第六届大学生力学竞赛试题-材料力学(含答案)
《大学材料力学》题库及答案
一．是非题：（正确的在括号中打“√”、错误的打“×”） （60小题） 1．材料力学研究的主要问题是微小弹性变形问题，因此在研究构件的平衡与运动时，可不计构件的变形。
( √ )2．构件的强度、刚度、稳定性与其所用材料的力学性质有关，而材料的力学性质又是通过试验测定的。
( √ ) 3．在载荷作用下，构件截面上某点处分布内力的集度，称为该点的应力。
(√ ) 4．在载荷作用下，构件所发生的形状和尺寸改变，均称为变形。
( √ ) 5．截面上某点处的总应力p 可分解为垂直于该截面的正应力σ和与该截面相切的剪应力τ，它们的单位相同。
( √ )6．线应变ε和剪应变γ都是度量构件内一点处变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。
( √ )7．材料力学性质是指材料在外力作用下在强度方面表现出来的性能。
( ) 8．在强度计算中，塑性材料的极限应力是指比例极限p σ，而脆性材料的极限应力是指强度极限b σ。
( )9．低碳钢在常温静载下拉伸，若应力不超过屈服极限s σ，则正应力σ与线应变ε成正比，称这一关系为拉伸（或压缩）的虎克定律。
( )10．当应力不超过比例极限时，直杆的轴向变形与其轴力、杆的原长成正比，而与横截面面积成反比。
( √ )11．铸铁试件压缩时破坏断面与轴线大致成450，这是由压应力引起的缘故。
( ) 12．低碳钢拉伸时，当进入屈服阶段时，试件表面上出现与轴线成45o 的滑移线，这是由最大剪应力max τ引起的，但拉断时截面仍为横截面，这是由最大拉应力max σ引起的。
( √ )13．杆件在拉伸或压缩时，任意截面上的剪应力均为零。
( ) 14．EA 称为材料的截面抗拉（或抗压）刚度。
( √ ) 15．解决超静定问题的关键是建立补充方程，而要建立的补充方程就必须研究构件的变形几何关系，称这种关系为变形协调关系。
( √ ) 16．因截面的骤然改变而使最小横截面上的应力有局部陡增的现象，称为应力集中。
第六届全国周培源大学生力学竞赛初试试题参考答案
第六届全国周培源大学生力学竞赛初试试题参考答案
高云峰
【期刊名称】《力学与实践》
【年(卷),期】2007(029)003
【摘要】无
【总页数】2页(P95,93)
【作者】高云峰
【作者单位】无
【正文语种】中文
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材料力学竞赛试题
8、T 形截面铸铁悬臂梁受力如图，轴 Z 为中性轴，横截面合理布置的方案应为（ ）
2、图示刚性梁 AB 由杆 1 和杆 2 支承，已知两杆的材料相同，长度不等，横截面积分
别为 A1 和 A2，若载荷 P 使刚梁平行下移，则其横截面面积（ ）。
F
A、A1〈A2 B、A1 〉A2 C、A1=A2 D、A1、A2 为任意
学号
姓名
3、悬臂梁 ACB 由铸铁材料制成，其许用拉应力[σt]=40MPa，许用压应力[σc]=160MPa， 载荷 FP=44kN，梁截面为 T 型，Iz=101.8×106mm4，尺寸如图（单位为 mm），（1）画 出梁的内力图；（2）试校核其强度。（20 分）
4、已知结构如下图（16 分）（1）、试列出求解 AB 梁弯曲变形所需的挠曲线近似微分 方程。（不必积分）（10 分）（2）、列出确定积分常数所需的全部条件。（6 分）
一、 选择题（每题 3 分，共 30 分）
A、提高到原来的 2 倍 B、提高到原来的 4 倍 C、降低到原来的 1/2 倍 D、降低到原来的 1/4 倍
1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。下列除（ ）项，其他各项是
必须满足的条件。 A、强度条件 B、刚度条件
C、稳定性条件 D、硬度条件
材料分别是（ ）
(A)a、b、c； (B)b、c、a；
y (D)
(C)b、a、c； (D)c、b、a。
5、以下正确的说法是： （A） 集中力作用处，剪力和弯矩值都有突变； （B） 集中力作用处，剪力有突变，弯矩不光滑； （C） 集中力偶作用处，剪力和弯矩值都有突变；
（D）集中力偶作用处，剪力图不光滑，弯矩有突变。
（2） 在最大允许载荷 q 作用下，梁中的最大剪应力。（30 分）
第一届至第六届周培源大学生力学竞赛初赛试题及答案
8
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
