详解竞赛中数字问题(5)
初中数学竞赛5：完全平方数
【分析】
根据a分类讨论，-a为正数，0，负数可判断①；根据多项式项数与次数定义可判断②；根据绝对值化简与分类讨论可判断③，根据非负数性质可判断④；根据非负数和为零，每个非负数为零可判断⑤
【详解】
解：当a＞0时，-a表示负数，当a=0时，-a表示0，当a＜0时，-a表示正数，故①不正确；
②多项式x2﹣x﹣1是二次三项式，而不是三次三项式，故②不正确；
＝6ab+2b2+2a2+4a﹣8b2﹣8ab+16+3a2+6b2﹣4ab﹣5a2+4b，
＝﹣6ab+4a+4b+16；
∵（a+b﹣3）2+（ab+4）2＝0．且（a+b﹣3）2≥0，（ab+4）2≥0，
∴a+b＝3，ab＝﹣4；
∴原式＝﹣6ab+4（a+b）+16，
＝﹣6×（﹣4）+4×3+16，
25．是否存在两个自然数a，b，使得 和 同时为完全平方数．
26．已知m，n都是自然数，且 ．
（1）求证：自然数 一定可以表示为4个自然数的平方和；
（2）把689表示成4个不同的自然数的平方和．
27．已知m，n均为正整数，且 ．问 是否为完全平方数？并证明你的结论．
28．求出所有不超过 的这样正整数，它的平方的末两位数字相同，但不是零．
＝52．
【点睛】
本题考查整式加减化简求值，偶次方非负数性质，掌握整式加减化简求值，偶次方非负数性质是解题关键．
13．3
【详解】
解：首先，注意到6，19，30这三个数满足： ， ， ，故这3个数必须分别属于3个不同的组，所以 ．
数学竞赛中的数论问题(习题部分)
数学竞赛中的数论问题第二部分 数论题的范例讲解主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数），平方数，整除，同余，不定方程，数论函数等．重点是通过典型范例来分析解题思路、提炼解题方法和巩固基本内容．一、奇数与偶数整数按照能否被2整除可以分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n ，奇数可以表示为21n -或21n +．一般地，整数被正整数m 去除，按照余数可以分为m 类，称为模m 的剩余类(){}mod i C x x i m =≡，从每类中各取出一个元素i i a C ∈，可得模m 的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用． 关于奇数和偶数，有下面的简单性质：（1）奇数≠偶数．（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9． （3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；． （4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．（5）除2外所有的正偶数均为合数；（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半． （7）偶数乘以任何整数的积为偶数．（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，()mod2a b a b +≡-． （9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数． （10）n 个偶数的积是2n的倍数．（11）()11k-=的充分必要条件是k 为偶数，()11k-=-的充分必要条件是k 为奇数．（12）()()()()()()22220mod 4,211mod 4,211mod8n n n ≡-≡-≡． （13）任何整数都可以表示为()221mn k =-．……例1 （1906，匈牙利）假设12,,,n a a a 是1,2,,n 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积()()()1212n a a a n ---是偶数．类似题：例1-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数．（127,,,a a a 中奇数与偶数个数不等）例1-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数．（暗藏3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4中奇数与偶数个数不等）例2 能否从1,2,,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,,14？例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？例4 有n 个数121,,,,n n x x x x -，它们中的每一个要么是1，要么是1-．若1223110n n n x x x x x x x x -+++++=，求证4|n ．例5 n 个整数121,,,,n n a a a a -，其积为n ，其和为0，试证4|n ．例6 在数轴上给定两点1内任取n 个点，在此2n +个点中，每相邻两点连一线段，可得1n +条互不重叠的线段，证明在此1n +条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．