逻辑代数的基础知识介绍
逻辑代数的基本概念与基本运算
逻辑代数的基本概念与基本运算1. 引言逻辑代数是数学中的一个分支，它主要研究逻辑关系、逻辑运算和逻辑函数等内容。
逻辑代数作为数理逻辑的一个重要工具，不仅在数学、计算机科学等领域具有重要的应用，同时也在现实生活中扮演着重要的角色。
本文将介绍逻辑代数的基本概念与基本运算，帮助读者更好地理解逻辑代数的基本原理和运算规则。
2. 逻辑代数的基本概念逻辑代数是一种用于描述逻辑运算的代数体系，它主要包括逻辑变量、逻辑常量、逻辑运算和逻辑函数等基本概念。
2.1 逻辑变量逻辑变量是逻辑代数中的基本元素，通常用字母表示，表示逻辑命题的真假值。
在逻辑代数中，逻辑变量通常只能取两个值，即真和假，分别用1和0表示。
2.2 逻辑常量逻辑常量是逻辑代数中表示常量真假值的符号，通常用T表示真，用F 表示假。
逻辑常量在逻辑运算中扮演着重要的角色。
2.3 逻辑运算逻辑运算是逻辑代数中的基本运算，包括与、或、非、异或等运算。
逻辑运算主要用于描述不同命题之间的逻辑关系，帮助我们进行逻辑推理和逻辑计算。
2.4 逻辑函数逻辑函数是逻辑代数中的一种特殊函数，它描述了不同逻辑变量之间的逻辑关系。
逻辑函数在逻辑代数中具有重要的地位，它可以通过逻辑运算表达逻辑命题之间的关系，是描述逻辑代数系统的重要工具。
3. 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算包括与运算、或运算、非运算、异或运算等。
这些基本运算在逻辑代数中有着严格的规则和性质，对于理解逻辑代数的基本原理和进行逻辑推理具有重要的意义。
3.1 与运算与运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑与的关系。
与运算的运算规则如下：- 真与真为真，真与假为假，假与假为假。
与运算通常用符号“∧”表示，A∧B表示命题A与命题B的逻辑与关系。
3.2 或运算或运算是逻辑代数中的基本运算之一，它描述了逻辑或的关系。
或运算的运算规则如下：- 真或真为真，真或假为真，假或假为假。
或运算通常用符号“∨”表示，A∨B表示命题A与命题B的逻辑或关系。
逻辑代数基础
其真值表如表2.2.4所示
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
其逻辑规律服从“有0出1， 全1才出0”
实现与非运算用与非门电路来 实现，如图2.2.7所示
5. 或非（NOR）运算
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
或非运算是先或运 算后非运算的组合。以 二变量A、B为例，布尔 代数表达式为：
其真值表如表2.2.7所示 其门电路的逻辑符号如图2.2.11 所示
表2.2.7 同或逻辑真值表
输入 输出
A
BY
A B
= YA B
Y
0
01
0
10
1
00
图2.2.11 同或门逻辑符号
1
11
逻辑符号国标
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式
表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式 表2.3.1 逻辑代数的基本公式
c. 非非律： (A) A
d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A
e. 摩根定律： (AB) A B (A B) A B
注：以上定律均可由真值表验证
链接B
2.3.2 若干常用公式
表2.3.2为常用的一些公式
表2.3.2 常用公式
序号
公
式
21
A AB A
22 A AB A B
故： (ABC) A B C
逻辑代数的
逻辑代数的逻辑代数的基本知识1、定义逻辑代数(布尔代数)：数学方法描述自然界和社会的各种因果关系(逻辑关系)的方法称为逻辑代数。
逻辑代数的特点：①变量取值只有0和1两个；②只有三种且基本运算：逻辑乘(与运算)、逻辑加(或运算)、逻辑否定(非运算或称求反)。
数字电路也称逻辑电路或开关电路。
(1)逻辑电平：数字电路中输入、输出信号大小均以逻辑值表示，电路某点电位高于某值(如2.4v)称为高电平“1”，低于某值(如0.4v)称为低电乎“0”。
(2)逻辑约定：两种逻辑约定。
正逻辑：约定高电平为“1”，低电平为“0”。
负逻辑：约定低电平为“1”，高电乎为“0”。
大多数系统中均采用正逻辑。
(3)正险冲与负脉冲：根据所用逻辑电路元件不同，数字电路中工作信号有正脉冲和负脉冲，这两种脉冲都可采用正逻辑或负逻辑约定。
2、基本逻辑运算及其实现——分立元件门电路(1)逻辑“与”(逻辑乘)：决定某事件(f)成立与否的诸条件(a，b，…)必须同时成立，该事件才能成立，这种逻辑关系称为逻辑“与”。
可写成：f<<="" p="" style="margin: 0 px; padding: 0px; font-family: "microsoft yahei"; font-style: normal; color: rgb(5 1, 51, 51); text-decoration: none;"><="" p="" style="margin: 0px; padding: 0px; font-family: "microsoft yahei"; font-style: normal; color: rgb(51, 51, 51); text-decoration: none;">实现“与”运算的最简电路称为与门。
