(完整版)运用向量法证明几个数学公式
(完整版)向量公式大全
向量公式设a=（ x， y），b=(x' ， y') 。
1、向量的加法向量的加法知足平行四边形法例和三角形法例。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a 。
向量加法的运算律：互换律： a+b=b+a；联合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。
2、向量的减法假如 a、 b 是互为相反的向量，那么 a=-b ，b=-a ，a+b=0. 0 的反向量为 0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量 a 的乘积是一个向量，记作λa，且∣λ a∣ =∣λ∣ ?∣ a∣。
当λ＞ 0 时，λ a 与 a 同方向；当λ＜ 0 时，λ a 与 a 反方向；当λ =0 时，λ a=0，方向随意。
当a=0 时，对于随意实数λ，都有λ a=0。
注：按定义知，假如λ a=0，那么λ =0 或 a=0。
实数λ叫做向量 a 的系数，乘数向量λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞ 0）或反方向（λ＜ 0）上伸长为本来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜ 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（λ＞ 0）或反方向（λ＜ 0）上缩短为本来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法知足下边的运算律联合律： ( λa) ?b=λ(a ?b)=(a ?λ b) 。
向量对于数的分派律（第一分派律）：( λ+μ)a= λ a+μa.数对于向量的分派律（第二分派律）：λ (a+b)= λa+λ b.数乘向量的消去律：① 假如实数λ≠ 0 且λ a=λ b，那么 a=b。
②假如 a≠0且λ a=μ a，那么λ =μ。
3、向量的的数目积定义：已知两个非零向量a,b 。
作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a 和向量 b的夹角，记作〈 a,b 〉并规定 0≤〈 a,b 〉≤π定义：两个向量的数目积（内积、点积）是一个数目，记作a?b。
高中数学必修四向量公式
高中数学必修四向量公式1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。
若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos 〈a，b〉;若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
向量的数量积的运算率a·b=b·a(交换率);(a+b)·c=a·c+b·c(分配率);向量的数量积的性质a·a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c (a≠0)，推不出b=c。
3、|a·b|≠|a|·|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。
4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
立体几何证明的向量公式和定理证明
立体几何证明的向量公式和定理证明立体几何中的向量公式和定理证明非常多，下面仅列举其中几个常见的向量公式和定理的证明。
1.向量叉乘的模长公式证明：对于两个三维向量A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)，它们的叉乘C=A×B定义为C=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。
根据向量的定义，我们有C，^2=(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2=(a2^2b3^2-2a2a3b2b3+a3^2b2^2)+(a3^2b1^2-2a1a3b1b3+a1^2b3^2)+(a1^2b2^2-2a1a2b1b2+a2^2b1^2)=a2^2b3^2+a3^2b1^2+a1^2b2^2-2a2a3b2b3-2a1a3b1b3-2a1a2b1b2+a3^2b2^2+a1^2b3^2+a2^2b1^2-2a1a2b1b2-2a2a3b2b3+a1^2b2^2=a1^2(b2^2+b3^2)+a2^2(b1^2+b3^2)+a3^2(b1^2+b2^2)-2(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)=a1^2，B，^2+a2^2，B，^2+a3^2，B，^2-2(a1a2b1b2+a2a3b2b3+a1a3b1b3)=(a1^2+a2^2+a3^2)，B，^2=，A，^2，B，^2因此，可以得出，C， = ，A × B， = ，A，B，sinθ，其中θ为A和B的夹角。
