第三章 逻辑代数基础、逻辑函数化简
逻辑函数化简方法
逻辑函数化简方法
逻辑函数化简是将复杂的逻辑函数简化为更简洁的形式的过程。
以下是常见的逻辑函数化简方法：
1. 真值表方法：通过构造逻辑函数的真值表，观察不同输入值下函数值的变化规律来推导简化逻辑函数的形式。
2. 化简定律：通过逻辑运算的各种定律来对逻辑函数进行化简，常见的包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律等。
3. 卡诺图方法：利用卡诺图来进行逻辑函数的化简。
卡诺图是一种用来表示逻辑函数的图表，通过观察卡诺图的模式，可以找到逻辑函数的最小项和最大项，并将其化简为更简单的形式。
4. 斯芬克斯化简方法：适用于较复杂的逻辑函数。
斯芬克斯化简方法是一种将逻辑函数分解为多个子函数，并利用分解后的子函数进行化简的方法。
这些方法可以单独使用，也可以结合使用，根据具体情况选择合适的方法来进行逻辑函数的化简。
逻辑代数法化简
（2）用真值表证明，即检验等式两边函数的 真值表是否一致。
例：用真值表证明反演律
AB A B
三、逻辑函数的代数化简法：
1．逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形 式，并且能互相转换。 例如：
其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
2．逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准
A AC BD BEF
A C BD BEF
小结：
1、逻辑代数的基本公式。 2、逻辑代数的化简方法。 3、公式的灵活应用。
逻辑代数
一、逻辑代数的基本公式:
二、公式的证明方法：
（1）用简单的公式证明略为复杂的公式。
例： 证明吸收律 证：
A AB A B
A AB A(B B) AB
AB AB AB
AB AB AB AB
A(B B) B( A A)
A B
（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。 （2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“· ”号最 少。
在化简逻辑函数时，要灵活运用上述 方法，才能将逻辑函数化为最简。 例：化简逻辑函数：
L AD AD AB AC BD ABEF B ABEF BEF
03逻辑代数基础（化简法）.pdf
讲稿03第1章 逻辑代数基础(逻辑函数的公式法、卡诺图化简法)1.4 逻辑函数的公式化简法 1 . 4 . 1 化简的意义与标准 一、化简逻辑函数的意义二、逻辑函数式的几种常见形式和变换 三、逻辑函数的最简与-或式 1 . 4 . 2 逻辑函数的代数化简法一、并项法 二、吸收法 三、消去法 四、配项法 1 . 4 . 3 代数化简法举例1.4 逻辑涵数的公式化简法 1 . 4 . 1 化简的意义与标准 一、化简逻辑函数的意义根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。
这对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。
湖南省高校数字教学资源中心NE </t i t l e ></h e a d ><b o d y ><b r ><b二、逻辑函数式的几种常见形式和变换常见的逻辑式主要有5种形式，如逻辑式可表示为三、逻辑函数的最简与-或式1 . 4 .2 逻辑函数的代数化简法一、并项法湖南省高校数字教学资源中心N E </t it le></h ea d><b od y><b r><b1 . 4 . 3 代数化简法举例在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简与-或式.湖南省高校数字教学资源中心NE </t i t l e ></h e a d ><b o d y ><b r ><b1.5 逻辑函数的卡诺图化简法 1. 5. 1 最小项与卡诺图 一、最小项的定义和性质 1．最小项的定义 2．最小项的基本性质 二、表示最小项的卡诺图 1．相邻最小项2．最小项的卡诺图表示 1. 5. 2 用卡诺图表示逻辑函数 一、逻辑函数的标准与-或式 二、用卡诺图表示逻辑函数1．已知逻辑函数式为标准与-或式，画逻辑函数卡诺图。
逻辑函数化简教案
教 学 内 容
教学方法与手段
综合：由于化简函数并不是那么简单，它需要综合之前所学的知识反复运算，才能得到最简
习题
二、新课导入
以上是逻辑代数的基本定律，接下来我们要学习对逻辑函数的化简，要对逻辑函数进行化简，首先要掌握逻辑代数的运算规律。 我们以前学过普通的数学代数运算规律（先括号，后乘除，再加减），其实逻辑代数的运算规律与普通代数运算一样：普通运算的“+”相当于逻辑代数的“或”，普通运算的“*”相当于逻辑代数的“与”，只有一个区别，逻辑运算有非运算，而普通代数没有，在逻辑代数中，非运算相当于括号，其优先级是一样的。
《逻辑函数化简》教案
课题
逻辑函数化简
授课教师
XXX
课时
1
教学目标
1、掌握逻辑代数的基本公式
2、掌握逻辑函数的化简
教学重点
逻辑函数的化简
板书设计
逻辑函数的化简
一、逻辑代数的运算规律
二、化简的要求
三、逻辑函数的化简
教 学 内 容
教学方法与手段
一、课前复习
我们上节课讲了逻辑代数的基本公式，大家一起来回忆一下：逻辑变量和常量的关系式（0-1律、自等律、重叠律、互补律）、与普通代数相似的定律（交换律、结合律、分配律）、反演律（摩根定律）、吸收律（三种）、冗余定律。大家要把这些基本公式记牢，这是我们接下来学习化简逻辑函数的基础。
口述
教 学 内 容
教学方法与手段
例
练：
反演律
