位移计算的一般公式
位移计算的一般公式
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位移计算的一般公式
（一）位移计算的一般公式
利用虚功原理求结构位移需要两个状态：实际位移状态
和虚设力状态。
要求的位移是由给定的荷载、温度变化和材料胀缩、支座移动和制造误差等因素引起的，以此作为结构的实际位移
状态；再虚设一个恰当的力状态，即在所求位移处沿所求位移方向加相应的单位荷载，让虚设力在实际位移上作功，利用虚功
方程即可求得所求位移。
这种计算位移的方法称为单位荷载法。
利用单位荷载法，由虚功方程（1-3）可得平面杆件结构位移计
算的一般公式
(1-4) 式中：和、、——虚设单位荷载引起的支座反力和微段上的内力；
和、、——实际位移状态中支座位移和微段上的变形。
公式（1-4）适合静定结构和超静定结构、弹性体系和非弹性体系在各种因素下产生的位移计算。
【注意】采用单位荷载法求结构位移，应注意以下几点：（1）每假设一个虚拟状态，只能求出一个未知位移；
（2）所加的单位荷载应与所求位移相对应；
（3）虚设单位荷载的指向可以任意假定，结果为正，说明所假设单位荷载方向与实际位移方向相同；结果为负，则说明与实际位移相反。
（二）荷载作用下的位移计算公式
计算荷载作用下的位移时，式（1-4）中的应变、、0是由荷载引起的，可按下列顺序求出：
荷载——内力——应力——应变
下面列出在荷载作用下，静定结构的单位位移的具体计算步骤：
（1）根据荷载情况，求出结构各截面的弯矩、剪力、轴力。
（2）根据内力，求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变：
（1-5a）
（1-5b）
（1-5c）
式中：E和G分别为材料的弹性模量和剪切弹性模量：A和I分别是杆件截面的面积和惯性矩。
EI、GA、EA分别是杆件截面的抗弯、抗剪、抗拉刚度；是剪应力分布不均匀系数。
（3）将式（1-5）代入式（1-4），即得到在荷载作用下的位移计算公式
（1-6）须指出：上式（1-6）只适用于线弹性平面杆系结构。
关于内力的正负号可规定如下：
●轴力——以拉力为正；
●剪力——使微段顺时针转动者为正；
●弯矩——只规定乘积的正负号。
当与
使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取正值。
按照保留主要影响忽略次要影响的原则，从式（1-6）可以得到各类特殊结构形式相应的简化公式。
（1）梁和刚架
位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响较小，因此位移公式可简化为：
（1-7）
（2）桁架
各杆只受轴力，而且每根杆的截面面积A以及轴力和沿杆长一般都是常数，因此位移公式可简化为：
（1-8）
（3）桁梁组合结构
梁式杆件主要受弯曲，桁式杆件只受轴力，故位移公式可简化为：
（1-9）(4)拱
对于扁平拱，其位移公式为：
（1-10a）对于一般实体拱，其位移公式为：
（1-10b）
（三）支座移动引起的位移计算公式
(1-11)
当与相应支座位移c方向一致时，其乘积取正号，反之取负号。
（四）温度改变引起的位移计算公式
（1-12）式中为材料的线膨胀系数；h为杆件截面高度；为杆件轴
线处温度改变值；为杆件两侧温度改变的差值。
对于等截面直杆，当、、在一根杆件范围内为常数时，式（1-12）可改写成下列形式：
（1-13）式中、分别为图和图的面积。
当实际温度变形与虚拟状态的变形一致时，其乘积为正，反之为负。
即如以升高为正，则以拉力正；如取绝对值，则使高温面受拉的M为正，即高温侧的为正。
（五）静定桁架由于制造误差引起的位移计算公式
（1-14）
式中为杆件的制造误差，规定伸长为正，缩短为负；规定拉力为正，压力为负。
位移时间公式和位移速度公式
解释
其中，$v$
表示位移度，
$Delta x$ 表示物体在时间
$Delta t$ 内的位移变化量。
应用
位移速度公式广泛应用于物理学、 工程学和日常生活中，用于计算 和描述物体的运动状态。
物理意义
01
02
03
描述物体运动状态
位移速度公式可以用来描 述物体的运动状态，包括 匀速运动、变速运动等。
判断运动性质
意义
位移时间公式是物理学中描述物体运动规律的重要工具之一，它可 以帮助我们理解物体在一段时间内的位置变化情况。
公式表达
公式
s = v0t + 0.5at^2
解释
该公式表示物体在初速度 v0 和加速度 a 的作用下，经过时间 t 的位移。其中，v0 是物体的初速度，a 是加速度，t 是时间。
应用
位移时间公式广泛应用于物理学、工程学和天文学等领域，特别是在研究物体运动规律和预测物体位置 变化方面具有重要意义。
位移时间公式和位移 速度公式
目 录
• 位移时间公式 • 位移速度公式 • 位移时间公式与位移速度公式的关联 • 位移时间公式和位移速度公式的应用 • 位移时间公式和位移速度公式的推导
01
位移时间公式
定义
定义
位移时间公式是用来描述物体在一段时间内位置变化的公式。
描述