二、约数与倍数最大公约数与最小公倍数的求法． （1）短除法．（2）分解质因数法．设1212,0,1,2,,k k i a p p p i k αααα=≥=， 1212,0,1,2,,k k i b p p p i k ββββ=≥=．记 {}{}min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==， 则 ()1212,k k a b p p p γγγ=， []1212,k k a b p p p δδδ=．（3）辗转相除法()()()()()121,,,,,0n n n n a b b r r r r r r r -======．例7 （1）求()8381,1015，[]8381,1015； （2）()144,180,108，[]144,180,108．例8 正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为 ．．例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？例10 对每一个2n ≥，求证存在n 个互不相同的正整数12,,,n a a a ，使i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j n i j ∈≠成立．例11 ()111959,IMO -证明对任意正整数n ，分数214143n n ++不可约．例12 不存在这样的多项式 ()1110mm m m f n a n a na n a --=++++，使得对任意的正整数n ，()f n 都是素数． ．三、平方数若a 是整数，则2a 就叫做a 的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．（3）()()()()2220mod 4,211mod 4n n ≡-≡． （４）()()2211mod8n -≡．（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数． （8）非零平方数的约数有奇数个．（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足222a b c +=的整数(),,a b c 叫做勾股数．勾股数的公式为2222,2,,a m n b mn c m n ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩其中,m n 为正整数，(),1m n =且,m n 一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．2．平方数的证明方法 （1）反证法． （2）恒等变形法．（3）分解法．设a 为平方数，且a bc =，(),1b c =，则,b c 均为平方数． （4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法（1）若()221n x n <<+，则x 不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数． （4）同余法：满足下式的数n 都不是平方数．()2mod3n ≡， ()23mod4n ≡或， ()23mod5n ≡或，()23567mod8n ≡或或或或，()2378mod10n ≡或或或．（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如个位数与十位数都是都是奇数的数， 个位数是6、而十位数是偶数的数．例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数,a b ，斜边为正整数c ，若a 为素数，求证()21a b ++为平方数．例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数．例16 ()2311986,IMO -设d 是异于2，5，13的任一整数．求证在集合{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b ，使得1ab -不是完全平方数．例17 (296IMO -)设,a b 为正整数，1ab +整除22a b +．证明221a b ab ++是完全平方数．四．整除整除的判别方法主要有7大类．1．定义法．证b a a bq ⇔=，有三种方式． （1）假设a qb r =+，然后证明0r =．（定理4） （2）具体找出q ，满足a bq =． （3）论证q 的存在．例18 任意一个正整数m 与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除．2．数的整除判别法． ()1011010mod3n n a a a a a a -++⨯+≡++++， ()1011010mod9n n a a a a a a -++⨯+≡++++如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或或13整除． 