2014年高考中的几何光学考题归类赏析
2014年高考中的几何光学考题归类赏析
几何光学以光的直线传播为基础，主要计论了影的形成，光的反射和折射现象所遵循的基本规律及应用.从近年的高考试题看，着重于“光路”的考查（折射、全反射、棱镜等），一般是以折射率为桥梁考查光线的去向的定性分析和定量计算问题；同时注重考查几何光学在实际中的应用问题，下面就2014年高考中的几何光学考题归类赏析.
一、光的折射规律的应用
例1 （2014年高考北京理综卷考题）以往，已知材料的折射率都为正值（n>0）.现已有针对某些电磁波设计制作的人工材料，其折射率可以为负值（n。
2014年全国高考理科数学试题选编10.平面解析几何试题解析
2014年全国高考理科数学试题选编十.平面解析几何试题一.选择题和填空题1.全国课标Ⅰ.4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )． AB ．3 CD ．3m2.全国课标Ⅰ.10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若4FP FQ =，则|QF |＝( )． A ．72 B ．3 C ．52D ．2 3.(4课标全国Ⅱ.10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )．ABC ．6332D ．944.(大纲全国.6)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为3，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B的周长为C 的方程为( )．A ．22=132x y +B ．22=13x y + C ．22=1128x y + D ．22=1124x y + 5.（大纲全国.9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |， 则cos ∠AF 2F 1＝( )．A ．14 B ．13 CD6.(天津.5)已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )．A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 7.(福建9)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和 椭圆22+110xy =上的点，则P ，Q 两点间的 最大距离是( )．A．BC．D．8.(湖北9)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )． A．3 B．3C ．3D ．2 9.(广东4)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线22=1259x y k --与曲线22=1259x y k --的( )． A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等10.(江西9)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )． A ．4π5 B ．3π4 C．(6π- D ．5π411. (辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )． A ．12 B ．23 C ．34 D ．4312.(山东10)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为22221x y a b +=，双曲线C 2的方程为22221x y a b-=，C 1与C 2的离心率之积为2，则C 2的渐近线方程为( )．A．0x = B0y ±= C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝013.(四川10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则△ABO与△AFO 面积之和的最小值是( )．A ．2B ．3 C．8D14. (重庆8)设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则 该双曲线的离心率为( )． A ．43 B ．53 C ．94D ．3 15.(大纲全国.15)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.（陕西.12)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为__．解析：因为(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，所以圆C是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1.17.（全国课标Ⅱ.16)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是__________．18.(湖北12)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.19.(重庆13)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝__________.20.（北京.11)设双曲线C经过点(2,2)，且与2214yx-=具有相同渐近线，则C的方程为__________；渐近线方程为__________．21.（安徽.14)设F1，F2分别是椭圆E：222=1yxb+(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为__________．22.(江西15)过点M(1,1)作斜率为12-的直线与椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于__________．23.(辽宁15)已知椭圆C：22194x y+=，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________.24.(湖南15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则ba＝__________.25.(四川14)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是__________．26.(浙江16)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|P A|＝|PB|，则该双曲线的离心率是__________．二.解答题1.(课标全国Ⅰ.20满分12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：22221x ya b+=(a＞b＞0)F是椭圆E的右焦点，直线AF，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．2. (课标全国Ⅱ.20满分12分)设F1，F2分别是椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.3. (大纲全国21满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且54Q F P Q=.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．4. (陕西20满分13分)如图，曲线C由上半椭圆C1：22221y xa b+=(a＞b＞0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．5. (北京19满分14分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与 圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．6. (天津18满分13分)设椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F，F 2，右顶点为A ，上 顶点为B .已知12AB F .(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．7. (安徽19满分13分)如图，已知两条抛物线 E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)， 过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求12S S 的值． 8. (福建19满分13分)已知双曲线E ：22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．9. (湖北21满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程．(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．10. (湖南21满分13分)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：22221x y a b-=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：22221x ya b-=的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知122e e =，且241F F =.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 11. (浙江21满分15分)如图，设椭圆C ：2222=1x ya b+(a ＞b ＞0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直， 证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b . 12. (广东20满分14分)已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的一个焦点为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．13. (江西20满分13分)如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(a ＞0)的右焦点为F ，点A ，B分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴， AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l 1：0021x xy y a -=与直线AF 相交于点M ， 与直线32x =相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，||||MF NF 恒为定值，并求此定值．14. (辽宁20满分12分)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：22221x y a b-=过点P(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．15. (山东21满分14分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； ②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．16. (四川20满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3 上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于 点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 17. (重庆21满分12分)如图，设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，121||||F F DF =△DF 1F 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．十.平面解析几何试题解析一.选择题和填空题1.全国课标Ⅰ.4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m ＞0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )． AB ．3 CD ．3m解析：由题意，可得双曲线C为22=1 33x ym-，则双曲线的半焦距c.不妨取右焦点)，其渐近线方程为y x=，即0x=.所以由点到直线的距离公式得d==故选A.2.全国课标Ⅰ.10．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若4FP FQ=，则|QF|＝()．A．72B．3 C．52D．2解析：如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.由题意，得△PHQ∽△PMF，则有||||3||||4HQ PQMF PF==，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.3.(4课标全国Ⅱ.10)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()．ABC．6332D．94解析：由已知得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故直线AB的方程为3tan 304y x⎛⎫=︒-⎪⎝⎭，即y x=.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立23,y xy x⎧=⎪⎨⎪=⎩①②将①代入②并整理得21733216x x-+=，∴12212x x+=，∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝21322+＝12.又原点(0,0)到直线AB的距离为38d==.∴1139||122284OABS AB d∆==⨯⨯=.4.(大纲全国.6)已知椭圆C：2222=1x ya b+(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为3，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为C的方程为()．A．22=132x y+B．22=13xy+C．22=1128x y+D．22=1124x y+解析：∵2222=1x ya b+(a＞b＞0)，∴ca=又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为∴4a=，∴a=∴b=22=132x y+，选A.5.（大纲全国.9)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()．A．14B．13C．4D．3解析：∵双曲线的离心率为2，∴2ca=，∴a∶b∶c＝1 2.