逻辑代数基础知识讲解
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
2007、3、7
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
2007、3、7
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
逻辑代数基础知识
逻辑代数基础知识逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。
逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。
以下是由店铺整理关于逻辑代数基础知识的内容，希望大家喜欢!逻辑代数的简介逻辑代数是分析和设计逻辑电路的数学基础。
逻辑代数是由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)创立的，故又称布尔代数。
当逻辑代数的逻辑状态多于2种时(如0、1、2或更多状态时)，其通用模型的基本逻辑有2个。
一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑;另外一种是两种状态中按照某种规则(比如比较大小)有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。
依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。
即任意多状态的逻辑是完备的。
当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。
任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。
逻辑代数中的概念参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。
每个变量的取值非0 即1。
0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。
正、负逻辑规定：正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。
负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
逻辑函数：如果有若干个逻辑变量(如A、B、C、D)按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。
对逻辑变量的任意一组取值(如0000、0001、0010)L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。
逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D) 乘法原理和加法原理与逻辑代数的关系⒈与逻辑和乘法乘法原理中自变量是因变量成立的必要条件，与逻辑的定义正好和乘法原理的描述一致，所以与逻辑和乘法对应。
⒉或逻辑和加法加法原理中自变量是因变量成立的充分条件，或逻辑的定义正好和加法原理的描述一致，所以或逻辑和加法对应。
乘法就是广义的与逻辑运算，加法就是广义的或逻辑运算。
01A第一章 逻辑代数基础
正、负逻辑：在实际应用中，器件的输入、输出量用逻辑电平表示， 负逻辑：在实际应用中，器件的输入、输出量用逻辑电平表示，
正逻辑：用高电平表示逻辑1 低电平表示逻辑0 正逻辑：用高电平表示逻辑1，低电平表示逻辑0 负逻辑：用低电平表示逻辑1 高电平表示逻辑0 用图表示） 负逻辑：用低电平表示逻辑1，高电平表示逻辑0（用图表示）
四 二进制代码
编码 ：用二进制数表示文字、符号等信息的过程 用二进制数表示文字、 二进制代码： 二进制代码：用来进行编码之后的二进制数
8421BCD码（ Binary Coded Decimal Codes）为十进制数的二进制编码形式 码 ）
8421码 码
十进制码
8421码 码
十进制码 伪码(冗余码 伪码 冗余码) 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码 伪码(冗余码 冗余码) 伪码 冗余码
若用逻辑表达式 来描述， 来描述，则可写为
L = A ⋅B 或L = AB
与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后， 与运算 只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情 只有当决定一件事情的条件全部具备之后 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑 与逻辑。 才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。 总结： 总结：有0出0，全1出1
1.3基本逻辑运算和基本逻辑门 基本逻辑运算和基本逻辑门
一、 基本逻辑运算
1．与运算 与逻辑举例： 与逻辑举例：首先逻辑赋值 表示开关闭合和灯亮； 设1表示开关闭合和灯亮； 0表示开关不 闭合和灯不亮， 闭合和灯不亮， 则得真值表 真值表。 则得真值表。