1210a a a()13132101001n n a a a a a a a -⨯--，()13210132101001n n n a a a a a a a a a a a --⇔⨯-，1113⨯，而7,11,13均为素数知，m 能被7或11或13）如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被)mod11，有()()()()11101110101010111mod11.n n n n nn n n a a a a a a a a ----⨯+⨯++⨯+≡-+-++-+3．分解法．主要用乘法公式．如()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．()()212122232422322n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -------+=+-+--+．()()2221222322221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=+-+-+-．例19 试证()()555129129++++++．例20 ()2111979,IMO -设p 与q 为正整数，满足111112313181319p q =-+--+， 求证p 可被1979整除（1979p ）例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++的分子m 是吉祥数．4． 余数分类法．例21 试证()()3121n n n ++．例22 k个连续整数中必有一个能被k整除．例23 k个连续整数之积必能被!k整除．n≥），若顺序相邻的3人中恰有一例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（3-．个男孩的有a组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b组，求证3a b例25 （1956，中国北京）证明3231122n n n ++-对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2．五、同余根据定义，同余问题可以转化为整除问题来解决；同时，同余本身有很多性质，可以直接用来解题．例26 正方体的顶点标上1+或1-，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．．例27 设多项式()n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．六、不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．例28 解方程719213x y +=．例29 求方程3222009x x y +=的整数解．例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．（1988，高中联赛）例31（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足21323, 3a a a a -≥-≥，那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？七．数论函数主要是[]x 高斯函数，()n ϕ欧拉函数．例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 (A)10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (C) 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D)510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）例33 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求 122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．例34 50!的标准分解式中2的指数．八、综合练习例35 整数勾股形中，证明（1）必有一条直角边长是3的倍数；（2）必有一条直角边长是4的倍数；（3）必有一条边长是5的倍数；（4）三角形的面积是6的倍数．例36 已知ABC 内有n 个点，连同,,A B C 共有3n +个点，以这些点为顶点，把ABC 分割为若干个互不重叠的小三角形，现把,,A B C 分别染上红色、蓝色、黄色，而其余n 个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）例37 对整点25边形的顶点作三染色，求证，存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点．第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
小学数学竞赛热身练详解(5)
小学数学竞赛热身练详解（5）1、7114+71826213581333416⨯⨯-÷791+1826232311516 ()(13)88345⨯⨯⨯=÷-⨯161234()32483=+÷417128=2、十个自然数排成一行，从第三个开始，每个数都是它前面两个数的和，已知第一个数是5，第十个数是377，第二个数是多少？解：设第二个数是x.这十个数依次是：5，x，x＋5，5＋2x，10＋3x，…105＋34x得方程105＋34x ＝377 解得x＝83、师徒二人都要加工一批零件，师傅要加工的数量是徒弟的1.5倍。
