿真测试数学·试题卷考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷·选择题部分(共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}14A x x =-≤≤，{}22B x x =-≤≤，则()()AB C A B = A ．()1,2- B ．()2,4- C ．[][]2,12,4-- D ．[)(]2,12,4--2．椭圆221610x y +=的焦点坐标是 A ．(2,0)± B ．(4,0)± C ．(0,2)± D ．(0,4)±3．设复数z 的共轭复数为z ，若232i z z +=-+(i 是虚数单位)，则z =A ．1 BCD ．54．已知m 是正实数，则“16m ≥”是“圆221x y +=与圆22(4)(3)x y m -++=有公共点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设,x y ∈R 且满足约束条件24240x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥⎩，则3z x y =-A ．有最大值16，最小值83- B ．有最大值16，最小值0 C ．有最大值83，最小值0 D ．有最大值83，最小值43- 6．若函数()f x 满足()a f x b ≤≤()a b <，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为．．2的是A ．()cos 21f x x =+ B．()f x =C ．()1f x x x =-- D ．32()32x xx x f x -=+ 7．在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩,,,A B C D ，其中D 型口罩仅剩1只(其余3种库存足够)．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有A ．330种B ．345种C ．360种D ．375种8．在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点(不包括端点)，记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<9．设,a b ∈R ，已知函数34e e ,(),x x x a f x x x a⎧-<=⎨≥⎩，()()g x f x b =+，()[()]h x f f x b =+，记函数()g x 和()h x 的零点个数分别是,M N ，则A ．若3N =，则2M =或3B ．若2M =，则2N =或3C ．若2N =，则1M =或2D ．若1M =，则1N =或210．已知数列{}n a 满足12a =，2a a =，{}{}121max ,min ,n n n n n a a a a a +++=*()n ∈N ，则对于命题,p q ， 命题p ：对任意2a >和*n ∈N ，均有n a a ≤命题q ：存在0a >和*m ∈N ，使得当n m ≥时，均有1n n a a +≤A ．p 真，q 真B ．p 真，q 假C ．p 假，q 真D ．p 假，q 假 注：{}max ,a b 和{}min ,a b 分别表示a 与b 中的较大和较小者． 第Ⅱ卷·非选择题部分(共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)11．秦九韶是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个k 次多项式写成k 个一次式相组合的形式，如可将5432()421020T n n n n n n =---++写成()((((1)4)2)10)20T n n n n n n =---++，由此可得(5)T = ▲ ．12．已知某柱体的三视图如图所示(单位：cm )，则该柱体的体积是 ▲ 3cm ，表面积是 ▲ 2cm ．13．已知二项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中存在常数项52，则正 整数n 的值是 ▲ ，所有项的二项式系数之和是 ▲ ． 14．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，22sin (6)sin 22sin cos ab A ac B b A C +-=，则ac = ▲ ，若△ABC 的面积1S =，则cos 24B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭▲ ． 15．已知随机变量X 的分布列如下表，其中[],,0,1a b c ∈．若,,a b c 依次成等差数列，则()D X 的最大值为 ▲ ，若,,a b c 依次成等比数列，则()E X 的最大值为 ▲ ．16．设1m >-，函数22()321f x x mx m =-++()x m <，若存在4k θπ≠+π()k ∈Z ，使得(sin )(cos )f f θθ=，则m 的取值范围是 ▲ ． 17．已知平面向量,,,a b c d 满足1===a b c ，10-⋅⋅=⋅=>⋅a b a c b c a d，0⋅=c d ，若平面向量x y =+s a b (,0x y >且1)xy =，则2++-s c s d 的最小值是 ▲ ．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．（本小题满分14分）已知函数()2sin sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (Ⅰ)若函数()y f x a b =++(,)4a b π≤∈R 是奇函数，求,a b 的值； (Ⅱ)求函数()y f x =的单调区间．19．（本小题满分15分）如图，已知多面体EF ABCD -，其底面ABCD 为矩形，四边形BDEF 为平行四边形，平面FBC ⊥平面ABCD ，2FB FC BC ===，3AB =，G 是CF 的中点．(Ⅰ)证明：BG 平面AEF ；(Ⅱ)求直线AE 与平面BDEF 所成角的余弦值．20．（本小题满分15分）已知正项．．等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足11a =，24b =，且2a 既是11a b +和33b a -的等差中项，又是其等比中项．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)记21,21,2n n n n nn k a a c a b n k +⎧=-⎪=⎨⎪⋅=⎩，其中*k ∈N ，求数列{}n c 的前2n 项和2n S ．21．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点与抛物线22:8C y x =的焦点F重合，其离心率e =．过F 作两条相互垂直的直线1l 与2l ，且1l 交抛物线2C 于,A B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点C ． (Ⅰ)求OA OB ⋅的值；(Ⅱ)求△ABC 面积的最小值．22．（本小题满分15分）已知实数0a ≠，设函数2()ln a f x x x=-． (Ⅰ)当(]0,1a ∈，1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，证明：()2x f x a a ≥-； (Ⅱ)若()f x 有两个极值点12,x x 12()x x <，证明：2121212()()e ()2e 0f x f x x x x x --++>-．。
