Banach空间中的p广义框架
集合的Banach空间与Hilbert空间
集合的Banach空间与Hilbert空间1. 集合的Banach空间定义：Banach空间是一个完备的赋范线性空间，即一个具有范数的线性空间，并且该范数满足完备性。
换句话说，Banach空间是一个具有范数的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。
例子：•实数空间ℝ是一个Banach空间，其中范数就是绝对值。
•复数空间ℂ是一个Banach空间，其中范数就是模。
•函数空间C[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的最大值。
•平方可积函数空间L2[a,b]是一个Banach空间，其中范数就是函数在区间[a,b]上的平方可积。
2. 集合的Hilbert空间定义：Hilbert空间是一个完备的内积空间，即一个具有内积的线性空间，并且该内积满足完备性。
换句话说，Hilbert空间是一个具有内积的线性空间，其中任何柯西序列都收敛到空间中的一个元素。
例子：•实数空间ℝ是一个Hilbert空间，其中内积就是点积。
•复数空间ℂ是一个Hilbert空间，其中内积就是共轭复数的点积。
•函数空间L2[a,b]是一个Hilbert空间，其中内积就是函数在区间[a,b]上的平方可积。
3. Banach空间与Hilbert空间的区别Banach空间和Hilbert空间都是完备的赋范线性空间，但它们之间存在一些区别。
•内积： Hilbert空间具有内积，而Banach空间不具有。
内积使Hilbert空间具有几何性质，例如正交性、投影等。
•正交性：在Hilbert空间中，两个向量正交当且仅当它们的内积为零。
正交性在Hilbert空间中非常重要，它可以用来定义正交子空间、投影等概念。
•投影：在Hilbert空间中，可以将一个向量投影到另一个向量上。
投影可以用来分解向量、求解方程等。
4. Banach空间与Hilbert空间的应用Banach空间和Hilbert空间在数学和物理学中都有广泛的应用。
banach空间中不适定线性算子的广义概率范数
２
２
２
由于一个 多 项 式 的 阶 次 相 对 于 原 点 是 不 变
的，所以不失一般性 ｎ可以取作 ０，构建 Ｌｙａｐｕｎｏｖ
泛函，则上式可以简化为：
∑ ∑ １
ｍ
ｐБайду номын сангаас
ｑ／２
ａｉｍｉ
ｂｋｃｋｉ
ｉ＝０
ｋ＝－ｑ／２
＝ａ１
（６）
此时 Ｂａｎａｃｈ空间中不适定概率拟合的确定系数
ｃｋ，约束条件为 ｃｋ ＝－ｃ－ｋ。 定理 １ 若取 Ｂａｎａｃｈ空间中不适定概率特
１ 模型构造及相关定理
１．１ Ｂａｎａｃｈ空间中不适定概率拟合模型 为了实现 Ｂａｎａｃｈ空间中不适定线性算子的
广义概率范数分析，在给定的扰动初始条件下，构 建 Ｂａｎａｃｈ空 间 中 不 适 定 概 率 拟 合 模 型，分 析 Ｂａｎａｃｈ空间中不适定线性算子的广义概率范数， 构建概率拟合模型实现 Ｂａｎａｃｈ空间中不适定稳 定特征分析。Ｂａｎａｃｈ空间中不适定线性特征点为 （ｔ，ｆ），采用线性无关积分控制方法［３］，得到广义 特征正则约束项为 φ（ｔ′，ｆ′）Ｗｚ（ｔ－ｔ′，ｆ－ｆ′），采用 非线性 ＫｄＶ－ＫＳＶ方程进行 Ｂａｎａｃｈ空间中不适 定线性算子的模糊约束解分析，稳定特征解 ｆ可 以看作是在（ｔ，ｆ）的邻近点（ｔ－ｔ′，ｆ－ｆ′）上的加 权，求解 Ｂａｎａｃｈ空间中不适定线性算子的稳定 核，得到第 ｉ个解空间向量的调控函数。在 Ｂａｎａｃｈ 空间中不适定线性算子多项式核取 ｑ＝４，边值解 向量 ｂｋ取作 ｂ２ ＝ｂ－２ ＝１，ｂ１ ＝ｂ－１ ＝２，ｂ０ ＝０。
∑ ∑ ∑ ２π１ｍｋｋ＝ｑ－／２ｑ／２ｂｋｉ＝ｐ０ａｉ（ｎ＋ｃｋｍ）ｉ ＝２１πｉ＝ｐ０ａｉｎｉ－１
（１）
入是无限维的 banach 空间,证明叉不能分解成可数个列紧集的并集 -回复