这种以列表的方式来真实的反映出输出和输入变量的正确关系的方法叫 做图形法或真值表法。 做图形法或真值表法。 真值表的情况有2 是输入变量个数， 真值表的情况有 n种，n是输入变量个数，列真值表时应将各种可能的 是输入变量个数 情况都列进去，顺序可以随意，但是最好按照十进制的顺序来列，以免漏掉。 情况都列进去，顺序可以随意，但是最好按照十进制的顺序来列，以免漏掉。
逻辑代数基础 举例
逻辑代数基础举例
1. 逻辑代数基础是指用符号和运算符表示逻辑关系的一种数学工具。
它是解决布尔逻辑问题的基础。
2. 逻辑代数基础包括逻辑值、逻辑运算、逻辑表达式和逻辑函数等基本概念。
3. 逻辑值只有两种：真和假。
它们用1和0表示。
逻辑运算包括与、或和非三种基本运算。
4. 逻辑表达式是由逻辑变量和逻辑运算符构成的式子。
它们可以用来表示逻辑函数。
5. 逻辑函数是由逻辑变量和逻辑运算符构成的映射。
它们的取值只有1和0两种可能。
6. 逻辑代数基础可以用来描述数字电路中的逻辑操作。
它们可以用来设计和分析数字电路。
7. 逻辑代数基础对于计算机科学和工程学科都非常重要。
它们被广泛应用于数字电路设计、程序设计和人工智能等领域。
8. 逻辑代数基础可以用来简化逻辑表达式。
这样就可以减少电路的元器件数量和功耗。
9. 逻辑代数基础还可以用来判断逻辑关系的正确性。
这对于设计高可靠性的电路非常重要。
10. 逻辑代数基础还可以用来表示命题逻辑和谓词逻辑。
它们被广泛应用于数学、哲学和语言学等领域。
11. 逻辑代数基础的应用还包括模糊逻辑、量子逻辑和模型检测等
领域。
这些领域对于计算机科学和工程学科的发展都非常重要。
逻辑代数的基本知识
逻辑代数的基本知识 1. 逻辑代数的基本定律根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。
①交换律： A+B = B+A ， A • B = B • A；②结合律： A+(B+C) = (A+B)+ C ， A • (B • C) = (A • B) • C；③分配律: A •(B+C) = A • B+A • C ， A+B • C=(A+B) • (A+C)；④互非定律: A+A = l ，A • A = 0 ；1=+A A ，0=•A A ； ⑤重叠定律（同一定律）：A • A=A， A+A=A ；⑥反演定律(摩根定律）：A • B=A+B 9 A+B=A • B B A B A •=+，B A B A +=•；⑦还原定律: A A = 2. 逻辑代数的基本运算规则 （1）代入规则在逻辑函数表达式中凡是出现某变量的地方都用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。
例如，已知A+AB=A ，将等式中所有出现A 的地方都以函数(C+D)代替则等式仍然成立，即（C+D) + (C+D)B = C+D 。
（2）反演规则对于任意的Y 逻辑式，若将其中所有的“ • ”换成“ + ”换成“ • ”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原函数Y 的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。
运用反演规则时应注意两点： ① 要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。
例：CD B A Y +=应写为))((D C B A Y ++= 证： ))((D C B A CD B A CD B A Y ++=•=+=② 不属于单变量上的非号应保留不变。
例：)(E D C C B A Y•+•= 则[])()(E D C C B A Y ++•++=D C B A Y +•= 则 D C B A Y •++=（3）对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式Y 中所有的算符“ • ”换成“ + ”换成“ •”，常量 “0”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是Y 的对偶式，记为Y’。
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4、八进制数
数字符号为：0～7；基数是8。 运算规律：逢八进一，借一当八，即：7＋1＝10，10－1＝7。 八进制数的权展开式：如： (65.2) 8＝ 6×81＋5×80＋2×8－1＝(53.25)10
各数位的权是8的幂
5、十六进制数
数字符号为：0～9、A～F；基数是16。 运算规律：逢十六进一，借一当十六，即：F＋1＝10，10－1＝F。 十六进制数的权展开式：如： (D8.A) 16＝ 13×161＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10
参考书： 《数字逻辑》(第二版) 欧阳星明主编 华中科技大学出版社 2005年 《数字逻辑电路》 魏达、高强、金玉善、 曹英晖编著 科学出版社 2005年 《电子技术基础：数字部分》(第四版) 康华 光主编 高等教育出版社 2000年
（1-4）
要求
按时上课，认真听讲，师生互动，培 养能力。
课后及时认真复习，独立完成作业。 每周二交上周的作业，按学号顺序排好。
数字电子技术基础 简明教程
（1-1）
数字电子技术是重要的专业基础
数字电子技术是计算机科学与技术、信息工 程、网络工程各专业的一门重要专业基础必修 课。主要研究数字电路与逻辑设计的理论与方 法。
