2018届高三数学(理)一轮复习课后作业：第八章 平面解析几何 第9节 第2课时 圆锥曲线的综合应用
2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第八章平面解析几何8-1Word版含答案
课时规范训练[A级基础演练]1．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D.直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.2．过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是() A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2解析：选A.∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3 4π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2，1)的所求直线方程为x＝2.3．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是()A.33B． 3C．－ 3 D．－3 3解析：选A.设直线l的斜率为k，则k＝－sin 30°cos 150°＝33.4．过点(－1，2)且倾斜角为30°的直线方程为()A.3x－3y＋6＋3＝0B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0解析：选A.∵k＝tan 30°＝33，由直线的点斜式，得y －2＝33(x ＋1)即3x －3y ＋6＋3＝0.5．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D.由题意可知a ≠0. 当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a . ∴a ＋2a ＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1.6．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 解析：选D.因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．7．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象可能是( )解析：选A.取特殊值法或排除法，可知A 正确．8．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是 ．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2，0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2) 即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．已知A (3，5)，B (4，7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝ ．解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54. A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2，解得x ＝－3. 答案：－310．(2017·常州模拟)若ab ＜0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是 ．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab ＜0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π[B 级 能力突破]1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：选B.设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π.2．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( )A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－AB ＝－13，即直线l 的斜率为－13，故选A.3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.4．已知两点A (0，1)，B (1，0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是 ．解析：由题意知y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1，0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－（－1）＝1.∴k 的取值范围是[0，1]． 答案：[0，1]5．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是 ．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或者－aa ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或者a ＜－1或者a ＞0. 综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞) 6．已知直线l 过点M (1，1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a ，0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0，1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
2018版高考一轮总复习数学(理)习题第8章 平面解析几何8-8含答案
(时间：40分钟)1．已知点F错误!,直线l：x＝－错误!，点B是l上的动点．若过B 作垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（)A．双曲线B．椭圆C．圆 D．抛物线答案D解析由已知得｜MF|＝|MB｜。
由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．2．设点A为圆（x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA｜＝1,则P点的轨迹方程为( ）A．y2＝2x B．（x－1）2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1）2＋y2＝2答案D解析如图,设P（x,y)，圆心为M（1，0）,连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1。
又∵｜PA｜＝1,∴｜PM｜＝错误!＝错误!，即｜PM|2＝2，∴(x－1）2＋y2＝2.3．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y答案C解析由题意知P到F(0，2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F（0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y。
4．在△ABC中，已知A（－1，0),C（1，0），且|BC｜,|CA｜，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是( )A.错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1（x≠±错误!）C。
错误!＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1(x≠±2)答案D解析∵|BC｜,|CA|，｜AB|成等差数列,∴｜BC｜＋｜BA|＝2|CA|＝4。
∴点B的轨迹是以A，C为焦点,半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆．又B是三角形的顶点，A，B，C三点不能共线，故所求的轨迹方程为x24＋错误!＝1,且x≠±2。
5．平面直角坐标系中,已知两点A（3，1)，B（－1，3）,若点C 满足错误!＝λ1错误!＋λ2错误!(O为原点），其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线答案A解析设C(x,y）,因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2（－1，3),即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1,所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y ＝5，所以点C的轨迹为直线，故选A.6．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y）满足A错误!＝2C错误!，则动点C的轨迹方程________．答案x2＋错误!y2＝1解析设A（a,0)，B（0，b）,则a2＋b2＝9。
2018届高三数学理一轮总复习练习-第八章 平面解析几何
课时规范训练[A 级 基础演练]1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定解析：选A.直线y ＝k (x －1)＋1，过定点(1，1)，在椭圆内，所以过点(1，1)的直线始终与椭圆相交．2．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p 2 B ．p C ．2pD ．无法确定解析：选C.当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短， 这时x ＝p2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p .3．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)与双曲线x 2a －y 2b ＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1和F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．m －aB ．m －a 2C ．m 2－a 2D ．m －a解析：选A.由已知可得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ，于是，|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4m ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，故选A.4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32，∴y20＝42x0＝42×32＝24，∴|y0|＝2 6.∵F(2，0)，∴S△POF ＝12|OF|·|y0|＝12×2×26＝2 3.5．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是() A．4＋2 3 B．3－1C.3＋12D．3＋1解析：选D.因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1，故选D.6．