入是无限维的banach 空间,证明叉不能分解成可数个列紧集的并集-回复题目：叉不能分解成可数个列紧集的并集引言：Banach空间是数学分析中的一个重要研究对象，具有丰富的性质和应用。
本文通过引入叉的概念，结合列紧集的性质，从单个列紧集到可数个列紧集的并集，一步一步进行论证，证明了叉不能分解成可数个列紧集的并集。
一、Banach空间的基本概念与性质首先我们要理解Banach空间及其相关概念。
Banach空间是指一种完备的赋范向量空间，其上的范数满足三角不等式，并且支持度量的完备性。
根据泛函分析的基本定理，Banach空间有着丰富的性质，如可分性和逼近性。
二、列紧集的定义与性质接下来我们来讨论列紧集的概念及其性质。
在拓扑空间中，列紧集是一种很特殊的集合，它的每个序列都有收敛子列。
具体来说，一个集合在拓扑空间中是列紧的，当且仅当它的每个序列都有一个收敛子列。
列紧集是一种很重要的性质，可以用来刻画紧致性和有界性。
三、叉的定义与性质在介绍叉的定义之前，我们先回顾一下笛卡尔积的概念。
设有一系列集合A1,A2,⋯,An，它们的笛卡尔积定义为由所有n元组(ai1,ai2,⋯,ain)，其中aij属于集合Aij，所组成的集合。
现在，我们可以定义叉为一种特殊的集合，即通过将原本集合的元素重新组合，形成带有完备范数的向量空间。
四、证明思路与方法在开始证明叉不能分解成可数个列紧集的并集之前，我们先给出一个引理。
引理1：若Banach空间中存在一个列紧集的可数个极限点不同的并集，那么该空间本身是可分的。
证明：设A是一个列紧集的可数个极限点不同的并集，我们将构造一个可数个元素的有理数集合B，来证明该空间是可分的。
首先，我们选择一个无理数x1和A中的任意一个极限点x1'，然后再从A中选择一个不等于x1和x1'的极限点x2，再依次进行下去。
这样我们可以得到一个无理数序列{x1,x2,⋯,xn,⋯}。
由于A是一个可数个极限点不同的并集，我们可以将每个极限点都表示为{x_n}_n ∈N。
Banach空间及其相关定理
课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。
首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。
然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。
最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。
关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
第十章 Banach空间中的基本定理.
f
px ,x
X
,
记这些延拓的全体为Γ .那么我们有
Γ
g|g是Dg
上的线性泛函,
g|Z f
gx
px ,x
Dg
Z
.
3 在Γ上赋序:
g1 g2 Dg1 Dg2 ,
则是一个半序集. 由佐恩引理知, Γ有最大元~f . ~f即为所求.
泛函f ,均有f x0 0,则必有x0 0.
Class Over!
若f是X的子空间Z上的实线性泛函,且被px控制,即满足 f x px,x Z,则存在X上的实|Z f
~f x
px , x
X
.
定理证明的基本思路
1 扩大f的定义域; 在扩大的定义域上作 f的线性延拓; 恰当选择被控制的那一 个延拓.
~ f|Z
f ,并且
~f
X
f
?
Z
Hanhn-Banach泛函延拓定理
次线性泛函
设p : X R满足如下条件
1 px px, x X ,是数; 2 px y px py.
则称p是X上的一个次线性泛函.
定理1 设X是实线性空间,px是X上的次线性泛函.
且
f y f y f y y py y
py x1 y-x1 py x1 py-x1 .
由此可得 py-x1 f y py x1 f y.
