总体分布样本分布
第四节抽样分布
（四）t分布表的使用
▪ 左列表示自由度。 ▪ 最上一行表示不同自由度下t分布两端的概率之和，
即在某t值时， t分布两端的概率之和，又称显著 性水平。 ▪ 中间数字：某一自由度和某一显著性水平t的临界 值。
志存高远，顽强拼搏
不管是正态分布，还是 在t分布，都存在标准误问题. 标准误的含义：某种统计量在抽样分布上的标准差,符号
自由度的变化而变化。 ▪ 联系：当自由度趋于无穷大时， t分布接近标准正态分布。
志存高远，顽强拼搏
（三）自由度
▪ 指总体参数估计量中变量值自由变化的个数，用符号df表 示。
▪ 任何变量中可以自由变化的数目 。 ▪ 自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变
量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由 度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时， 取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量， k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用 到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。
在以笔名"Student"发表的一篇论文中推导的一种分布。
志存高远，Hale Waihona Puke 强拼搏（二） t分布的特征
▪ 1. t分布的平均值为0。 ▪ 2. t分布是以过平均值0的垂线为轴的对称分布,分布左侧t
为负值,分布右侧t为正值。 ▪ 3. t变量取值在--∞—+∞之间。 ▪ 4. 当样本容量趋于+∞时,t分布为正态分布。 ▪ 5.t分布的形态随自由度的变化而变化，呈一簇分布形态
▪ （三）无限多个n个随机变量平方和或标准分数 的平方和的分布,称为χ2分布。χ2分布是正偏态分 布；卡方值都是正值；卡方分布的和也是卡方分 布；χ2分布是连续型分布。
样本分布和总体分布的关系
样本分布和总体分布的关系
样本分布和总体分布是统计学中的两个重要概念。
样本指的是从总体中随机抽取的一部分数据，而总体则是所有数据的集合。
样本分布指的是样本中各项数据的分布情况，而总体分布则是总体中各项数据的分布情况。
两者之间的关系可以通过以下几个方面来描述：
1. 样本分布可以反映总体分布的特征。
当样本的抽样方法和样本容量适当时，样本中的数据分布趋势和总体中的数据分布趋势应该是相似的。
因此，通过样本分布可以初步了解总体分布的特征。
2. 样本分布和总体分布不一定完全相同。
由于样本容量的限制和抽样误差的存在，样本分布和总体分布可能存在一定的差异。
因此，只能通过样本分布来近似地推断总体分布的特征。
3. 样本分布可以用于检验总体分布的假设。
在统计学中，我们常常需要对总体分布进行假设检验。
此时，我们需要从总体中抽取一个样本，通过样本分布来判断总体分布是否符合我们的假设。
4. 样本分布可以用于估计总体分布的参数。
在统计学中，我们通常需要通过样本来估计总体的一些参数，如总体均值、方差等。
此时，我们可以根据样本的分布情况来估计总体参数的值。
综上所述，样本分布和总体分布是紧密相关的，它们之间的关系对于统计学中的假设检验、参数估计等问题具有重要的意义。
- 1 -。
SPSS第5章 总体分布、样本分布与参数估计(修改)解读
X -7 令Y ，则： 2.2 P(Y 0.2273 )
其中Y ~ N (0,1),查表得 P(Y 0.2273 )?
标准正态分布表
φ ( - x ) = 1 –φ ( x )
x 0 0 0.500 0 0.01 0.504 0 0.02 0.508 0 0.03 0.512 0 0.04 0.516 0 0.05 0.519 9 0.06 0.523 9 0.07 0.527 9 0.08 0.531 9 0.09 0.535 9
X Y n
~ t(n )
其中，X ~ N(0，1)，Y ~2(n)分布，且X与Y相互独立。 密度函数为：
n 1 ) 2 n 1 x 2 fn(x ) (1 ) 2 n n (n / 2) x
(
t 分布图
3、F 分布
F
U m V n
~ F (m ,n )
样本(累积)分布函数Fn(x)是对总体的累积分布函数F(x)的近似， n越大, Fn(x)对F(x)的近似越好。
格利文科 ( Glivenko )定理
当样本容量 n 趋于无穷大时，Fn(x)以概率1(关于 x )均匀地收敛于F(x).