师傅每天加工60个，徒弟每天加工35个，当师傅完成任务时，徒弟还剩50个没能完成，师徒二人一共要加工零件多少个？解：徒弟要加工x个.（x－50）÷35＝1.5x÷60 解得： x＝400师徒二人一共要加工零件：400×（1＋1.5）＝1000（个）4、一个正方形花池，周围用边长为40厘米的方砖铺一条宽2米的小路，共用方砖1000块，花池的面积是多少平方米？解：如图，首先把这条小路分成四个长方形。
每个长方形的宽，用砖的块数都是：5÷0.4＝5（块）每个长方形的长，用砖的块数都是：1000÷4÷5＝50（块）花池的边长要用砖：50－5＝45（块）可知，花池的面积是：（45×0.4）×（45×0.4）＝324（平方米）5、23，29，35，41，……，第121个数是几？解：这是个公差为6的等差数列，问题即要求这个数列的末项是多少.观察这个数列可以看出：第二项比第一项多1个公差，第三项比第一项多2个公差. 第四项比第一项多3个公差，……可知，第121项比第一项多（121－1）个公差。
所以，第121个数是：（121－1）×6＋23＝7436、一类三位数，各位上的数字都不相同，且都不为零。
华罗庚学校数学竞赛试题与详解小学五
华罗庚学校数学竞赛试题与详解小学五、六年级第一分册幼苗杯第1套第一届幼苗杯数学邀请赛试题一、填空题：（y.01.01）9308－576＝。
（y.01.02）83×71+83×29＝。
（y.01.03）0.125÷161＝。
（y.01.04）两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，这叫做。
（y.01.05）2×（1－5%）＝。
（y.01.06）21312131⨯÷⨯＝。
（y.01.07）8740除以90的余数是。
（y.01.08）一个长方体的3条边各为1，2，3寸，则它的表面积是平方寸。
（y.01.09）分解质因数：364＝。
（y.01.10）1800000平方尺＝平方千米。
（y.01.11）有一个是900的三角形为三角形。
（y.01.12）81与253两个数中比较大。
（y.01.13）自然数1是合数还是质数？答：。
（y.01.14）梯形的上底为51，下底为61，高为1155，则它的面积是。
二、选择题：（y.01.15）计算：2+3×32＝（）（A ）83 （B ）45 （C ）29 （D ）20（y.01.16）“增产二成”中的“二成”，写成百分数是（）（A ）100120（B ）1002（C ）20% （D ）0.2 （y.01.17）方程32x －21＝1的解是（）（A ）1 （B ）412（C ）94（D ）43 （y.01.18）两个整数的和是（）（A ）奇数（B ）偶数（C ）奇数、偶数都不是（D ）可能是奇数也可能是偶数三、计算题（y.01.19）（12×21×45×10.2）÷（15×4×0.7×5.1）（y.01.20）2511212101211211÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--。
（y.01.21）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+9.110928.3544%1909.1。
数学竞赛常见问题详解
数学竞赛常见问题详解数学竞赛是目前国内外很受欢迎的一种竞赛形式。
由于其涵盖面广、题型多样，许多参赛者在参加数学竞赛的过程中会遇到各种问题。
本文将针对数学竞赛中常见问题进行详解，帮助参赛者更好地应对竞赛。
一、为什么我在数学竞赛中总是考不好？这是参赛者最经常遇到的问题之一。
其实，无论是竞赛还是日常学习，要想取得好成绩都需要付出相应的努力和时间。
对于数学竞赛来说，常规的解题能力和技巧是很重要的。
如果你经常遇到做不出题目或者做错题目的情况，那么可以尝试参加培训班或者请教老师、同学来获得更好的学习方法和技巧。
此外，适当地进行练习和模拟考试也能够帮助参赛者提高成绩。
二、数学竞赛需要掌握哪些基础知识？在参加数学竞赛时，掌握好基础知识是非常重要的。
较常见的数学知识包括数学的基本运算、代数解析、数列和级数、函数和极限、几何图形、三角函数等等。
参赛者应该对这些基础知识进行充分的理解和掌握。
三、竞赛中如何有效地利用时间？数学竞赛考试时间通常都比较紧张，因此如何有效地利用时间是影响考试成绩的一个关键因素。
在考试前，可以通过做一些练习题来熟悉题型和测试时间。
在实际的考试中，可以先浏览所有的题目，确定哪些题目应该先做。
通常会有很多小技巧来帮助答题者更好地利用时间。
比如，一些解法可能比其他解法更快，可以优先选择。
此外，在考试中，应尽可能思考出最简洁、最优美的解法，因为时间是非常宝贵的。
四、竞赛中如何减少错误率？在数学竞赛中，减少错误率也是非常重要的。
错误率高不仅会影响分数，还会影响答题者的信心。
要减少错误率，一是要静下心来认真仔细地审题，弄清楚题目的要求；二是建议答题者在解题的过程中将各个环节都写下来，如公式推导、计算过程、结果检验等等，这样可以有效地避免因疏漏而出现错误。
五、数学竞赛后如何查漏补缺？数学竞赛后，查漏补缺也是非常重要的。
在完成考试后，可以回顾总结自己的解题经验和不足，比如哪些题目自己做的好、哪些题做得不够好、哪些方法使用得好等等。