这表明sup
yZ
第十章 Banach空间中的 基本定理
第一节 泛函延拓定理
1 问题
设X是赋范线性空间,Z是X的子空间,f是Z上的连续线性
Banach空间中Noor型变分不等式的广义投影法
收 稿 日期 ： ０ ８ １— １ 修订 日期 ： ０ ９１ —８ ２ ０ —２ １ ； ２ ０ —００
Ｅ— ａ ｌ ｍ ｉ：Ｚｈ ｎ— ＠ １ ３． ｏ ｅ ｈｅ ６ ｃ ｍ
＜
基金项 目： 教育部重点课题项 目 （ ７ ０ ）、国家 自然科学基金项 目 （ ８ ３ ０ ） ２ １４ ０ ６ ７ ２ ３ 和张家 口市科学技术研究与 ０ 发展计划项 目 （８ １２ Ｂ ５ 资助 ０１０ ４ 一） 通讯作者
敛． 一个具有定义域 Ｄ（ ） ｚ Ｔ ＝ ∈Ｂ： ｚ ） Ｔ ≠ 和值域 ｎ Ｔ ＝Ｕ Ｔ ∈Ｂ： ∈Ｄ（ ｝ （） ｛ ｚ ） 的多值 箅子 ： 一 ２ 称为单调的 ， Ｂ 如果 （１ ２Ｙ 一Ｙ） ０ 每一 Ｘ ∈Ｊ ）Ｙ ∈Ｔ ｉｉ ｌ２ 一Ｘ ，１ ２ 对 ｉ ［ ， ｘ，＝ ， ） 成立 ．一 个单调算子 称为极大 单调 的，如果 它 的图像 Ｃ（） ｛ Ｙ ： Ｔ ＝ （，） Ｙ∈Ｔ ｝不真包 含 ｘ 在 任何其 它单调 算子 的图像 中．设 Ｕ ＝ ｆ ∈Ｂ ：Ｉｌ １ 一单 位球 面． Ｂ ｎｃ 间 Ｂ Ｊ ｝ ｝是 ｘ ＝ ａａｈ空 称为严 格凸 的，如果对 任意 Ｘ Ｙ∈Ｕ， ， 有
ｎｆ
｛ ： ， ＿忙 ＞ 一 ｘ６忙 ｌ Ｅ ，Ｂ 洲 ＇ ｙ ｌ
若 Ｂ是一致 凸 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空间当且仅当 ￡ ＞０ （ ） 对任意 Ｅ ０２ 成立．设 Ｐ ２ ∈（， 】 是一实数． Ｂ ｎｃ ａａｈ空间 Ｂ 称为 Ｐ一致凸的，如果存在常数 ｃ ＞０ 使得 （ ｃ Ｅ ） ￡ 对所有 ∈（，］ ０２ 成 立 ．关于 Ｐ一 致 凸空 间更 详细 的 内容可 见文 献 ［３＿ Ｐ＞ １ 定义从 Ｂ 到 ２ 上 的 （ １】对 ， 广义） 对偶 映射 如 下：对所 有 ∈Ｂ， 有
banach空间四个基本定理
banach空间四个基本定理
1. Banach空间完备定理：一个Banach空间就是一个完备的度
量空间，即每个柯西序列都收敛于该空间中的确切点。
具体地，如果在Banach空间中取一个柯西序列，那么它一定收敛于一
个该空间中的点。
2. 闭图像定理：这个定理涉及到线性算子，它指出，如果线性算子是一个Banach空间到另一个Banach空间的映射，并且满足一些条件，那么它的图像（即所有可能的输出）是另一个Banach空间。
3. 开映射定理：如果一个线性算子从一个Banach空间映射到
另一个Banach空间，而且是连续的，那么它要么是「开映射」，即将开集映射成另一个空间中的开集；要么是「单射」，即每个输入只对应一个输出（不能出现多个输出映射到同一输出的情况）。
4. Hahn-Banach定理：这个定理是关于线性算子和Banach空
间的最基本的定理之一。
它指出，在所有的线性算子中，存在一个「Hahn-Banach算子」，使得它的定义域是一个给定的线
性子空间，并且满足对于这个子空间中的任意元素，其值（即它的输出）与其他满足某些特定条件的线性算子的值相同。
这个定理被视为线性算子理论的基石，因为它非常广泛地应用于各种数学分支领域和物理学中。
Banach空间中闭线性算子广义逆的扰动定理