P(lim sup
n x
Fn ( x) F ( x) 0) 1
Z X
~N(0， 1) ~2(n-1) ~t(n -1)
n
( n 1) S 2
T
2
X S n
(6)
1
2 ( X ) ~2(n) i 2 i 1
n
定理：若X1，X2，· · · , Xn1 和Y1，Y2，· · · , Yn2 分别是正态总 体N(1， 12)和N(2， 22)的一个随机样本，且它们相互独立 ，则满足如下性质： (1)
抽样分布和七种理论分布
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
统计学中的样本分布与总体分布的关系
统计学中的样本分布与总体分布的关系统计学作为一门关于收集、分析和解释数据的学科，主要研究的是从一定的总体中选取样本，并通过对样本的统计分析得出总体的特征和规律。
在统计学中，样本分布与总体分布之间存在着密切的关系。
本文将探讨样本分布与总体分布之间的关系，从而更好地理解统计学中的重要概念。
一、什么是样本分布和总体分布在开始分析样本分布与总体分布的关系之前，我们需要明确这两个概念的含义。
1. 样本分布：样本分布是指从总体中选取的、具有一定规模的、代表性的样本数据的分布情况。
样本分布是对总体的一种估计，通过样本数据的统计量，如均值、方差等来描述样本的特征和变异程度。
2. 总体分布：总体分布是指包含了全部个体、观察值或测量值的分布情况。
总体分布是研究对象的全集，也是样本所在的基本框架。
总体分布是通过对全部数据的描述，如概率密度函数、频数分布等来表达总体的特征和形态。
二、样本分布与总体分布的关系在统计学中，样本分布与总体分布存在着紧密的关系，它们既有区别，又有联系。
具体表现在以下几个方面：1. 样本是总体的一部分：样本是从总体中抽取的部分数据，它们代表了总体的特征和规律。
在得到样本数据后，可以通过对样本的统计分析来推断总体的性质。
因此，样本分布与总体分布的性质和形态存在一定的关联。
2. 样本分布逼近总体分布：当样本容量增大时，样本分布的特征逐渐接近总体分布的特征。
这是由于大样本量的随机性逐渐减小，样本的均值、方差等统计量更能准确地反映总体的性质。
3. 样本分布与总体分布形态一致：在某些情况下，样本分布的形态与总体分布的形态一致。
例如，如果总体分布服从正态分布，那么当样本容量足够大时，样本分布也会趋近于正态分布。
这是由于中心极限定理的作用，即将多个独立同分布的随机变量之和的分布逼近于正态分布。
4. 样本分布可用于总体的推断：通过对样本的分析得到的统计量，如置信区间、假设检验等，可以进行对总体的推断。
样本的统计量通过与总体参数相比较，能够帮助我们判断总体的性质和规律。
总体分布与样本分布
03 总体分布与样本分布的关系
联系
总体分布是样本分布的基础
总体分布描述了总体中所有个体的特征分布情况，而样本分布则是从总体中抽取一部分个体的特征分布情况。因 此，总体分布是样本分布的基础，样本分布是总体分布的一个子集。
样本分布的特性受总体分布影响
样本分布是从总体分布中抽取出来的，因此其特性必然受到总体分布的影响。样本分布的特性与总体分布的特性 密切相关，总体分布的特性决定了样本分布的特性。
参数估计的优点是简单易行，适用于已知总 体分布类型的情况。
04
参数估计的缺点是假设前提较强，对于未知 总体分布类型的情况无法适用。
非参数估计
非参数估计是不依赖于 任何总体分布假设的一 种统计方法。
非参数估计的方法包括 核密度估计、直方图估 计、最近邻估计等。
非参数估计的优点是适 用范围广，无需对总体 分布做任何假设。
政策评估
通过样本分布，可以对政策实施效果进行评估，如教育、医疗等领域的政策。
经济学研究
市场需求
经济学研究中，总体分布用于描述市场 需求和消费者行为，如消费者偏好、消 费水平等，而样本分布则用于估计这些 需求和行为的特征。
VS
经济发展
通过样本分布，可以对经济发展趋势进行 预测和评估，如GDP增长率、就业率等。
总体分布的目的是描述总体中所有个体的特征分布情况，用于了解总体的性质和结构；而样本分布的目 的是通过抽样调查来估计和推断总体的特性，用于了解总体的某些特性和趋势。
04 总体分布的估计方法
参数估计
01
参数估计是通过已知的样本数据，对未知的 总体参数进行估计的方法。
03
02
参数估计的方法包括最大似然估计、最小二 乘估计、贝叶斯估计等。