竞赛数学中的组合数学问题
组合数学论文竞赛数学中的组合数学问题20075251徐海波竞赛数学中的组合数学问题组合数学是上个世纪五十年代后逐步建立和完善起来的一门数学分支，组合数学也称为组合学、组合论，组合分析。
教科书上对组合分析的定义：按某种要求把一些元素构成有限集合的研究叫做组合分析。
这种研究比传统的数学讨论的对象更广泛，在实际生活和实践活动中应用性更大。
这种研究一般讨论以下问题：在一定的约束条件下，对象——构成的存在性（有与没有、能与不能）问题；构成的分类与计数；构成的方法（构造方法）及最优化方法。
人们常把竞赛中某些问题称为杂题，又称为组合数学问题。
为什么？中学数学竞赛中的一些问题，很难把它们归类为代数问题或几何问题，但它们涉及到的解题目标和解题方法可以归入组合问题和组合分析；当然一些组合数学的习题也直接用作竞赛题。
初等数学竞赛中的组合问题与组合分析常用的方法有抽屉原理、递推（归）原理、容斥原理、染色方法等，这些原理方法都很一般，重要的是经验和技巧——应用的能力。
本文重点研究竞赛数学中的组合数学计数问题。
计数问题组合数学中的计数问题，数学竞赛题中的熟面孔，看似司空见惯，不足为奇．很多同学认为只要凭借课内知识就可左右逢源，迎刃而解．其实具体解题时，时常会使你挖空心思，也无所适从。
对于这类问题往往首先要通过构造法描绘出对象的简单数学模型，继而借助在计数问题中常用的一些数学原理方可得出所求对象的总数或其范围。
1、计数中求最大值：第一步：分类讨论（1）情况一，推出目标数f ≤m1；（2）情况二，推出目标数f ≤m2；…（s）情况s，推出目标数f ≤m s；第二步：m0=max{m1，m2，…，m s}，则f ≤m0；第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最大值。
另一种叙述:第1步：由目标数f≤m推出可以符合条件；第2步：由f =m+1推出是不能符合条件；所以f max = m 。
2、计数中求最小值：第一步：分类讨论（1）情况一，推出目标数f ≥m1；（2）情况二，推出目标数f ≥m2；…（s）情况s，推出目标数 f ≥m s；第二步：m0=min{m1，m2，…，m s}，则f ≥m0；第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最小值。
2019年第6届鹏程杯六年级竞赛数学试卷解析版
2019年第6届鹏程杯六年级竞赛数学试卷(详解)一、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1.【答案】【解析】，其中不同的汉字表示不同的非数字，则分数的值是 ．如果在，，，中的十位数字中有一个小于，则它最大为，此时十位数字之和最大为，个位数字的和应为，然而个位数字之和实际最大只能为，矛盾，因此，，，中的十位数字只能是，，，，个位数字只能是，，，，所以．少年科技创新能力少科创能年技新力少年科技创新能力少年科技创新能力少科创能年技新力2.【答案】【解析】把一笔奖金分给甲乙两个组，平均每人可得到元；如果只分给甲组，平均每人可得到元；如果只分给乙组，平均每人可得 元．设甲组有人，乙两组有人，则，得到，所以，（元）．3.【答案】如图所示的个单位正方形组成的矩形中，标示出两个角和，则的度数是 ．【解析】如左图，添加字母，连接．易知，，．三角形是等腰直角三角形．所以，因此．4.【答案】【解析】从十个数，，，，，，，，，中去掉一个数，使得剩下的九个数可分为两组，且这两组数的乘积相等．则去掉的数是 ．将这十个自然数分解质因数后，除单位（不影响乘积，分在哪组都可以）外，其余各数共含有个质因数，个质因数，个质因数，一个质因数．显然，要使分得的两组数的乘积相等，在，，与中必须去掉，其余的质因数每组各占其个数的一半即可，如其中一种分组法：，．可以验证：第一组数的积第二组的数的积．5.【答案】【解析】五个不同的自然数，两两之和依次等于，，，，，，，，，这个值，则这五个自然数的平均数是 ．不妨设这五个数是，，，，，两两之和为：，，，；，，；，；．则这十个和数的和为，所以，因此，，，，这五个数的平均数为．事实上，，，，，五个数就符合题设要求．6.【答案】【解析】梯形中，，．对角线与相交于点，且厘米，，三角形的面积为平方厘米．则梯形的周长为 厘米．如图，由，平方厘米，所以平方厘米．易知，所以平方厘米．因此平方厘米，平方厘米，所以，即．设，则，由梯形面积公式，得，解得厘米，厘米．作于，则厘米，因此厘米，由勾股定理可得厘米，所以梯形的周长厘米．7.从个自然数，，，中任取个数，使得其中必有个数的差是，则的最小值是 ．【答案】【解析】设计个抽屉，每个抽屉放有个差为的自然数：，，，，，，，，，，，，，，从每个抽屉各取出个数，共取出个数，如，，，，，，，，，，，，，，这个数中不存在个数的差是；所以．事实上，根据抽屉原则，取出个数时，必有个整数取自同一个抽屉，其差是，所以的最小值是．8.【答案】【解析】核研所每天按时出车沿规定路线定时到达站，接上同时到达站的专家准时到达核研所．有一天，该专家提前分钟到达站，因接他的车还没来，他就步行向核研所走去．在途中遇到接他的汽车，立即乘上车，这样比通常提前分钟到达核研所．则汽车速度是专家步行速度的 倍．汽车比通常提前分钟到达核研所，因为它没有通行与专家相遇地点到站再到相遇地点的路程．因此，由相遇地点到站汽车要用分钟．