《平行线的性质定理和判定定理》
§5.4 平行线的性质定理和判定定理
平行
B．
垂直
C．
平行或垂直
D．
无法确定
3．若两个角的两边分别平行，且这两个角的差为40°，则这两角的度数分别是（ ）
A．
150°和110°
B．
140°和100°
C．
110°和70°
D．
70°和30°
4．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（ ）
A．
40°
①不相交的两条直线叫做平行线②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③平行于同一条直线的两条直线互相平行④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
2．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．
50°
B．
130°
C．
100°
D．
50°或130°
2、能力提升问题
11．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（ ）
A．
6对
B．
5对
C．
4对
D．
3对
12．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（ ）
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
13．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（ ）
2、突破重、难点、，规范过程、梳理方法、总结规律、提升能力的问题或题组
问题二:、证明平行等的角有_________个．
5.4平行线的性质定理和判定定理
5.4平行线的性质定理和判定定理东平四中备课人：邓海燕学习目标:1.掌握平行线的性质定理和判定定理的证明。
会区分平行线的判定定理及性质定理，体会二者之间的区别与联系；2.了解互逆命题的概念，知道原命题成立，逆命题不一定成立；了解逆定理的概念。
3培养自己的观察、语言表达能力。
重难点: 会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假。
教学过程一、知识回顾：命题都有两部分组成：（）和（）。
二、自主学习课本166——168页（约7分钟）三、预习检测：1、在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做（2、“内错角相等，两直线平行”的逆命题是（）。
3、“对顶角相等”的逆命题是（）。
这个逆命题是真命题还是假命题？说明理由。
四、新知探究思考：平行线的判定方法有哪些？平行线有哪些性质？你还记得吗？、同位角相等，两直线平行。
、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
1、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
2、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。
3、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
五、典例精析 例1．证明平行线的性质定理2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
：已知：求证：证明：思考：你会证明 “平行线的性质定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补”吗？试一试。
例2.证明 平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
已知：求证：证明：思考：你会证明 “平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。
”吗？与同学交流六、合作探究：例1，例2这两个命题，你能发现它们的条件和结论之间有什么关系？结论;__________________________________________________1、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题互逆命题，如果把 其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的。
两线平行的性质定理
性质定理：1、两直线平行，同位角相等。
2、两直线平行，内错角相等。
3、两直线平行，同旁内角互补。
判定方法：1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
两直线平行的判定定理
1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行）
2、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行）
3、两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c）（等量代换）。
两直线平行的性质定理
1、同一平面内，垂直于同一条直线的两条线段（直线）平行；
2、（同一平面内），平行于同一条直线的两条线段（直线）平行；
3、同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线；
4、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
5.4平行线的性质定理和判定定理
7.3平行线的判定【知识沙盘】【学习目标】1.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”来规范证明“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”.2.能用平行线的判定解决一些简单的问题.【重点】1. 能规范证明平行线的判定定理.2.平行线判定定理的简单应用.【难点】用数学语言和符号语言对文字命题的表述.【学情分析】经过前面的学习我们发现，我们得打的任何一个结论都要有依据。
而我们根据这些“依据”推理、证明，从而得到结论的过程叫做证明。