又∵121222AF AF aF A F A⎧-=⎪⎨=⎪⎩，，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ， ∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，41422161642cos 222212212212212=⨯⨯-+=-+=∠∴a a a a a F F AF AF F F AF F AF 6.(天津.5)已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )．A ．221520x y -= B ．221205x y -= C ．2233125100x y -= D ．2233110025x y -= 解析：由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5.又因为一条渐近线与l 平行，因此2ba=，可解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为221520x y -=，故选A ．7.(福建9)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆22+110x y =上的点，则P ，Q 两点间的 最大距离是( )．A．BC．D．解析：设Q (x ，y )，则该点到圆心的距离22210(1)691246d y y y y =-+(-)=--+226x y =+(-)=y ∈[－1,1]，∴当122293y -=-=-⨯(-)时，max d =∴圆上点P 和椭圆上点Q的距离的最大值为max d r +==故选D.8.(湖北9)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π=3F PF ∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )．ABC ．3D ．2 解析：设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c .由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|πcos3. 而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2可得222123=4a a c +.令a 1＝2c cos θ，2 a θ，即122cos a a c c θθ+=+＝2cos θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1sin 2θθ⎫+⎪⎪⎝⎭π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.，故选A. 9.(广东4)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线22=1259x y k --与曲线22=1259x y k --的( )． A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等解析：因为0＜k ＜9，所以方程22=1259x y k--与22=1259x y k --均表示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线22=1x y k --中，其实轴长为10，虚轴长为=22=1259x y k --中，其实轴长为，虚轴长为6，焦距为=.因此两曲线的焦距相等，故选A.10.(江西9)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是 x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )． A ．4π5 B ．3π4 C ．(6π- D ．5π4解析：由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB的中点，且圆C过原点(0,0)，∵圆C与直线2x＋y－4＝0相切，∴圆C的圆心M到原点(0,0)的距离等于M点到直线2x＋y－4＝0的距离．由抛物线的定义可知，圆C的圆心M的轨迹是以(0,0)为焦点，2x＋y－4＝0为准线的抛物线．如图所示．要使圆C面积最小，则需找出圆C半径的最小值．由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短，即为(0,0)到直线2x＋y－4＝0的距离的一半．因此，圆C半径的最小值为min125r==.故圆C面积的最小值为22min4πππ55r⎛=⨯=⎝⎭.11. (辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()．A．12B．23C．34D．43解析：由题意可知准线方程x＝2p-＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k＞0，则可得切线方程为y－3＝k(x＋2)．联立方程23=2,=8,y k xy x-(+)⎧⎨⎩消去x得ky2－8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得12k=或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的斜率为43.12.(山东10)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为22221x ya b+=，双曲线C2的方程为22221x ya b-=，C1与C2C2的渐近线方程为()．A．0x=By±=C．x±2y＝0 D．2x±y＝0解析：由题意，知椭圆C1的离心率1e=，双曲线C2的离心率为2e=因为12e e⋅=，=即2222434a b a ba(-)(+)=，整理可得a=.又双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，所以0bx=，即0x=.13.(四川10)已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB⋅=(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()．A．2 B．3 C．8D解析：设AB所在直线方程为x＝my＋t.由2,,x my ty x=+⎧⎨=⎩消去x，得y2－my－t＝0.设211(,)A y y，222(,)B y y(不妨令y1＞0，y2＜0)，故2212y y m+=，y1y2＝－t.而2212122OA OB y y y y⋅=+=.解得y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去)．所以－t＝－2，即t＝2.所以直线AB过定点M(2,0)．而S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝12|OM||y1－y2|＝y1－y2，1111111||2248AFOS OF y y y∆=⨯=⨯=，故S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋118y＝198y－y2.由121299()388y y y y-=≥+-，得S△ABO＋S△AFO的最小值为3，故选B.14. (重庆8)设F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则 该双曲线的离心率为( )． A ．43 B ．53 C ．94D ．3 解析：根据双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 可得|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.而由已知可得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝9b 2， 两式作差可得－4|PF 1||PF 2|＝4a 2－9b 2.又|PF 1||PF 2|＝94ab ，所以有4a 2＋9ab －9b 2＝0， 即(4a －3b )(a ＋3b )＝0，得4a ＝3b ， 平方得16a 2＝9b 2，即16a 2＝9(c 2－a 2)，即25a 2＝9c 2，22259c a =，所以53e =，故选B.15.(大纲全国.15)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．解析：如图所示，设l 1与圆O ：x 2＋y 2＝2相切于点B ，l与圆O ：x 2＋y2＝2相切于点C，则OB =，OA =AB =∴1tan 2OB AB α===. ∴2122tan 42tan tan 211tan 314BAC ααα⨯∠====--.16.（陕西.12)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__． 解析：因为(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋(y －1)2＝1.17.（全国课标Ⅱ.16)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是__________．解析：如图所示，设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ，则点P 在圆O 上， 且MP 与圆O 相切，而点M 在直线y ＝1上运动，由圆上存在点N 使∠OMN ＝45°，则∠OMN ≤∠OMP ＝∠OMA ， ∴∠OMA ≥45°，∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM ＝45°时，x 0＝±1.∴结合图象知，当∠AOM ≤45°时，－1≤x 0≤1， ∴x 0的范围为[－1,1]．18.(湖北12)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单 位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧， 则a 2＋b 2＝________.解析：由题意，得圆心(0,0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，=cos 452=︒=， 所以a ＝b ＝1，故a 2＋b 2＝2.19.(重庆13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的 圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点， 且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝__________. 解析：由△ABC 为等边三角形可得，C 到AB 的即(1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d ==a 2－8a ＋1＝0，可求得4a =20.（北京.11)设双曲线C 经过点(2,2)，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程 为__________；渐近线方程为__________．解析：双曲线2214y x -=的渐近线方程为 y ＝±2x .设与双曲线2214y x -=有共同渐近线的方程 为224y x λ-=， 又(2,2)在双曲线上，故2222=4λ-， 解得λ＝－3.故所求双曲线方程为2234y x -=-， 即22=1312x y -. 所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .21.（安徽.14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：222=1y x b+(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆 E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴， 则椭圆E 的方程为__________．解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，011212||||33c B F F F ==，得B 0坐标为5,03c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即B 点横坐标为53c-.设直线AB 的斜率为k ，又直线过点F 1(－c,0)，∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．由222(),1y k x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0，其两根为53c-和c ，由韦达定理得2222222252,35,3ck c c k b k c b c c k b ⎧--+=⎪⎪+⎨-⎪-⨯=⎪+⎩解之，得213c =， ∴b 2＝1－223c =.∴椭圆方程为22312x y +=.22.(江西15)过点M (1,1)作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率 等于__________．解析：由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得2211222222221(0),1(0).x y a b a b x y a b a b ⎧+=>>⎪⎪⎨⎪+=>>⎪⎩①②①－②，并整理得1212221212x x y ya y yb x x +-=(+)(-).(*) ∵M 是线段AB 的中点，且过点M (1,1)的直线斜率为12-， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，121212y y k x x -==--.∴(*)式可化为22112a b=， 即a 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，即2212c a =.∴2c e a ==.23.(辽宁15)已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上， 则|AN |＋|BN |＝__________.解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|． ∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.24.(湖南15)如图，正方形ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为 AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝__________.解析：由题意，知,2a C a ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又C ，F 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，所以222,22(),2a a p ab p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①②由②÷①，得222b b aa a+=，即b 2－2ba －a 2＝0，解得1ba =±负值舍去)．故1ba=±25.