8.2.46 二路归并排序设计思路
调用函数和被调用函数是同一个函数，需要注意 的是途归函数的调用层次，如果把调用途归函数的 主函数称为第 0 层，进入函数后，首次途归调用自 身称为第 1 层调用；从第 i 层途归调用自身称为第 i +1 层。反之，退出第 i +1 层调用应该返回第 i 层。 采用图示方法描述途归函数的运行轨迹，从中可较 直观地了解到各调用层次及其执行情况。
mid= 1 low=2
7<14
Page 11
mid= 2
14=1 4
查找成功！
2015-4-12
定理2.1 任何基于比较的排序算法，对n个元素
进行排序的时间下界为Ω(nlog2n)
所谓（Optimality Algorithm）是指在某一种
度量标准下，优于该问题的所有（可能的）算法。
如果能够证明求解问题Π的任何算法的运行时间下
界是Ω(g(n))，那么，对以时间O(g(n))来求解问题 Π
问题描述：一个长度为n（n≥1）的升序序列 S，处在第n/2个位置的数称为序列S的中位 数 。两个序列的中位数是他们所有元素的升 序序列的中位数。现有两个等长升序序列A 和B，试设计一个在时间和空间两方面都尽 可能高效的算法，找出两个序列的中位数。
层治法只对一个子问题求解，并且不需要进行 解的合并。应用层治法（例如层半法）得到的算法 通常具有如下递推式： 0 n 1 T (n) n 1 T (n / 2) 1 所以，通常来说，应用层治法处理问题的效率 是很高的，一般是O(log2n)数量级。 对比分治法：
1. 循环直到序列A和序列B均只有一个元素 1.1 a = 序列A的中位数； 1.2 b = 序列B的中位数； 1.3 比较a和b，执行下面三种情况之一： 1.3.1 若a=b，则返回a，算法结束； 1.3.2 若a<b，则在序列A中舍弃a之前的元素， 在序列B中舍弃b之后的元素，转步骤1； 1.3.3 若a>b，则在序列A中舍弃a之后的元素， 在序列B中舍弃b之前的元素，转步骤1； 2. 序列 A和序列 B均只有一个元素，返回较小者；
如果k<rmid查找这里 如果k>rmid查找这里
Page 10第5章 层治法2源自15-4-1201
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7 14 18 21 23 29 31 35 38 42 46 49 52 low=1
mid=7 31>14 18>1 mid= 4 high=6
high=13
3 high=2
8.2
图问题中的流塑法
8.2.46
二路归并排序设计思路
引理2.1 若T是至少具有n！和叶子结点的二叉树，则T的 高度至少是：nlog2n-1.5n=Ω(nlog2n)
• 通常称为信息论下界，说明任何基于比较的对n个元素 排序的算法，判定树的高度都不会大于Ω(nlog2n)。因 此，Ω(nlog2n)是这些算法的时间下界。
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g (n) T (n) 2T (n / 2) f (n)
n足够小
2015-4-12
想法：分别求出两个序列的中位数，记为a和b；比 较a和b，有下列三种情况： ① a = b：则a即为两个序列的中位数； ② a < b：则中位数只能出现在a和b之间，在序列 A中舍弃a之前的元素得到序列A1，在序列B中舍弃 b之后的元素得到序列B1； ③ a > b：则中位数只能出现在b和a之间，在序列 A中舍弃a之后的元素得到序列A1，在序列B中舍弃 b之前的元素得到序列B1； 在A1和B1中分别求出中位数，重复上述过程，直 到两个序列中只有一个元素，则较小者即为所求。
基本思想：在有序表中，取中间记录作为比较对象， 若给定值与中间记录的关键码相等，则查找成功；若给 定值小于中间记录的关键码，则在中间记录的左半区继 续查找；若给定值大于中间记录的关键码，则在中间记 录的右半区继续查找。不断重复上述过程，直到查找成 功，或所查找的区域无记录，查找失败。
k
[ r1 … … … rmid-1 ] rmid [ rmid+1 … … … rn ] （mid=(1+n)/2）
的任何算法，都认为是最优算法。
通常将存在多项式时间算法的问题看作是易解问题（Easy Problem），将
