13矩阵的简单应用
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵的简单应用1
2.6矩阵的简单应用（1）学习目标：1、初步了解高阶矩阵；2、了解矩阵的简单应用。
活动过程：活动一：矩阵在数学领域中的简单应用例1：已知盒子A 中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色，1只白色；盒子B 中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色，2只白色。
假定A ，B 两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只黑色小球的概率有多大？例2：如图所示的是A ，B ，C 这3个城市间的交通情况，小月想从其中某一个城市出发直达另一个城市，她可以有几种选择？小结：网络图，结点，一级路矩阵，二级路矩阵的定义。
例3：已知一级路矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡002001210表示一个网络图，它的结点分别是A ，B ，C ，试画出满足条件的一个网络图。
活动二：矩阵在实际生产、生活中的简单应用例4：某运动服销售店经销A，B，C，D4种品牌的运动服，其中尺寸分别有S（小号）、M （中号）、L（大号）、XL（特大号）4种，一天内，该店的销售情况如表所示（单位：件）：假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，问：M号的运动服在这天获得的总利润是多少？活动五：课堂小结与自主检测1、已知某蛋糕厂生产甲、乙、丙3种蛋糕，其配料用量分别如下表（单位：kg）。
已知水果、奶油、白糖、面粉的单价分别为5，8，2，2.5，（单位：元/kg），试计算甲、乙、丙32、写出图示网络表示的一级路矩阵（图（2）的圆圈表示自己到自己有一条路）。
图（1）3、假设某市的天气分为晴和阴两种状态，若今天晴，则明天晴的概率为43，阴的概率为41；若今天阴，则明天晴的概率为31，阴的概率为32。
这些概率可以通过观察某市以往几年每天天气的变化趋势来确定，通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移概率，对应的矩阵叫做转移矩阵，而将这种以当前状态来预测下一时段状态的概率模型称做马尔可夫链。
矩阵的谱分解及其应用
矩阵的谱分解及其应用矩阵的谱分解是线性代数的一个重要分支，它可以将一个矩阵分解为多个简单的部分，从而简化计算。
本文将介绍矩阵的谱分解的原理及其在实际应用中的作用。
一、矩阵的谱分解原理矩阵的谱分解可以看作是将一个矩阵分解为若干个特殊矩阵的和的过程。
其中，特殊矩阵是由矩阵的特征向量和对应的特征值组成的。
具体来说，矩阵的特征向量指与该矩阵相乘后，结果为其常数倍的向量。
而对应的特征值则是常数倍的系数。
通过谱分解，我们可以得到一个矩阵的特征向量和对应的特征值，从而进一步简化计算。
例如，对于一些线性变换问题，可以通过谱分解将其转化为更简单的变换问题，从而得到更便于计算的结果。
二、矩阵的谱分解应用1、PCA降维PCA（Principal Component Analysis）是一种经典的降维方法，其核心就是利用矩阵的谱分解来求解数据的主成分。
具体来说，可以通过求解协方差矩阵的特征值和特征向量来得到数据的主成分。
由于特征值表示了数据在特征向量方向上的重要性，因此可以通过选取前k个特征值对应的特征向量，来将原始数据降维到k 维。
2、图像处理在图像处理中，矩阵的谱分解被广泛应用于图像去噪、图像增强等方面。
例如，在图像去噪中，可以构造一个低通滤波器，将高频成分去除，从而有效地去除图像中的噪声；在图像增强中，可以通过构造拉普拉斯矩阵和其特征向量来实现图像增强，使图像的轮廓更加清晰。
3、量子力学量子力学中存在着著名的谐振子问题，其本质就是一个矩阵的谱分解问题。
通过谐振子问题的求解，可以得到不同能级的波函数和能量本征值，从而进一步了解量子物理学的奥秘。
总结矩阵的谱分解是线性代数中非常重要的一个分支，它可以将复杂的计算问题转化为简单的特征值和特征向量计算问题。
在实际应用中，矩阵的谱分解被广泛应用于机器学习、图像处理、物理学等领域，为人们提供了高效、准确的计算方式。
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用
矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用作者：李慧来源：《课程教育研究》2019年第09期【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。
本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。
【关键词】线性代数矩阵初等变换应用【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。
矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。
矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。
此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。
1.矩阵的初等变换矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。
（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。
（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。
矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：对矩阵Asn进行一次初等行变换，相当于在Asn左边乘上相应的s×s的初等矩阵；对矩阵Asn进行一次初等列变换，相当于在Asn右边乘上相应的n×n的初等矩阵；应用初等变换对矩阵Asn进行化简时，将可产生一个与矩阵Asn有关的等式，该等式与原矩阵的量化关系、性质有着密切关联。
毕业：矩阵的若尔当标准型及简单应用汇编完整
毕业论文（设计）使用授权的说明
本人了解并遵守衡水学院有关保留、使用毕业论文的规定。即：学校有权保留或向有关部门送交毕业论文的原件或复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公开论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文及相关资料。
作者签名：指导教师签名：
日 期：日 期：
定义2形式如 的 阶矩阵，其中每一 都是一个若尔当块，叫做一个若尔当标准形式.
例如：
都是若尔当标准形式.
定理2复数域上每一 阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与 相似的若尔当标准形式是由 唯一确定的.
证在一个对角线分块矩阵里，重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔当块唯一性得到证明.
定理3（1）设 为 上的 维线性空间，线性变换 ： 的特征多项式分解为 上的一次式的积. ， ， 这里， 是弱特征空间 的直和 = ，
又 ，dim = , 在 上的限制 | 的特征多项式和最小多项式为
（2）设矩阵 （ ， ， ）的特征多项式分解为 上一次式的积.det , 这时，存在正则矩阵 ，
方阵 的结束等于 ，构成 的若尔当的个数等于属于 的特征空间多项式的维数 若尔当块矩阵 称为矩阵 的若尔当.