(四川14)设m ∈R ，过定点A 的动直线 x ＋my ＝0和过定点B 的动直线 mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )， 则|P A |·|PB |的最大值是__________．解析：由题意可知点A 为(0,0)，点B 为(1,3)．又∵直线x ＋my ＝0的斜率11k m=-，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率k 2＝m ，∴k 1k 2＝－1. ∴两条动直线互相垂直．又∵圆的性质可知，动点P (x ，y )的轨迹是圆，∴圆的直径为AB ==.∴222||||||=522PA PB AB PA PB +⋅≤=. 当且仅当|P A |＝|PB |∴|P A |·|PB |的最大值是5.26.(浙江16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分 别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |， 则该双曲线的离心率是__________．解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为b y x a =与by x a=-，它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得33am bm A a b a b --⎛⎫⎪--⎝⎭，，33am bm B a b a b -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 由|P A |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，则333322am am bm bm a b a b a b a b Q ---⎛⎫++ ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭，， 由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1， 解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2)，即225=4c a .故c a 二.解答题1.(课标全国Ⅰ.20满分12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，F 是椭圆E 的右焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．分析：(1)由过A (0，－2)，F (c,0)的直线AF 的或过两点的直线斜率公式可求c ，再由c e a ==，可求a ，由b 2＝a 2－c 2可求b 2，则椭圆E 的方程可求．(2)由题意知动直线l 的斜率存在，故可设其斜 率为k ，写出直线方程，并与椭圆方程联立， 消去y ，整理成关于x 的一元二次方程， 利用弦长公式求出弦PQ 的长|PQ |，利用点到直线的公式求出点O 到直线PQ 的 距离d ，则由12OPQ S PQ d ∆=⋅， 可将S △OPQ 表示成关于k 的函数，转化为求函数f (k )的最大值问题．注意k 应使得一元二次方程的判别式大于0.解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c =得c =又2c a =，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为2214x y +=. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入2214x y +=， 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即234k >时，1,22841k x k ±=+. 从而12241PQ x k =-=+. 又点O 到直线PQ的距离d =，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d PQ ⋅＝241k +t =，则t ＞0，24444OPQ t S t t t∆==++. 因为44t t +≥，当且仅当t ＝2，即k =时等号成立，且满足Δ＞0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =-.2. (课标全国Ⅱ.20满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2， 且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .分析：在第(1)问中，根据椭圆中a ，b ，c 的关系及题目给出的条件可知点M 的坐标，从而由斜率条件得出a ，c 的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O 是F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，可得a ，b 之间的一个关系式，再根据条件|MN |＝5|F 1N |，可得|DF 1|与|F 1N |的关系，然后可求出点N 的坐标，代入C 的方程，可得a ，b ，c 的另一关系式，最后利用a ，b ，c 的关系式可求得结论．解：(1)根据c =2,b Mc a⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得12c a =，2ca=- (舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故24b a=， 即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |， 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则112,22,c x c y (--)=⎧⎨-=⎩即113,21,x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b+=.②将①及c =22941144a a a a(-)+=. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b =3. (大纲全国21满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54Q F P Q =.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程． 分析：(1)设出Q 点坐标，利用54QF PQ =列出关于p 的方程，借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p .(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直．因直线l 过F (1,0)，可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 直线l 与抛物线方程联立，利用韦达定理得到 y 1＋y 2，y 1y 2关于m 的表达式，借助弦长公式得12|||AB y y =-(其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))，同理可得34|||MN y y =-(其中M (x 3，y 3)， N (x 4，y 4))．由题目中的A ，M ，B ，N 四点在同一圆上得到关于m 的方程，进而求出m ，得到直线l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得08x p=. 所以8||PQ p =，08||22p p QF x p =+=+.由题设得85824p p p+=⨯，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ， y 1y 2＝－4.故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，212|||4(1)AB y y m =-=+．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为2123x y m m=-++. 将上式代入y 2＝4x ， 并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则344y y m+=-， y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故MN 的中点为222223,E m m m ⎛⎫++-⎪⎝⎭，34|||MN y y =-=由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211||||||44AB DE MN +=，即2222222242241214(1)22m m m m m m m (+)(+)⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1.所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 4. (陕西20满分13分)如图，曲线C 由上半椭圆C 1：22221y x a b+=(a ＞b ＞0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2 的公共点为A ，B ，其中C 1(1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程． 分析：在第(1)问中，利用公共点A ，B 是椭圆的两个顶点，可求出b 的值，再结合离心率c e a=的值，以及a 2－c 2＝b 2关系式可求得a 的值． 对于第(2)问，结合第(1)问结论，可先设出直线 l 的方程，l 与C 1联立得出P 的坐标，l 与C 2 联立得出Q 的坐标，进而利用AP ⊥AQ ，借助于0AP AQ ⋅=或k AP ·k AQ ＝－1，可列出关于k 的方程，从而求解得出k 值，故可求得直线方程．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1,0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左右顶点． 设C 1的半焦距为c ，由c a =及a 2－c 2＝b 2＝1 得a ＝2.∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为22+=14y x (y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方 程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得2244P k x k -=+，从而284P ky k -=+，∴点P 的坐标为22248,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 同理，由2(1)(0),1(0),y k x k y x y =-≠⎧⎨=-+≤⎩得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴224kAP k =+ (k ，－4)， AQ ＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴0AP AQ ⋅=，即222[4(2)]04k k k k --+=+， ∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0， 解得83k =-.经检验，83k =-符合题意， 故直线l 的方程为8(1)3y x =--．5. (北京19满分14分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与 圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论． 分析：(1)先把方程化为标准方程，分别求出 a ，c ，即可求得离心率e ；(2)分别设出A ，B 两点的坐标，先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系，然后根据A ，B 两点横坐标是否相等分类，分别求出原点O 到直线AB 的距离，将其与置关系．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为22=142x y +. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c =故椭圆C的离心率2c e a ==. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)， 其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以0OA OB ⋅=，即tx 0＋2y 0＝0，解得002yt x =-.当x 0＝t 时，202t y =-，代入椭圆C 的方程，得t =故直线AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d ，此时直线AB与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为0022=y y x t---(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d =.又2200+24x y =，00t x =-，故d 此时直线AB 与圆x ＋y 2＝2相切．6. (天津18满分13分)设椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F，F 2，右顶点为A ，上 顶点为B .已知12AB F .(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．分析：(1)由题知A (a,0)，B (0，b )，|F 1F 2|＝2c ，因此可由已知条件结合b 2＝a 2－c 2，求出离心率． (2)由(1)可设出只含一个参数c 的椭圆标准方程，设出P 点坐标．由以PB 为直径的圆过F 1知PF 1⊥BF 1，得P 点坐标关系．由P 点在椭圆上，得P 点坐标另一关系，由此确定P 点坐标．再根据过原点的直线l 与圆相切，列出斜率k 的方程，即可求出k 值．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由12||||AB F F ，可得a 2＋b 2＝3c 2， 又b 2＝a 2－c 2，则221=2c a .所以椭圆的离心率e =.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为2222=12x y c c+.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有100=()F P x c y +，，1=()F B c c ， 由已知，有11=0F P F B ⋅，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①又因为点P 在椭圆上，故220022=12x y c c+. ② 由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得0=3c y ，即点P 的坐标为433c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则1423==23c x c -+-，12323c cy c +==，进而圆的半径 r ==.