二、《数学物理方法及计算机仿真》习题解答
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
一、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答
1.5 如果 | z |= 1, 试证明对于任何复常数 a, b 有| az + b |= 1 bz + a
【证明】 因为| z |= 1,∴ zz = 1∴ z = 1/ z ，所以
|
az + b
|=|
(az + b)z2[cos来自5π+
i sin
5π ],
i5π
2e 3
3
3
α （3）略为 [2 sin( )]ei arctan[c tan(α / 2)] 2
（4）略为 eei ; e(cos1+ i sin1)
（5）略为： cos(R sinθ ) + isin(R sinθ )
（6）该复数取两个值
2 + 2 (cosθ + isinθ ) = 2 + 2eiθ ,θ = arctan(1 + 2);
a − i b 一定也是该方程的根．
( ) ( ) 证 因为 a0 ，a1 ，… ，an 均为实数，故 a0 = a0 ，a1 = a1 ，… ，an = an ．且 z k = z k ， ( ) 故由共轭复数性质有： P(z) = P z ．则由已知 P(a + i b) ≡ 0 ．两端取共轭得
（3） z 到 3 的距离比 z 到 2 的距离大，因此，它是左半平面 z < 2 1 ，去掉 z = 2 一 2
点，是无界的多连通的区域.
（4）在直线 y = kx 的上方，其中 k = − tan1．无界单连通区域
( ) ( ) （5）即 (z − 1) z − 1 < 4(z + 1) z + 1
数理习题解答
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v v x y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法课后答案 (2)
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
二、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答
（2） uxx − 2uxy − 3uyy + 2ux + 6uy = 0
（3） uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0
【答案
(1) ξ
=
x−
y,η
=
x, uηη
+
c
− a
b
uξ
+
b a
uη
+
1u=0 a
（2）ξ = x − y,η = 3x + y; 4uξη − uξ + 3uη = 0
0,ux (l,t)
=
F0
sin ωt Ys
;u(x, 0)
=
0,ut (x, 0)
=
0】
9.6 有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长 ε 而静止（设拉长在弹性限
度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.
【答案
utt
− a2uxx
=
0; u (0, t )
=
0=
ux (l,t);u(x, 0)
【答案 取 x 沿槽的长度方向， u 为水的质点的 x 方向位移，则 utt = ghuxx 】 9.11. 有一长为 l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置
的外力,外力线密度已知,开始时.弦 1 处受到冲量 I 作用,试写出其定解问题. 2
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
【答案(1)
u
=
−α
e2
x− β 2
y
v,
v xx
+ v yy
+ (γ
数学物理方法习题解答
注意：可以分情况讨论，分别讨论a,b的正负，和在各个象限的情况，把图画出来，看是否能围成区域，情况过于复杂，此处就不再讨论。
1.3 导数
补充题：求导数
1.4 解析函数补充题：求解析区域
P16
补充习题：
1.计算线积分
2．计算回路积分
3.计算积分
4.设积分路径为C: ，计算回路积分：
P31 1.
