二、《数学物理方法及计算机仿真》习题解答

【答案 取 x 沿槽的长度方向， u 为水的质点的 x 方向位移，则 utt = ghuxx 】 9.11. 有一长为 l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置
的外力,外力线密度已知,开始时.弦 1 处受到冲量 I 作用,试写出其定解问题. 2
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
第二篇 数学物理方程
9.16 设有定解问题
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
=
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y 2
,
⎪⎪u x=0 = u x=a = 0, ⎨⎪u y=0 = u y=b = 0,
⎪⎪u t=0 = ϕ ( x, y) ,
⎪⎩ut t=0 =ψ ( x, y) ,
0 < x < a, 0 < y < b;t > 0 t≥0 0 < x < a,0 < y < b
件.
【答案 −kux |x=0 = q0 , kux |x=L = q0 】 9.4 一根长为 L 的均匀细弦，两端固定于 x = 0, x = L ，用手将弦于 x = l 处朝横向拉开距
离 h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.
utt − a2uxx = 0;u(0, t) = 0 = (L, t);ut (x, 0) = 0,
9.10 试推导出一维和三维热传导方程.
【答案 具有类型： ut − a2uxx = f ;ut − a2 (uxx + uyy + uzz ) = f ，详细自行讨论】
9.11 试推导静电场的电势方程.
【答案 具有类型： uxx + uyy = f ，详细自行讨论】
9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为 l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水 在平衡时深度为 h . 【提示：取 x 沿槽的长度方向，取 u 为水的质点的 x 方向位移】
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x,t)
答
⎪⎪u ⎨
(
0.t
)
=
∂u (l,来自百度文库
∂x
t
)
+
hu
(
l,
t
)
=
0
⎪u ⎪
(
x,
0)
=
0
⎪⎪⎩ ut
(
x, 0)
=
I ρ
δ
⎛ ⎜⎝
x
−
l 2
⎞ ⎟⎠
x ∈(0,l ),t > 0
t≥0
x ∈[0,l]
9.14 由一长为 l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同
热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.
答
⎧⎪⎪⎪⎨u∂∂r2zu2=0+=1rA∂∂, ur
+ u
1 r2
z=h
∂2u ∂θ 2 =B
+ ∂2u ∂z 2
=
f
(r,θ, z)
r ∈[0, R),θ ∈[0, 2π ), z ∈(0, h)
⎪ ⎪
∂u
⎪⎩ ∂r
r=R = 0
--------------------------------------------------------------------2 ----------------------------------------------------------------
0,ux (l,t)
=
F0
sin ωt Ys
;u(x, 0)
=
0,ut (x, 0)
=
0】
9.6 有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长 ε 而静止（设拉长在弹性限
度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.
【答案
utt
− a2uxx
=
0; u (0, t )
=
0=
ux (l,t);u(x, 0)
0】
9.8 研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为 T0 ，杆上温度梯度
均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的
方程，及其定解条件.
--------------------------------------------------------------------1 ----------------------------------------------------------------
第二篇 数学物理方程
【答案 ut − a2uxx = 0, (a2 = k / ρc);u(0,t) = 0,ux (l,t) = 0;u(x, 0) = T0 x / l, x ∈ (0, l) 】
9.9 试推导均匀弦的微小横振动方程.
【答案 具有类型： utt − a2uxx = f ，详细自行讨论】
第二篇 数学物理方程
第二篇 数学物理方程部分
第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答
9.1 长为 l 的均匀细弦，两端固定于 x = 0, x = l ，弦中的张力为T0 . 在 x = h 点处，以横向
力 F0 拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.
【答案
u
|t
=0
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
=
ε l
x,ut (x, 0)
=
0】
9.7 长为 l 的理想传输线，一端 x = 0 接于交流电源，其电动势为 E0 sin ωt ，另一端 x = l 开
路。试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.
【答案
v tt
− a2v xx
=
0, (a
2=
1 ),v LC
|x=0 =
E0eiωt , i |x=l =
【答案
u(
x,
0)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
h l H L−
x l
(L
−
x)
(0 ≤ x ≤ l) (l ≤ x ≤ L)
】
9.5 有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力 F (t) = F0 sin ωt 作用，试写出其纵振动
方程与定解条件.
【答案
utt
−
a 2u xx
=
0; u (0, t )
=
F0 F0
(l − h)x T0l h(l − x) T0l
, ,
x ∈[0, h]
】
x ∈[h,l]
9.2 长为 l 的均匀杆两端受拉力 F0 作用而作纵振动，写出边界条件.
【答案 YSux |x=0 = F0 , YSux |x=l = F0 】
9.3 长为 L 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 q0 ，写出这个热传导问题的边界条
一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.
⎧ ∂u
⎪ ⎪
∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x,t),
(答
⎪ ⎨u
(
0,
t
)
⎪
=
∂u (l,t )
∂x
=
0,
⎪u ( x,0) = ϕ ( x),
⎪
⎩
x ∈ (0,l ),t > 0
t≥0
)
x ∈[0,l]
9.15 设有高为 h 半径为 R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