设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的 方程为y ＝kx . 由lr ，3， 整理得k 2－8k ＋1＝0，解得4k =所以，直线l 的斜率为4或47. (安徽19满分13分)如图，已知两条抛物线 E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)， 过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求12S S 的值． 分析：(1)先将直线l 1，l 2的方程设出来，再分别与抛物线y 2＝2p 1x 和y 2＝2p 2x 联立求出A 1与A 2的坐标，同理再求得B 1，B 2的坐标，利用向量这一工具，把11A B 与22A B 的坐标求出，由向量共线(平行)条件知A 1B 1∥A 2B 2. (2)由(1)中的结论，得出B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，进而得出△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，以及△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方从而求解．(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为 y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由121,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩得11121122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由122,2,y k x y p x =⎧⎨=⎩得22221122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理可得11122222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，22222222,p p B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以111112122222121212122221111,2,p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.222222222222121212122221111,2,p p p p A B p k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故111222p A B A B p =， 所以A 1B 1∥A 2B 2. (2)解：由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2.所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2. 因此2111222||||S A B S A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 又由(1)中的111222p A B A B p =知111222||||A B p p A B =. 故211222S p S p =. 8. (福建19满分13分)已知双曲线E ：22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．分析：在第(1)问中，已知渐近线方程，即a 与b 的关系，再结合双曲线本身a ，b ，c 的关系及离心率ce a=，便可求得离心率． (2)首先根据渐近线方程设双曲线方程，然后根据动直线l 的斜率是否存在进行分类讨论．显然斜率不存在时，由直线l 和双曲线有且只有一个公共点可知其方程为x ＝a ，此时只需检验△OAB 的面积是否为8即可；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，首先由△OAB 的面积为8求出k ，m 的关系式，然后根据直线和圆锥曲线有且只有一个公共点，利用判别式的符号判断其存在性．解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ， 所以2ba=， 所以2=，故c =，从而双曲线E 的离心率ce a==. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为222214x y a a -=.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以1||||82OC AB ⋅=，因此1482a a ⋅=，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为221416x y -=. 若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k ＞2或k ＜－2，则,0m C k ⎛⎫-⎪⎝⎭.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由,2y kx m y x =+⎧⎨=⎩得122m y k =-，同理得222my k=+，由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得，1228222m m m k k k-⋅-=-+，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由22,1416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2＜0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)，又因为m 2＝4(k 2－4)， 所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=. 解法二：(1)同解法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为222214x y a a -=. 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得1122m -<<. 由,2y my t y x=+⎧⎨=⎩得1212t y m =-，同理得2212ty m-=+.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8， 得122||821212t t t m m⋅+=-+， 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由2222,14x my t x y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩得， (4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1＜0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=. 解法三：(1)同解法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程 为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得k ＞2或k ＜－2.由22,40y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得， (4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2＜0，Δ＞0，所以21224m x x k -=-，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝8， 又易知4sin 5AOB ∠=，8=， 化简得x 1x 2＝4.所以2244m k-=-，即m 2＝4(k 2－4)． 由(1)得双曲线E 的方程为222214x y a a -=， 由2222,14y kx m x y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩得， (4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2＜0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，。
2014高考真题-立体几何大题(含解析)
解答题1． [2014·安徽卷19] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC . 同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .2．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若图解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .3．[2014·陕西卷17] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.4．[2014·湖南卷18] 如图1-3所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .5．[2014·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图1-5(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABC -A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.6．[2014·湖北卷20] 如图1-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD -A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.7．[2014·江苏卷16] 如图1-4所示，在三棱锥P -ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.图1-4解：（1）∵D E，为PC AC，中点∴DE∥P A∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF∴P A∥平面DEF8．[2014·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A -MBC的体积．图1-6解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.9．[2014·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．图1-3解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.10．[2014·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M - CDE 的体积．图1-2 图1-300:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==11．[2014·山东卷18] 如图1-4所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．图1-4(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF ，又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .12．[2014·江西卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1.(1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC - A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1.13．[2014·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC .又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .14．[2014·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，111侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.图1-4(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC -A1B1C1的高．解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，由于BC1∩AO＝O，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.15．[2014·四川卷18] 在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.16．[2014·天津卷17] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； ．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . 17．[2014·浙江卷20] 如图15，在四棱锥A BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.图1-5(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .18．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．图 解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .19．[2014·全国卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．图1-1解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C .由三垂线定理得AC1⊥A1B.。
2014年全国高考数学理科(解析几何部分)解析汇编
= (4k 2 + 2)2 − 4 + 16k 2 + 16 = 16(k 2 + 1)2
同理可得MN2=
16(m 2 + 1) 2 (2m 2 + 1) k4
【北京市·第 19 题】已知椭圆C：x2+2y2=4。 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2 上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2 的位置关系，并证 明你的结论
c 2 3c 2
3 4
b ） a
2
∴OA=OF1+F1A= ∴点 N（ −
3c 3c ，-1）或（ − ，1） 2 2
b2 a