在“同位角相等，两直线平行”的基本事实下，我们将通过演绎推理得到“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，从而得到平行线的判定定理.【教学过程】一、导入你能用折纸的方法折出两条平行线吗？你的依据是什么？通过前面的学习，我们知道了“同位角相等，两直线平行”的基本事实，那我们能利用它证明另外两个判定定理吗？让我们一起来探究吧！二、自主学习阅读并完成学习指导书的知识储备，完成【自主学习】A级和B级.三、交流研讨出示答案，自主订正四、精讲部分（一）不讲内容：①知识储备、归类总结②A级1,2（二）略讲内容：①B级 33.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中o=B70=∠.试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论.D∠=CA110=∠∠，o直线平行） （同旁内角互补，两ＢＤ（等式的性质）Ｂ（已知）Ｂ，直线平行） （同旁内角互补，两（等式的性质）（已知），理由：ＢＤ解：C A A A DC AB D A D A CA DC AB O O //18070110//18070110////o o o o ∴=∠+∠∴=∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠ （三）精讲内容：① C 级 44.如图，点Ｄ，Ｅ分别在AB 和AC 上，.ABC BE ∠平分 （１）若DEB DBE ∠=∠,求证：BC DE //.（２）若BC DE //，求证：BDE ∆为等腰三角形.（３）在(1)的条件下，若O EBC 25=∠，求BDE ∠的度数．(130180//)(502)(25)(21)(//1)3()DE//BC( )(21)()2()DE//BC()()( )(21)()1(互补两直线平行，同旁内角等式的基本性质已知角平分线的性质已知平分）知由（（等量代换）相等）（两直线平行，内错角已知角平分线的性质已知平分证明：行内错角相等，两直线平等量代换已知角平分线的性质已知平分证明：O O OOABC BDE BCDE EBC ABC EBC ABC EBC DBE ABC BE BCDE EBC DBE DEB EBC ABC EBC DBE ABC BE DEB EBC DEB DBE ABC EBC DBE ABC BE =∠-=∠∴=∠=∠∴=∠∠=∠=∠∴∠∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=∠∴∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠=∠∴∠五、【归类总结】1.知识小结：平行线的判定定理；同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．2.思想方法: 转化的数学思想方法；3.核心素养：几何直观、逻辑推理、数学运算的数学核心素养.六、自我检测七、课堂小结八、布置作业九、教后反思十、预测生成(1）文字命题的已知、画图、求证的转化.(2）运用平行线判定定理解决简单问题时逻辑推理不明确. 十一、板书设计十二、实际生成记录。
青岛版初二数学八年级上册5.4平行线的性质定理和判定定理
自主探究3 1、 例1、例2的两个命题，你发现它们的
条件和结论有什么关系？ 在两个命题中，如果第一个命题的条件 是第二个命题的结论，而第一个命题的 结论是第二个命题的条件，那么这两个 命题叫做互逆命题。 如果把其中一个命题叫做原命题，那么 另一个命题叫做它的逆命题。
自主探究
说出下列命题的逆命题？它们的逆命题是真命题 还是假命题？ （1）两平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补。 （2）对顶角相等。
温馨提示：请 根据上节课所 学习的几何证 明的步骤说说 你的思路.
3
1 2
4
a b
∴∠3=∠2 (两直线平行，同位角相等) ∵ ∠3=∠1 (对顶角相等) ∴∠1=∠2 (等量代换)
自主探究2：
例2：证明平行线的判定 定理1 ：两条直线 被第三条直线所截，如果内错角相等，那 么两直线平行.
已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c 截出的内错角,且∠1=∠2. 求证:a∥b. 证明:∵ ∠1=∠2 (已知), ∠2=∠3 (对顶角相等),
3
c
a
2 1
b
∴∠1=∠3(等量代换).
∵ ∠1=∠3 (已证), ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
已知:如图,∠1和∠2是直 c 线a,b被直线c截出的同旁内 a 1 角,且∠1与∠2互补. 2 求证:a∥b. b 3 证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知), ∴∠1+∠2=1800(互补的定义). 平行线的判定定 0 ∴∠1= 180 -∠2(等式的性质). 理2：同旁内角互 又∵∠3+∠2=1800 (平角的定义), 补两直线平行 0 ∴∠3= 180 -∠2(等式的性质). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
平行线的性质定理和判定定理课件
简单说成：同旁内角互补，两直线平行. ∵ ∠1+ ∠2=180°， ∴ a∥b.
证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论；
a1 b2
c
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
【议一议】 据说,人类知识的75%是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为 什么？ 通过这个操作活动,得 到了什么结论?
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．
但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命 题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就是假命题．
【跟踪训练】
1.举例说明下列命题的逆命题是假命题. （1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数能被 5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位 数字是5. 例如，10能被5整除，但它的个位数字是0. （2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角. 例如，60°= 60°，但这两个角不是直角.