设飞轮转动惯量为 J ，可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题，暂
时设 B 处是铰链。
用动静法，飞轮上作用有力矩
系统对 A 点取矩，有
M s = Joε
(M1
+
M
2
)g
⋅
1 2
（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是 EG 和 GF 边表示亮两盏灯的区域（不含 G 点）。
7
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
（f）一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 （本题改写自：陈嘉，《力学与实践》小问题第 29 题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与 实践》小问题第 100 题，1985，No.4）
5
第六届周培源全国大学生力学竞赛样题
y
4
5
6
o
x
1
2
3
（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1）。
y
4 H
C5 六
o
E 四
6 三G
五D 四
B Fx
A(x,y)
1
2I
时，如果要求
P
点的速度和加速度，你如何考虑？取 a
= 1m
，l
=
4m ，β
=
1 6
π
，ω
= 1rad/s ，
速度和加速度是多少？
第六届江苏省大学生力学竞赛(专科组)试卷试题答案
参考答案及评分标准第Ⅰ部分（共7题，每题4分）1． 1 0.5 【每 2分】 2． 0Fa 【每 2分】 3． 7.125o 【4分】 4．2Fl EAF EA Fl EA FEA 【每 1分】5． b e f g 【每 1分】 6．零杆见图示1N F F =（拉）【零杆共10根，答对41N 大小1分，表明拉的1分】 7．【剪力图2分，荷载图2分】4kN4kN或第Ⅱ部分（共6题，每题7分）1．由整体0A M ∑=，得/2250kN B F F == 再由杆BD 0C M ∑=，得/2433kN DE F == 故选用能承受500kN 张力的绳①。
【计算5分，结论2分】 2．设重心距AB 线右端D 之距离为C x ，则0.3m i Ci C ix A =∑设板重为W ，由平衡条件可求得：A 处吊杆受力0.9A F W =，B 处吊杆受力0.1B F W =设AB 杆长均为l ，材料弹性模量均为E ，A 杆面积为A A ，B 杆面积为A B ，则0.9A A A AF l Wl l EA EA ∆==，0.1B B B B F l Wll EA EA ∆== AB 边保持水平，则A B l l ∆∆=，计算得9A B A A =，A 、B 杆均为圆截面，故3A Bdd = 【求板重心位置2分，求二杆作用力1分，二杆变形1分，保持AB 水平条件1分，二杆直径比计算2分】3．在C 节点沿CA（图a ），或在节点沿x 、y 方向各作用一个拉力x y F F F ==（图b ）以上两种情况均满足题意要求，且各杆内力均为0AD AB CD CB F F F F ====，AC F由各杆所受内力知，AD 、AB 、CD 、CB 均不变形，只有AC 杆沿AC 方向伸长2AC Fll CC EA EA∆''===（图c ） 由小变形，作垂线代替圆弧得C 节点位移至C′，则AC CC l EA'==D 节点有x方向的刚性位移DD CC ''==【主动力3分，其中：作用点位置、主动力方向及大小各1分；各杆内力2分，各节点位移2分】F =A C ′图a图b图c4．图a 33(a)0.098232d W d π==， 图b33(b)(/0.05896d W d ==图c o o 23(c)(cos 60)(sin 60)0.06256d d W d ==图a 22(a)0.7854d A d π==， 图b22(b)0.50A d == 图c o o 2(c)(cos60)(sin60)0.433A d d d ==由[]M W σ=计算梁所能承受的最大弯矩3max max (a)[][]0.0982[]M W W d σσσ===，为圆截面梁由max min MW σ=计算梁所能承受的最大工作应力max 33(b)170.0589M M M W d d σ===，为方截面梁由min min G A γ=计算梁的最轻自重2min (c)0.433G A d γγ==，为矩形截面梁 【max M 2分， max σ2分； 自重最轻3分】5．