2.向量线性组合的余子定理证明：设有n个非零向量v1, v2, ..., vn，如果它们的线性组合为零向量，即存在一组不全为零的实数c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ...+ cnvn = 0，则对于其中任意一个向量，它的余子向量与其余子式满足如下关系：v1 × (v2 × ... × vn) = (v1 · vn) (v2 × ... × vn) -(v1 · vn-1)(v2 × ... × vn-1)vn为了证明上述关系，我们可以使用向量叉乘的定义进行展开计算。
向量运算公式大全
向量运算公式大全
向量运算，它是数学中的一门重要学科，许多人也熟知它的基本概念，它是利
用有限的空间中的点的运动来描述物体的状态的一种运算。
向量运算公式大全包括平面向量公式、空间向量公式、余弦定理公式和积分公式等。
如平面向量公式，其概念是在二维空间中描述点的运动，它包括三个有向箭头，分别表示x，y，z方向，它们运算规律就是余弦定理，即a^2+b^2=c^2，它可以用
来求解两个向量之间的角度。
空间向量公式在三维空间中用来求解向量间运动，它们有四个有向箭头表示，
它们分别表示x、y、z、w方向，它们也遵循余弦定理，满足a^2+b^2+c^2=d^2。
余弦定理公式，也叫三角形公式，它是向量运算中使用最多的公式之一，它描
述的是两个向量之间的角度。
即a^2+b^2=c^2，它可以用来计算向量的大小、角度等。
积分公式，积分是求向量函数的积分，它是指把一块特定形状的空间按特定函
数进行划分，再把划分出来的空间求和获得一个函数值的过程。
向量函数可以用多种方法来表示，最常见的是用积分公式来求解。
以上是向量运算公式大全的概要介绍，它们的具体使用，实际上还要求一定的
数学知识，理解能力才能更深入的去了解、使用，只有这样才能获得最优效果。
向量的运算的所有公式
向量的运算的所有公式向量运算是数学中的一个重要概念，它可以用来描述力学、物理、几何等领域中的各种现象。
本文将介绍向量的基本运算公式，涵盖向量的加法、减法、数乘、点积、叉积等运算。
1.向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A 和B，它们的加法可以表示为：A+B=(A1+B1,A2+B2,...,An+Bn)其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
2.向量的减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的减法可以表示为：A-B=(A1-B1,A2-B2,...,An-Bn)其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
3.向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个常数得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘可以表示为：kA=(kA1,kA2,...,kAn)其中，A1、A2...An是向量A的各个分量，k是一个实数。
4.向量的点积（内积）：向量的点积是指将两个向量的对应分量相乘再求和得到一个标量。
设有两个向量A和B，它们的点积可以表示为：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn其中，A1、A2...An和B1、B2...Bn分别是向量A和B的各个分量。
5.向量的叉积（外积）：向量的叉积是指将两个向量进行运算得到一个新的向量。
设有两个三维向量A和B，它们的叉积可以表示为：A×B=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别是向量A和B的三个分量。
6.向量的模（长度）：向量的模是指向量的大小或长度，可以通过向量的分量计算得到。
设有一个n维向量A，它的模可以表示为：A，=√(A1^2+A2^2+...+An^2)7.向量的投影：向量的投影是指将一个向量在另一个向量上的投影，得到一个标量。
立体几何中的向量公式
向量法解立体几何用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。
而用向量法解题思路清晰、过程简洁。
对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。
一. 证明两直线平行已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使CD AB λ=二. 证明直线和平面平行1。
已知直线αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,且三点不共线,则a ∥⇔α存在有序实数对μλ,使CE CD AB μλ+=2。
已知直线,,,a B A a ∈⊄α和平面 α的法向量n ，则a ∥n AB ⊥⇔α三.证明两个平面平行已知两个不重合平面βα,，法向量分别为n m ,,则α∥n m //⇔β四．证明两直线垂直 已知直线b a ,。
b D C a B A ∈∈,,,，则0=•⇔⊥CD AB b a五。
