4-4 荷载作用下的位移计算
②求出两种状态的内力表达式
实际状态：AB杆
M
P
=qlx
qx2 2
FNP =ql / 2
BC杆
MP =qlx / 2 FNP =0
实际状态
FQP =ql qx
FQP = ql / 2
yluo@
虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
例4.2 试求图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
实际状态
②求出两种状态的内力表达式
M
P
=
qx2 2
FQP = qx
M = 1 x FQ = 1
③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
MP = FPR sin M =1 R(1-cos )
③代入公式进行计算
xB
0
MKMP EI
ds
1
EI
R(1 cos)
0
FPR sin
Rd
FPR3 1 cos 2
yluo@ 2EI
实际状态 虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
qx2
MP= 2
M =x
③代入公式进行计算
BX
MMP ds EI
h2 qx2 x dx h qx2 x dx
0 2EI2
h2 2EI1
qh24 q(h4 h24 )
yluo@swjtu.c8nEI2 8EI1
转角
dP
MP EI
ds
轴向变形
duP
FNP EA
ds
剪切变形 yluo@
Pds
FQP
GA
ds
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
2.位移计算公式
将
dP
MP EI
ds
duP
FNP EA
ds
Pds
FQP
GA
ds
代入 1 KP FNK duP M K dP FQK Pds
实际状态
虚拟状态
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
47
FNK FNPl EA
1360kN/cm 21000kN/cm2
0.065cm（靠近）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.5试求图示阶形柱顶点的水平位移。
实际状态 虚拟状态
The End
yluo@
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
2.步骤
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
0.6ql 2 GA
=
ql
4
（1+
8EI
4.8EI GAl 2
）
设 1/ 3，E / G 2(1 ) 8 / 3
当 h / l 1/10
yA
ql
4
（1+1.07%）
8EI
当 h/l 1/ 4
yA
ql
4
（1+6.68%）
8EI
yluo@ 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。
得到
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
FNK，FQK，M K 为虚拟力状态引起的内力 FNP，FQP，MP 为实际位移状态对应的内力
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
二、积分法
1.公式
1 KP
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
8H
FNK FNPl EA
1800kN/cm 21000kN/cm2
0.086cm（）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
2.求结点4、7的相对线位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
)
当 h / l 1/10 当 h/l 1/ 4
CX
3ql
4
（1
1
8EI 900
1) 400
CX
3ql
4
（1
1
8EI 144
1) 64
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.3 试求图示等截面圆弧曲梁B点的水平位移。
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
GA
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
解：
①建立两种状态：
实际状态
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
yluo@
l qx2 x dx l qxdx
0
2EI
0
GA
ql4 0.6ql2
8EI GA
矩形截面 =1.2
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
④讨论
yA
ql 4 8EI
1 KM
FNK duM
M K dM
FQK M ds
两个状态：
力状态——虚拟单位力，由平衡条件求出内力。
位移状态——微段上的变形由材料力学公式得到。 yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
实际位移状态下微段ds上内力MP、FNP、FQP引 起的微段上的变形可由材料力学得到。
KP
FNk FP ds EA
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
M K MP ds EI
§4 荷载作用下的位移计算
三、积分法计算位移示例
例4.2 试ห้องสมุดไป่ตู้图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：①建立两种状态
例4.4 试求图示试求图示桁架结点8的水平位移 和结点4与7的相对线位移。已知各杆面积如图中
括号内数值，单位 cm2, E 2.1104 kN / cm2
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
解：1.求结点8的水平位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
实际状态
虚拟状态
yluo@
GA
l 0
(ql
qx)
1
dx
l 0
ql 2
(1)
dx
ql2
GA
§4 荷载作用下的位移计算
C点水平位移
CX CXM CXN CXQ
3ql4 ql 2 ql 2
8EI 2EA GA