可见相遇时刻比汽车每天准时到站提前了分钟，因此比平时提前分钟接到专家，所以由站到相遇地点这段路该专家步行了分钟．而汽车只用分钟，因此汽车速度是步行速度的倍．9.【答案】【解析】一个长方体的棱长都是质数，其中相邻的两个表面长方形的面积之和是平方厘米，则这个长方体的体积是 立方厘米．长方体的表面积、体积，奇偶分析．设这个长方体三条棱的长分别为，，，不妨设相邻的两个表面长方形就是正面与上面（如图所示）面积之和为，上面正面即，，有两种可能：（），，（），，对于（）：，此时，，值为，，；由于不是质数，此组解不合要求．对于（）：，此时，，的值为，，都是质数．这个长方体的体积（立方厘米）．10.【答案】【解析】设、、、是之间的四个不同数字，用这四个数字（不能重复）可以组成很多不同的四位数，小明把所有可能组成的四位数加起来，但他不小心把其中一个四位数多加了一遍，结果为，那么，正确的结果应该是 ．用、、、这四个数字可以组成个不同的四位数，并且、、、中的每个数字在个位、十位、百位、千位各出现次．所以这个不同的四位数的和为：．设被多加一次的四位数为，则．而，并且，所以或．当，则，但，所以，这时，，所以正确的结果应该为．二、解答题（本大题共6小题，共60分）11.【答案】【解析】计算．．．12.【答案】【解析】正方形的面积等于平方厘米，它的对角线交点为，分别以，，，为圆心画过点的四条圆弧，如图所示，图中四个花瓣形（阴影部分）的总面积是多少平方厘米？（圆周率）平方厘米．由于正方形的面积平方厘米，三角形的面积为平方厘米，由，得厘米．由对称性，如图可设一个空白面积为，一个花瓣面积为，则可得，①，②由①得，③③②得（平方厘米）．13.如图是一个边长为米的正方形跑道，甲、乙两人同时分别从，两点出发，沿着跑道顺时针方向出发，甲的速度为每秒米，乙的速度为每秒米，他们每到转弯处都要停留秒钟，请问，当甲第一次追上乙时，要用多少时间？【答案】【解析】秒．分两种情况考虑．（1）假设乙在某顶点处刚刚停留秒，甲追上乙，此时，甲比乙多停留一次，即除去停留外，甲行走时间为：（秒），又因为甲行走一条边用的时间为秒，不是的整数倍，所以，这种情况不可能出现．（2）假设甲在某一条边上追上了乙，此时，甲比乙多停留了两次，即除去停留时间外，甲行走时间为：（秒），在秒和秒之间有秒正好是面的整数倍，这就是甲除了停留时间外，第一次追上乙所用的时间．（圈），所以，甲行走了两圈，在乙刚刚到达点处，追上了乙，因此，甲停留的时间为（秒）．所以，甲第一次追上乙所用的时间为：（秒）．检验：当乙走一半到达点刚刚开始停留时，他除去停留所用的时间（秒），此时甲除去停留所用的时间（秒），那么，甲所行走的路程为（米），此时，甲离点还有（米），所以，甲再用秒到达点时，乙还在点停留，这就是甲第一次追上乙的情况．14.【答案】四只容量相同且有刻度的玻璃杯，其中三只分别装满三种不同的果汁，另外一只为空杯．你可以利用这只空杯，怎样操作得到三杯成分相同的混合果汁？如果增加一个同容量，而且装满与以上三种不相同的饮料的玻璃杯，你又怎样操作得到四杯成分相同的混合果汁？证明见解析．【解析】不妨设四只玻璃杯分别为，，，，其中，，三只分别装满三种不同的果汁，另外一只为空杯．现作如下操作：①先将中的果汁倒一半到中；②将中的果汁倒入，中，正好将，加满，这时成为空杯；③将，中的混合果汁各倒到中．这时，，，中均为成分相同的两种果汁，而且都只装了玻璃杯的；④最后将中的果汁分别倒入，，中，正好都加满．这时，，，玻璃杯中便得到成分相同的都是满杯的混合果汁，为空杯．如果再增加一个同容量，而且装满与以上三种不相同的饮料的玻璃杯，这时可以在以上操作后，即：，，玻璃杯中得到成分相同的混合果汁的基础上，再将，，中的混合饮料分别倒出到空杯中，这时，，，，装满成分相同的三种果汁，而且都只装了玻璃杯的，最后只要将中的饮料分别倒入，，，中，正好都加满．这时，，，，玻璃杯中便得到成分相同的都是满杯的混合果汁，为空杯．15.（1）（2）（3）（1）（2）【答案】阅读以下材料：如图所示，长方形中，，，分割成四个小长方形，其中，．由于，即，∴．运用上述公式，解决以下问题：一个数，其所有位数上的非零数字之积恰好等于这些数字之和，这样的数称为“鹏程数”，例如，，都是五位数的“鹏程数”．特别地，我们把各个数字均不为零的“鹏程数”叫作“真鹏程数”．求出所有三位“鹏程数”之和．求出四位“真鹏程数”的四个数字．写出一个位的“鹏程数”，其中包含数字，，，．．，，，．（3）方法一：方法二：（1）方法一：（2）【解析】．按其中的个数分类讨论．①三位数字中，含有二个，它们是，，，，其和为．②三位数字中，仅含有一个，另外两个非零，设两个非零数字为，，则，从而，，即，由此得到，即，故满足条件的鹏程数是，，其和为．设两个非零数字为，，则，得到，所以，同理有，所以，由此得到，于是，由，且，均不为，得到，故满足条件的鹏程数是，，其和为．③三位数字中都不含，即真鹏程数，设三个数字为，，，且，且，i)当时，有，得到，从而，，即，，故这时三位鹏程数为，，，，，，其和为，ⅱ)当时，若，显然有，因此，，此时，，综上可得，三位鹏程数之和为．设四位真鹏程数的四个数字为，，，，且，依题意，，ⅰ）当时，即，若，则，，所以，，，从而，，四个数字为，，，，若，则，由于，所以，由，得，∴，，∴，矛盾，个方法二：（3）若，由于，∴，此时，，但是，，矛盾．ⅱ）当时，则，若也等于，由于，∴，此时，，但是，，矛盾，若，则，此时，但是，，矛盾．ⅲ）当时，则，此时，，也矛盾，综上所述，四位真鹏程数的四个数字只能是，，，．ⅰ）若，即，这时真鹏程数满足，即，由此得到，，即，，四个数字，，，满足，可以组成真鹏程数．ⅱ）若，则，，由于，所以，从而（特别注意，），综上可知，四位真鹏程数的四个数字只能是，，，．例如就是一个位的鹏程数，其中包含数字，，，．个。