第三章幂级数展开
所以，收敛圆为一个点Z=3
和，求下列幂级数的收敛半径。
3.3泰勒级数展开
P41 在指定的点Z0的领域上将下列函数展开为泰勒级数。
3.5洛朗级数展开P47
另解：
后面两道题虽没有布置，但老师布置了的哦，也很重要哈！
3.6孤立奇点的分类P50
补充习题：确定下列函数在有限远处得奇点及类型。
数学物理方法习题答案
第11章综合习题11.1，设弦的初始位移为，初始速度为，求解无限长弦的自由振动.[答案 ：解即为答朗贝尔公式 ()x ϕ()x ψ11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰pause(0.0000001);end;11.2 半无限长弦的初始位移和速度都是零，端点作微小振动0|sin x u A t ω==，求解弦的振动.【答案 0,();sin (),()x x x u t u A t t a a aω=<=->】 11.3 求解细圆锥形均质杆的纵振动.【提示 作变换 u x =v/】【答案 12()()f x at f x at u x-++=】 11.4 半无限长杆的端点受到纵向力()sin F t A t ω=作用，求解杆的纵振动.【答案 00()()1,()d 221 ()d cos ()2x at at x x at at x x t u a a aA x aA t a YS a YS ϕϕψξξψξξωωω+-++->=+++--⎰⎰】 11.5已知初始电压分布为cos A kx ，cos kx ，求解无线长理想传输线上电压和电流的传播情况，【答案cos (),cos ()A k x at i k x at -=-v =】11.6 在GL CR =条件下求无限长传输线上的电报方程的通解.【答案 11{[()()]()d 22R x at t L x at e x at x at aϕϕψξξ+--++-+⎰】 11.7已知端点通过电阻R 而相接，初始电压分布为cos A kx ，初始电流分布为cos kx .求解半无限长理想传输线上电报方程的解；在什么条件下端点没有反射（遮住情况叫作匹配）？【答案 匹配的条件是0R =本章计算机仿真11.8 试用计算机仿真的方法，将11.2的弦振动规律以图形的分式表示出来.【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;x=0:0.01:10;for t=1:0.5:25u=A*sin(pi*(t-x/a));plot(x,u);title('弦振动')xlabel('x')ylabel('u')11.9试用计算机仿真的方法，将11.5中的电压分布和电流分布用图形表示出来．【解】计算机仿真程序w=pi;a=2;A=1.2;k=2*pi;C=0.006;L=0.003;x=0:0.001:10;for t=1:0.5:25subplot(2,1,1);v=A*cos(k*(t-x/a));plot(x,v);title('电压动态分布')xlabel('x')ylabel('v')pause(0.0000001);subplot(2,1,2);i=sqrt(C/L)*A*cos(k*(t-x/a));plot(x,i);title('电流动态分布')xlabel('x')ylabel('i')pause(0.0000001);end;。
数学物理方法习题解答
习题解答
向安平
B xiangap@ xiangap@
成都信息工程学院光电技术系 2006 年 9 月 11 日
前 言
本书供电子科学与技术专业和光信息科学与技术专业《数学物理方法》课程教学使用． 本教学参考书仅供授权读者在计算机上阅读，不能编辑、拷贝和打印．经作者授权，可取消全 部限制． 在第一版中只收录了必要的试题，以后将增补习题的数量和类型，在每章增加内容小结和解题 方法讨论．欢迎读者提供建议． 作为本书的第一版，错误和排版差错在所难免，敬请读者指正．
§ 1.1 复数与复数运算
1. 下列式子在复平面上各具有怎样的意义? (1) | x |≤ 2. (2) | z − a |=| z − b | （a 、b为复常数）. (3) Rez > 1 2. (1) | x |≤ 2 解一：|z| = | x + iy| = 部． x2 + y2 ≤ 2，或 x2 + y2 ≤ 4．这是以原点为圆心而半径为2的圆及其内
z?az?bx?a12y?a22x?b12y?b22于是x?a12y?a22x?b12y?b22即2y?a2?b2b2?a22x?a1?b1a1?b1y?a2b22x?a1b12a1?b1b2?a22a2b2这是一条直线是一条过点a和点b连线的中点a1b12且与该直线垂直的直线
数 学 物 理 方 法
解二：按照模的几何意义，|z|是复数z = x + iy与原点间的距离，若此距离总是≤ 2，即表示 以原点为圆心而半径为2的圆内部． (2) |z − a| = |z − b| ( a、b为复常数)． 解一：设z = x + iy, z = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 ； ( x − a1 )2 + (y − a2 )2 , ( x − b1 )2 + (y − b2 )2 ,
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F0 F0
(l − h)x T0l h(l − x) T0l
, ,
x ∈[0, h]
】
x ∈[h,l]
9.2 长为 l 的均匀杆两端受拉力 F0 作用而作纵振动，写出边界条件.
【答案 YSux |x=0 = F0 , YSux |x=l = F0 】
9.3 长为 L 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 q0 ，写出这个热传导问题的边界条【答案 Nhomakorabeau(
x,
0)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
h l H L−
x l
(L
−
x)
(0 ≤ x ≤ l) (l ≤ x ≤ L)
】
9.5 有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力 F (t) = F0 sin ωt 作用，试写出其纵振动
方程与定解条件.
【答案
utt
−
a 2u xx
=
0; u (0, t )
=
热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.