位移时间公式通常表示为 s = f(t)，其中 s 表示位移，t 表示时间。
物理意义
01 02
物理意义
位移时间公式的物理意义在于描述物体在一段时间内位置的变化量。通 过该公式，我们可以计算出物体在不同时刻的位置坐标，从而了解物体 的运动轨迹和规律。
单位
位移的单位是长度单位，如米、厘米等；时间的单位是时间单位，如秒、 分钟、小时等。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
3位移计算一般公式
变形体虚功原理
设变形体系在力系状态作用下处于 平衡状态（力状态），又设设变形体系 由于其他原因产生符合约束条件的微小 连续变形（位移状态），则力状态的外 力在位移状态的位移上所作的虚功，恒 等于力状态的内力在位移状态的相应变 形上所作的虚功，即虚应变能。
外力虚功W=虚应变能W
力状态 （虚力状态） 两种状态 位移状态 （虚位移状态）
FP q
FP /2
FP /2
无关（虚）位移状态（虚）力状态变形体虚功方程的展开式 δWi 的计算: M
微段外力:
N
q
M dM N dN
Q ds Q dQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
微段拉伸
ds
d ds
ds 微段剪切
微段弯曲
对于直杆体系，有:
W F ds F ds M ds
N Q
设待求的实际广义位移为Δ 与Δ对应的广义力为P。 在广义力P作用下，与之平衡的轴力、 剪力、扭矩和弯矩分别为FN 、 FQ、M。 与内力FN 、 FQ、M对应的微段实际 变形分别为εds、γds、dθ。 若结构有已知支座位移为c，与其对应 的由广义力 P 引起的支座反力为R
实际位移状态
B
FP C
虚设的力状态
P B C
Bx ?
A
εds、γds、 dθ c
FN 、 FQ、 M
A
R
外力虚功W=虚应变能W
P Rc F ds F ds M ds
N Q
虚功方程等式两边同除广义力 P ，并记 单位广义力(P/P=1)作用下，与之平衡的轴 力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN 、 FQ、 M 。 单位广义力引起的，与已知位移对 应的反力为： FR。 则杆系结构虚功方程改写为
位移计算的一般公式(力学
曲线运动的位移公式
总结词
曲线运动中，物体的位移是运动轨迹上各点的位置坐标之和。
详细描述
在曲线运动中，物体的位移需要通过对运动轨迹上各点的位置坐标进行积分来计算。具体公式取决于曲线的形状 和运动方式。对于简单的曲线运动，如圆周运动，位移可以通过弧长和角度的函数来描述。对于更复杂的曲线运 动，可能需要使用数值积分方法来计算位移。
位移与速度的关系
总结词
位移与速度的关系是位移计算中的基础关系 ，描述了物体在一段时间内位置的变化与其 平均速度之间的关系。
详细描述
位移（S）是物体运动过程中位置的变化量 ，可以用距离和方向来表示。速度（V）是 描述物体运动快慢的物理量，等于位移与时 间的比值。在匀速直线运动中，速度保持不 变，位移与速度成正比，即S=V*t，其中t
位移是描述物体位置变化的物理 量，是运动学的基本概念之一。
位移的大小表示物体在空间中移 动的距离，方向表示物体的移动
方向。
位移的物理意义在于描述物体在 空间中的位置变化，是描述物体
运动状态的重要参数之一。
02
CATALOGUE
位移的一般公式
匀速直线运动的位移公式
总结词
匀速直线运动的速度保持不变，因此位移等于速度乘以时间 。
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度保持恒定，因此位移（即物 体移动的距离）可以通过速度与时间的乘积来计算。数学公 式为：$s = v times t$，其中 $s$ 表示位移，$v$ 表示速度 ，$t$ 表示时间。
匀加速直线运动的位移公式
总结词
匀加速直线运动中，物体速度逐渐增加 ，位移等于初速度、末速度、加速度和 时间的函数。
位移计算的一般公 式
目 录
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
EI
杆
EA
K
(
MP
M
* K
FNP
FNK
*
)ds
EI
EA
作业： 5—11、5—7（a）
EA
EA
例 2：已知EI、GA为常数，求C点竖向位移
FP
A
B
C
l/2
l/2
CM
M
PM EI
K
ds
F PL3 48EI
CQ
kFQP FQK ds kFP L
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
（5）可计算绝对位移和相对位移。
三、位移计算的一般步骤
（1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。 四、单位虚荷载法的施加方法（参考教材）
速度加速度位移公式
速度加速度位移公式速度、加速度和位移是描述物体运动的基本概念。
在物理学中，速度是指物体在单位时间内移动的距离，而加速度是指物体在单位时间内速度变化的快慢。