需要指数时间算法解决的问题看作是难解问题（Hard Problem）。
如果一个问题П 存在一个时间复杂性是O(nk)的算法，其中，n是问题规模，k 是一个非负整数，则称问题П存在多项式时间算法。 例：易解问题——排序问题、查找问题、欧拉回路 难解问题——TSP问题、 Hanio问题、Hamilton回路
请简述冒泡排序和二路归并排序的算法思想。
请简述冒泡排序和二路归并排序的算法思想。
冒泡排序和二路归并排序的原理都是基于最大最小(或者是平均)原则。
因为它们均要求前n个比较次数，也就是说一旦有n个相同的元素，我们希望找到所有这些元素中，下标在前的元素，且把这些元素按升序排列起来。
(1)从性能角度出发，我们需要衡量每一比较次数对于整个搜索的影响，因此我们希望排序算法是尽可能的快。
(2)在尽可能快的前提下，还需要尽可能的将结果保持紧凑，即希望排序后的结果尽可能的简单易懂。
这里的简单易懂是指排序算法尽可能的不依赖于上下文，以及排序后的结果尽可能地独立于搜索空间。
二者均采用了单向链表结构，因此其数据结构均属于2-8树。
对比(1)、(2)，从性能的角度来看，冒泡排序可以明显优于二路归并排序。
当然，二者也具有各自的缺点，这里不再赘述。
二路归并排序是将元素映射到二路链表上，而冒泡排序则是将元素映射到一个双向链表上。
二者也存在很多共同的特点，下面分别进行介绍。
(1)与冒泡排序一样，二路归并排序也需要将待排序的元素映射到一个链表上，但是二路归并排序将每个待排序的元素依次对应到一个单独的比较次数中，因此它的比较次数是无序的。
(2)二路归并排序仅仅使用了链表结构，因此它的搜索速度与链表本身的数据结构相关，二路归并排序对比较次数的限制也更加严格，搜索速度也相对较慢。
(3)二路归并排序的比较次数具有严格的顺序性，即每个比较次数的下标只能在链表的上升方向的元素中，当链表上的元素已经达到最大值时，该元素的下标仍然必须在链表的上升方向的元素中。
二者各有优劣。
对于普通的非稀疏性文件，文件容量较小，通常可以采用冒泡排序。
对于文件容量较大，即记录较多的文件，如果采用冒泡排序，效率会很低，因此，二路归并排序显得更有优势。
由于冒泡排序对比较次数有严格的顺序性，因此，冒泡排序适合于文件内存储数据的顺序排序。
但是，二路归并排序在文件内存储数据的逆序排序中，也有其应用价值，因此，二路归并排序在文件内部存储数据的混合排序中，也有其应用价值。
归并排序大概讲解
归并排序大概讲解
归并排序是一种高效的排序算法，它的基本思路是将待排序的序列分为若干个子序列，每个子序列都是有序的，然后再将这些子序列合并成一个有序的序列。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)，是一种稳定的排序算法。
归并排序的主要步骤如下：
1. 将待排序的序列不断地分为两个子序列，直到每个子序列只有一个元素为止。
2. 将两个子序列合并成一个有序的序列，这个过程称为归并。
3. 不断地重复步骤2，直到所有的子序列合并成一个完整的有序序列。
归并排序可以使用递归或迭代的方法实现。
递归实现的归并排序思路较为简单，但是由于递归调用的开销较大，实际应用较少。
迭代实现的归并排序需要借助一个辅助数组，可以在空间上进行优化。
归并排序具有以下优点：
1. 稳定性好，相同元素的相对位置不会改变。
2. 时间复杂度较低，最坏时间复杂度为O(nlogn)，平均时间复杂度为O(nlogn)。
3. 可以排序大规模数据，适用于外部排序。
需要注意的是，归并排序的缺点是需要额外的空间来存储待排序的序列，空间复杂度较高。
此外，归并排序的常数因子较大，在小规模数据的排序中表现不如插入排序等简单排序算法。
数据结构 归并排序
数据结构归并排序
归并排序
归并排序是一种常见的排序算法，它基于分治的思想，将一个大问题分解成若干个子问题，然后将子问题的解进行合并，得到最终的排序结果。
本文将详细介绍归并排序的算法原理、步骤以及时间复杂度分析。
⒈算法原理
归并排序的基本思想是将待排序的序列分成两个相等长度的子序列，然后分别对两个子序列进行排序，最后将两个已排序的子序列合并成一个有序的序列。
具体步骤如下：
●将待排序序列分为两个相等的子序列，不断递归地将子序列继续分解，直到无法再分解（即子序列只有一个元素）
●对每个子序列进行排序，可以使用归并排序递归地对子序列进行排序。