第九届“IMC国际数学竞赛”(五年级)初赛详解
第九届“IMC国际数学竞赛”(五年级)初赛详解第九届“IMC国际数学竞赛”(五年级)初赛详解在第九届“IMC国际数学竞赛”(五年级)初赛中，数学爱好者们展示了他们的才华和技能。
这篇文章将深入解析初赛的试题，帮助读者更好地理解题目的难点和解题思路。
首先，让我们来看一道典型题目，题目如下：题目：计算24 ÷ 3 + 16 ÷ 2 - 5 × 4 = ?这道题看似简单，但实际上涉及到了四则运算法则和运算优先级的理解。
我们来一步一步解析。
根据四则运算法则，我们应先计算除法，然后是乘法，再是加法与减法。
步骤一：计算除法24 ÷ 3 = 816 ÷ 2 = 8步骤二：计算乘法5 × 4 = 20步骤三：计算加法与减法8 + 8 - 20 = -4所以，答案为-4。
接下来，我们来看另一道题目：题目：小明每天早上骑自行车去学校，全程5公里，路上总是遇到30秒的红绿灯。
请问他上学的时间是多久？这道题考察的是时间与速度的关系。
解题的关键是要确定红绿灯占用的时间。
首先，我们需要计算红绿灯占用的时间。
假设整个路程上共有n个红绿灯，每个红绿灯占用的时间为30秒，则所有红绿灯总共占用的时间为30n秒。
因为小明需要骑5公里，假设他的骑行速度为v公里/小时。
则他骑行这段距离所需的时间应为：5 / v 小时。
另一方面，他要等待的红绿灯时间为30n秒。
所以，他上学的总时间为：5 / v + 30n 秒。
至此，我们解答了这道题目。
通过以上两个例子，我们可以看到，“IMC国际数学竞赛”(五年级)初赛试题旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
只有在完全掌握了数学基本理论和方法的基础上，才能正确解答这些题目。
此外，参加数学竞赛对学生的思维能力和逻辑思维能力提出了很高的要求。
解题过程中，学生需要运用所学的数学知识，分析问题，找到解题思路，并进行合理推导。
然而，我们也要意识到数学竞赛并不仅仅是为了获得高分或者获得奖项，更重要的是培养学生的数学兴趣和解决问题的能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
详解竞赛中数字问题（5）
特级教师 吴迺华
1、从1，2，3，4，……2014，2015这2015个自然数中，最多可以取多少个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于8？
解：1到8，17到24，33到40，……，每组内任意两个数的差都小于8，组间任意两个数的差大于8。
根据这一规律，我们可以把1~ 2015这2015个自然数，每16个数分为一组，每组都取前8个数，这样就能满足任意两个数的差都不等于8的要求了。
2015÷16＝125……余15
在这125数中，每组都取前8个，在剩余的15个数中也取前8个。
125×8＋8＝1008
所以，最多可以取1008个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于8.
2、A 、B 、C 三人在黑板上进行口算比赛。
A 只写数字2，B 只写数字3，C 只写数字5。
当黑板上所写的12个数字之和为43时，黑板上最多出现几个“2”？
解：设黑板上写了x 个2，写了y 个3，写了z 个5。
=122x 35=43
x y z y z ++++⎧⎨⎩ 解得：x ＝5 所以，黑板上最多出现5个“2”。
3、A 、B 、C 三张卡片写着3个不同的自然数，其中A ＞B ＞C ＞1.甲、乙、丙三人各取一张，各自记下卡上的数字，然后放回卡片，这样取了几次后，甲、乙、丙各自取得数字的累计和分别是23，15，13。
已知乙最后一次取的是A ，丙取的最大数是多少？
解：三个人所取的卡片累计的总和是：23＋15＋13＝51
而51只可以分解成：51＝3×17
推知，甲、乙、丙三人各取了3次，且，A ＋B ＋C ＝17
已知，A ＞B ＞C ＞1
乙最后一次取的是A ，而三次加起来的和是15，那么，他取的就是：A ＋2×C ＝15， 易知，A ＝15－2C
丙取三次的累计数是13，他就只能是：C ＋2×B ＝13，知，B ＝（13－C ）÷2
根据，A ＋B ＋C ＝17，得方程：
（15－2C ）＋（13－C ）÷2＋C ＝17 解得：C ＝3
A ＝15－2×3＝9，
B ＝（13－3）÷2＝5
丙取的最大数是：5.
4、从0、1、2、3、4、
5、
6、
7、
8、9这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于2010，那么其中未被选中的数字是几？
解：根据弃九法，所有加数的各位数字总和，与求得总和的各位数字之和，应该差9的整数倍．由于2010的各位数字之和为3，而0＋1＋2＋…＋9＝45，45是9的倍数，3还要加上6才是9的倍数，所以应该从中去掉6．
组成一个两位数、一个三位数和一个四位数可以为：40＋378＋1592＝2010
5、在下面的括号里填上尽可能小的自然数，使等式成立。
( )×19981998＝89918991×( ).