位移则是指物体从起点到终点的距离。
1.速度的定义和计算公式速度（v）是描述物体运动快慢的物理量。
它的定义是物体在单位时间内移动的距离，可以用下面的公式计算：v=Δx/Δt其中，Δx表示物体在时间Δt内移动的距离。
2.加速度的定义和计算公式加速度（a）表示物体在单位时间内速度变化的快慢。
它的定义是速度随时间的变化率，可以使用以下公式进行计算：a=Δv/Δt其中，Δv表示物体在时间Δt内速度的变化量。
3.位移的定义和计算公式位移（s）是物体从起点到终点的距离。
位移可以表示为速度与时间的乘积：s=v*t其中，v为物体的速度，t为运动的时间。
4.匀速直线运动中的速度、加速度和位移公式在匀速直线运动中，物体的速度保持不变，加速度为零。
根据定义和公式，可以得出以下结论：速度：v=Δx/Δt=常数（匀速直线运动中）加速度：a=Δv/Δt=0（匀速直线运动中）位移：s=v*t=常数（匀速直线运动中）5.匀变速直线运动中的速度、加速度和位移公式在匀变速直线运动中，物体的加速度保持恒定，速度和位移随时间变化。
根据定义和公式，可以得出以下结论：速度：v=v0+a*t其中，v0为起始速度，a为加速度，t为时间。
加速度：a=常数（匀变速直线运动中）位移：s=v0*t+1/2*a*t^2其中，s为位移，v0为起始速度，t为时间。
这些公式和定义可以帮助我们理解和描述物体在运动中的速度、加速度和位移变化。
在实际问题中，我们可以根据已知条件使用这些公式进行计算，从而获得所需的运动信息。
一、位移计算的一般公式
FN FNP kFQ FQP MM P + + P = ∑ ∫ ds GA EI EA 轴向 M x M xP 剪切 弯曲 +∫ ds GI P
δWe =∑∫[pδu+qδv+mδθ]ds +∑ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =∑∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为 设待求的实际广义位移为 ,与对应 位移为 对应 广义力为P. 的广义力为 . 设仅在广义力P作用下 作用下, 设仅在广义力 作用下,与之平衡的轴 剪力,扭矩和弯矩分别为F 力,剪力,扭矩和弯矩分别为 N , FQ, Mx和M. M. 虚设的力状态 FP 实际位移状态 P
P=1 A
(g)
A = ?A B P=1 源自=1(h)AB = ?
二, 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
= ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδθ )ds
+ ∫ M xδds ∑ FRi ci
P = ∑ ∫ (FNδε P + FQδγ P + Mδθ P )ds
变形; 变形;
5. 位移种类:线位移,角位移;相对线位移 位移种类:线位移,角位移;
和相对角位移. 和相对角位移.
试确定指定广义位移对应的单位广义力. 试确定指定广义位移对应的单位广义力. A P=1
位移计算一般公式.
分析，见图 图 a) 求结构上任一点C沿指定方向K-K’上 的分位移 KP
1 KP
Md Nd Q ds Rc
求结构变形，须有平衡力系 虚功原理中，作功力系与位移可以彼此无关， 二者之一可以虚设。
见图b) 状态II 表示虚拟状态，沿K-K’方向作用 PK 1
1) 如图，若求结构上C点的竖 向位移，可在该点沿所求位 移方向加一单位力
2) 若求结构上截面A的角位移， 可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，
应加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿 其连线的相对位移，可在该
KP
M PM K EI ds
NP NK EA ds
kQPQK GA ds Rc
上式为：由虚功原理得到的计算结构位移的一般公 式 (称单位载荷法) 它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相 对位移。 只要虚拟状态中的单位力是与所计算的位移相当应的 广义力即可。
§6-2
位移计算一般公式
1.单位荷载法 根据虚力原理的基本表达式：
为了能够计算某一结构位移Δ，我们选择的力系中只包含 一个对拟求位移Δ做虚功的相应荷载 P 。这样上式就变成：
进一步令P=1，便有：
式中， 是结构在集中单位荷载P=1作用下的支反力 和内力，它们都可以有由静力平衡条件求出。而位移则是实 际结构中的位移。 由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系-----单位 荷载力系，通过上式计算位移，这就是单位荷载法计算位移 的基本思路。
两点沿其连线加上两个方向
相反的单位力。
4) 若求梁或刚架上两个截面的 相对角位移，可在两个截面
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得