设材料单位体积重为γ，则实心圆梁自重集度24q D πγ=空心圆管梁 22(1)4q D παγ'=-，0.5dDα== 实心梁 2m a x 34M q l W D σπ== 空心圆管梁 2m a x 344(1)M q l W D σπα'''=='- 由于210.75q q α'=-=，故max 42max 10.8(1)1q q σσαα''===-+ 实心梁 44max45320384384ql ql w EI ED π== 空心圆管梁 44max445320384384(1)q l q l w EI ED πα'''=='- 故max 4max 0.8(1)w q w q α''==- 【/q q '比值1分，二梁max σ各1分，比值1分；二梁max w 各1分，比值1分】6．顺风：θθαθcos )cos(cos -==F F F N y)]sin ()cos(cos )1()sin([θθαθθαθ-⋅-+⋅-⋅--=F d dF y]sin )cos(cos )[sin(θθαθθα⋅--⋅-=F 0=)tan(tan θαθ-=，2αθ=逆风：如右图，帆画在角α′内即可。
第六届湖南省大学生理论力学竞赛试题答案
2010年湖南省大学生理论力学竞赛试题答案1、综合题（5分x4=20分）1）Q= 1370N ≈139.8kg 。
2) AB 杆的角速度为0 。
3）圆盘运动的角速度为=ω023ω。
4) 力P 的最小值为；2、（4分+6分=10分） 力系对轴CA '之矩为 0, 最小主矩为3、（4分+4分+7分=15分）平衡时最大重量0G 。
当θ=arcsinrR时，0G ；当θ＞arcsinr R时, 0G =0;当θ<arcsinr R时，0G =()()()()[]θθcos 1sin 1112f f Rf fr f GRf ++-+++ ；4、（5 × 4=20分）AB 杆角速度/ 1.39s ≈。
滑块C 速度大小为16/cm s ，AB22/ 2.22/s rad s ≈，绞B 加速度大小为258.66/cm s ≈5、（5 分×5=25分）（1）初始质心C 加速度大小为450.35128gg ≈ 12FaM r(2) 转过90°时，质心C(3) 侧转最大角度θ 0为45arccos()128。
（4）侧转θ0时，质心C 与轮心O 的加速度大小比值为0 2.66tg θ=≈ （5）侧转θ 0时，水平面约束力大小为 22830.68(sin )8345sin c c o omgJ mgmg J m oc θθ=≈++6、（5分×3=15分）（1）初始角加速度大小为30.1520g gr r = （2）初始杆端A 约束力偶矩190.47540mgr mgr = （37、（5分×3=15分）（1）质点未脱离圆柱面时运动轨迹为222162525A A x y r +=；质点脱离柱体的位置角θ满足的方程为3cos 15cos 100θθ-+=。
（2）轮心O 向左位移x 与角θ的关系是7sin x r θ= 。
周培源力学竞赛试题与解答)
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间 3 小时，满分 120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m 。
为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图 1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35 分）有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6 条等长的桌腿（图 2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为 6、5、4、3、2、1）。
图 2 模特儿的新舞台三、魔术师的表演（25分）魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；另一个道具是长为L的均质刚性板 AB，质量为 M2 ，可绕光滑的 A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为 M3 ，放在刚性的水平面上。
奇怪的独木桥(第6届全国大学生力学竞赛样题)