2020年浙江省高考数学试卷 试题+答案详解
数学
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则P Q=（）
A. B. C. D.
2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A. 1B. –1C. 2D. –2
17.设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则 的最小值为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差 ， ．记b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n， ，下列等式不可能成立的是（）
A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. D.
8.已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= 图像上的点，则|OP|=（）
2020年浙江省高考数学试卷及详细解答
【解析】由题意， 到直线的距离等于半径，即 ， ，
所以 ，所以 （舍）或者 ，解得 .
16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为 ，则 _______； ______．
【解析】先确定 对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
若取 ，则 ，此时 ，包含5个元素，排除选项C；
若取 ，则 ，此时 ，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合 ，且 ， ，
则 ，且 ，则 ，
同理 ， ， ， ， ，
若 ，则 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
故 ，此时 ，故 ，矛盾，舍.
若 ，则 ，故 即 ，
又 ，故 ，所以 ，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最小值为： ，且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是 .故选：B
4.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【解析】因为 ，则 ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；且 时， ，据此可知选项B错误，故选：A.
【解析】因为 为实数，所以 ，故选：C
3.若实数x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的取值范围是（）
A. B. C. D.
【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即： ，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
2020年浙江省高考数学试卷(解析版)
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P= ， ，则P Q=（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A. 1B. –1C. 2D. –2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为 为实数，所以 ，
故选：C
【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.若实数x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（）
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
2020年高考卷 数学(浙江卷)附答案
20201.已知集合，，则ABCD2.已知，若（i为虚数单位）是实数，则a＝A1B-1C2D-23.若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是ABCD4. 函数在区间的图像大致为ABCD5. 某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是ABCD6. 已知空间中不过同一点的三条直线则“在同一平面” 是“两两相交”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7.已知等差数列的前项的和，公差，.记下列等式不可能成立的是ABCD8.已知点, ,.设点满足，且为函数的图像上的点，则ABCD9．已知，若在上恒成立，则ABCDA若S有4个元素，则有7个元素B若S有4个元素，则有6个元素C若S有3个元素，则有4个元素D若S有3个元素，则有5个元素11.已知数列满足，则______12.设，则=_______；_______.13．已知=2，则=______；=______.14．已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为______.15．设直线l:y=kx+b(k>0)，圆:，:，若直线l与,都相切,则k=______;b=______.16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则；；17.设，为单位向量，满足，，，设的夹角为，则的最小值为.18.（本题满分14分）19（本题满分15分）如图，三棱台中，面面，，。
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与面所成角的正弦值。