2、吸收法：(a)利用A+AB=A并项，消变量。
例:
反演律
A+AB=A
(b) A+ B=A43; B=A+B
反演律
练：
第三讲 逻辑函数的公式化简法
(二) 逻辑函数的代数化简法
（1）并项法
运用公式 A A 1，将两项合并为一项，消去一个变量。如
L A(BC BC) A(BC BC) ABC ABC ABC ABC AB(C C) AB(C C)
AB AB A(B B) A
A BC CB BD DB ADE(F G)
（利用 A AB A B ）
A BC CB BD DB
（利用A+AB=A） （配项法）
A BC(D D) CB BD DB(C C)
A BCD BC D CB BD DBC DBC
A BC D CB BD DBC
（利用A+AB=A）
A C D(B B) CB BD
A C D CB BD
（利用 A A 1 ）
例3
化简逻辑函数： L AB BC BC AB
解法1：
解法2：
由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。代数化 简法的优点是不受变量数目的限制。 缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式 和定理；在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需要一定的技 巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。
知识点导入
这一讲，我们将学习如何使用代数法来 化简逻辑函数，从而使逻辑电路达到最简 洁合理。 首先，我们要熟悉和掌握逻辑代数的基 本公式和基本定律；在此基础上，大家要 灵活运用这些公式和定律对逻辑函数进行 化简。
一、逻辑代数中的基本公式和定律 (一) 基本公式 1．逻辑变量和常量的关系
2．与普通代数相似的定律 1) 交换律
二、逻辑函数的化简与变换（代数法） (一)化简与变换的意义 对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最 简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最 简洁的逻辑电路。 1．逻辑函数的五种表达式 除了与或表达式外还有或与表达式、与 非—与非表达式、或非—或非表达式、与或 非表达式等。
第三章逻辑函数及其化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
三变量最小项的编号表
2、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例13 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
或：
Y AB AB A
代入规则
2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例6 化简函数 解：
Y A B A B CD( E F )
Y A B A B CD( E F ) AB
例7 化简函数
Y ABD C D ABC D( E F EF )
第四节
逻辑函数的卡诺图化简法
用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有 些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍的卡 诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的 逻辑函数化简法。 一、最小项及最小项表达式 1、最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
归纳简化任意逻辑函数的方法：
(1) A AB A （吸收法） AB AC BC AB AC (2) A AB A B （消去法） （3）AB AB A （并项法） （4）A A A A A 1 （配项法）
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
3. 布尔代数与逻辑函数化简
F AB CD E
F A B C D E
G A B C D E
对偶规则：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。 利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：
A B A B A
A( B C ) AB AC
( A B) ( A B ) A
3.1.2
基本法则
（1）代入法则：逻辑等式中的任何变量A，如果将所有出现 A的位置都用另一个逻辑函数Z代替，则等式仍然成立。这个规 则称为代入法则。 例如，已知等式 AB A B ，用函数Y=AC代替等式中 的A，根据代入法则，等式仍然成立，即有：
( AC ) B AC B A B C
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 Y1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 Y2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的变量。 因项 的 Y AB C A C D BC D 子 的 反 Y AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 个积项 AB C AB C D
双重否定律： A A
分别令A=0及 A=1代入这些 公式，即可证 明它们的正确 性。