Banach空间中闭线性算子广义逆的扰动定理众所周知,Hilbert空间中有界线性算子的Moore-Penrose逆和Banach空间中有界线性算子广义逆的扰动分析在优化,统计,编程和网络等不同领域的实际应用中是非常重要的.我们知道,T+(I+δTT+)-1可能是扰动算子广义逆的最简表达形式.在有界算子情形下,已经得到了许多使Moore-Penrose逆和广义逆具有最简表达式的等价条件.但在实际应用(如数学物理、量子力学和偏微分方程)中会涉及到大量的无界算子,而且这些无界算子中有许多却具有有界逆或有界广义逆的.为了解决许多实际问题,我们需要将有界算子情形的广义逆扰动结果推广至无界算子情形.通常,我们会考虑一类重要的无界算子,即稠定闭线性算子.值得指出的是微分算子或偏微分算子都是稠定闭线性算子.本文中,我们主要讨论扰动问题：设X和Y为Banach空间,设T为从X到Y的稠定闭线性算子,且存在有界广义逆T+.小扰动δT在什么情形下可以保证广义逆(T+δT)+存在?进一步,其广义逆在什么条件下具有最简表达式T+(I+δTT+)-1？在稳定扰动或扰动保核的情形下,相应的扰动问题在a‖T+‖+b‖TT+‖<1时已经被广泛研究.值得注意的是,若假设a‖T+‖+b‖TT+‖<1,则||δTT+||<1,从而算子I+δTT+的可逆性和逆算子(I+δTT+)-1的有界性就可以由著名的Banach引理直接得出.自然地,我们会问上述扰动条件是否可以减弱.由文[6,11,42]中的思想方法,我们在较弱的扰动条件下讨论了上述扰动问题.同时利用这一结果,我们也讨论了Hilbert空间中闭线性算子的Moore-Penrose逆的扰动表示问题.最后,为了说明本文的主要结果,我们还给出了闭算子广义逆和闭EP算子Moore-Penrose 逆的一些例子.本文的主要结果改进和推广了文[7-8,11-12,19,23,26,35,38,39,42]的主要结果.定理设X,Y为Banach空间，T∈C(X,Y)存在广义逆T+∈B(Y,X),δT∈L(X,Y)关于T相对有界且相对界b<1,若δTT+满足‖δTT+y‖≤λ1‖y‖+λ2‖(I+δTT+)y‖,(?)y∈Y,其中λ1,λ2∈[0,1),则下列命题等价：(1)B=T+(I+δTT+)-1=(I+T+δT)-1T+:Y→X为T=T+δT的广义逆；(2)R(T)∩N(T+)={0}；(3)Y=R(T)(?)(T+)；(4)X=N(T)(?)(T+)；(5)X=N(T)+R(T+)；(6)(I+δTT+)-1R(T)=R(T)；(7)(I+δTT+)-1TN(T)∈R(T)；(8)(I+T+δT)-1N(T)=N(T).此时,R(T)是闭的,且‖B一T+‖≤‖T+‖·‖(I+δTT+)-1‖·‖δTT+‖.定理设X,Y为Hilbert空间,T∈C(X,Y)存在有界广义逆T+,δT关于T相对有界且相对界b<1,若δTT+满足‖δTT+y‖≤λ1‖y‖+λ2‖(I+δTT+)y‖,(?)y∈Y,其中λ1,λ2∈[0,1),若R(T)∩N(T+)={0},则T=T+δT具有M oore-Penrose逆T+，且T+={I-[(T+(I+δTT+)-1T)**-(T+(I+δTT+)-1T)*]2}-1[T+(I+δTT+)-1T]*. T+(I+δTT)-1[TT+(I+δTT+)-1]I*{I-[TT+(I+δTT+)-1-(TT+(I+δTT+)-1)*]2}-1.