四、跳板跳水(30 分) 举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳 队获得了跳水比赛8枚金牌中的7枚，囊括了3m跳板跳水的4枚金牌。Duraflex 的 Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使 用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为b =0.5m，h =0.05m， 跳板的弹性模量E =70GPa ，比重γ =25kN/m ，a =3.2m，l =1.6m。运动员从 跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C，再从跳板上弹起至空中完成动 作后落水。若运动员体重G = 700N，最大弹跳高度H = 0.6m，取g =9.8m/s 。 1. 根据所学知识，建立相应的力学分析模型。 2. 为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处， 运动员质心距跳板C端最小距离s应大于0.5m。试求运动员从跳板上跃时所需最 小水平速度（假设水平方向为匀速运动）？ 3. 不计跳板质量，将运动员视为刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最 大动应力为多少？ 4. 如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减 小？ 5. 如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。
奇怪的独木桥(第6届全国大学生力学竞赛样题）
奇怪的独木桥(第6届全国大学生力来自竞赛样题）一位游客在某处发现有座独木桥，上写：禁止独自一 人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以 某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么2个人 可以过桥而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自 试试，结果没走到半程，就压断独木桥而掉入水中。 据事后调查，河宽4米，桥长6米，如图示（支撑点可 认为是铰链约束）。桥用轻质木材做成，等截面，允许 最大弯矩为600NmM。 假设人的体重均为800N，而桥重不计。请分析一下： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？ （3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两 人应如何配合才能安全过桥？
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湖南省第六届大学生力学竞赛试题——材料力学
（竞赛时间：180分钟）
请将答案写在相应横线上，答案正确给全分，答案不正确给零分。
一、刚性横梁AB 由四根长为i l (1,2,3,4)i =的钢丝悬挂，每根钢丝的拉伸刚度均为EA ，第i 根钢丝距A 端的距离为i a ，在未受力时横梁AB 处于水平位置，今在AB 上作用载荷P 。
则：
（1）结构的静不定度为 （2分）；
（2）用各杆轴力N i (1,2,3,4)i =表示的变形协调条件为 （
4分）；
（3）今欲使刚性横梁仍保持水平，则P 力距A 端的距离x = （4分）。
题一图
题二图
二、左端固定的圆截面轴由两种材料组成，并且内、外两轴紧密接合，截面尺寸及材料性
密 封 线
质见下表。
今在
轴表
面沿与母线成45°方向焊上一直径为1mm 的细铜丝ab （把铜丝拉直，在两端焊牢，且无初始应力），铜的弹性模量为E 0=8×104MPa 。
在轴的右端加上力偶矩m 0=1.2kN·m。
则： （1）内轴扭矩T (x ) = （3分）； （2）外轴扭矩T (x ) = （3分）；
（3）细铜丝横截面上的应力σ= （6分）；
三、如图所示一根足够长的钢筋，放置在两刚性平台上，在CD 中点K 处作用载荷F 。
钢筋单位长度的重量为q ，抗弯刚度为EI 。
则
（1）C 、D 处刚好脱离桌面时，F = ；（4分） （2）当F =2qa 时，K 点的位移为 。
（3分）
（3）当F =0时，K 截面的弯矩与a 的关系为 ；（5分）
题三图
题四图
直径（mm ）
弹性模量E （MPa ） 切变模量G （MPa ）
泊松比μ 外轴 D =100，d =50