4.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
条件：到一个角的两边距离相等的点. 结论：它在这个角的平分线上. 逆命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. 5.线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：线段垂直平分线上的点. 结论：它到这条线段的两个端点的距离相等. 逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上.
a
∵∠1+∠2=180°, ∴ a∥b.
b
c
1
2
c
第二十四章第3-5节平行线的判定定理;平行线的性质定理;三角形内角和定理
（3）在推理的过程中，已经推出的结论可以作为后面继续推证的依据.
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一.选择题
1.在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线，有且只有一个公共点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中正确的有（）
又∵EF∥AB（已知），
∴∠EFC＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∴∠ADE＝∠EFC（等量代换）.
评析：本题关键是利用平行线的性质，来证明角度相等，要注意角的位置.
例4.如图所示，直线MN分别和直线AB、CD、EF相交于G、H、P，∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：AB∥EF.
分析：要证AB∥EF，可先证AB∥CD和EF∥CD.根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AB∥EF.
（1）∵CE∥AB（已知），
∴∠1＝∠B（）
（2）∵CE∥AB（已知），
∴∠2＝∠A（）
（3）∵∠1＝∠B，∠2＝∠A（已证），
∴∠1＋∠2＝∠B＋∠A（）
即∠ACD＝∠B＋∠A（）
（4）∵BCD是一直线（已知），
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°（），
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（）.
*2.如图所示，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG∥BA.
5.提示：因为∠BAC是△ACD的一个外角，所以∠BAC＞∠1.因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2.因为∠2是△BCD的一个外角，所以∠2＞∠B.所以∠BAC＞∠B.
3.提示：因为AB∥CD，所以∠EMB＝∠END，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4.因为MG∥NH，所以∠3＝∠4.所以∠1＝∠2.
4.提示：过点E作EF∥AB，所以∠B＋∠BEF＝180°，因为AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），所以∠D＋∠DEF＝180°，所以∠B＋∠BEF＋∠DEF＋∠D＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.
青岛版八年级上册数学《平行线的性质定理和判定定理》课件
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那
么两直线平行．
4
探究一：平行线的性质定理 1．平行线的性质定理1：
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
14
3．练一练：说出下面命题的逆命题，它的逆命题是真命题
还是假命题？
（1）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）对顶角相等．
答：（1）逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么两直线平行．
这是个真命题．
（2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
这是个假命题．
15
∴∠1＋∠2＝180°（等量代换）．
7
4．归纳：平行线的性质定理．
答：平行线的性质定理 1 ：两条平行直线被第三条直线所
截，同位角相等．
平行线的性质定理 2 ：两条平行直线被第三条直线所截，
内错角相等．
平行线的性质定理 3 ：两条平行直线被第三条直线所截，
同旁内角互补．
8
探究二：平行线的判定定理
相等）．
∵∠AFE＝∠E（已知），
∴∠FAD＝∠DAC（等量代换），
即AD平分∠BAC．
平行线的性质定理 和判定定理
1
c
Hale Waihona Puke 1．如图，已知直线 a，b被直线
1
2 3
a
5
4 6 7
c所截．
b
8
其中对顶角有________________________________________ ∠1和∠3，∠2和∠4，∠5和∠7，∠6和∠8 ； 同位角有___________________________________________ ； ∠1和∠5，∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8 内错角有_____________________________ ； ∠4和∠6，∠3和∠5
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d
a 23
1 b
几何语言 ☞ 平行线的判定?
公理:
a
同位角相等,两直线平行
.
b
判∵定∠定1理=∠1:2, ∴ a∥b.
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行. b ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
如果两个角是直角, 那么这两个角相等.
如果两个角相等, 那么这两个角是直角.
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
如果a,b互为相反数，那么a+b=0. 如果a+b=0，那么a,b互为相反数．
条件
结论
你能说出下列命题的逆命题吗？它 们的逆命题是真命题还是假命题？
• （1） 两条平行线被第三条直线所截，同旁 内角互补。
• （2）对顶角相等。 • （3）两条平行线被第三条直线所截，内错
角相等。
注：先确定命题的条件和结论，然后再确定逆命题。
A
已知：如图，DE ∥BC， ∠ADE=55 °，
D
∠C=54 °，求∠B和∠DEC的度数 B
E C
注：在以后的证明问题中，括号及括号里的依 据可以不写。