定理设X，Y为Hilbert空间,T∈C(X,Y)存在Moore-Penrose逆T+∈B(Y,X),δT关于T相对有界且相对界b<1.若δTT+满足‖δTT+y‖≤λ1‖y‖+λ2‖(I+δTT+)y‖,(?)y∈Y,其中λ1,λ2∈[0,1),则B=T+(I+δTT+)-1=(I+T+δT)-1T+:Y →X为T=T+δT的Moore-Penrose逆当且仅当N(T)=N(T)和R(T)=R(T).。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关键 词 ：框 架 ； 义 框 架 ； 广 Ｐ广 义 框 架 ； 动 扰
中 图分 类 号 ： ７ ． ０１ ７ ２ 文献标识码 ： Ａ
０ 引
言
框 架这一 概念是 Ｄｕｆ ｆ ｎ和 Ｓ ｈ ｃｆｒ在 １ ５ ｉ ｃａｆ ｅ ９ ２年研究 非 调和 Ｆ ｕ ｉ 级数 时提 出来 的 ， ｏｒ ｒ ｅ 它是 Ｒ ｅｚ 的 ｉｓ 基
数表 示． 般来说 ， 架并不 是基 ， 一 框 展开 式 中的系 数不是 唯一 的． 因为框 架 的这种 超完备 性使得 它在 数学 正
和 工程 的许 多领 域 ， 包括 采样 定理 Ｅ 算 子 理论 ， 和分 析 ， 线性 逼 近 ， 可微 算 子理 论 ， 波分 析 ， ， 调 非 拟 小 信号 处理 ， 图像 处理等 都有 非 常广 泛 的应用 ． １９ ９ １年 ， ｏｈ ｎｇ把框 架 的概念 推广 到 了 Ｂ ｎ ｃ Ｇｒｃ ｅ ｉ ａ ａｈ空间 ， 定义 了 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空 间中 的一般框架 为 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ 框架 ． ａ ａ ｈ框 架理论 对 研究 框架 理论 和 Ｂ ｎ ｃ Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空间 理论 有着 重要 的意 义． 关 Ｂ ｎ ｃ 有 ａ ａ ｈ空间及 Ｂ ｎ ｅ ａ ａｈ 框 架 的知识 见文献 ［ ２— ７ ． ］ 近年来 ， 许多 学者 提 出各种 关 于框架 概念 的推广 ， 如有 界 双投影 算 子 、 子空 间框 架 、 外框 架 、 拟框 架 和
一
类时频 局 部化算 子． 献 Ｅ ］ 出了广义框 架 的概念 ． 文 ８给
定 义 １ Ｖ， 是 Ｈｉ ｅｔ 间 ，Ｖ ∈ Ｈ ｌ ｒ空 ｂ ｛ 是 的闭子空 间 ， ｊ 留 （ — Ｖ ） 若 存在 ， Ａ ∈ Ｈ ， Ｂ＞ ０ 满 足 ， Ａ Ｉ ｌ ≤ 厂 ｌ Ｉ 。
№４
Ａｕ ． ０ ０ ｇ ２ １
文 章 编 号 ：０ ６ — ９ ２ ２ １ ） ４ ０ ７ — ６ ４ ５７ ４ （０ ００ —０ ３０
Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 中的 Ｐ广 义框 架
吴延红
（ 开大学 数学科学学 院 ， 津 ３０７ 南 天 ０ ０ １）
摘 要 ： 据 Ｈｉ ｅｔ 间 中广 义 框 架 的理 论 给 出 了 Ｂ ｈｅ 根 ｌ ｒ空 ｂ ａａｈ空 间 中 Ｐ广 义 框 架 的一 些 性 质 ， 得 出 了 Ｐ广 义 并 框 架 的 一些 扰 动性 结 果 ．
第 ４ ３卷
足
ｆ ｆ ≤ （ ｆ ， ≤Ｂｌ ｘ 』Ｉ 厂 ∑ 以 ） ｌ ，