3ql
4
（1
8EI
h2 9l 2
h2 4l 2
1 EI
l 0
(qlx
x2 2
)xdx
l 0
qlx 2
xdx
3ql 4 8EI
轴力影响
CXN
剪切影响
FNK FNP ds 1 l ql 1 dx ql2
EA
EA 0 2
2EA
CXQ
FQK FQP ds
GA
yluo@
yluo@
第四章 结构位移计算
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算公式 二、积分法 三、位移计算示例
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
变形体的虚功原理：变形体上第一组外力在 第二组外力所引起的位移上所作外力虚功， 在数值上等于第一组内力在第二组内力所引 起的变形上所作变形虚功。
§4 荷载作用下的位移计算
3.不同结构的位移计算公式
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
梁和刚架 桁架
拱 组合结构 yluo@
KP
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
②求出两种状态的内力表达式
虚拟状态：AB杆 BC杆
M =x
M =x
实际状态：AB杆
M
P
=qlx
qx2 2
FNP =ql / 2
BC杆
MP =qlx / 2 FNP =0
实际状态
FQP =ql qx
FQP = ql / 2
yluo@
虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
例4.2 试求图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
实际状态
②求出两种状态的内力表达式
M
P
=
qx2 2
FQP = qx
M = 1 x FQ = 1
③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
MP = FPR sin M =1 R(1-cos )
③代入公式进行计算
xB
0
MKMP EI
ds
1
EI
R(1 cos)
0
FPR sin
Rd
FPR3 1 cos 2
yluo@ 2EI
实际状态 虚拟状态
§4 荷载作用下的位移计算
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
qx2
MP= 2
M =x
③代入公式进行计算
BX
MMP ds EI
h2 qx2 x dx h qx2 x dx
0 2EI2
h2 2EI1
qh24 q(h4 h24 )
yluo@swjtu.c8nEI2 8EI1
转角
dP
MP EI
ds
轴向变形
duP
FNP EA
ds
剪切变形 yluo@
Pds
FQP
GA
ds
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
2.位移计算公式
将
dP
MP EI
ds
duP
FNP EA
ds
Pds
FQP
GA
ds
代入 1 KP FNK duP M K dP FQK Pds
实际状态
虚拟状态
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
47
FNK FNPl EA
1360kN/cm 21000kN/cm2
0.065cm（靠近）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.5试求图示阶形柱顶点的水平位移。
实际状态 虚拟状态
The End
yluo@
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
2.步骤
①建立两种状态：实际位移状态 虚拟平衡力系
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
0.6ql 2 GA
=
ql
4
（1+
8EI
4.8EI GAl 2
）
设 1/ 3，E / G 2(1 ) 8 / 3
当 h / l 1/10
yA
ql
4
（1+1.07%）
8EI
当 h/l 1/ 4
yA
ql
4
（1+6.68%）
8EI
yluo@ 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。
得到
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
FNK，FQK，M K 为虚拟力状态引起的内力 FNP，FQP，MP 为实际位移状态对应的内力
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
二、积分法
1.公式
1 KP
§4 荷载作用下的位移计算
③代入公式求位移
KP
FNK FNPl EA
各杆列表计算
8H
FNK FNPl EA
1800kN/cm 21000kN/cm2
0.086cm（）
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
2.求结点4、7的相对线位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
)
当 h / l 1/10 当 h/l 1/ 4
CX
3ql
4
（1
1
8EI 900
1) 400
CX
3ql
4
（1
1
8EI 144
1) 64
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.3 试求图示等截面圆弧曲梁B点的水平位移。
解：①建立两种状态
②求出两种状态的内力表达式
GA
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
解：
①建立两种状态：
实际状态
②求出两种状态的内力表达式 ③代入公式用积分法求位移
虚拟状态
1 yA
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
yluo@
l qx2 x dx l qxdx
0
2EI
0
GA
ql4 0.6ql2
8EI GA
矩形截面 =1.2
§4 荷载作用下的位移计算
例4.1 试求图示悬臂梁A点的竖向位移，
设梁截面为矩形。
④讨论
yA
ql 4 8EI
1 KM
FNK duM
M K dM
FQK M ds
两个状态：
力状态——虚拟单位力，由平衡条件求出内力。
位移状态——微段上的变形由材料力学公式得到。 yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