管理统计学(李金林版教材)课后习题答案~~~第六章
管理统计学（李金林版教材）课后习题答案~~~第六章基础习题1. 解释总体分布、样本分布和抽样分布的含义。
答：总体分布：整体取值的概率分布规律，即随机变量X 服从的分布；样本分布：从总体中按照一定的抽样规则抽取的部分个体的分布，若从总体中简单随机抽取容量为n 的样本，则样本分布为(X 1,X 2,...,X n )；抽样分布：样本统计量的分布。
2. 简述卡方分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系，它们的概率密度曲线各有什么特征？答：若随机变量X 服从N(μ,σ2)，则Z =X−μσ服从N(0,1)；若随机变量X 服从N(0,1)，则Y =∑(X i )2n i=1服从自由度为n 的χ2分布；若随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~χ2(n)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量T =√Y n⁄服从自由度为n 的t 分布；若随机变量X~χ2(n)，若随机变量Y~χ2(m)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量F n,m =X n ⁄Y m ⁄服从第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布，记为F n,m ~F(n,m)。
χ2分布的概率密度曲线分布在第一象限内，随着自由度n 的增大，曲线向正无穷方向延伸，并越来越低阔，越来越趋近于正态分布的曲线形态。
t 分布的概率密度曲线以0为中心，左右对称，随着自由度n 的增大，t 分布的概率密度曲线逐渐接近标准正态分布的概率密度曲线。
F 分布的概率密度曲线分布在第一象限内，当第一个自由度不变，第二个自由度增大时，曲线越来越向右聚拢，当两个自由度都增加时，F 分布概率密度曲线逐渐接近正态分布的概率密度曲线。
3. 解释中心极限定理的含义。
从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本容量为n 的随机样本，则当n 充分大时，样本均值x̅的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2n ⁄的正态分布，即x̅~N(μ, σ2n ⁄)。
4. 某公司有20名销售员，以下是他们每个人的销售量：3，2，2，3，4，3，2，5，3，2，7，3，4，5，3，3，2，3，3，4。
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xi
易见，Xi其实就是X
5.1.3 样本分布函数
设x1, x2, …, xn是随机变量X的样本观察值，将它 们按大小顺序排列，排序后为x1x2 … xn , ki为 小于xi+1的样本值出现的累积频次，n仍为样本容 量，则可得到样本累积频率分布函数如下
Fn
(x)
0ki,
当x x1 / n, 当xi
因此，总体也可理解为一个随机变量取的值全体。
5.1.1 总体与总体分布
更准确地说，一维随机变量是指反映某总体特征取 值，且具有如下特点的变量X： （1）在同一条件下可以无限次重复取值； （2）取值的结果可能有多个，但不确定； （3）事先不知道取值结果(Outcome)。
由此可知，随机变量可以理解为“随机实验（随机地抽取一个 个体）”结果的数值性描述。
f(x)
b
a f (x)dx P(a x b)
x ab
连续型随机变量取给定值的概率为零。 有时也称下式定义的函数为X的概率分布函数：
F(x) x f (x)dx
5.1.2 随机样本与样本观察值
从重复抽样的角度看“每次从总体中随机抽取个体” 可理解为一个随机实验。
随机样本：表征n次抽取个体的随机抽样的一组随 机变量X1, X2, …, Xn. 样本观察值（样本数据）：n次随机抽样的结果： x1, x2, …, xn（称为随机变量X1, X2, … , Xn的样本观 察值）。n称为样本容量。 注：x1, x2, …, xn也可以看成随机变量X的n次重复抽 样的结果。
概率的定义（见教材p2）。
任何满足定义中三个条件的函数P(A)都可以作为一种合适 的概率分配方式。常用的概率分配方式有：古典法（抛掷 硬币）、相对频数法（产品销路调查）和主观法（体育比 赛结果预测）。