数字电子技术是计算机组成原理、计算机系 统结构、微型机与接口、单片机原理及其应用、 数字系统设计自动化等课程的基础，对理解计 算机的工作原理有十分重要的作用。它的主要 内容包括逻辑代数基础、集成门电路、组合逻 辑电路、触发器、时序逻辑电路、脉冲产生电 路、模数与数模电路等。
（1-9）
数字信号：在时间和幅值上都是离散取值的物理量。 即时间上的离散，量上的离散的信号。如数值，开关 位置，数字逻辑等。
用逻辑1和0表示的数字信号波形如下图所示：
可以把模拟信号变成数字信号，其方法是对模拟信 号进行采样，并用数字代码表示后的信号即为数字信 号。当数字系统要与模拟信号发生联系时，必须经过 模-数和数-模转换电路对信号类型进行转换。
任意一个十进制数都 可以表示为各个数位 上的数码与其对应的 权的乘积之和，称权 展开式。
即：(5555)10＝5×103 ＋5×102＋5×101＋5×100
又如：(209.04)10＝
2×102
＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4
×10－2 （1-14）
3、二进制数
数字符号为：0、1；基数是2。 运算规律：逢二进一，借一当二，即：1＋1＝10，10－1＝1。 二进制数的权展开式：如： (101.01)2＝ 1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2 ＝(5.25)10
各数位的权是２的幂
二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元 件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。
运算 规则
加法规则：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10 减法规则：0－0＝0，0－1＝1，1－0＝1，1－1＝0 乘法规则：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1 除法规则：0÷1＝0，1÷1＝1
平时多努力，基础打扎实，考出好成 绩，用时不费力。
（1-6）
第1章 逻辑代数的基础知识
（1-7）
第1章 逻辑代数的基础知识
概述 1.1 逻辑代数的基本概念、公式和定理 1.2 逻辑函数的化简方法 1.3 逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换
（1-8）
概述
一、 数字信号和模拟信号
模拟信号：在时间和幅值上均是连续变化的信号， 即时间上的连续，量上的连续的信号。如水位，电压， 电流，温度，亮度，颜色等。在自然环境下，大多数 物理信号都是模拟量。如温度是一个模拟量，某一天 的温度在不同时间的变化情况就是一条光滑、连续的 曲线：
数字电路主要研究：电路输出、输入间的逻辑关系。 主要的工具是逻辑代数，电路的功能用真值表、 逻辑表达式及波形图表示。
（1-11）
二、 逻辑代数
在客观世界中，事物发展变化所遵循的因果关系，一 般称为逻辑关系，反映和处理这种关系的数学工具，就 是逻辑代数。
1847年，英国数学家乔治·布尔（George Boole）首 先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法，被称为布 尔代数。后来，由于布尔代数被广泛应用于解决开关电 路和数字逻辑电路的分析和设计上，所以也把布尔代数 叫做开关代数或逻辑代数。
模
A/D
数字处理
拟 世 界
D/A
和 存储系统
（1-10）
模拟电路与数字电路比较
1.电路的特点
在模拟电路中，晶体管一般工作在放大状态； 在数字电路中，三极管工作在开关状态，即工 作在饱和和截止状态。
2.研究的内容
模拟电路主要研究：输入、输出信号间的大小、 相位关系、失真与否。模拟电路包括交直流 放大器、滤波器、信号发生器等。
（1-13）
2、十进制数
数字符号为：0～9；基数是10。
运算规律：逢十进一，借一当十，即：9＋1＝10，10－9＝1。
十进制数的权展开式：
５×１０３＝５０００ ５×１０２＝ ５００
５×１０１＝ ５０＋５×１００＝５５５５５＝５５５５
同样的数码在不同的数 位上代表的数值不同。
103、102、101、100称 为十进制的权。各数 位的权是10的幂。
（1-2）
教学计划
第1章 逻辑代数的基础知识 第2章 门电路 第3章 组合逻辑电路 第4章 触发器 第5章 时序逻辑电路 第6章 脉冲产生与整形电路 第7章 数模与模数转换电路 复习及小测验
8学时 12学时 12学时 8学时 8学时 8学时 4学时 4学时
（1-3）
教材及参考书
教材： 《数字电子技术基础简明教程》(第三版) 余孟尝主编 高等教育出版社 2006年
逻辑代数也是用字母表示变量，这种变量称为逻辑变 量。和普通代数不同的是，逻辑变量只有两种取值，即 0和1。在逻辑代数中，1和0已不再表示数量的大小，而 是表示两种对立的逻辑状态，即命题的真和假、信号的 有和无、电平的高和低、开关的闭合和断开等。
（1-12）
三、 二进制数表示法
1、进位计数制 进位计数制的基本因素：基数和位权。 基数是指计数制中所有到的数字符号的个数。 在基数为R的计数制中，包含0、1、…、R－1 共R个数字符号，进位规律是“逢R进一、借 一当R”，称为R进位计数制。 位权是指在一种进位计数制表示的数中，用 来表明不同数位上数值大小的一个固定常数。 不同数位有不同的位权，某一个数位的数值等 于这一位的数字符号乘上与该位对应的位权。