证明直线和平面垂直已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈，面α的法向量为m ，则m AB a //⇔⊥α六.证明两个平面垂直已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为n m ,,则n m ⊥⇔⊥βα七．求两异面直线所成的角已知两异面直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线所成的角θ为：CDAB •=θcos八．求直线和平面所成的角AB已知A ，B 为直线a 上任意两点,n 为平面α的法向量,则a 和平面α所成的角θ为:1．⎪⎭⎫ ⎝⎛•2,0π时-=2πθ 2．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,2时2πθ-= 九．求二面角1．已知二面角βα--l ，且l CD l AB D C B A ⊥⊥∈∈,,,,且βα，则二面角的平面角θ的大小为:=θ2.已知二面角,βα--l n m ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的大小与两个法向量所成的角相等或互补。
即-=πθ注：如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。
(1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。
用向量的方法证明
用向量的方法证明
向量方法一般用于证明几何性质，其中最常用的方法是向量共线和向量垂直证明。
1. 向量共线证明：
若要证明两个向量共线，可以采用以下方法：
- 方法一：两个向量的比例相等。
如果有两个向量a和b，可以将它们写成向量的形式，并计算它们的比值。
如果这个比值对于所有的两个向量都相等，那么它们就是共线的。
- 方法二：两个向量的夹角为0度或180度。
可以通过计算两个向量的点积来判断它们的夹角。
如果点积等于0，则两个向量垂直；如果点积为两个向量的模乘积，则两个向量共线。
2. 向量垂直证明：
若要证明两个向量垂直，可以采用以下方法：
- 方法一：两个向量的点积为0。
如果有两个向量a和b，可以计算它们的点积。
如果点积等于0，则这两个向量垂直。
- 方法二：两个向量的斜率互为相反数。
如果有两个向量a和b，可以根据向量的斜率来判断它们是否互为相反数。
如果斜率之积为-1，则这两个向量垂直。
总结起来，向量方法可以通过计算向量之间的比例、点积和斜率等来判断向量之间的几何性质，如共线和垂直。
运用向量法证明几个数学公式
运用向量法证明几个数学公式为了确保完整解答您的问题，我将介绍几个重要的数学公式，并利用向量法进行证明。
1.向量的模长和方向余弦一个向量的模长是指从原点到向量终点的距离，记作，→a。
而方向余弦可以用来表示向量在坐标轴上的投影比例。
假设一个向量→a有坐标(a1,a2,a3)，则其模长为：→a，=√(a1²+a2²+a3²)而方向余弦aa可以表示为：cosaa = aa / ，→a这个公式可以通过用向量→a与坐标轴上的单位向量aa进行点积的方式进行证明。
点积的值为：a·a = ，→a，，→a， cosa，其中a为两个向量之间的夹角。
通过观察上述方程，可以得到：a·a = a1a1 + a2a2 + a3a3 = ，→a，，→a，cosa因此，我们可以将a取为单位向量aa，应用到上述方程中，得到：a·aa = ，→a， cosaaa·aa=a1aa+a2aa+a3aa这个结果与方向余弦aa的定义相似，因此我们可以得出结论：cosaa = aa / ，→a2.向量的内积和外积向量的内积也称为点积或数量积。
假设有两个向量→a和→a，其内积可以表示为：a·a = ，→a，，→a， cosa其中a为两个向量之间的夹角。
这个公式可以通过向量的坐标表示进行证明。
假设向量→a和→a有坐标(a1,a2,a3)和(a1,a2,a3)，则内积可以表示为：a·a=a1a1+a2a2+a3a3而向量的外积也称为叉积或向量积。
其结果是一个新的向量，该向量垂直于原来两个向量的平面，并且模长等于原向量与夹角的正弦值的乘积。
记作→a=→a×→a。
其计算方式如下：→a=(a2a3-a3a2,a3a1-a1a3,a1a2-a2a1)可以通过向量的坐标表示进行证明。
假设向量→a和→a有坐标(a1,a2,a3)和(a1,a2,a3)，则外积可以表示为：→a=(a2a3-a3a2,a3a1-a1a3,a1a2-a2a1)3.向量的投影向量的投影表示一个向量在另一个向量上的分解比例。
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运用向量法证明几个数学
向量法是几何问题代数化的一种重要方法，运用向量法可以证明一些三角或者几何公式，下面仅举几例予以说明。
例1、用向量证明和差化积公式
cos cos 2cos
cos
22αβ
αβ
αβ+-+=
sin sin 2sin cos
22αβαβ
αβ+-+= 如图，作单位圆，并任作两个向量
(cos ,sin )OP αα=u u u r ，(cos ,sin )OQ ββ=u u u r
取
»PQ 的中点M ，则
(cos
,sin
)2
2
M αβαβ
++
连接PQ 、OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点，且ON PQ ⊥，∠Mo x
和∠MOQ 分别为,22αβαβ
+-，所以||||cos cos
22
ON OM αβαβ
--==u u u r u u u u r ，所以点N 的坐标为(||cos ,||sin )
22
ON ON αβαβ
++u u u r u u u r ，即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+