（第19题图）20.(本题满分15分)已知中，.（I）若数列为等比数列，且公比，且，求与的通项公式；（Ⅱ）若数列为等差数列，且公差，证明：21.（15分）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于（不同于）.（I）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线使为线段的中点；求的最大值. 22.（本题满分15 分）已知函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明:（i）（ⅱ）.参考答案1.B2.C3.B4.A5.A6.B7.D8.D9.C 10.A 11.10 12.80 ,12213. 14.1 15. 16.17.282918 正确答案及相关解析正确答案19 正确答案及相关解析正确答案20 正确答案及相关解析正确答案21 正确答案及相关解析正确答案22 正确答案及相关解析正确答案。
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2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学最后一考试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 集合A ={x|x 2<4}，B ={y|y =x 2−2x −1,x ∈A}，则A ∪B =( )A. (−2,2)B. [−2,+∞)C. (−2,7)D. [−2,7) 2. “a ≤0”是“函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要 3. 已知，(12)b >1，2c =√3，则 ( ) A. a >b >c B. c >a >b C. a >c >b D. c >b >a4. 已知α//β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A. 不一定存在与a 平行的直线B. 只有两条与a 平行的直线C. 存在无数条与a 平行的直线D. 存在唯一一条与a 平行的直线 5. 某四棱锥的三视图如图，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为( )A. 2B. √5C. 2√2D. 2√36. 已知x,y 满足条件{x ≥0y ≤x 2x +y +k ≤0，若目标函数z =x +3y 的最大值为8，则k =( )A. 6B. −16C. −83D. −6 7. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线，且a ⃗ ⋅b ⃗ ≠0，若c ⃗ =a ⃗ −|a ⃗ |2⋅b ⃗ a⃗ ⋅b ⃗ ，则向量a ⃗ 与c ⃗ 的夹角为( ) A. π2B. π6C. π3D. 0 8. 设双曲线M:y 2a 2−x 2b2=1(a >0,b >0)的上顶点为A ，直线y =√a 2+b 2与M 交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到点(0,2√a 2+b 2)的距离不超过8√a 2+b 2−7a ，则M 的离心率的取值范围是( )A. [√7+1,+∞)B. [√7−1,+∞)C. (1,√7+1]D. (1,√7−1] 9. f (x )是定义在(−2,2)上的减函数，若f (m −1)> f (2m −1)，实数m 的取值范围是( ) A. m >0B. 0<m<32 C. −1< m <3 D. −12m<32 10. 若函数在区间(1,+∞)上存在零点，则实数a 的取值范围为( )A. (0,12)B. C. (0,+∞) D. 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 如果z =1−ai1+i 为纯虚数，则实数a 等于________．12. 在△ABC 中，sinA =45，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，则△ABC 的面积为______． 13. 已知多项式(x +2)5=(x +1)5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，则a 0=______，a 1=______．14. 若随机变量ξ满足E(2ξ+3)=5，D(2ξ+3)=8，则E(ξ)=________，D(ξ)=________．15. 如图所示，在正方体AC 1中，AB =2，A 1C 1∩B 1D 1=E ，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面BCC 1B 1所成的角为β，则cos(α−β)=________．16. 已知0<x <23，则y =2x +93−2x 的最小值为________．17. 若数列{a n }满足a 2−a 1>a 3−a 2>a 4−a 3>⋯>a n+1−a n >⋯，则称数列{a n }为“差递减”数列．若数列{a n }是“差递减”数列，且其通项a n 与其前n 项和S n (n ∈N ∗)满足2S n =3a n +2λ−1(n ∈N ∗)，则实数λ的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2+c 2−√2bc =a 2，cb =2√2，(1)求角A ；(2)求tan B 的值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13．(1)求二面角F−AE−P的余弦值；(2)设点G在PB上，且PGPB =23，判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=10，S6=72，b n=12a n−30．