则 称 ｛ ∈ Ｅ 历 （ — ｙ） 是 Ｘ 关 于 ｛ ∈ 的 Ｐ广义框 架． 只有上 界成立 ， 以） ， ｘ ） ｙ） ， 若 则称 其为 Ｐ广义 Ｂ ｓｅ 序 ｅｓｌ
列．
定 义 ３ 设 ｛ Ｅ 刃 （ — ｙ ） ｘ 的 Ｐ广 义 框 架 ， 果 存 在 （ ： Ａ Ｘ ）是 如 ｙ— ｘ） 使 得 Ｖ． Ｅ ｘ， ， ｚ ｚ一
∑＠ 则 ： ｙ ）为｛ ｚ 称｛ 历（—ｘ ） ＡＥ留（ Ａ， ｘ—ｙ） 对偶 框 ）的 广义 架．
引理 １１ Ｘ， Ｅ３ １ ｙ是 Ｂ ｎ ｃ ａ ａｈ空 间 ， ： — ｙ是有界算 子 ， Ｕ ： 一 Ｘ 是满算 子 的充 要条件 是 在 则 ｙ Ｒ 上有 一个有 界逆算 子． 定义 ４ 设 ｛ （ — Ｙ ）ｉＥ ） ｘ 的 Ｐ广义 框架 ， 义其 合成算 子为 以Ｅ ｘ ： 是 定
Ｔ：∑ ④ｙ ）一 （ Ｊ
７｛ ＇ （
） 一∑ 以 （ ， ）
推 广． Ｋ是 整数 集 ｚ的子集． ｌｅｔ 间 日 中的一列 元素 ： Ｋ称 为 Ｈ 的框 架 ， 设 Ｈｉ ｒ 空 ｂ ｋ ｌ厂， Ｉ≤ Ｂ １ ｌ ， ∈ Ｈ ， ＜ ＞ 。 厂ｌ Ｖ ｆ ｌ 。
Ｋ
其 中 Ａ， Ｂ分别称 为 框架下 界 和框架 上界． Ｒｉ ｚ 与 ｅ 基或 标准 正交 基类似 ， 中任一 元素 可 以用 框架展 开级 ｓ Ｈ
根据 Ｈｉ ｅｔ 架 中广 义框 架 的理论 ｌ ｒ框 ｂ
扰动 性结果 ．
给 出了 Ｐ广义 框架 （ 见文 献 Ｅ ｏＩ ｌ－ ）的一 些性 质 ， 以及 它 的一些
１ Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 中 的 Ｐ广 义 框 架
定义 ２ Ｘ， Ｙ是 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空间 ，ｙ ） 是 ｙ的闭子 空 间 ， ｊ 留 （ — Ｙ 如果存 在 Ａ， ｛ ∈ Ａ ∈ ｘ ， Ｂ＞ ０ 满 ，
第 ４ ３卷 第 ４ 期 ２１年 ８ ０ ０ 月
南 开 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ） Ａ ｔ Ｓ ｉ ｔ ｒ ｍ Ｎａ ｕ ａｉｍ ｉｅｓ ａｉ Ｎａ ｋ ｉ ｓ ｃ ｃ ｎｉ ｕ ｔｒ ｌ ａ ｅ ａ ｕ Ｕｎｖ ｒｉ ｔ ｎ ａｅ ｉ ｔ ｓ ｎｓ
Ｖｏ ． ３ １４
收 稿 日期 ： ０ ８ ０ ～ ５ ２ ０ — ６ ０ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 （ ０ ７０ ９ 国 １５１８） 作者 简 介 ： 延 红 （ ９ ２ ， ， 吴 １ ８ 一） 女 山东 德 州 人 ， 士 ． 硕
・７ ４・
南 开大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
∈Ｚ
ｌ Ｉ ≤ Ｂ ｌ 】， ｌ 厂ｌ 以 厂ｌ Ｉ
则 称 ｛ ｉＪ Ｈ 关于 ｛ Ｊ Ａ） 是 ∈ Ｖ ） 的广义 框架 ． ∈ 并且 证 明 了上 面 提到 的这 些推 广 只是广 义框 架 的特殊 情况 ． 框架 稳定 性 在实 际应 用 中是 非 常重要 而 的， 因此许 多学者 对此 做过 细致 的研究 ， 文 昌教 授也 在文 章 中对 广义框 架 的稳定 性做 了一定 的研究 ． 孙