一类双曲型方程反问题的存在性与唯一性

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Bessel函数介绍

第一类贝塞尔函数图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线（在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。

）第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。

这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）：上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。

第一类贝塞尔函数的形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。

图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。

如果α不为整数，则Jα(x)和J−α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。

反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：于是两函数之间已不满足线性无关条件。

为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。

贝塞尔积分α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：（α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页）这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。

另一种积分表达式为：和超几何级数的关系贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式：第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图（在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。

）第二类贝塞尔函数也许比第一类更为常用。

这种函数通常用Yα(x)表示，它们是贝塞尔方程的另一类解。

x = 0 点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。

Yα(x)又被称为诺依曼函数（Neumann function），有时也记作Nα(x)。

关于偏微分方程人口模型中死亡率的确定

- 〔exp ( - ∫0xλN (s) f2 (t - x + s) ds) 〕dx + ∫LtλN (x) φ珔 (x - t) ·
π (x) 〔exp ( - ∫xx - λt N (s) f1 (t - x + s) ds)
- exp ( - ∫xx - λt N (s) f2 (t - x + s) ds) 〕dx
ห้องสมุดไป่ตู้
≤D (t ; 0)
从而就有 :
B
(t) - P′(t) D (t ; 0)
-
1 ≤T 〔f〕 ≤B
(t) - P′(t) D (t ; M)
-
1
再由假设条件 A4 可知 : 0 ≤T 〔f〕 ≤M
因此 , T : CM →CM 记 : Λ (x) = ∫0xλN (s) ds , π (x)
= exp ( - ∫0xλN (s) ds) , φ珔 (x)
3 问题的解决
定理 : 如果假设条件 A1 —A4 成立 , 则反问题 ( 211) — ( 214) 在 CM 中存在唯一解 f , 其中 CM = {f ∈C (0 , t) | 0 ≤f (t) ≤M}
证明 : 利用特征线法可知正问题 (211) — (213) 的解具有如下形式 :
1998 - 06 - 08 收稿第一作者郝新生 (1968 - ) , 男 , 山西武乡人 , 讲师 , 主要从事偏微分方程反问题及应用方面的研究。
2000 郝新生 : 关于偏微分方程人口模型中死亡率的确定
ut (x ,t) + ux (x ,t) = - λN (x)〔1 + f ( P(t) ) 〕u (x ,t) , 0 ≤x ≤L ,0 ≤t ≤T u (x ,0) = φ(x) , 0 ≤x ≤L u (0 ,t) = B (t) , 0 ≤t ≤T

双曲守恒方程概念

双曲守恒方程概念解释1. 概念定义双曲守恒方程是一类描述守恒物理量在空间和时间上的变化规律的偏微分方程。

它由两部分组成：守恒律和双曲性。

守恒律守恒律是指在给定系统中，某些物理量的总量在空间和时间上是不变的。

这些物理量可以是质量、能量、动量等。

对于一维情况，守恒律可以用以下形式表示：∂u ∂t +∂f(u)∂x=0其中，u(x,t)表示物理量在位置x和时间t上的值，f(u)表示该物理量的通量（即单位时间内通过单位面积的物理量）。

双曲性双曲性是指方程中存在特征速度，并且不同特征速度之间存在关系使得方程具有双曲型结构。

对于一维情况，双曲性可以用以下形式表示：∂u ∂t +A(u)∂u∂x=0其中，A(u)为一个矩阵，其特征值为方程中的特征速度。

2. 重要性双曲守恒方程在物理学、工程学和应用数学等领域中具有重要的应用价值。

以下是双曲守恒方程的几个重要性：(1) 描述守恒现象守恒律是自然界中普遍存在的一种规律，双曲守恒方程能够准确描述物质、能量和动量等守恒量在空间和时间上的变化规律。