实际位移状态下微段ds上内力MP、FNP、FQP引 起的微段上的变形可由材料力学得到。
KP
FNk FP ds EA
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
M K MP ds EI
§4 荷载作用下的位移计算
三、积分法计算位移示例
例4.2 试ห้องสมุดไป่ตู้图示刚架C点的水平位移。已知各杆
杆长为l，断面为b×h的矩形，G=0.4E，κ=1.2。
解：①建立两种状态
例4.4 试求图示试求图示桁架结点8的水平位移 和结点4与7的相对线位移。已知各杆面积如图中
括号内数值，单位 cm2, E 2.1104 kN / cm2
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
解：1.求结点8的水平位移
①建立两种状态 ②求出两种状态的轴力
实际状态
虚拟状态
yluo@
GA
l 0
(ql
qx)
1
dx
l 0
ql 2
(1)
dx
ql2
GA
§4 荷载作用下的位移计算
C点水平位移
CX CXM CXN CXQ
3ql4 ql 2 ql 2
8EI 2EA GA
3ql
4
（1
8EI
h2 9l 2
h2 4l 2
1 EI
l 0
(qlx
x2 2
)xdx
l 0
qlx 2
xdx
3ql 4 8EI
轴力影响
CXN
剪切影响
FNK FNP ds 1 l ql 1 dx ql2
EA
EA 0 2
2EA
CXQ
FQK FQP ds
GA
yluo@
yluo@
第四章 结构位移计算
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算公式 二、积分法 三、位移计算示例
yluo@
§4 荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下位移计算公式
1.线弹性体系微段上的变形
变形体的虚功原理：变形体上第一组外力在 第二组外力所引起的位移上所作外力虚功， 在数值上等于第一组内力在第二组内力所引 起的变形上所作变形虚功。
§4 荷载作用下的位移计算
3.不同结构的位移计算公式
1 KP
FNk FNP ds EA
M K MP ds EI
FQK FQP ds
GA
梁和刚架 桁架
拱 组合结构 yluo@
KP
M K M P ds EI
KP
FNK FNPl EA
②求出两种状态的内力表达式
虚拟状态：AB杆 BC杆
M =x
M =x
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结构力学虚功基本知识和结构的位移计算
Bm
B
6
4、刚体虚功原刚理体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对 于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。
W=0
二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理）
1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
P
X X P P 0
A
C
B
X
P bP aX
种原因、不同的变形类型。
3) 该式右边四项乘积，当力与变形 的方向一致时，乘积取正。
11
t1
P2 K ΔKH
t2
K‘ Ε2γ2κ2
位移状态 2
c1
P=1
N QM
虚拟力状态 1
R1
12
§4·4荷载作用下的位移计算
一、荷载作用下的位移计算的一般公式与简化公式
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
( ) iP
应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的步骤： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，使原来的约束力X变成主动力。 2）沿X方向虚设单位虚位移。作出机构可能发生的刚体虚 位移图；利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。 3）建立虚功方程，求未知力。
qa Fa
qa
8
qa2
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
Q
M
GEAIRd2θ
1 4
θ
h R
2
NP Psinq QP Pcosq
N sinq Q cosq
N
M
I AR 2
1 12
h R
2
P=1
3） M M Pds N NPds Q QPds 如 dsh=RR<d1θ10
结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例
3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(荷载位移,图乘法)
局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
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Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
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14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
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14:32
11.5 荷载作用下的计算位移的公式[5页]
11.5 荷载作用下的计算位移的公式
用虚力原理求结构在荷载作用下D点的竖向位移△DV 。
F
C' D
C
ΔDV D'
B B'
1
D
C
B
A 实际的位移状态
A 虚设的力状态
虚设一个力状态——在D点上加一单位竖向力，
令虚设的力状态在实际位移上做功，列出虚功方程：
δWe δWi l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为
l
ΔDV
0
F
N
FNP
dx
l
EA
0
FS
FSP
dx
l
GA
0
M M P dx EI
F N、F—S、—M 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩
方程式。
