2012材料力学竞赛试题-答案

2012材料力学竞赛试题与答案

一.（10分）图示杆系中，杆6比设计长度略短，误差为δ，诸杆的刚度同为EA ，试求将杆6装配到A 、C 之间后该杆的内力。

解：

X 1作用下各杆内力：14N 3N 2N 1N 2

2

X F F F F -

====，16N 5N X F F == 单位载荷1

作用下各杆内力：2

2

4N 3N 2N 1N -====F F F F

，16N 5N ==F F 为一次超静定问题，力法正则方程为： δδ=111X

()

EA a a a EA l F F EA i i i 212211222

22411N N 11+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==

∑δ 代入正则方程得

()

δ=+EA X a 1

212，

()

a EA a EA X δ

δ207.02

121=+=

二.（10分）如图所示，AB 和CD 为尺寸相同的圆截面杆，位于同一水平面内。AB 为钢杆，CD 为铝杆，两种材料的切变模量之比为3:1。若不计BE 和ED 两杆的变形，试问铅垂力F 将以怎样的比例分配于AB 和CD 两杆？

解：

题一图

题二图

- 2 -

一次超静定问题

设作用在BE 、DE 杆上的力分别为B F 、D F

平衡方程： F F F D B =+ （1） 变形协调方程： DC BA ϕϕ= （2） 物理方程： P I G l a F AB B BA ⋅⋅=

ϕ，P

I G l

a F DC D DC ⋅⋅=ϕ （3） 因为 CD AB G G 3= （4） 把式（3）、（4）代入式（2）并与式（1）联立 解得 F F B 43=，F F D 4

1=

三.（10分）如图所示，刚架ABC 的EI =常量；拉杆BD 的横截面积为A ，弹性模量为E 。试求C 点的铅垂位移。（刚架内轴力、剪力对位移的影响不计）

解：

根据平衡方程可求出BD 杆的轴力F N qa 2

1=，1=N F

()↓+=

⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=EI

qa EA qa a a qa a a qa EI EA a qa w

C 247

23221214321311214

222

四.（15分）图示钢制圆轴受拉、扭联合作用，已知圆轴直径mm 10=d ，材料的弹性模量GPa 200=E ，泊松比29.

0=ν。现采用应变花测得轴表面O 点的应变值，沿轴线方向6010300-⨯==ε

εa ，沿与轴线成

45方向64510140-⨯-==

εεb ，试求载荷F 和T 的大小。

解：

题三图

题四图

45

45-

- 3 -

τσ

τσ

σ

σ-=

-+

=

2

90sin 90cos 2

2

45

()()

τσ

τσ

σ

σ+=

---+

=

-2

90sin 90cos 2

2

45

601030010200690=⨯⨯⨯==-εσE MPa ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=

-τσντσνσσε2211454545E E ()()

2.3829

.0129.0110605.01014010200112

669450

=+-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=

+-+-=

-ν

νσ

ετE MPa

71.44101010604

36

=⨯⨯⨯

⨯==-πσA F kN m kN 5.716

1010102.386

36

t ⋅=⨯⨯⨯

⨯==-πτW T

五.（10分）图示托架承受载荷F =40kN ，5个铆钉受单剪，直径d =20mm ，求铆钉中最大切应力。 解：

将集中力F 向铆钉群的中心简化为一个力F 和一个附加力偶M

m kN 205.040⋅=⨯=M 每个铆钉受到的竖向剪力85

S1==

F

F kN 外围4个铆钉受到切向剪力F S2作用1.04S2⨯⨯=F M

501

.0420

S2=⨯=

F kN 最大切应力发生在右边的两个铆钉上，总剪力F S 竖向和水平分量分别为

385

3

50853S2S1S =⨯+=⨯

+=F F F y kN

S2 题五图

- 4 -

405

4

5054S2S =⨯=⨯

=F F x kN 2.554038222

S 2S S1=+=

+=x y F F F kN 6.17510

20102.5546

23S max =⨯⨯⨯⨯==-πτA F MPa

六.（15分）如图所示水平刚性杆AB 用两根相同长度，相同材料（均为低碳钢）的AC ，BD 杆支承。AC 杆两端铰支，截面为正方形，边长a =45mm ，BD 杆B 端铰支，D 端固定，截面为空心圆，外直径D =50mm ，内直径d =40mm ，100P =λ，600=λ，材料的弹性模量200=E GPa ，临界应力直线经验公式中304=a MPa ，12.1=b MPa ，规定的稳定安全因数n st =3，设载荷F 可在AB 杆上移动，试求当x 为何值时，结构的许可载荷最大，最大值[F ]max 为多少？ 解：

AC 杆的柔度8.15310

453

2213

1

11=⨯⨯⨯=

=

-i l

μλ属于细长杆 ()()()

5.168211210451020024

3922112cr1=⨯⨯⨯⨯⨯==-πμπl EI F kN BD 杆的柔度5.8728

.110504

27.03

2

22=⨯⨯⨯⨯=

=

-i l

μλ属于中长杆 ()()()()

kN

5.1454

8.011050105.8712.130422

3622cr2cr2=-⨯⨯

⨯⨯-=-==-πλσA b a A F

当两杆同时失稳时，许可载荷最大

F =F cr1+ F cr2=168.5+145.5=314kN

∑=0A

M

，031435.145=-⨯x

x =1.39m []7.1043

314max

==F kN

题六图