答
⎧⎪⎪⎪⎨u∂∂r2zu2=0+=1rA∂∂, ur
+ u
1 r2
z=h
∂2u ∂θ 2 =B
+ ∂2u ∂z 2
=
f
(r,θ, z)
r ∈[0, R),θ ∈[0, 2π ), z ∈(0, h)
⎪ ⎪
∂u
⎪⎩ ∂r
r=R = 0
--------------------------------------------------------------------2 ----------------------------------------------------------------
第二篇 数学物理方程
9.16 设有定解问题
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
=
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y 2
,
⎪⎪u x=0 = u x=a = 0, ⎨⎪u y=0 = u y=b = 0,
⎪⎪u t=0 = ϕ ( x, y) ,
⎪⎩ut t=0 =ψ ( x, y) ,
0 < x < a, 0 < y < b;t > 0 t≥0 0 < x < a,0 < y < b
第二篇 数学物理方程
第二篇 数学物理方程部分
第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答
9.1 长为 l 的均匀细弦，两端固定于 x = 0, x = l ，弦中的张力为T0 . 在 x = h 点处，以横向
力 F0 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.
【答案
u
|t
=0
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.
⎧ ∂u
⎪ ⎪
∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x,t),
(答
⎪ ⎨u
(
0,
t
)
⎪
=
∂u (l,t )
∂x
=
0,
⎪u ( x,0) = ϕ ( x),
⎪
⎩
x ∈ (0,l ),t > 0
t≥0
)
x ∈[0,l]
9.15 设有高为 h 半径为 R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝
9.10 试推导出一维和三维热传导方程.
【答案 具有类型： ut − a2uxx = f ;ut − a2 (uxx + uyy + uzz ) = f ，详细自行讨论】
9.11 试推导静电场的电势方程.
【答案 具有类型： uxx + uyy = f ，详细自行讨论】
9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为 l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水 在平衡时深度为 h . 【提示：取 x 沿槽的长度方向，取 u 为水的质点的 x 方向位移】
0,ux (l,t)
=
F0
sin ωt Ys
;u(x, 0)
=
0,ut (x, 0)
=
0】
9.6 有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长 ε 而静止（设拉长在弹性限
度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.
【答案
utt
− a2uxx
=
0; u (0, t )
=
0=
ux (l,t);u(x, 0)
=
ε l
x,ut (x, 0)
=
0】
9.7 长为 l 的理想传输线，一端 x = 0 接于交流电源，其电动势为 E0 sin ωt ，另一端 x = l 开
路。试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.
【答案
v tt
− a2v xx
=
0, (a
2=
1 ),v LC
|x=0 =
E0eiωt , i |x=l =
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x,t)
答
⎪⎪u ⎨
(
0.t
)
=
∂u (l,
∂x
t
)
+
hu
(
l,
t
)
=
0
⎪u ⎪
(
x,
0)
=
0
⎪⎪⎩ ut
(
x, 0)
=
I ρ
δ
⎛ ⎜⎝
x
−
l 2
⎞ ⎟⎠
x ∈(0,l ),t > 0
t≥0
x ∈[0,l]
9.14 由一长为 l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同
0】
9.8 研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为 T0 ，杆上温度梯度
均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的
方程，及其定解条件.
--------------------------------------------------------------------1 ----------------------------------------------------------------
件.
【答案 −kux |x=0 = q0 , kux |x=L = q0 】 9.4 一根长为 L 的均匀细弦，两端固定于 x = 0, x = L ，用手将弦于 x = l 处朝横向拉开距
离 h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.
utt − a2uxx = 0;u(0, t) = 0 = (L, t);ut (x, 0) = 0,
【答案 取 x 沿槽的长度方向， u 为水的质点的 x 方向位移，则 utt = ghuxx 】 9.11. 有一长为 l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置
的外力,外力线密度已知,开始时.弦 1 处受到冲量 I 作用,试写出其定解问题. 2
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
第二篇 数学物理方程
【答案 ut − a2uxx = 0, (a2 = k / ρc);u(0,t) = 0,ux (l,t) = 0;u(x, 0) = T0 x / l, x ∈ (0, l) 】
9.9 试推导均匀弦的微小横振动方程.
【答案 具有类型： utt − a2uxx = f ，详细自行讨论】