9c 2 1 + =1 4a 2 b 2 将 c 2 = a 2 − b 2 代入上式得：
代入 C 方程得：
2 ∴ tan ∠MF1 F2 = MF2 = b = 3 F1 F2 2ac 4
2014 年全国高考数学理科——解析几何部分——解析汇编
【天津市·第 18 题】设椭圆
x2 y 2 + = 1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知 a 2 b2
|AB|= 3 |F1F2|． 2
（1）求椭圆的离心率； （2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l 的斜率 解： （1）∵A（a，0） ，B（0，b） ∴|AB|= a 2 + b 2 ∵|F1F2|= 2c = 2 a 2 − b 2 ∴EF1= ( − 2 c + c ) 2 + ( 2 c) 2 = 5 c 3 3 3 设直线 l 的方程为 y = kx ，即 kx − y = 0 则点 E 到直线 l 的距离为：
(备战2015年高考)2014年全国名校物理试卷分项解析汇编：光、电磁波、相对论
专题15 光、电磁波、相对论（选修3-4）一、单项选择题1.【2013·西安铁一中国际合作学校高三上学期期末考试】太阳表面温度约为6000K，主要发出可见光；人体温度约为310K，主要发出红外线；宇宙间的温度约为3K，所发出的辐射称为“3K背景辐射”，它是宇宙“大爆炸”之初在空间上保留下的余热，若要进行“3K背景辐射”的观测，应该选择下列哪一个波段（）A．无线电波 B．紫外线 C．X射线 D．γ射线2.【2013·西安铁一中国际合作学校高三上学期期末考试】假设一个沿着一定方向运动的光子和一个静止的自由电子发生碰撞后，电子向某一方向运动，光子将偏离原来的运动方向，这种现象称为光子的散射，散射后的光子跟原来相比A．光子将从电子处获得能量，因而频率增大B．散射后的光子运动方向将与电子运动方向在一条直线上C．由于电子受到碰撞，散射光子的频率低于入射光子的频率D．散射光子虽改变原来的运动方向，但频率不变.【答案】C【解析】试题分析：由碰撞知识可得：光子与电子碰撞，一部分能量转移给电子，所以光子能量减小，可得v减小，即光子频率减小．所以散射后光子的频率小于入射光子的频率．故根据E hvAD错误，C正确；光子与电子碰撞后偏离原来的运动方向，根据动量守恒知，散射后光子的运动方向与电子的运动方向不在同一条直线上．故B错误．考点：本题关键抓住动量守恒和能量守恒，以及波速、波长、频率的关系进行分析求解．二、多项选择题3.【2014·桑植一中高三联考】关于光学镜头增透膜的以下说法中，正确的是 A 增透膜是为了减少光的反射损失，增加透射光的强度； B 增透膜的厚度等于入射光在真空中波长的1/4； C 增透膜的厚度等于入射光在薄膜中波长的1/4；D 因为增透墨的厚度一般适合绿光反射时相互抵消，红光、紫光的反射不能完全抵消，所以涂有增透膜的镜头呈淡紫色。
三、非选择题4.【2013·景德镇高三第二次质检】（9分）如图，厚度为D 的玻璃砖与水平实验桌成45°角放置。
2014年全国高考数学理科(立体几何部分)解析汇编
【全国卷·新课标I ·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ． （1）证明：AC=AB 1；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A-A 1B 1-C 1的余弦值．解：（1）∵面BB 1C 1C 为菱形∴BC 1⊥B 1C ，O 为B 1C 和BC 1的中点 ∵AB ⊥B 1C ∴B 1C ⊥面ABC 1令BC 1与B 1C 交于点O ，连接AO ∵AO ⊂面ABC 1 ∴B 1C ⊥AO ∵B 1O=CO∴AO 是B 1C 的中垂线 ∴AC=AB 1（2）因为AO 、BC 1、B 1C 两两互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OB 、1OB 、OA 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系令|OB|=1，由AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC 易得：11B C BC =设向量n =(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的一个法向量，则：1113n AB =0n A B=0y z x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，3同理可得，平面A 1B 1C 1的一个法向量为：m =(1∴n m 1cos n,m =7|n ||m |7⋅〈〉==⋅1【全国卷·新课标II ·第18题】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，E-ACD 的体积．解：（1）连接BD 交AC 于O ，连接OE∵底面ABCD 为矩形 ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点 ∴PB ∥OE∵OE ⊂面AEC ，PB ⊄面AEC ∴PB ∥平面AEC （2）∵PA ⊥平面ABCD∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD又AB ⊥AD ，即PA 、AB 、AD 两两互相垂直，以z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系∵平面ADE与平面yOz 重合∴可取平面ADE 的一个法向量为n =(1，0，0) 设CD=a，由（a ∴AC =（a ，由∴AE =（0，设向量m =(x ，y ，z )是平面ACE的一个法向量，则m AC=031m AE=02ax y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(3，，3)∵二面角D-AE-C为60° ∴3n m 1cos n,m =cos602|n ||m |9o ⋅〈〉===⋅ 过点E 作EF ⊥AD 于F ∵PA ⊥平面ABCD ，即PA ⊥平面ACD ∴EF ⊥平面ACD∴EF 是三棱锥E-ACD 的高∴V E-ACD【全国卷·大纲版·第19题】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC 1=2． （1）证明：AC 1⊥A 1B ；解：（1）∵点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上∴A 1D ⊥平面ABC ∵A 1D ⊂平面ACC 1A 1 ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC ∵∠ACB=90°，即BC ⊥AC ∴BC ⊥平面ACC 1A 1 ∵AC 1⊂平面ACC 1A 1 ∴AC 1⊥BC连接A 1C ，由AC=CC 1知，侧面ACC 1A 1为菱形 ∴AC 1⊥A 1C∵BC 、A 1C ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥平面A 1BC ∵A 1B ⊂平面A 1BC ∴AC 1⊥A 1B（2）过点D 作DF ⊥AB 于F ，连接A 1F∵A 1D ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ∴AB ⊥A 1D ∴AB ⊥平面A 1DF ∴A 1F ⊥AB∴∠A 1FD 是二面角A 1-AB-C 的平面角∵AC=CC 1=2，A 1D ⊥AC在Rt △A 1DA 中，A 1A= CC 1=2ABCD A 1C 1EF【北京市·第17题】如图，正方形AMDE 的边长为2，B 、C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P-ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD 、PC 分别交于点G 、H ． （1）求证：AB ∥FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA=AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长PABMCDEFGH解：（1）∵AB ∥DE ，DE ⊂平面PDE且AB ⊄平面PDE ∴AB ∥平面PDE∵平面AFGB ∩平面PDE=FG AB ⊂平面AFGB ，FG ⊂平面PDE ∴AB ∥FG（2）由题知，AP 、AM 、AE 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AM 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AM=AE=PA=2，易得：B （1，0，0），F （0，1，1），C （2，1，0），P （0，0，2）∴BC =（1，1，0），AB =（1，0，0），AF =（0，1，1），PC =（2，1，-2）设向量m =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则m AB=0m AF=0x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由此，可取m =(0，1，-1)设直线BC 与平面ABF 所成角为θ，则m BC 1sin cos m,BC =2|m ||BC |2θ⋅=〈〉==⋅∴直线BC 与平面ABF 所成角θ=6π设H （a ，b ，c ），点H 在棱PC 上，不妨PH =k PC ，其中0＜k ＜1∵PC =（2，1，-2），PH =（a ，b ，c -2） ∴（a ，b ，c -2）=k （2，1，-2） ∴a =2k ，b =k ，c =2-2k ∴AH =（2k ，k ，2-2k ）∵m =(0，1，-1)为平面ABF 的一个法向量且AH ⊂平面ABF∴m AH 0⋅= ∴k -2+2k =0，得k =23∴|PH|=2【天津市·第17题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点． （1）证明：BE ⊥DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F-AB-P 的余弦值．解：（1）由题意知，AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系易得：B （1，0，0），D （0，2，0），C （2，2，0），P （0，0，2）∴DC =（2，0，0）∵E 是PC 的中点 ∴E （1，1，1） ∴BE =（0，1，1）∵DC ·BE =0 ∴BE ⊥CD （2）∵PB =（-1，0，2），DB =（-1，2，0）设向量m =(x ，y ，z )是平面PBD 的一个法向量则m PB=20m DB=20x z x y ⎧⋅-+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ 由此，可取m =(2，1，1)设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，则m BE sin cos m,BE =|m ||BE|6θ⋅=〈〉=⋅∴直线BE 与平面PBD（3）点F 在PC 上，不妨设PF =k PC ，其中0≤k ≤1设F （a ，b ，c ），由PC =（2，2，-2）得： （a ，b ，c -2）=k （2，2，-2） ∴a =2k ，b =2k ，c =2-2k ∴F （2k ，2k ，2-2k ） ∴BF =（2k -1，2k ，2-2k ） ∵BF ⊥AC ，且AC =（2，2，0）∴BF ·AC =0 即2(2k -1)+4k =0，得14k =∴AF =（2k ，2k ，2-2k ）=（12，12，32） 又AB =（1，0，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ABF 的一个法向量则n AB=0113n AF=0222x x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅++=⎪⎩ 由此，可取n =(0，3，-1)因为平面ABP 与平面xOz 重合，则可取平面ABP 的一个法向量为t =（0，1，0）n t cos n,t =|n||t |101⋅〈〉=⋅⋅∴二面角F-AB-P【重庆市·第19题】如图，四棱锥P-ABCD ，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB=2，∠BAD=3π，M 为BC 上的一点，且BM=12，MP ⊥AP ． （1）求PO 的长；（2）求二面角A-PM-C 的正弦值解：（1）连接BD 、AC∵底面ABCD 是菱形，中心为O 且PO ⊥底面ABCD ∴OP 、AC 、BD 两两互相垂直以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由AB=2，∠BAD=3π，易得A ，C （，B （0，1，0） ∴BC =（- ∵BM=12，BC=2 ∴BM - ∴M （设P（0，0，a ），则AP =（-，MP =∵AP ⊥MP∴=-3∴a =（2）由(1)知：AP =（-，MP =（3 设向量n =(x ，y ，z )是平面APM 的一个法向量则n AP=3033n MP=04z x y ⎧⋅-+=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩由此，可取n =(1，52)同理可得，平面CPM 的一个法向量为： m=(1-2)∴n m cos n,m =|n ||m |40⋅〈〉==⋅∴二面角A-PM-C【江苏省·第16题】如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC解：（1）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴PA ∥DE∵DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ∴直线PA ∥平面DEF（2）∵D 、E 分别是PC 、AC 的中点∴DE=12PA=3 ∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点 ∴EF=12BC=4 ∵DF=5 ∴DE 2+EF 2=DF 2∴∠DEF=90°，即DE ⊥EF ∵DE ∥PA ，PA ⊥AC ∴DE ⊥AC∵AC∩EF=E ∴DE ⊥平面ABC ∵DE ⊂平面BDE ∴平面BDE ⊥平面ABCPACDEF【浙江省·第20题】如图，在四棱锥A-BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，（1）证明：DE ⊥平面ACD； （2）求二面角B-AD-E 的大小解：（1）在直角梯形BCDE 中，易求得∵在△ABC 中，∴AB 2+BC 2=AB 2∴∠ACB=90°，即AC ⊥BC∵平面ABC ⊥平面BCDE 且AC ⊂平面ACD ∴AC ⊥平面BCDE ∵DE ⊂平面BCDE∴AC ⊥DE∵∠CDE=90° ∴DE ⊥CD ∵CD ⊂平面ACD ∴DE ⊥平面ACD（2）由题，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系易得E （1，0，0），B （1，1，0），A （0，2∴DE = （1，0，0），DA =（0，2DB = （1，1，0）设向量n =(x ，y ，z )是平面ADE 的一个法向量则n DE=0n DA=20x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 由此，可取n =(0，-1同理可得，平面ADB 的一个法向量为：m =(1，-1∴n m cos n,m=|n ||m |3⋅〈〉==⋅⋅∴二面角B-AD-E【山东省·第17题】如图，在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M 是线段AB 的中点．