●将两个已排序的子序列合并成一个有序的序列，合并过程可以使用额外的空间存储。
⒉算法步骤
归并排序的步骤如下：
●将待排序的序列分成两个相等长度的子序列。
●对子序列递归地应用归并排序，直到子序列只有一个元素。
●将两个已排序的子序列通过比较大小，按照顺序合并成一个
有序的序列。
●重复以上步骤，直到合并完成，得到最终的有序序列。
⒊时间复杂度分析
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序序列的长度。
分析归并排序的时间复杂度可以通过递归树来实现，每层递归
都需要处理整个序列。
假设序列的长度为n，递归树的高度为logn，每层的时间复杂度为O(n)，所以总的时间复杂度为O(nlogn）附件：
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法律名词及注释：
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c语言有序单链表的二路归并算法
c语言有序单链表的二路归并算法C语言有序单链表的二路归并算法一、引言有序单链表是一种常见的数据结构，其中的元素按照一定的顺序排列。
当需要将两个有序单链表合并为一个有序单链表时，可以使用二路归并算法。
本文将介绍使用C语言实现有序单链表的二路归并算法的原理和步骤。
二、算法原理二路归并算法是一种常见的排序算法，它通过将两个有序链表合并为一个有序链表的方式来实现排序。
算法的基本思想是通过比较两个链表中的元素大小，将较小的元素添加到新的链表中，直到将两个链表全部合并为止。
三、算法步骤下面是使用C语言实现有序单链表的二路归并算法的详细步骤：1. 定义两个指针，分别指向两个有序单链表的头结点；2. 创建一个新的链表，用于存储合并后的有序链表；3. 循环比较两个链表中的元素大小，将较小的元素添加到新链表中，并将指针后移；4. 当其中一个链表遍历完毕时，将另一个链表中剩余的元素添加到新链表的末尾；5. 返回新链表的头结点，即为合并后的有序单链表。
四、代码实现下面是使用C语言实现有序单链表的二路归并算法的示例代码：```c#include <stdio.h>#include <stdlib.h>// 定义链表结点typedef struct Node {int data;struct Node* next;} Node;// 创建有序链表Node* createList(int arr[], int size) {Node* head = NULL;Node* tail = NULL;for (int i = 0; i < size; i++) {Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));newNode->data = arr[i];newNode->next = NULL;if (head == NULL) {head = newNode;tail = newNode;} else {tail->next = newNode;tail = newNode;}}return head;}// 合并两个有序链表Node* mergeList(Node* list1, Node* list2) { if (list1 == NULL) {return list2;}if (list2 == NULL) {return list1;}Node* head = NULL;Node* tail = NULL;while (list1 != NULL && list2 != NULL) { if (list1->data <= list2->data) {if (head == NULL) {head = list1;tail = list1;} else {tail->next = list1;tail = list1;}list1 = list1->next;} else {if (head == NULL) {head = list2;tail = list2;} else {tail->next = list2;tail = list2;}list2 = list2->next;}}if (list1 != NULL) {tail->next = list1;}if (list2 != NULL) {tail->next = list2;}return head;}// 打印链表void printList(Node* head) { Node* p = head;while (p != NULL) {printf("%d ", p->data); p = p->next;}printf("\n");}int main() {int arr1[] = {1, 3, 5};int arr2[] = {2, 4, 6};Node* list1 = createList(arr1, sizeof(arr1) / sizeof(int));Node* list2 = createList(arr2, sizeof(arr2) / sizeof(int));printf("链表1：");printList(list1);printf("链表2：");printList(list2);Node* mergedList = mergeList(list1, list2);printf("合并后的链表：");printList(mergedList);return 0;}```五、算法分析有序单链表的二路归并算法的时间复杂度为O(n)，其中n为两个链表的总长度。
二路归并排序实现排序算法数据结构
（3）交换排序
两两比较待排序记录的关键字，发现两个记录的次序相反时即进 行交换，直到没有反序的记录为止；
（4）归并排序
将两个或两个以上的有序子序列“归并”为一个有序序列。
（5）分配排序
分配排序无须比较关键字，通过“分配”和“收集”过程来实现 排序。
数据结构(C#语言版) 实现排序算法
10.1 认识排序——排序的概念
实现排序算法
数据结构(C#语言版)
目标
在本章中,你将学到:
– 熟悉排序的概念及分类 – 使用插入、选择、交换、归并及分 配排序进行排序
数据结构(C#语言版)
实现排序算法
学习情境——实现第29届奥运会奥运奖牌的排名 [问题描述] 作为各国竞技运动实力的数字化体现，奖牌榜以一种简 单而快捷的方式实现了信息的有效传播、增加了各国民众对 奥运的关注。尽管没有任何一种排名得到奥委会的官方认可， 但排行榜仍是各国媒体报道奥运、各国民众解读奥运的一个 重要组成部分。不同的排名方式，体现了不同的利益诉求和 价值倾向。以金牌数量为基准的排名，通俗点说，就是一种 “永远争第一”的心态，体现了一种不断超越自我、超越对 手的决心，以及对世界巅峰和人类运动极限的不懈追求。而 以奖牌数为基准的排名，则相对客观，反映了一个国家对其 竞技能力的成长性和延续性的关注。图10.1是各国奥运奖牌 按金牌数量为基础的排名。
数据结构(C#语言版)
实现排序算法
10.1 认识排序——排序的概念
1. 排序（sort）概念
排序是计算机内经常进行的一种操作，其目的是将一组“无序”的记录序列调整 为“有序”的记录序列，使之按关键字递增(或递减)次序排列起来。 例如：将下列关键字序列 52, 49, 80, 36, 14, 58, 61, 23, 97, 75 调整为 14, 23, 36, 49, 52, 58, 61 ,75, 80, 97 假设含n个记录的序列为 { R1, R2, …， Rn } （1） 其相应的关键字序列为 { K1, K2, …，Kn } 这些关键字相互之间可以进行比较，即在它们之间存在着这样一个关系 Kp1≤Kp2≤…≤Kpn 按此固有关系将式(1)的记录序列重新排列为 { Rp1, Rp2, …，Rpn } 的操作称作排序。
归并排序
归并排序归并排序(merge sort)归并的含义是将两个或两个以上的有序表合并成一个新的有序表。
归并排序有多路归并排序、两路归并排序 , 可用于内排序，也可以用于外排序。
这里仅对内排序的两路归并方法进行讨论。
两路归并排序算法思路①把 n 个记录看成 n 个长度为 l 的有序子表；②进行两两归并使记录关键字有序，得到 n/2 个长度为 2 的有序子表；③重复第②步直到所有记录归并成一个长度为 n 的有序表为止。