解：因为 19981998＝111×2×9×10001
89918991＝111×9×9×10001
所以，（ 9 ）×19981998＝89918991×（ 2 ）
6、有一个多位数 20159
199998 个，这个数除以13的余数是几？
解：观察被除数‘1’和‘8’中间9的个数除以13的余数变化规律：
是1个9的余数198÷13=15 (3)
是2个9的余数1998÷13=153 (9)
是3个9的余数19998÷13=1538 (4)
是4个9的余数199998÷13=15384 (6)
是5个9的余数1999998÷13=153846 0
是6个9的余数19999998÷13=1538461 (5)
是7个9的余数199999998÷13=15384615 (3)
是8个9的余数1999999998÷13=153846153 (9)
其余数的规律是按以下6个数依次循环：3、9、4、6、0、5。
而2015÷6=335 (5)
可知，这个数除以13的余数是0.
7、王老师在黑板上写了若干个连续自然数l、2、3、……然后擦去其中三个数（其中有两个
质数）。
如果剩下的数的平均数是198
9
，那么，王老师在黑板上共写了多少个数？擦去的两个质
数的和最大是几？
解：因在连续自然数中，平均数约等于中位数。
由剩下的数的平均数是198
9
，即得最大的
数约为20×2＝40个，又知分母是9，所以剩下的数的个数必含因数9，则推得剩余36个数．原写下了：36＋3=39（个数）。
剩余36个数的和为：198
9
×36＝716，
39个数的总和：（1＋39）×39÷2＝780，
因此，擦去的三个数的和为：780－716＝64。
由题意知，擦去的三个数中有两个质数。
合数最小是4，
那么两个质数和最大是60＝29＋31=23＋37. 所以，擦去的两个质数的和最大是60。
8、如果一个自然数的各位上的数字之积，是它各位上的数字之和的倍数，这样的数就叫做“奇特数”，如448就是，（4×4×8）÷（4＋4×8）＝8。
在两位数中，这样的数共有多少个？
解：因为一个自然数的各位上的数字之积，能被这个自然数各位上的数字之和整除
所以，这样的两位数，个位上的数字与十位上的数字，一般多为一个数字是另一个数字的1倍或者2倍双数。
按照这个特征，在两位数中共有：22、36、44、63、66、88六个。
9、如果两个三位数之和等于321，就说这两个数组成一个数对，那么，这样的数对有多少个？
解：根据题意，由于321＝100＋221，知这两个加数中，最小的是100，最大的是221。
所以，这样的数对有：（221－100＋1）÷2＝61（个）
10、在1000到2000之间，所有个位数字是3的自然数的和是多少？
解：个位是3的最小数是1003，最大数是1993
共有：（1993－1003）÷10＋1＝100（个）
它们的和是：（1003＋1993）×100÷2＝149800
11、如果一个自然数的各位数字之积，加上各位数字之和等于这个自然数，就称这样的数为“恰好数”。
例如“99”：9×9＋（9＋9）＝99 。
请写出100以内的“恰好数”的和。
解：设十位上的数字是a，个位上的数字是b. 则此两位数为10a＋b.
根据题意，a＋b＋a×b=10a＋b 化简得a×b＝9a
可知b＝9 即两位数的个位为9，而十位上可以为1 ~ 9中的任意数字。
这样的两位数的和是：19＋29＋39＋49＋59＋69＋79＋89＋99＝531。
12、12＋22＋32＋24＋…＋20142＋20152它们的和除以4的余数是多少？
解：在这个数列中，凡是偶数的平方除以4 的余数都是0，
所以我们可以放下数列中的偶数项不管，只用计算奇数项的余数。
这个数列中的奇数平方除以4 的余数都是1，
而，（1＋1＋1＋1）÷4余数为0，即四个奇数平方的和除以4的余数也是0，根据这个规律先找出数列中奇数平方的个数（2015＋1）÷2＝1008（个）
1008个数4个分组1008÷4的余数是0
所以，这个数列的和除以4的余数是0.
13、有两组数，甲组9个数的和是63，乙组的平均数是11，已知两个组所有数的平均数是8，那么乙组中有几个数？
解：设乙组有x个数，乙组的总数为11x,。
根据平均数的“总数＝平均数×总份数”列方程
63＋11x＝8×（9＋x）解得：x＝3
14、一个两位数除以11，商和余数的和最大是多少？
解：因为要求回答问题是商和余数的和最大是多少，
所以，商和余数要尽可能地大，但被除数只能是最大的两位数。
最大的余数是10，如果商是8，
则被除数为：8×11＋10＝98
所以，商和余数的和最大是：10＋8＝18.。