(1)求通项a n；(2)求数列{b n}的前n项和T n的最小值．21.设抛物线E：y2=2px(p>2)，焦点为F，准线l与x轴交于点M，P(x0,4)为抛物线上一点，过P作PN⊥l，垂足为N，若四边形MFPN的周长为16．(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)过点M作直线交抛物线于点A，B，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值22.已知函数f(x)=lnx，g(x)=x2−2x．x(1)求f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程；(2)若关于x的不等式f2(x)+tf(x)>0有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；(3)若ℎ(x)=g(x)+4xf(x)存在两个正实数x1，x2满足ℎ(x1)+ℎ(x2)−x12x22=0，求证：x1+x2≥3．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：根据题意，A ={x|x 2<4}={x|−2<x <2}=(−2,2)，B ={y|y =x 2−2x −1,x ∈A}={y|y =(x −1)2−2,x ∈A}=[−2，7)；则A ∪B =[−2,7)；故选：D ．根据题意，解不等式x 2<4可得集合A ，由二次函数的性质分析可得集合B ，由并集的定义计算可得答案．本题考查集合的并集运算，关键掌握集合并集的定义．2.答案：C解析：解：函数f(x)=lnx +ax +1x ，在[1,+∞)在为减函数，∴f′(x)=1x +a −1x 2≤0，在[1,+∞)上恒成立，∴a ≤1x 2−1x， 设g(x)=1x 2−1x ，∴g′(x)=x−2x 3，当x ∈[1,2]，g′(x)<0，g(x)为减函数，当x ∈[2,+∞)，g′(x)>0，g(x)为增函数，∴g(x)min =g(2)=14−12=−14，∴a ≤−14， ∴当a ≤−14，函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数，∴“a ≤0”是“函数f(x)=lnx +ax +1x 在[1,+∞)上为减函数”的必要不充分条件， 故选：C ．先根据导数和函数单调性的关系求出a 的范围，再结合充分条件，必要条件的定义即可判断． 本题考查了导数和函数的单调性的关系和充分必要条件的定义，属于中档题． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质，属于基础题．直接根据指数函数和对数函数的性质即可求解．【解答】解：由log 12a >1，解得0<a <12； 由(12)b>1，解得b <0； 由2c =√3，解得则c >a >b ．故选B ． 4.答案：D解析：解：B 点与a 确定唯一的一个平面γ与β相交，设交线为b ，由面面平行的性质定理知a//b ．故选D ．由题意知B 点与a 确定唯一的一个平面γ，则γ与β相交且交线仅有一条，再由α//β知a//b ． 本题考查了确定平面的依据和面面平行的性质定理，是基础题．5.答案：D解析： 【分析】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PC ，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵由三视图可得直观图，∴四棱锥P −ABCD 中，最长的棱为PC ，∴即PC =√PA 2+AC 2=√22+(2√2)2=2√3.故选D ．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，属于中档题．如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程(组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．【解答】解：画出x ，y 满足条件{x ⩾0y ⩽x 2x +y +k ⩽0的可行域如下图：目标函数z =x +3y 表示的几何意义与直线x +3y −z =0的纵截距有关，直线y =x 与直线2x +y +k =0的交点A(−k 3,−k 3)，由图可知直线x +3y −z =0过点A(−k 3,−k 3)时，目标函数z =x +3y 取最大值，∴−k3+3×(−k3)=8，解得k=−6，即目标函数z=x+3y的最大值为8，则k=−6．故选D．7.答案：A解析：【分析】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．运用向量的数量积的定义和性质，求出向量a，c的数量积，即可判断．【解答】解：由于向量a⃗与b⃗ 不共线，a⃗⋅b⃗ ≠0，且c⃗=a⃗−|a⃗|2⋅b⃗a⃗ ⋅b⃗，则c⃗⋅a⃗=a⃗2−a⃗2⋅(a⃗ ⋅b⃗)a⃗ ⋅b⃗=a⃗2−a⃗2=0，即有a⃗⊥c⃗．则向量a⃗与c⃗的夹角为π2．故选A．8.答案：D解析：解：记c=√a2+b2，由题意可得B(b2a ,c)，C(−b2a,c)，由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设D(0,t)，则c−tb2a−0×c−a−b2a−0=−1，则t=c−b 4a2(c−a)=c−(c+a)2(c−a)a2，∴2c−[c−(c+a)2(c−a)a2]≤8√a2+b2−7a=8c−7a，∴(c+a)2(c−a)a2≤7(c−a)，∴c2+2ac+a2≤7a2，即e2+2e−6≤0，解得−1−√7≤e≤−1+√7，∵e>1，∴e∈(1,√7−1]，故选：D．求出双曲线的渐近线方程，令x=c，求得B，C的坐标，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(0,t)，。