（3）基本定理
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当 E =1 时，八选一数据选择器 74151“不选择”、 3 线-8 线译码器 74138“不译码”、三态缓冲器 G 输出为高阻态，将输入与输出隔离开，数据不能传输。
10 1 1 1 1
F=AC+AD
F=B+D
４．试用 74138 和逻辑门实现下表所示逻辑函数。
表 3-4 例 3-4 真值表
AB C
F
&F
—
000 0 001 0 010 0 011 0 100 1 101 1 110 1 111 1
F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7
74138
S1 S2 S3
３．用卡诺图化简下列函数。
A B AB AB A B
1.F(A, B,C) (0,1,2,4,5,7)
2.F(A, B,C, D) (2,3,6,7,8,10,12,14)
3.F(A, B,C, D) (0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14)
解：分别将题中给定的逻辑函数卡诺图画出如图所示，并化简写出最简与或表达式。
第三章 逻辑代数基础、逻辑函数化简
１．用逻辑代数的基本公式和常用公式化简下列逻辑函数：
解：
F1 AB AB A F2 ABC ABC ABC ABC AB F3 A B C D ABCD F4 AB AC BC A C
F1 AB AB A A(B 1) AB A B
F AB AD CD BC AB ADCD BC
由表达式画出逻辑图如下图所示：
F
&
&
&
&
&
1
1
A
BC
D
６． 试分析下图所示逻辑图的功能。
“1”
D0
E
S3 S1
F0
D1
D2
MUX
F1
DEMUX
F2
D3
F3
D4
F
G
S2
F4
D5
74151
D6
F5 74138
F6
D7
A2 A1 A0
A2 A1 A0
F2 ABC ABC ABC ABC AB AC(B B) AC(B B) AB A B
F3 A B C D ABCD ABCD ABCD 1
F4 AB AC BC A C A(B 1) AC BC C A C B C 1 ２．证明下列异或运算公式。
解：
A 0 A; A 1 A; A A 0; A A 1; AB AB A; A B A B
A 0 A 0 A 0 A; A 1 A 1 A 1 A; A A A A A A 0
A A A A A A A A 1
AB AB AB AB AB AB AB AB A;
A0 A1 A2
5V
解：㈠用 74138 和与非门实现：由真值表可直接写出逻辑函数 F 的表达式如下： F ABC ABC ABC ABC
将 F 变换得
F ABC ABC ABC ABC
令 A2=A，A1=B，A0=C，得
F A2 A1 A0 A2 A1A0 A2 A1 A0 A2 A1A0 F4 F5 F6 F7 5．人类有四种基本血型—A、B、AB、O 型。输血者与受血者的血型必须符合下述原则：O 型血可以输给 任意血型的人，但 O 型血只能接受 O 型血；AB 型血只能输给 AB 型，但 AB 型能接受所有血型；A 型血能 输给 A 型和 AB 型，但只能接受 A 型或 O 型血；B 型血能输给 B 型和 AB 型，但只能接受 B 型或 O 型血。 试用与非门设计一个检验输血者与受血者血型是否符合上述规定的逻辑电路。如果输血者与受血者的血型
符合规定电路输出“1”（提示：电路只需要四个输入端。它们组成一组二进制代码，每组代码代表一对输 血—受血的血型对）。
解：用变量 A、B、C、D 表示输血者、受血者的血型对作为输入变量，用 F 表示血型是否符合作为输 出变量。得到血型与二进制数间的对应关系如表 3-2 所示，从而得到真值表如表 3-3 所示。
表 3-2 血型与二进制数对应关系
O
00
A
01
B
10
AB
11
表 3-3 输血、受血是否符合的真值表
AB
CD
F
说明
00
00
1
O→O
00
01
1
O→A
00
10
1
O→A
00
11
1
O→AB
01
00
0
A 禁送 O
01
01
1
A→A
01
10
0
A 禁送 B
01
11
1
A→AB
10
00
0
B 禁送 O
10
01
0
B 禁送 A
10
10
1
B→B
10
11
1
B→AB
11
00
0
AB 禁送 O
11
01
0
AB 禁送 A
11
10
0
AB 禁送 B
11
11
1
AB→AB
00 01 11 10
0C0D 1
1
1
1
AB 01 0
1
10
11 0
0
1
0
10 0
0
1
1
图 3-3 例 3-3 输血、受血卡诺图
由真值表画出卡诺图如右图所示。由卡诺图得表达式如下：
从上述分析可见，74138 在电路中起数据分配器的作用。74151 和 74138 一起构成了八路数据分时传 输系统。
1. ABC00 01 11 10 01 1 0 1
11 1 1 0
F=B+AC+AC
2. ABCD00 01 11 10 00 0 0 1 1 01 0 0 1 1
11 1 0 0 1 10 1 0 0 1
3. ABCD00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
F7
A2 A1 A0
解：E =0 时，八选一数据选择器 74151、三态缓冲器 G、3 线-8 线译码器 74138 均处于“工作状态”。
当 A2A1A0=000 时，74151 选择 D0 作为输入数据通道。74138 选择 0 作为输出通道。此时， S2 F D0 。
若 D0=0，即 74138 的 S 2 =0，74138 译码，F0=0，