例如，流体力学中的欧拉方程可以描述流体的运动，电磁学中的麦克斯韦方程可以描述电磁场的演化。

(2) 提供数值解方法双曲守恒方程广泛应用于计算流体力学、计算物理等领域。

通过数值方法求解双曲守恒方程，可以获得物理问题的数值解。

这对于无法通过解析方法求解或者求解困难的问题具有重要意义。

(3) 研究波动现象双曲守恒方程中存在特征速度，这使得该类方程能够描述波动现象。

通过分析双曲守恒方程的特征结构，可以研究波动传播、反射、折射等现象。

例如，声波、电磁波等的传播可以通过双曲守恒方程进行建模和研究。

(4) 研究非线性现象双曲守恒方程中的非线性项使得它能够描述非线性现象。

由于非线性问题在自然界和工程实践中普遍存在，因此双曲守恒方程具有广泛的应用。

例如，激波、涡旋等非线性现象可以通过双曲守恒方程进行研究。

(5) 构建数学模型双曲守恒方程可以作为数学模型来描述各种物理过程。

双曲型方程参数识别反问题的解法

维普资讯
第２９卷
第３期
河北理工大学学报
（自然科学版）
Ｖ１９Ｎ．ｏ．ｏ３２
Ａｇ２０ｕ．０７
２００７年８月
ＪｕｎｌｆｂｉｏｙｅｈｉＵｉｅｓｙ（ａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏｅＰｌｔｃｎｃｎｖｒｉＮｔｌｃｃｄｔｎＨｅｔｒｅｉ
所讨论的逆问题是要确定参数ｑｘ，（）为此需要一个附加条件：，）：咖（，设｛（｝Ｃ［，］（Ｔ）假）是０１上的基函数组，（ ∈ Ｃ０１，ｇ）［，］则一定存在实数序列｛｝使得，
ｑｘ（）＝∑ （），１
文章编号：６４—０６（０７００００１７２２２０）３— １５— ５
双曲型方程参数识别反问题的解法
彭亚绵
（北理工大学理学院，山ｏ３ｏ）河唐６ｏ９
关键词：曲型；问题；双反最佳摄动量法
摘
要：用基于正则化方法的反问题求解方法一最佳摄动量法，论了双曲型方程分段函数应讨
ＦＳ。：ｌ［ｋ】ｌ一（）ｌ０】＋（ｋ）ｌ２ ’ ＳＳｏｌ
其中为正则化因子，（ｋ）８。ＳＳ。为ｋ的稳定性函数。由于８。）微小扰动量，ｑ（是则
令（）：（，（） …… （）：（， …… ）Ｒ，ｎ＝（）（），），， ∈ ｑ（：。）

一类极限反问题的一般存在性条件与解法

一类极限反问题的一般存在性条件与解法
艾文宝
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】1996(000)003
【摘要】文[1]把曲线y=f(x)的斜渐近线问题推广到抛物线渐近曲线的情形.本文给出了一般n次多项式y=P_n(x)当x→∞时逼近函数y=f(x)的存在性条件与解法.【总页数】3页(P)
【作者】艾文宝
【作者单位】西安交通大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.具有一类三次曲线解的二次系统极限环的存在性问题 [J], 沈聪;沈伯骞
2.一类平行四边形存在性问题的解法例谈 [J], 易屏;谭红梅
3.一类生态微分系统极限环的存在性问题 [J], 娄必伟
4.一类“存在性”问题的解法 [J], 金汉
5.一类二阶非线性常微分方程组的极限边值问题的存在性和唯一性 [J], 谢湘生因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

高二数学双曲线的定义、标准方程及几何性质知识精讲文人教实验B版选修11

高二数学双曲线的定义、标准方程及几何性质知识精讲文人教实验B版选修11【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线的定义、标准方程及几何性质二、本周学习目标掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲线的几何性质，了解双曲线的初步应用。

了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。

三、考点分析（一）双曲线的定义1、第一定义：双曲线的定义：平面内与两定点F1，F2距离的差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|－|PF2||＝2a（2a＜|F1F2|＝。

此定义中，“绝对值”与2a＜|F1F2|，不可忽视。

若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2、第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。