（1）求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；1解：（1）连接AD 1.∵M 是线段AB 的中点，AB=2 ∴AM=1∵C 1D 1=CD=1 ∴C 1D 1=AM ∵AM ∥CD ，CD ∥C 1D 1∴C 1D 1∥AM∴四边形AM C 1D 1是平行四边形 ∴C 1M ∥AD 1∵C 1M ⊄平面A 1ADD 1，AD 1⊂平面A 1ADD 1 ∴C 1M ∥平面A 1ADD 1（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ，则CE ⊥CD∵CD 1⊥平面ABCD∴CD 1⊥CD ，CD 1⊥CE以C 为坐标原点，分别以CD 、CE 、1CD 为x轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系由由∠DAB=60°，AB=2CD=2，在等腰梯形ABCD22∴MD =（11=（1，设向量n =(x ，y ，z )是平面C 1D 1M 的一个法向量则111n C D =01n MD =02x x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 的一个法向量为m =∴n m cos n,m =|n ||m |5⋅〈〉==⋅⋅∴平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角的余弦值为【江西省·第20题】如图，四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ⊥PD ；（2）若∠BPC=90°，PC=2，问AB 为何值时，四棱锥P-ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．解：（1）∵底面ABCD 是矩形 ∴AB ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD ∩平面ABCD=AD ∴AB⊥平面PAD∵PD ⊂平面PAD ∴AB ⊥PD（2）∵∠BPC=90°，PC=2∴过点P 作PO ⊥AD 于O∵平面PAD ⊥平面ABCD ∴PO ⊥平面ABCD ∴V P-ABCD 过点O 作OE ⊥AD 交BC 于E ，连接PE设AB=x ，则OE=x 由前述，可建立如图所示的空间直角坐标系3∴PB =（6，BC =（-PD =（-2，DC = （0，设向量n =(x ，y ，z )是平面PBC 的一个法向量则n BC=606n PB=0x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩由此，可取n =(0，1，1)同理可得，平面PDC 的一个法向量为：∴n m cos n,m =|n ||m |2⋅〈〉=⋅∴平面BPC 与平面DPC【广东省·第18题】如图，四边形ABCD 为正方形．PD ⊥平面ABCD ，∠DPC=30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E ．（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D-AF-E 的余弦值．解：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD∴AD ⊥PD∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD ⊥CD ∵PD 、CD ⊂平面PCD ∴AD ⊥平面PCD∵CF ⊂平面PCD ∴CF ⊥AD ∵AF ⊥PC ，即CF ⊥AF 且AD 、AF ⊂平面ADF ∴CF ⊥平面ADF（2）因为PD 、CD 、AD 两两互相垂直，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD 的边长为1，则AD=CD=1 ∴A （0，0，1），则DA =（0，0，1）由(1)知，DF ⊥PC ，在Rt △PDC 中，由∠DPC=30°，444∴EF =（0，，AE =（3DF =（34）设向量n =(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量则3n EF=043n AE=0y x z ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅-=⎪⎩ 由此，可取n =(4，0同理可得，平面ADF 的一个法向量为：m =(31，0)∴n m cos n,m =|n ||m |19⋅〈〉==⋅∴二面角D-AF-E【湖南省·第19题】如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC∩BD=O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形． （1）证明：O 1O ⊥底面ABCD ；（2）若∠CBA=60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值解：（1）∵四边形ACC 1A 1为矩形∴A 1A ⊥AC由题知，四边形ABCD 和A 1B 1C 1D 1是菱形 ∴点O 是AC 、BD 的中点 点O 1是A 1C 1、B 1D 1的中点 ∴OO 1∥A 1A ∴OO 1⊥AC 同理可证：OO 1⊥BD ∵AC 、BC ⊂底面ABCD ∴O 1O ⊥底面ABCD （2）∵底面ABCD 是菱形∴AC ⊥BD由（1）知，AC 、BD 、O 1O 两两互相垂直 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。
2014年全国高考真题(理科数学)分类汇编九、立体几何(逐题详解)
2014年高考题专题整理 --立体几何第I 部分1.【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π2.【2014年重庆卷（理07）】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示，4,'5,'2,3AB A A B B AC ====，经检验该几何体的三视图满足题设条件。
其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++，3515615146022=++++=，故选择B3.【2014年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为俯视图左视图正视图3245C'B'A'C BA（A ）321+ （B ）318+（C ）21（D ）18【答案】A【解析】此多面体的直观图如下图所示表面积为61121622⨯⨯⨯-⨯⨯ 3212)2(432+=⨯⨯+第（7）题图4.【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）A ． 圆柱B ．圆锥C ． 四面体D ．三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图为矩形，故选：A5.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=，故选B6.【2014年辽宁卷（理04）】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的正（主）视图侧（左）视图俯视图111111111111是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】A ．若m ∥α，n ∥α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，故B 正确；C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错；D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n ⊥α，故D 错．故选B7.【2014年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R 2=（4﹣R ）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A8.【2014年四川卷（理08）】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。
2014年高考试题立体几何及答案
立体几何1、如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC . 同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD . 又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ，所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.2、如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ； (2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．20．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM . 又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .(2)由(1)可得，OA ＝AB ·cos ∠OAB ＝2×cos π6＝ 3.设PO ＝a ，由PO ⊥底面ABCD ，知△POA 为直角三角形，故P A 2＝PO 2＋OA 2＝a 2＋3.又△POM 也是直角三角形，故PM 2＝PO 2＋OM 2＝a 2＋34.连接AM ，在△ABM 中，AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ·BM ·cos∠ABM ＝22＋⎝⎛⎭⎫122－2×2×12×cos 2π3＝214.由已知MP ⊥AP ，故△APM 为直角三角形，则P A 2＋PM 2＝AM 2，即a 2＋3＋a 2＋34＝214，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.此时S 四边形ABMO ＝S △AOB ＋S △OMB ＝12·AO ·OB ＋12·BM ·OM ＝12×3×1＋12×12×32＝5 38.所以四棱锥P -ABMO 的体积V四棱锥P -ABMO ＝13·S 四边形ABMO ·PO ＝13×5 38×32＝516.3、[四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形． 解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩ 平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ，∴四边形EFGH 是矩形．4．如图在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E ABC 的体积． 解：(1)证明：在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是A 1C 1，BC ，AB 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1.因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E - ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.5、如图1-5，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .证明：(1)连接AD 1，由ABCD - A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1.因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)如图，连接AC ，BD ，A 1C 1，则AC ⊥BD . 由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 可得CC 1⊥BD .又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.而AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BD ⊥AC 1.因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN . 6、如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .7、如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．解：(1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)V ＝13×12×P A ×AB ×AD ＝36AB ，由V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥AH ， 因为PB ∩BC ＝B ，所以AH ⊥平面PBC .又AH ＝P A ·AB PB ＝31313，所以点A 到平面PBC 的距离为31313.8．如图1-4所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点． (1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知，ED ∥BC ，ED ＝BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形， 所以BE ∥CD .又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC .9、在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．图1-418．解：(1)证明：因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内的两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，所以DE ∥MO . 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC . 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .10．如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD . (ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC所成角的正弦值为21111.11、如图三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A - MBC 的体积．