FNP、F—SP、—M实P 际荷载引起结构的轴力、剪力和 弯矩方程式。
E、G ——材料的弹性模量和剪力弹性拱，其轴力和弯矩的影响相 当，剪力的影响不计，位移计算公式为
Δ F NFNP ds M M P ds
s EA
s EI
拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是 不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩 三项因素都须要考虑进去。
0
0
0
l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
0
0
0
在荷载作用下:
d FNP ds
EA
d FSP ds
GA
荷载作用下的计算位移的公式:
d M P ds
EI
1 ΔDV
s
F N FNP ds
用虚力原理求结构在荷载作用下D点的竖向位移△DV 。
F
C' D
C
ΔDV D'
B B'
1
D
C
B
A 实际的位移状态
A 虚设的力状态
虚设一个力状态——在D点上加一单位竖向力，
令虚设的力状态在实际位移上做功，列出虚功方程：
δWe δWi l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为
l
ΔDV
0
F
N
FNP
dx
l
EA
0
FS
FSP
dx
l
GA
0
M M P dx EI
F N、F—S、—M 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩
方程式。
FNP、F—SP、—M实P 际荷载引起结构的轴力、剪力和 弯矩方程式。
E、G ——材料的弹性模量和剪力弹性拱，其轴力和弯矩的影响相 当，剪力的影响不计，位移计算公式为
Δ F NFNP ds M M P ds
s EA
s EI
拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是 不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩 三项因素都须要考虑进去。
0
0
0
l
l
l
1 ΔDV F Nd F Sd Md
0
0
0
在荷载作用下:
d FNP ds
EA
d FSP ds
GA
荷载作用下的计算位移的公式:
d M P ds
EI
1 ΔDV
s
F N FNP ds
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
静力结构的位移计算——变形体虚功原理及位移计算的一般表达式
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
EI
杆
EA
K
(
MP
M
* K
FNP
FNK
*
)ds
EI
EA
作业： 5—11、5—7（a）
EA
EA
例 2：已知EI、GA为常数，求C点竖向位移
FP
A
B
C
l/2
l/2
CM
M
PM EI
K
ds
F PL3 48EI
CQ
kFQP FQK ds kFP L
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
（5）可计算绝对位移和相对位移。
三、位移计算的一般步骤
（1）沿所求位移方向施加单位（广义）荷载； （2）由平衡条件求内力和反力； （3）根据不同的外界作用分析应变； （4）由式（b）计算。 四、单位虚荷载法的施加方法（参考教材）
一、位移计算的一般公式
+ ∫ M xδ P ds 扭转项 对于由线弹性直杆组成的结构 线弹性直杆组成的结构, 对于由线弹性直杆组成的结构,有: kFQP M xP FNP MP δε P = , δγ P = , δθ P = , δ P = GA EI EI P EA
FN FNP kFQ FQP MM P + + P = ∑ ∫ ds GA EI EA 轴向 M x M xP 剪切 弯曲 +∫ ds GI P
δWe =∑∫[pδu+qδv+mδθ]ds +∑ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =∑∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为 设待求的实际广义位移为 ,与对应 位移为 对应 广义力为P. 的广义力为 . 设仅在广义力P作用下 作用下, 设仅在广义力 作用下,与之平衡的轴 剪力,扭矩和弯矩分别为F 力,剪力,扭矩和弯矩分别为 N , FQ, Mx和M. M. 虚设的力状态 FP 实际位移状态 P
P=1 A
(g)
A = ?A B P=1 源自=1(h)AB = ?
二, 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
= ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδθ )ds
+ ∫ M xδds ∑ FRi ci
P = ∑ ∫ (FNδε P + FQδγ P + Mδθ P )ds
变形; 变形;
5. 位移种类:线位移,角位移;相对线位移 位移种类:线位移,角位移;
和相对角位移. 和相对角位移.
试确定指定广义位移对应的单位广义力. 试确定指定广义位移对应的单位广义力. A P=1
FN FNP kFQ FQP MM P + + P = ∑ ∫ ds GA EI EA 轴向 M x M xP 剪切 弯曲 +∫ ds GI P
δWe =∑∫[pδu+qδv+mδθ]ds +∑ [FPxδu+FPyδv+Mδθ] i =∑∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ +Mδθ]ds = δWi
设待求的实际广义位移为 设待求的实际广义位移为 ,与对应 位移为 对应 广义力为P. 的广义力为 . 设仅在广义力P作用下 作用下, 设仅在广义力 作用下,与之平衡的轴 剪力,扭矩和弯矩分别为F 力,剪力,扭矩和弯矩分别为 N , FQ, Mx和M. M. 虚设的力状态 FP 实际位移状态 P
P=1 A
(g)
A = ?A B P=1 源自=1(h)AB = ?
二, 荷载作用下位移计算的一般公式 在仅荷载作用时的位移计算一般公式
= ∑ ∫ (FNδε + FQδγ + Mδθ )ds
+ ∫ M xδds ∑ FRi ci
P = ∑ ∫ (FNδε P + FQδγ P + Mδθ P )ds
变形; 变形;
5. 位移种类:线位移,角位移;相对线位移 位移种类:线位移,角位移;
和相对角位移. 和相对角位移.
试确定指定广义位移对应的单位广义力. 试确定指定广义位移对应的单位广义力. A P=1