论文题目：反循环矩阵的性质及其逆矩阵的讨论
摘 要：反循环矩阵是矩阵理论的一个重要组成部分,具有很多良好的性质和结构,因此在数理统计、编码理论等很多学科中都有应用，越来越成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究内容。故很有必要对其进行研究,讨论其特殊的性质和结构。
哈尔滨师范大学
学年论文
题 目矩阵的若尔当标准型及简单应用
学 生 李小琴
指导老师 穆强
年 级 2005级
矩阵的运算应用实例
25 .0 40 .0 55 .0
25 .0 25 .0 47 .5
矩阵运算应用示例三
问题描述：
设我们要为一次聚会准备餐饮，需要10个大型
三明治（巨无霸）、6夸脱（每夸脱约1.14 升——译注）果汁饮料、3夸脱土豆沙拉及2盘 开胃菜。以下数据给出3家不同供货商提供这 些商品的单价：
问题分析一：
问题所要求的是对于题目中所给出的四种矩阵，
理解它们所代表的含义，并根据所提出的三个 问题，将对应的矩阵组合起来，以乘积形式表 述出来。由于各个矩阵代表的含义不同，所以 局阵乘积所代表的含义也尽不相同。
问题分析二：
对于第一个问题是要求出为建造每种类型住宅
需要各种物品的数量，由题意对于C矩阵的定 义我们得知矩阵C正是题目所要求的答案。 对于第二个问题是要求出在每个国家制造每种物
（b）哪个矩阵乘积给出了在每个国家制造 每种物品需要多少费用？ （c）哪个矩阵乘积给出了在每个国家建造 每种类型住宅需要多少费用？
预备知识：
两个矩阵乘积的定义： 矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第
一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对 应元素乘积的和。当然，在矩真乘积定义中， 我要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数 相等。
A
机时
I/O 执行 系统
计时收费
B I/0 执行 系统
方式Ⅰ
方式Ⅱ
作业A 作业B
20 10 作业C 5 4 25 8 10 10 5
2 3 6 5 3 4
C 每种类型的作业数量 D 方式Ⅰ 方式Ⅱ 机时比
供货商A 供货商B 供货商C
巨无霸 $ 4.00 $ 6.00 $ 1.00 $ 0.85 $ 5.00 $ 5.00 $ 0.85 $ 1.00 $ 7.00
矩阵特征值的应用实例
摘要: 在线性代数一书中我们学习了矩阵特征值的应用，我们研究了它的以下应用实例，第一是通过Fibonacci数列通项，莱斯利（Leslie）种群模型，第二是通过特征值在线性方程组的求解问题研究特征值在线性方程组中应用，还列举了特征值和特征向量相关的性质.关键词：Fibonacci数列,莱斯利（Leslie）种群模型，特征值,特征向量,基础解系，特征多项式,互逆变换英文题目Abstract:In the theory of matrix eigenvalue,we have learned it’sapplications .we will mainly probe into the applications of two of them. The first one is the application of eigenvalue in model by building the model of formula of term of the Fibonacci sequence and Leslie population model. The second one is the application of eigenvalue in differential equation by solving the problem of linear differential equations，and then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors.Key words: fibonacci sequence, Leslie population model, eigenvalue ,eigenvector, characteristic ,exchange polynomial正文： 1 引言矩阵特征值是线性代数的一个重要内容,在理论和实际应用上都起着非常重要的作用。
矩阵的简单运算公式
矩阵的简单运算公式矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机等各个领域。
矩阵的运算涉及到加法、减法、数乘和乘法等操作，下面将介绍一些简单的矩阵运算公式。
1. 矩阵加法矩阵加法是指两个矩阵按照相同位置的元素进行相加的运算。
设矩阵A和矩阵B分别为m行n列的矩阵，其加法公式为：C = A + B其中C为相加后的结果矩阵，C的每个元素等于A和B对应位置元素的和。
2. 矩阵减法矩阵减法是指两个矩阵按照相同位置的元素进行相减的运算。
设矩阵A和矩阵B分别为m行n列的矩阵，其减法公式为：C = A - B其中C为相减后的结果矩阵，C的每个元素等于A和B对应位置元素的差。
3. 数乘数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个常数。
设矩阵A为m行n列的矩阵，k为常数，其数乘公式为：C = kA其中C为数乘后的结果矩阵，C的每个元素等于k乘以A相应位置的元素。
4. 矩阵乘法矩阵乘法是指两个矩阵按照一定规律进行的乘法运算。
设矩阵A为m行p列的矩阵，矩阵B为p行n列的矩阵，其乘法公式为：C = AB其中C为乘法的结果矩阵，C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。
以上是矩阵的几种简单运算公式，在实际运用中可以通过这些公式进行各种复杂的矩阵运算。
矩阵运算在线性代数、图像处理、数据分析等领域具有广泛的应用，依靠这些运算公式可以很方便地对矩阵进行操作和计算。
需要注意的是，在进行矩阵运算时，要确保参与运算的矩阵具有相同的行列数，否则运算无法进行。
此外，矩阵运算具有交换律、结合律和分配律等基本性质，可以根据需要灵活运用。
总之，矩阵的简单运算公式包括加法、减法、数乘和乘法等操作，这些公式可以帮助我们对矩阵进行各种运算和计算。
掌握这些运算公式，并善于应用，将会对求解复杂问题起到很大的帮助作用。