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD . (2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C - ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A - MBC 的体积V A - MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112. 方法二：由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD .且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A - MBC 的体积V A MBC ＝V A BCD －V M BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD＝112. 12、如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M - CDE 的体积．13、[2014·江苏卷] 如图1-4所示，在三棱锥P - ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .证明： (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC＝4.又因为DF ＝5，所以DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .14、[2014·辽宁卷] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同G 理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于点O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 的中点，所以G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半．在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V 三棱锥D -BCG ＝V 三棱锥G -BCD ＝13·S △DBC ·h ＝13×12·BD ·BC ·sin 120°·32＝12.15．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高．19．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ， 故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ， 所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217. 故三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高为217.17、[2014·天津卷] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ； (2)若二面角P -AD -B 为60°.(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB .(2)(i)证明：连接PE ，BE .因为P A ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，所以PE ⊥AD ，BE ⊥AD ，所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角．在△P AD 中，由P A ＝PD ＝5，AD ＝2，可解得PE ＝2.在△ABD 中，由BA ＝BD ＝2，AD ＝2，可解得BE ＝1.在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60˚，由余弦定理，可解得PB ＝3，从而∠PBE ＝90˚，即BE ⊥PB .又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii)连接BF ，由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角，而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.20．、[2014·浙江卷] 如图15，在四棱锥A BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．20．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .(2)在直角梯形BCDE 中，由BD ＝BC ＝2，DC ＝2，得BD ⊥BC . 又平面ABC ⊥平面BCDE ，所以BD ⊥平面ABC .作EF ∥BD ，与CB 的延长线交于点F ，连接AF ，则EF ⊥平面ABC . 所以∠EAF 是直线AE 与平面ABC 所成的角．在Rt △BEF 中，由EB ＝1，∠EBF ＝π4，得EF ＝22，BF ＝22；在Rt △ACF 中，由AC ＝2，CF ＝322，得AF ＝262. 在Rt △AEF 中，由EF ＝22，AF ＝262， 得tan ∠EAF ＝1313. 所以，直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值是1313.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ； (2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小． 19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，故A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， 故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点， 所以DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF＝15， 所以cos ∠A 1FD ＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.。
高考物理真题分类汇编光学
2014年高考物理试题分类汇编：光学34．[物理——选修34][2014·新课标全国卷Ⅰ] (2)一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为R的半圆，AB为半圆的直径，O为圆心，如图所示．玻璃的折射率为n＝.(ⅰ)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB上的最大宽度为多少？(ⅱ)一细束光线在O点左侧与O相距R处垂直于AB从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置．(2)(ⅰ)R(ⅱ)略[解析] 在O点左侧，设从E点射入的光线进入玻璃砖后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角θ，则OE区域的入射光线经上表面折射后都能从玻璃砖射出，如图所示，由全反射条件有sin θ＝①由几何关系有OE＝R sin θ②由对称性可知，若光线都能从上表面射出，光束的宽度最大为l＝2OE③联立①②③式，代入已知数据得l＝R④(ⅱ)设光线在距O点R的C点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系及①式和已知条件得α＝60°>θ⑤光线在玻璃砖内会发生三次全反射．最后由G点射出，如图所示，由反射定律和几何关系得OG＝OC＝R⑥射到G点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C点射出．[2014·新课标Ⅱ卷] [物理——选修3－4] (2)一厚度为h的大平板玻璃水平放置，其下表面贴有一半径为r的圆形发光面，在玻璃板上表面放置一半径为R的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上，已知圆纸片恰好能完全遮挡住从圆形发光面发出的光线(不考虑反射)，求平板玻璃的折射率．34．[答案] (1)BCE(2)[解析] (1)由Q点的振动图像可知，t＝0.10 s时质点Q沿y轴负方向运动，A项错误；由波的图像可知，波向左传播，波的周期T＝0.2 s，振幅A＝10 cm，t＝0.10 s时质点P向上运动，经过0.15 s＝T时，即在t＝0.25 s时，质点振动到x轴下方位置，且速度方向向上，加速度方向也沿y轴正方向，B项正确；波动速度v＝＝m/s＝40 m/s ，故从t＝0.10 s到t ＝0.25 s，波沿x轴负方向传播的距离为x＝v t＝6 m，C项正确；由于P点不是在波峰或波谷或平衡位置，故从t＝0.10 s到t＝0.25 s的周期内，通过的路程不等于3A＝30 cm，D项错误；质点Q做简谐振动的振动方程为y＝A sin t＝0.10sin 10πt(国际单位制)，E项正确．(2)如图所示，考虑从圆形发光面边缘的A点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃上表面的A′点折射，根据折射定律有n sin θ＝sin α①式中n是玻璃的折射率，θ是入射角，α是折射角．现假设A′恰好在纸片边缘，由题意，在A′点刚好发生全反射，故α＝②设AA′线段在玻璃上表面的投影长为L，由几何关系有sin θ＝③由题意，纸片的半径应为R＝L＋r④联立以上各式可得n＝⑤20．[2014·北京卷] 以往，已知材料的折射率都为正值(n>0)．现已有针对某些电磁波设计制作的人工材料，其折射率可以为负值(n<0) ，称为负折射率材料．位于空气中的这类材料，入射角i与折射角r依然满足＝n，但是折射线与入射线位于法线的同一侧(此时折射角取负值)．现空气中有一上下表面平行的负折射率材料，一束电磁波从其上表面射入，下表面射出．若该材料对此电磁波的折射率n＝－1，正确反映电磁波穿过该材料的传播路径的示意图是()ABCD20．B本题考查光的折射．是一道创新题，但本质上还是光的折射定律，本题给定信息“光的折射光线和入射光线位于法线的同侧”，无论是从光从空气射入介质，还是从介质射入空气，都要符合此规律，故A、D错误．折射率为－1，由光的折射定律可知，同侧的折射角等于入射角，C错误，B正确．17．[2014·全国卷] 在双缝干涉实验中，一钠灯发出的波长为589 nm的光，在距双缝1.00 m的屏上形成干涉图样．图样上相邻两明纹中心间距为0.350 cm，则双缝的间距为()A．2.06×10－7 m B．2.06×10－4 mC．1.68×10－4 m D．1.68×10－3 m17．C[解析] 本题考查双缝干涉条纹间距离公式．双缝干涉相邻条纹间距Δx＝λ，则d ＝λ＝1.68×10－4 m，C正确．13．[2014·福建卷Ⅰ] 如图，一束光由空气射向半圆柱体玻璃砖，O点为该玻璃砖截面的圆心，下图能正确描述其光路的是()A BC D13．A [解析] 光线由空气沿半径射入玻璃砖时，传播方向不变，由玻璃砖射向空气时，在其分界面处当入射角大于或等于临界角时，会发生全反射现象，故A项正确；光线由空气射向玻璃砖时，由于光线与分界面不垂直，所以除了有反射现象之外还应发生折射现象，其折射角小于入射角，故B、D项错误；光线由空气沿半径射入玻璃砖时，传播方向不变，由玻璃砖射向空气时，折射角应大于入射角，故C项错误．[2014·江苏卷] [选修3－4](1)某同学用单色光进行双缝干涉实验，在屏上观察到题12B1(甲)图所示的条纹，仅改变一个实验条件后，观察到的条纹如题12B1(乙)图所示．他改变的实验条件可能是______．(题12B1图)A．减小光源到单缝的距离B．减小双缝之间的距离C．减小双缝到光屏之间的距离D．换用频率更高的单色光源(1)B [解析] 根据Δx＝λ知，要使条纹间距变大，可减小双缝之间的距离，增大光的波长(即降低光的频率)或增大双缝到屏的距离，故只有B正确．2．[2014·四川卷] 电磁波已广泛运用于很多领域．下列关于电磁波的说法符合实际的是()A．电磁波不能产生衍射现象B．常用的遥控器通过发出紫外线脉冲信号来遥控电视机C．根据多普勒效应可以判断遥远天体相对于地球的运动速度D．光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值可能不同2．C[解析] 衍射现象是波的特有现象，A错误；常用的遥控器通过发出红外线脉冲信号来遥控电视机，B错误；遥远天体和地球的距离发生变化时，遥远天体的电磁波由于相对距离发生变化而出现多普勒效应，所以能测出遥远天体相对地球的运动速度，C正确；光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值是相同的，即光速不变原理，D错误．3．[2014·四川卷] 如图所示，口径较大、充满水的薄壁圆柱形浅玻璃缸底有一发光小球，则()A．小球必须位于缸底中心才能从侧面看到小球B．小球所发的光能从水面任何区域射出C．小球所发的光从水中进入空气后频率变大D．小球所发的光从水中进入空气后传播速度变大3．D[解析] 光从水中进入空气，只要在没有发生全反射的区域，就可以看到光线射出，所以A、B错误；光的频率是由光源决定的，与介质无关，所以C错误；由v＝得，光从水中进入空气后传播速度变大，所以D正确．8．[2014·天津卷] 一束由两种频率不同的单色光组成的复色光从空气射入玻璃三棱镜后，出射光分成a、b两束，如图所示，则a、b两束光()A．垂直穿过同一块平板玻璃，a光所用的时间比b光长B．从同种介质射入真空发生全反射时，a光临界角比b光的小C．分别通过同一双缝干涉装置，b光形成的相邻亮条纹间距小D．若照射同一金属都能发生光电效应，b光照射时逸出的光电子最大初动能大8．AB[解析] 本题考查了光的折射率、全反射、双缝干涉及光电效应等知识点，根据图中光线的偏转角度可以判断出三棱镜对a光的折射率比b光的大，所以a光的频率大，在玻璃中速度小，通过玻璃所用的时间长，A正确；a光发生全反射的临界角小于b光发生全反射的临界角，B正确；发生双缝干涉时相邻条纹间的距离公式Δx＝λ，由于b光的波长长，所以b光形成的相邻亮条纹间距大，C错误；由于a光的频率大于b光的频率，根据公式E k＝hν－W得出a光照射金属时逸出的光电子的最大初动能大，D错误．18．[2014·浙江卷] 关于下列光学现象，说法正确的是()A．水中蓝光的传播速度比红光快B．光从空气射入玻璃时可能发生全反射C．在岸边观察前方水中的一条鱼，鱼的实际深度比看到的要深D．分别用蓝光和红光在同一装置上做双缝干涉实验，用红光时得到的条纹间距更宽18．CD [解析] 本题考查光速、光的全反射、折射、双缝干涉等知识．在同一种介质中，波长越短，波速越慢，故红光的传播速度比蓝光大，选项A错误；光从空气射向玻璃是从光疏介质射向光密介质，不能发生全反射，选项B错误；在岸边观察水中的鱼，由于光的折射，鱼的实际深度比看到的深度要深，选项C正确；在空气中红光的波长比蓝光要长，根据Δx＝λ可知红光的双缝干涉条纹间距大，选项D正确．(1)(6分)[2014·重庆卷] 打磨某剖面如题11图1所示的宝石时，必须将OP、OQ边与轴线的夹角θ切磨在θ1＜θ＜θ2的范围内，才能使从MN边垂直入射的光线在OP边和OQ边都发生全反射(仅考虑如图所示的光线第一次射到OP边并反射到OQ边后射向MN边的情况)，则下列判断正确的是()题11图1A．若θ＞θ2，光线一定在OP边发生全反射B．若θ＞θ2，光线会从OQ边射出C．若θ＜θ1，光线会从OP边射出D．若θ＜θ1，光线会在OP边发生全反射11．[答案] (1)D[解析]本题第一问考查光的折射和全反射，第二问考查波的图像．[2014·江苏卷] (3)Morpho蝴蝶的翅膀在阳光的照射下呈现出闪亮耀眼的蓝色光芒，这是因为光照射到翅膀的鳞片上发生了干涉．电子显微镜下鳞片结构的示意图见题12B2图．一束光以入射角i从a点入射，经过折射和反射后从b点出射．设鳞片的折射率为n，厚度为d，两片之间空气层厚度为h.取光在空气中的速度为c，求光从a到b所需的时间t.(题12B2图)(3)＋[解析] 设光在鳞片中的折射角为γ，根据折射定律有sin i＝n sin γ.在鳞片中传播的路程l1＝，传播速度v＝，传播时间t1＝，解得t1＝，同理，在空气中的传播时间t2＝，则t＝t1＋t2＝＋.[2014·山东卷] (2)如图所示，三角形ABC为某透明介质的横截面，O为BC边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自O以角i入射，第一次到达AB边恰好发生全反射．已知θ＝15°，BC边长为2L，该介质的折射率为.求：(ⅰ)入射角i；(ⅱ)从入射到发生第一次全反射所用的时间(设光在真空中的速度为c，可能用到：sin 75°＝或tan 15°＝2－.38．[答案] (2)(ⅰ)45°(ⅱ)L[解析] (2)(ⅰ)根据全反射规律可知，光线在AB面上P点的入射角等于临界角C，由折射定律得sin C＝①代入数据得C＝45°②设光线在BC面上的折射角为r，由几何关系得r＝30°③由折射定律得n＝④联立③④式，代入数据得i＝45°⑤(ⅱ)在△OPB中，根据正弦定理得＝⑥设所用时间为t，光线在介质中的速度为v，得OP＝v t⑦v＝⑧联立⑥⑦⑧式，代入数据得t＝L⑨。