5.1 总体分布与样本分布
本章的总体(Population or Universe)是指研究对象 的全体。并且先研究只有一个特征（指标或变量） 的总体。这样表述总体特征的变量可以看成一个 一维随机变量。
无论是理论研究还是解决实际问题，知道一个随机变量取 各种可能值的概率情况（概率分布）都是十分重要的。
随机变量取值的概率分布，就称为总体分布。
一个随机变量取给定值或属于一给定值集合的概率 所确定的函数称为该随机变量的概率分布。概率分 布反映的是随机变量所有可能取值的概率的分配方 式。一旦与所有可能结果相联系的概率被确定，则 概率分布完全确定。
大写的英文字母：随机变量 小写的英文字母：随机变量的观察值
1，2，3，4，5，6。用X标识骰子落地后 朝上一面的数字。则X是离散随机变量。
对该随机变量进行一次抽样，其实就是掷该骰子 一次。
第i次抽样，就是第i次掷骰子，其结果的表示：
事前
事后
Xi
X
x1
P(X) p1
x2 … xn … p2 … pn …
（1）离散随机变量的概率分布
离散随机变量的概率分布。设X为取相异
值x1, x2, … xn, …的离散随机变量，则函
数
f
(x)
P( X 0,
xi ), i 1,2,, n, X xi
称为X的概率分布或概率分布函数 (probability distribution function, PDF)，其 中P(X=xi)为离散随机变量X取xi值的概率。
• 某项工程按期完成的“可能性”有多大？
• 新投资赢利的“机会”有多大？ 概率在决策过程中起着重要作用，它提供了一种机制来衡 量、表达和分析与未来事件相联系的不确定性。
一些相关概念
随机实验 至少有两个或两个以上的结果但事先不知道会发 生哪个结果的过程。 随机事件（简称为事件） 一个随机实验的可能结果称为基 本事件。所有基本事件的集合称为总体（样本空间）。总 体的子集称为随机事件。
5.1.4 格利文科(Glivenko)定理 （样本分布与总体分布的关系）
格利文科定理：当n趋于无穷大时，Fn(x)依概率1 （关于x）均匀地收敛于总体分布F(x).
例如 我们在某个研究中关注广州市的某区居民的某年经济 收入情况, 我们在这个问题中的总体就是广州市某区居民的 全体, 但我们实际上关注的是该区居民该年的经济收入这样 一个特征, 我们可以用一个变量X来表征我们任意选取的一 个该区居民该年的收入。则X是一个一维随机变量，而我们 研究的总体实际上是这一随机变量取值的全体。
x
xi1
1, 当xn x
样本累积频率分布函数又简
称为样本（累积）分布函数，
它是总体（累积）分布函数
的近似，n越大，就越接近总
体分布，如图。
对于有限总体，其 累积概率分布函数 不连续, 是阶跃式的。 样本的累积分布函 数也是阶跃式的。 如图所示。
样本（累积）分布函数是总体（累积）分布函数的 近似，n越大，就越接近总体分布
（2）连续随机变量的概率密度函数
设X是连续随机变量，x是X取的值，若函数f(x)满 足下列条件：
f (x) 0
f (x)dx 1
b
a f (x)dx P(a x b)
则称f(x)为X的概率密度函数(probability density function, PDF)，其中P(a<xb)表示X在区间(a, b] 取值的概率。
提示
• 如何依据样本的信息推断总体的特征— —参数估计问题
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例、方
差
有关概率概念的回顾
通俗地说：概率是衡量某一特定事件的机会或可能性的数 值度量。它可以用来度量如下一些问题中的可能性 • 如果提高产品的价格，则销售下降的“机会”有多少？
• 某种新的装配作业方法会在多大“可能性”上提高生 产率？
120
100
80
60
Cumulative Percent
40
20
0
Missing 3
5
7
9
11
13
15
17
19
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Highest Year of School Completed
1991年美国一般社会调查(1991 U.S. General Social Survey)数据 中被调查对象”接受学校教育的最高年限”的样本累积分布图