0.7×105 2.62×104 0.33 内轴 d =50
2.1×105
7.86×104
0.33
M
C
B 3
A
D
M a
2a/3
h
四、图示梁杆系统，梁CD 与杆AB 间存在一微小间隙δ，M - M 为与杆AB 连接的不变形刚体。
一重量为P 的环状物体从高度/3h a =处自由下落冲击刚体M - M 。
设冲击过程发生在线弹性范围内，且不计梁和杆的质量，也不考虑杆的压缩稳定性。
已知梁的弯曲刚度为
EI ，杆的拉压刚度为EA ，且2EI a EA =。
试求：
（1）当δ=0，即AB 的B 端可看作铰接于C 点时，梁C 截面处的最大动位移
d1∆= （4分）；
（2）当0≠δ，且杆B 端与梁C 端刚好接触时，环状物体重量P 0= （3分）；
（3）当0≠δ时，且P >P 0，梁C 截面处的最大动位移d1∆= （6分）。
五、图示长度为l 的三根等刚度杆组成正三角形钢架，各杆弯曲刚度为EI ，则各杆中点截面的剪力= （2分），轴力= （3分），弯矩= （4分），各杆中点距三角形中心距离的改变量= （6分）。
题五图
题六图
六、图示矩形截面杆件AB ，两端可以自由伸缩，但不能产生转角。
材料的线膨胀系数为α，弹性模量为E ，矩形截面高度为h ，当杆件下部加热使下部温度均匀升高0t C ，而上部温度保持不变，并假设温度沿杆件截面高度呈线性规律变化。
试针对下列两种情形进行计算（设
A
B
C D K
a
a
a
a
下部加热升温0
t
C
2m 2m 2m 2m
2m A
B
C D
E q F
G （a ） A
B
D E
F G （b ） 18 18 +
题七图
挠度取向上为正）：
（1）当矩形截面杆件宽度b 为常量时，B 端的弯矩为B M = （3分），跨度中点K 处的挠度为K w = （4分）。
（2）当矩形截面杆件AC 段和DB 段宽度为b ，而CKD 段宽度为2b 时，B 端的弯矩为
B M = （3分），跨度中点K 处的挠度为K w = （4分）。
七、图2（a ）所示结构，BC 段上作用有均布荷载q ，梁AE 的弯曲刚度为EI ，吊杆BF 和DG 的拉压刚度
EA =EI /4。
现已知梁AE 上BD 段的弯矩图如图2（b ）所示（单位：kN ·m ），试求：
（1）均布荷载q = kN/m （5分）； （2）吊杆BF 的轴力N BF = kN （4分）； （3）在图（b ）上补全AE 梁的弯矩图（3分）；
八、已知矩形截面简支梁的横截面宽度为b ，高度为h ，材料的弹性模量为E ，泊松比为ν。
现有一竖直向下的载荷F 在梁上距支座为l /8的BC 区间内移动，试将4个完全相同的电阻应变片全部粘贴在梁上，当载荷F 在梁上BC 区间移动时，采用最优的电桥接线方式，由应变仪的读数仪ε实现对移动载荷F 的大小的测定。
题八图
设在测量中应变仪的读数为仪ε，试问
（1） 应变片应粘贴在梁上的什么位置？绘出布片图（5分）：
（2）绘出电桥接线图（3分）：
（3）写出用应变仪的读数仪ε表示移动载荷F 大小的表达式：
F ＝
仪ε（4分）。
材料力学部分答案
一、（1）2；（2
）331122114411
213141N l N l N l N l N l N l a a a a a a ---==---或i i j j j j N l N l Const a a -=-；
（3）4
4
11(1)
i i i i i a x l l ===∑
∑
二、（1）0.2kN ·m ；（2）1kN ·m ；（3）σ= _8.26MPa
三、（1）43qa F =；（2）9qa 4/(128EI )；（3）3
2
2
12224034Ma qa q qa M M qa ⎛⎫--+= ⎪-⎝⎭
四、（1）21d112(2)1661186⎛⎫++∆==++ ⎪ ⎪⎝⎭P P Phk Pa EAh k EA Pa ；（2）()
2
034=+EA P a h δδ （3）221111d1d 1
(22)(22)8(2)1
()28P k P k k Ph k k δδδδ-+++-∆=∆-=
，式中 13232EA EA k a a == 五、（1）0；（2）N 23
ql
F =；（3）224ql M =-；（4）4
384ql EI δ=；
六、（1）212B Ebh t M m α==，0K w =；（2）29B Ebh t M m α==，2
3=-K ta w h
α；
七、（1）20；（2）6.625；（3）
八、（1）
（2）
A
B
D E
F
G
48.75
18
18
48.75
（3）
仪εν)
1(3+Ebh。