定点F叫双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。

e叫双曲线的离心率。

双曲线有两个焦点，两条准线。

该定义中的焦点和准线具有“对应性”，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

（二）双曲线的标准方程及几何性质12、判断椭圆方程中焦点位置的不同，是通过比较x ，y 系数的大小，而双曲线是看x ，y 2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号”3、双曲线的参数方程：中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线22221x y a b -=的参数方程为：sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）：4、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。

2222by a x -＝1与2222y x b a -＝1互为共轭双曲线，其性质如下：（1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线2222by a x -＝0。

双曲型方程求解方法及其应用

双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。

由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。

其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。

二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。

下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。

1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。

例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。

其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。

2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。

其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。

例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。

一维波动方程Cauchy问题解的适定性【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学一维波动方程Cauchy 问题解的适定性一、前言部分在数学物理方程的学习及教学中，波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通常表示所有种类的波，例如声波，光波和水波。

它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学，波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到, 对非线性偏微分方程有关概念、理论及方法的理解起着非常重要的作用。

对一维波动方程Cauchy 问题解的适定性研究，对解决高维波动方程有重要意义。

以下是本文经常要用到的一些概念： 1、一维波动方程的定义定义1]1[ 22222(,)(0,0)u u a f x t x l t t x ∂∂-=<<>∂∂，（1.1）其中20(,),(,)T f x t a f x t ρρ==，方程（1.1）刻画了均匀弦的微小横振动的一般规律，人们称它为弦振动方程，亦称为一维波动方程。

一根弦线特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线两端所受到的外界影响。

因此，为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以外还必须写出它适合的初始条件和边界条件]1[。

定义2]1[ 初始条件即必须给出弦上各点在初始时刻0t =的位移和速度：(,0)()(0),(,0)()(0),t u x x x l u x x x l ϕψ=≤≤=≤≤ （1.2）这里(),()x x ϕψ为已知函数。

定义3]1[ 边界条件一般来说有三种。

（1）已知端点的位移变化，即12(0,)(),(,)()(0)u t g t u l t g t t ==≥ （1.3）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有固定端。

（2）已知在端点所受的垂直于弦线的外力的作用，即012|(),|()(0),x x l uTg t xu T g t t x==∂-=∂∂=≥∂ （1.4）特别当12()()0g t g t ==时，称弦线具有自由端。

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多见．比如典型的抛物方程— — 热传导方程．献Ｅｌ一类抛物方程反问题的存在性与唯一性进行了文ｌ对研究．是对于其他偏微分方程的反问题的研究还是比较少．文考虑下述双曲方程中多个未知函数决但本
下面对其进行讨论，出此反问题存在性和唯一性的条件．给
（１）（２）
（）３
对于上述双曲问题，我们可以提出如下反问题：么样的条件可以唯一决定未知函数组｛１ｆ，（）厂ｆ）什７（）３￡，（）．
２主要结论
研究了可以唯一决定未知函数组｛（）（）－｝基本条件，出了该定解问题的反问题，且讨论了此。￡，ｚｆ，（）的厂提并反问题的存在性与唯一性．
［键词］双曲方程；问题；在性；一性关反存唯
第２６卷第４期
２１００年８月
大学数学
ＣＯＩＬＥＧＥＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ１２ № ．．６，４
Ａｕｇ００．２１
一
类双曲型方程反问题的存在性与唯一性
王金红，徐莉
（州市财经职业学校公共基础教学部，州５０９）广广１０５
定理若｛ｔ，ｔ，。ｔ） ∈ ［，。）知，｛（）２ｔ，。ｔ｝以唯一确定Ｕ（）７（）Ｕ（），Ｖｔ．Ｌ０＋。已则ｔ，（） “ （）可
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［摘要］针对双曲型方程定解问题
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［中图分类号］Ｏ１５２７．６［献标识码］Ａ文［章编号］１７—４４２１）４０６—３文６２１５（０００—０９０
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言
科学与工程中大部分实际的反问题都是与微分方程相联系，中偏微分方程的反问题的研究更为其
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［收稿日期］２０ — １００７１—６
７０
大学数学
第２６卷
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ｒ一口（ｕ＂一口（一 “ ＋一＋ｍ
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