2014年高考物理试题分类汇编5
2014年高考物理试题分类汇编5：光学34．[物理——选修34][2014·新课标全国卷Ⅰ] (2)一个半圆柱形玻璃砖，其横截面是半径为R 的半圆，AB 为半圆的直径，O 为圆心，如图所示．玻璃的折射率为n ＝.(ⅰ)一束平行光垂直射向玻璃砖的下表面，若光线到达上表面后，都能从该表面射出，则入射光束在AB 上的最大宽度为多少？(ⅱ)一细束光线在O 点左侧与O 相距23R 处垂直于AB 从下方入射，求此光线从玻璃砖射出点的位置．(2)(ⅰ)R (ⅱ)略[解析] 在O 点左侧，设从E 点射入的光线进入玻璃砖后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角θ，则OE 区域的入射光线经上表面折射后都能从玻璃砖射出，如图所示，由全反射条件有sin θ＝n 1①由几何关系有OE ＝R sin θ②由对称性可知，若光线都能从上表面射出，光束的宽度最大为l ＝2OE ③联立①②③式，代入已知数据得l ＝R ④(ⅱ)设光线在距O 点23R 的C 点射入后，在上表面的入射角为α，由几何关系及①式和已知条件得α＝60°>θ⑤光线在玻璃砖内会发生三次全反射．最后由G 点射出，如图所示，由反射定律和几何关系得OG ＝OC ＝23R ⑥射到G 点的光有一部分被反射，沿原路返回到达C 点射出．[2014·新课标Ⅱ卷] [物理——选修3－4] (2)一厚度为h 的大平板玻璃水平放置，其下表面贴有一半径为r 的圆形发光面，在玻璃板上表面放置一半径为R 的圆纸片，圆纸片与圆形发光面的中心在同一竖直线上，已知圆纸片恰好能完全遮挡住从圆形发光面发出的光线(不考虑反射)，求平板玻璃的折射率．34．[答案] (1)BCE (2)2h[解析] (1)由Q 点的振动图像可知，t ＝0.10 s 时质点Q 沿y 轴负方向运动，A 项错误；由波的图像可知，波向左传播，波的周期T ＝0.2 s ，振幅A ＝10 cm ，t ＝0.10 s 时质点P向上运动，经过0.15 s ＝43T 时，即在t ＝0.25 s 时，质点振动到x 轴下方位置，且速度方向向上，加速度方向也沿y 轴正方向，B 项正确；波动速度v ＝T λ＝0.28 m/s ＝40 m/s ，故从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s ，波沿x 轴负方向传播的距离为x ＝vt ＝6 m ，C 项正确；由于P点不是在波峰或波谷或平衡位置，故从t ＝0.10 s 到t ＝0.25 s 的43周期内，通过的路程不等于3A ＝30 cm ，D 项错误；质点Q 做简谐振动的振动方程为y ＝A sin T 2πt ＝0.10sin 10πt (国际单位制)，E 项正确．(2)如图所示，考虑从圆形发光面边缘的A 点发出的一条光线，假设它斜射到玻璃上表面的A ′点折射，根据折射定律有n sin θ＝sin α①式中n 是玻璃的折射率，θ是入射角，α是折射角．现假设A ′恰好在纸片边缘，由题意，在A ′点刚好发生全反射，故α＝2π②设AA ′线段在玻璃上表面的投影长为L ，由几何关系有sin θ＝L2＋h2L ③由题意，纸片的半径应为R ＝L ＋r ④联立以上各式可得n ＝2h ⑤20． [2014·北京卷] 以往，已知材料的折射率都为正值(n >0)．现已有针对某些电磁波设计制作的人工材料，其折射率可以为负值(n <0) ，称为负折射率材料．位于空气中的这类材料，入射角i 与折射角r 依然满足sin r sin i ＝n ，但是折射线与入射线位于法线的同一侧(此时折射角取负值)．现空气中有一上下表面平行的负折射率材料，一束电磁波从其上表面射入，下表面射出．若该材料对此电磁波的折射率n ＝－1，正确反映电磁波穿过该材料的传播路径的示意图是( )A BC D20．B 本题考查光的折射．是一道创新题，但本质上还是光的折射定律，本题给定信息“光的折射光线和入射光线位于法线的同侧”，无论是从光从空气射入介质，还是从介质射入空气，都要符合此规律，故A 、D 错误．折射率为－1，由光的折射定律可知，同侧的折射角等于入射角，C 错误，B 正确．17． [2014·全国卷] 在双缝干涉实验中，一钠灯发出的波长为589 nm 的光，在距双缝1.00 m 的屏上形成干涉图样．图样上相邻两明纹中心间距为0.350 cm ，则双缝的间距为( )A ．2.06×10－7 mB ．2.06×10－4 mC ．1.68×10－4 mD ．1.68×10－3 m17．C [解析] 本题考查双缝干涉条纹间距离公式．双缝干涉相邻条纹间距Δx ＝d l λ，则d ＝Δx l λ＝1.68×10－4 m ，C 正确．13． [2014·福建卷Ⅰ] 如图， 一束光由空气射向半圆柱体玻璃砖，O 点为该玻璃砖截面的圆心，下图能正确描述其光路的是( )A BC D13．A [解析] 光线由空气沿半径射入玻璃砖时，传播方向不变，由玻璃砖射向空气时，在其分界面处当入射角大于或等于临界角时，会发生全反射现象，故A 项正确；光线由空气射向玻璃砖时，由于光线与分界面不垂直，所以除了有反射现象之外还应发生折射现象，其折射角小于入射角，故B 、D 项错误；光线由空气沿半径射入玻璃砖时，传播方向不变，由玻璃砖射向空气时，折射角应大于入射角，故C 项错误．[2014·江苏卷] [选修3－4](1)某同学用单色光进行双缝干涉实验，在屏上观察到题12B1(甲)图所示的条纹，仅改变一个实验条件后，观察到的条纹如题12B1(乙)图所示．他改变的实验条件可能是______．(题12B1图)A ．减小光源到单缝的距离B ．减小双缝之间的距离C ．减小双缝到光屏之间的距离D ．换用频率更高的单色光源(1)B [解析] 根据Δx ＝d l λ知，要使条纹间距变大，可减小双缝之间的距离，增大光的波长(即降低光的频率)或增大双缝到屏的距离，故只有B 正确．2．[2014·四川卷] 电磁波已广泛运用于很多领域．下列关于电磁波的说法符合实际的是( )A ．电磁波不能产生衍射现象B ．常用的遥控器通过发出紫外线脉冲信号来遥控电视机C ．根据多普勒效应可以判断遥远天体相对于地球的运动速度D ．光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值可能不同2．C [解析] 衍射现象是波的特有现象，A 错误；常用的遥控器通过发出红外线脉冲信号来遥控电视机，B 错误；遥远天体和地球的距离发生变化时，遥远天体的电磁波由于相对距离发生变化而出现多普勒效应，所以能测出遥远天体相对地球的运动速度，C 正确；光在真空中运动的速度在不同惯性系中测得的数值是相同的，即光速不变原理，D 错误．3．[2014·四川卷] 如图所示，口径较大、充满水的薄壁圆柱形浅玻璃缸底有一发光小球，则( )A ．小球必须位于缸底中心才能从侧面看到小球B ．小球所发的光能从水面任何区域射出C ．小球所发的光从水中进入空气后频率变大D ．小球所发的光从水中进入空气后传播速度变大3．D [解析] 光从水中进入空气，只要在没有发生全反射的区域，就可以看到光线射出，所以A 、B 错误；光的频率是由光源决定的，与介质无关，所以C 错误；由v ＝n c 得，光从水中进入空气后传播速度变大，所以D 正确．8． [2014·天津卷] 一束由两种频率不同的单色光组成的复色光从空气射入玻璃三棱镜后，出射光分成a 、b 两束，如图所示，则a 、b 两束光( )A ．垂直穿过同一块平板玻璃，a 光所用的时间比b 光长B ．从同种介质射入真空发生全反射时，a 光临界角比b 光的小C ．分别通过同一双缝干涉装置，b 光形成的相邻亮条纹间距小D ．若照射同一金属都能发生光电效应，b 光照射时逸出的光电子最大初动能大8．AB [解析] 本题考查了光的折射率、全反射、双缝干涉及光电效应等知识点，根据图中光线的偏转角度可以判断出三棱镜对a 光的折射率比b 光的大，所以a 光的频率大，在玻璃中速度小，通过玻璃所用的时间长，A 正确；a 光发生全反射的临界角小于b 光发生全反射的临界角，B 正确；发生双缝干涉时相邻条纹间的距离公式Δx ＝ d l λ，由于b 光的波长长，所以b 光形成的相邻亮条纹间距大，C 错误；由于a 光的频率大于b 光的频率，根据公式E k ＝h ν－W 得出a 光照射金属时逸出的光电子的最大初动能大，D 错误．18． [2014·浙江卷] 关于下列光学现象，说法正确的是( )A ．水中蓝光的传播速度比红光快B ．光从空气射入玻璃时可能发生全反射C ．在岸边观察前方水中的一条鱼，鱼的实际深度比看到的要深D ．分别用蓝光和红光在同一装置上做双缝干涉实验，用红光时得到的条纹间距更宽18．CD [解析] 本题考查光速、光的全反射、折射、双缝干涉等知识．在同一种介质中，波长越短，波速越慢，故红光的传播速度比蓝光大，选项A 错误；光从空气射向玻璃是从光疏介质射向光密介质，不能发生全反射，选项B 错误；在岸边观察水中的鱼，由于光的折射，鱼的实际深度比看到的深度要深，选项C 正确；在空气中红光的波长比蓝光要长，根据Δx ＝d l λ可知红光的双缝干涉条纹间距大，选项D 正确．(1)(6分)[2014·重庆卷] 打磨某剖面如题11图1所示的宝石时，必须将OP 、OQ 边与轴线的夹角θ切磨在θ1＜θ＜θ2的范围内，才能使从MN 边垂直入射的光线在OP 边和OQ 边都发生全反射(仅考虑如图所示的光线第一次射到OP 边并反射到OQ 边后射向MN 边的情况)，则下列判断正确的是( )题11图1A ．若θ＞θ2，光线一定在OP 边发生全反射B ．若θ＞θ2，光线会从OQ 边射出C ．若θ＜θ1，光线会从OP 边射出D ．若θ＜θ1，光线会在OP 边发生全反射11．[答案] (1)D[解析]本题第一问考查光的折射和全反射，第二问考查波的图像．[2014·江苏卷] (3)Morpho 蝴蝶的翅膀在阳光的照射下呈现出闪亮耀眼的蓝色光芒，这是因为光照射到翅膀的鳞片上发生了干涉．电子显微镜下鳞片结构的示意图见题12B2图．一束光以入射角i 从a 点入射，经过折射和反射后从b 点出射．设鳞片的折射率为n ，厚度为d ，两片之间空气层厚度为h .取光在空气中的速度为c ，求光从a 到b 所需的时间t .(题12B2图)(3)n2－sin2i 2n2d ＋ccos i 2h[解析] 设光在鳞片中的折射角为γ，根据折射定律有sin i ＝n sin γ.在鳞片中传播的路程l 1＝cos γ2d ，传播速度v ＝n c ，传播时间t 1＝v l1，解得t 1＝n2－sin2i 2n2d ，同理，在空气中的传播时间t 2＝ccos i 2h ，则t ＝t 1＋t 2＝n2－sin2i 2n2d ＋ccos i 2h .[2014·山东卷] (2)如图所示，三角形ABC 为某透明介质的横截面，O 为BC 边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自O 以角i 入射，第一次到达AB 边恰好发生全反射．已知θ＝15°，BC 边长为2L ，该介质的折射率为.求：(ⅰ)入射角i ；(ⅱ)从入射到发生第一次全反射所用的时间(设光在真空中的速度为c ，可能用到：sin 75°＝42或tan 15°＝2－.38． [答案] (2)(ⅰ)45° (ⅱ)2c 2L[解析] (2)(ⅰ)根据全反射规律可知，光线在AB 面上P 点的入射角等于临界角C ，由折射定律得sin C ＝n 1①代入数据得C ＝45°②设光线在BC 面上的折射角为r ，由几何关系得r ＝30°③由折射定律得n ＝sin r sin i ④联立③④式，代入数据得i ＝45°⑤(ⅱ)在△OPB 中，根据正弦定理得sin 75°OP ＝sin 45°L ⑥设所用时间为t ，光线在介质中的速度为v ，得OP ＝vt ⑦v ＝n c ⑧联立⑥⑦⑧式，代入数据得t ＝2c 2L ⑨。
(典型题讲解专练)2014届高考物理一轮复习《光学》(含解析).pdf
专题十五 光 学 半圆形玻璃砖横截面如图为直径点为圆心．在该截面内有a两束单色可见光从空气垂直于AB射入玻璃砖两入射点到O的距离相等．两束光在半圆边界上反射和折射的情况如图所示则a两束光( )在同种均匀介质中传播光的传播速度较大以相同的入射角从空气斜射入水中光的折射角大若a光照射某金属表面能发生光电效应光也一定能分别通过同一双缝干涉装置光的相邻亮条纹间距大在双缝干涉实验中某同学用黄光作为入射光．为了增大干涉条纹的间距该同学可以采用的方法有( )改用红光作为入射光 ．改用蓝光作为入射光增大双缝到屏的距离 ．增大双缝之间的距离一束单色光由空气射入玻璃这束光的( )速度变慢波长变短速度不变波长变短频率增高波长变长D．频率不变波长变长 a、b两种单色光组成的光束从介质进入空气时其折射光束如图所示．用a两束光( )先后照射双缝干涉实验装置在缝后屏上都能出现干涉条纹由此确定光是横波先后照射某金属光照射时恰能逸出光电子C．从同一介质以相同方向射向空气其界面为平面若b光不能进入空气则a光也不能进入空气从同一介质以相同方向射向空气其界面为平面光的反射角比b光的反射角大(2012·高考福建卷)在“用双缝干涉测光的波长”实验中(实验装置如图甲)(1)下列说法哪一个是错误的________．(填选项前的字母)调节光源高度使光束沿遮光筒轴线照在屏中心时应放上单缝和双缝测量某条干涉亮纹位置时应使测微目镜分划板中心刻线与该亮纹的中心对齐为了减小测量误差可用测微目镜测出n条亮纹间的距离a求出相邻两条亮纹间距(n－1) 甲 乙(2)测量某亮纹位置时手轮上的示数如图乙其示数为________【解析】选由题意b光可以发生全反射判断得出nb>na.由n＝得光的传播速度较大对；由折射率定义知项错误；由n知能发生光电效应一定能故正确；由双缝干涉亮条纹间距公式知正确．【解析】选由双缝干涉条纹间距公式λ可知要增大条纹间距可以增大L项正确减小d项错误增大λ错误正确．【解析】选光由空气射入玻璃由v＝知速度变慢波长变短频率不变故对．【解析】选双缝干涉实验不能证明光是横波错；由图知a光折射角大光子的频率大照射某金属能发生光电效应有光电子逸出光照射就不一定能发生要看光子频率是否大于其极限频率错；当b光发生全反射时光折射率大一定发生了全反射对；反射角等于入射角的反射角应相等故错．【解析】(1)本题考查双缝干涉实验调整光源高度时只放单缝就可以故项错误．【答案】1)A (2)1.970。