【实现代码】#include<stdio.h>#include<stdlib.h>void merget(int a[],int start,int mid,int end){int t=end-start+1;int i=start,j=mid+1;int k=0;int *p=(int *)malloc(sizeof(int)*t);while(i<=mid&&j<=end){if(a[i]<=a[j]){p[k++]=a[i++];}else{p[k++]=a[j++];}}if(i>mid){while(j<=end){p[k++]=a[j++];}}else{while(i<=mid){p[k++]=a[i++];}}for(i=start,k=0;i<=end;i++,k++){a[i]=p[k];}free(p);}void mergetsort(int a[],int start,int end) {int mid;if(start<end){mid=(end+start)/2;mergetsort(a,start,mid);mergetsort(a,mid+1,end);merget(a,start,mid,end);}}void main(){int a[10];int i;for(i=0;i<10;i++)scanf("%d",&a[i]);mergetsort(a,0,9);for(i=0;i<10;i++)printf("%d\n",a[i]);}。
知识点归并排序和基数排序
数据结构
二、空间性能 指的是排序过程中所需的辅助空间大小
1. 所有的简单排序方法(包括：直接插入、
起泡和简单选择) 和堆排序的空间复杂度为O(1)；
2. 快速排序为O(logn)，为递归程序执行过程中，
栈所需的辅助空间；
数据结构
容易看出，对 n 个记录进行归并排序的时间 复杂度为Ο(nlogn)。即：
每一趟归并的时间复杂度为 O(n)， 总共需进行 log2n 趟。
数据结构
10.6 基 数 排 序
数据结构
基数排序是一种借助“多关键字排序” 的思想来实现“单关键字排序”的内部 排序算法。
多关键字的排序
链式基数排序
一、多关键字的排序 n 个记录的序列 { R1, R2, …，Rn} 对关键字 (Ki0, Ki1,…,Kid-1) 有序是指：
对于序列中任意两个记录 Ri 和 Rj (1≤i<j≤n) 都满足下列(词典)有序关系： (Ki0, Ki1, …,Kid-1) < (Kj0, Kj1, …,Kjd-1) 其中: K0 被称为 “最主”位关键字
数据结构
10.5 归 并 排 序（知识点三）
数据结构
归并的含义是将两个或两个以上的有序表组 合成一个新的有序表。
归并排序可分为两路归并排序,或多路归并 排序，既可用于内排序，也可用于外排序。这 里仅对内排序的两路归并方法进行讨论。
数据结构
两路归并排序算法思路：
假设初始序列含有ｎ个记录，首先把ｎ个记录 看成ｎ个长度为１的有序序列，进行两两归并， 得到 ｎ／２个长度为２的关键字有序序列， 再两两归并直到所有记录归并成一个长度为ｎ 的有序序列为止。
二路归并排序算法
⼆路归并排序算法将两个按值有序序列合并成⼀个按值有序序列，则称之为⼆路归并排序，下⾯有⾃底向上和⾃顶向下的两种排序算法，⾃顶向下的排序在本⽂末讲述，使⽤递归实现，代码较简洁，经供参考。
1. 归并⼦算法：把位置相邻的两个按值有序序列合并成⼀个按值有序序列。
例如把序列 X[s..u] = {3, 12, 23, 32}和序列 X[u+1..v] = {2, 5, 8, 99} 合并成序列Z[s..v] = {2, 3, 5, 8, 12, 23, 32, 99}, 注意合并前的元素都位于同⼀个有序序列的相邻位置，合并后的有序序列的下标与合并前的序列总的起始下标相同。
算法过程中需要三个整型变量，i ⽤来遍历归并的前⼀个有序序列，其初始位置是s；j ⽤来遍历归并的后⼀个有序序列，其初始值是u+1；q ⽤来指出归并后得到的有序序列的末尾元素的位置，其初始值是s。
当遍历完成其中的⼀个有序序列之后，只需把另⼀个未结束有序序列的剩余元素复制到合并后的有序序列的末尾。