又11
()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r
所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1
(cos cos ,sin sin )2
αβαβ=++
即cos cos 2cos cos 22
αβαβ
αβ+-+= sin sin 2sin cos 22
αβαβαβ+-+= 在上面的基础上，还可以证明另外两个和差化积公式：
sin sin 2cos
sin
22αβ
αβ
αβ+--= cos cos 2sin
sin
2
2
αβ
αβ
αβ+--=-
如图，过P 点作y 轴的平行线，过Q 作x 轴的平行线相交于点F ，那么||sin sin PF αβ=-u u u r ，||cos cos FQ βα=-u u u r
，
∠
QPF
＝
∠
QNE
＝
∠
Mox
＝
2
αβ
+，
||2||2||sin 2sin
22
PQ NQ OQ αβαβ
--===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r
即sin sin 2cos
sin
22αβ
αβ
αβ+--=
cos cos 2sin sin
22
αβαβ
αβ+--=-
例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式
如图，在直角坐标系中，已知12(,)OA a a a ==u u u r r ，12(,)OB b b b ==u u u r r
，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-，三角形OAB 的面积
12211
||2
OAB S a b a b ∆=
- 证明：设,a b α<>=r r ，那么可以得出
||||sin OACB S a b α=r r ，由于cos ||||a b
a b α⋅=r r r r
所以222sin 1cos 1()||||
a b
a b αα⋅=-=-r r r r
222222
1122122111221221222222222
222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++
所以sin α=
所以1221||OACB S a b a b =-，因此12211
||2
OAB S a b a b ∆=
- 例3、用向量法证明三角形面积的海伦公式
三角形面积的海伦公式
: S , 式中c b a ,,为三条边的边长, )(2
1
c b a p ++=
, S 为三角形的面积. 证明: 证明: 在三角形ABC 中, 设BC a =u u u r r , CA b =u u u r r , AB c =u u u r r , a a =ρ
,
b b =ρ,
c c =ρ
因为：ABC ∆的面积为: 1
sin 2
S ab C =
所以: 2222
22211||||sin ||||(1cos )44S a b C a b C ==-r r r r
2222
211||||||||cos 44
a b a b C =-r r r r
＝222
1(||||())4
a b a b -⋅r r r r (1)
因为: 0ρρρρ=++c b a , 所以: c b a ρρρ-=+, 所以: 2
2)(c b a ρρρ=+,
所以: )(2
12
22b a c b a ρρρρρ--=⋅ (2)
将(2)式代入(1)式, 并化简得:
).22()22()22(216
1
))()()((161
])(][)[(161)]
(2)][(2[161
])(41[4122222222222222222a p b p c p p b a c b a c c b a c b a b a c c b a b a c ab b a c ab b a c b a S -⋅-⋅-⋅⋅=+--+-+++=---+=--+---=---= 化简即得 ))()((2c p b p a p p S ---=.
所以
S =
例4、向量方法证明三角形中的射影定理
在△ABC 中，设三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c . ∵AC u u u r ＋CB u u u r ＝AB u u u r
， ∴()AC AC CB AB AC ⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∴2||AC AC CB AB AC +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∴2||||||cos()||||cos AC AC CB C AB AC A π+⋅-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
∴||||cos ||cos AC CB C AB A -=u u u r u u u r u u u r
∴b －a cos C ＝c cos A 即b ＝c cos A ＋a cos C …………………① 类似地有 c ＝a cos B ＋b cos A ， …………………②
a ＝
b cos C ＋
c cos B . …………………③
上述三式称为三角形中的射影定理.。