看代码：[cpp]1. //将有序的X[s..u]和X[u+1..v]归并为有序的Z[s..v]2. void merge(int X[], int Z[], int s, int u, int v)3. {4. int i, j, q;5. i = s;6. j = u + 1;7. q = s;8.9. while( i <= u && j<= v )10. {11. if( X[i] <= X[j] )12. Z[q++] = X[i++];13. else14. Z[q++] = X[j++];15. }16.17. while( i <= u ) //将X中剩余元素X[i..u]复制到Z18. Z[q++] = X[i++];19. while( j <= v ) //将X中剩余元素X[j..v]复制到Z20. Z[q++] = X[j++];21. }2. ⼀趟归并扫描⼦算法：将参加排序的序列分成若⼲个长度为 t 的，且各⾃按值有序的⼦序列，然后多次调⽤归并⼦算法merge将所有两两相邻成对的⼦序列合并成若⼲个长度为2t 的，且各⾃按值有序的⼦序列。
归并排序的详细过程
归并排序的详细过程归并排序是一种常见的排序算法，它通过将待排序序列分成若干个子序列，分别对每个子序列进行排序，然后再将排好序的子序列合并成最终的有序序列。
下面将详细介绍归并排序的过程。
1. 分解阶段：将待排序的序列不断二分，直到每个子序列只剩下一个元素为止。
这个过程可以使用递归来实现。
例如，对于序列[8, 4, 2, 5, 1, 3, 6, 7]，先将其二分为[8, 4, 2, 5]和[1, 3, 6, 7]两个子序列，再将这两个子序列继续二分，直到每个子序列只剩下一个元素。
2. 合并阶段：将相邻的两个子序列合并成一个有序序列。
具体的合并过程如下：- 创建一个临时数组来存放合并后的序列。
- 初始化两个指针，分别指向两个子序列的起始位置。
- 依次比较两个子序列中的元素，将较小的元素放入临时数组中，并将指向该元素的指针后移一位。
- 当其中一个子序列的指针移到末尾时，将另一个子序列中剩余的元素依次放入临时数组中。
- 将临时数组中的元素复制回原始序列的对应位置。
以序列[8, 4, 2, 5, 1, 3, 6, 7]为例，将其分解为[8, 4, 2, 5]和[1, 3, 6, 7]两个子序列，然后对这两个子序列进行合并。
首先比较两个子序列的第一个元素，4小于8，将4放入临时数组中，并将指向4的指针后移一位。
接着比较2和8，2小于8，将2放入临时数组中，并将指向2的指针后移一位。
继续比较5和8，5小于8，将5放入临时数组中，并将指向5的指针后移一位。
此时第一个子序列中的元素已经全部放入临时数组中。
接下来比较两个子序列的第一个元素，3小于1，将3放入临时数组中，并将指向3的指针后移一位。
继续比较6和1，6大于1，将1放入临时数组中，并将指向1的指针后移一位。
接着比较6和3，6大于3，将3放入临时数组中，并将指向3的指针后移一位。
最后比较6和7，7小于6，将7放入临时数组中，并将指向7的指针后移一位。
此时第二个子序列中的元素已经全部放入临时数组中。
二路归并和多路归并排序.pdf
008 505 f[0] f[1] 109 f[2] 930 f[3] 930 f[4] 063 f[5] 269
269 063 f[6] 278 278 f[7] 083
184 083 f[8] 184 f[9] 589
7
505
008
收集
10.6基数排序（续）
505 008 e[0] 083 109 e[1] e[2] 930 e[3] 063 e[4] 269 e[5] 278 e[6] 083 e[7]
10.5归并排序
2-路归并排序
算法思想:
DS/SS
归并排序(Merging Sort)的基本操作是“归并”：将两个或两个以上 的有序表组合成一个新的有序表。 2-路归并过程：假设初始序列含n个元素，看成n个子序列，两两 归并，得到“n/2取上整”个长度为2或为1的有序子序列；再两两归并， 如此重复，直至得到一个长度为n的有序序列为止。 整个排序过程共进行log2n趟。每一趟归并调用“(n/(2h))取上整”次 核心归并算法，将SR[1..n]中前后相邻长度为h的有序段进行两两归并， 得到前后相邻、长度为2h的有序段，并存放在TR[1..n]中。交替进行。
008 278 f[8] 589
589 109 f[9] 269
6
收集
10.6基数排序（续）
930 063 e[0] 109 083 e[1] e[2] 184 e[3] 505 e[4] 278 e[5] 008 e[6] 109 e[7]
DS/SS
589 e[8] 589
269 e[9]
分 配
DS/SS
184 e[8]
589 e[9]
分 配
063 008 f[0]