(2017·辽宁五校联考)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝．解析：分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.答案：87．已知(4，2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是．解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x2136＋y219＝1，且x2236＋y229＝1，两式相减得y1－y2x1－x2＝－x1＋x24（y1＋y2）.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以y1－y2x1－x2＝－12，故直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝08．已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线l ：y ＝－kx ＋92对称，求k 的取值范围．解：由题意知k ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是曲线上关于直线l 对称的两点，则MN 的方程可设为y ＝1k x ＋b (b ＞0)，代入y ＝x 2，得x 2－1k x －b ＝0，所以Δ＝1k 2＋4b ＞0，① x 1＋x 2＝1k .设MN 中点的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝12k ，y 0＝12k 2＋b ， 因为(x 0，y 0)在直线l ：y ＝－kx ＋92上， 所以12k 2＋b ＝－k ·12k ＋92，所以b ＝4－12k 2.② 将②代入①，得1k 2＋16－2k 2＞0.所以1k 2＜16，即k 2＞116，所以k ＞14或k ＜－14.9．过双曲线x 23－y 26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点．(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．解：(1)由题意得a 2＝3，b 2＝6，∴c 2＝9， ∴F 2(3，0)． 直线方程为y ＝33(x －3)， ∴由⎩⎨⎧y ＝33（x －3），2x 2－y 2＝6，得2x 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤33（x －3）2＝6.即5x 2＋6x －27＝0，∴x ＝－3或x ＝95.∴则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，－235，B (－3，－23)∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－235＋232＝1635. (2)由(1)得直线方程为3x －3y －33＝0， ∴(0，0)到直线的距离d ＝|－33|3＋9＝32， ∴S △AOB ＝12|AB |d ＝12×1635×32＝1235.10．(2017·西安模拟)已知直线6x －2y －26＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点E 和一个焦点F .(1)求椭圆的标准方程；(2)若过焦点F 作直线l ，交椭圆于A ，B 两点，且椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线的斜率k .解：(1)依题意，E (0，－6)，F (2，0)， 所以b ＝6，c ＝2，所以a 2＝10， 所以椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝k (x －2)代入椭圆方程，整理得(3＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－30＝0， 所以x 1＋x 2＝20k 23＋5k 2，y 1＋y 2＝－12k3＋5k 2，因为四边形AOBC 为平行四边形，所以OA→＋OB →＝OC →，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫20k23＋5k 2，－12k 3＋5k 2，代入椭圆方程，解得k 2＝1，所以k ＝±1.[B 级 能力突破]1．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF→＝λ FB →(λ>1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D ．52解析：选B.根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF→＝λ FB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ>1，故λ＝4. 2．(2017·豫南九校联考一模)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝90°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN→||AB →|的最大值为( )A.22 B ．32 C ．1 D ．3解析：选A.如图所示，分别过点B ，A 作准线的垂线，垂足为P ，Q ，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |.在梯形ABPQ 中，有2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .由勾股定理得|AB |2＝a 2＋b 2，配方得|AB |2＝(a ＋b )2－2ab .又∵ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得|AB |≥22(a ＋b )． ∴|MN →||AB →|≤12（a ＋b ）22（a ＋b ）＝22，即|MN →||AB →|的最大值为22，故选A. 3．(2017·沈阳二中检测)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 1与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A.13 B ．15 C ．2D ． 3解析：选A.∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5， ∴△ABF 2是直角三角形，∠ABF 2＝90°.设|AB |＝3m ，|BF 2|＝4m ，|AF 2|＝5m ，由双曲线的定义，知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|AF 1|＋|AB |－|BF 2|＝2a .①|AF 2|－|AF 1|＝2a .②①＋②得|AB |－|BF 2|＋|AF 2|＝4a ， 即3m －4m ＋5m ＝4a ，a ＝m .在Rt △F 1BF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝6a ，|BF 2|＝4a ，∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2化简得c 2＝13a 2，∴e ＝ca ＝13.4．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为 ．解析：设C (x ，x 2)，由题意可取A (－a ，a )，B (a ，a )， 则CA→＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)， 由于∠ACB ＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x )(a －x )＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a )x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0， 所以⎩⎨⎧－（1－2a ）≥0，a 2－a ≥0，（1－2a ）2－4（a 2－a ）>0，解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)5．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为 ．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21－y 213＝1，①x 22－y223＝1 ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)·(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2. ∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称， ∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0， 又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合． 答案：0或－86．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y 2＝4x 的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则e ＝c a ＝22，c ＝1，故a 2＝2，b 2＝1，椭圆C 的标准方程为x22＋y 2＝1.(2)由(1)知A (0，1)，当直线BC 的斜率不存在时，设BC ：x ＝x 0，设B (x 0，y 0)，则C (x 0，－y 0)，k AB ·k AC ＝y 0－1x 0·－y 0－1x 0＝1－y 20x 20＝12x 20x 20＝12≠14，不合题意．故直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为：y ＝kx ＋m (m ≠1)，并代入椭圆方程，得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0，① 由Δ＝(4km )2－8(1＋2k 2)(m 2－1)＞0得 2k 2－m 2＋1＞0.②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，由根与系数的关系得， x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1·x 2＝2（m 2－1）1＋2k 2，由k AB ·k AC ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝14得：4y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋4＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －1)(x 1＋x 2)＋4(m －1)2＝0，整理得(m －1)(m －3)＝0，又因为m ≠1，所以m ＝3，此时直线BC 的方程为y ＝kx ＋3.所以直线BC 恒过一定点(0，3)．。
2018高考一轮数学(课件)第8章 平面解析几何
22(2)，9 分(理) 22,14 分(文)
21(2)，8 分(理) 22,15 分(文)
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第三页，编辑于星期六：二十二点 三十四分。
高三一轮总复习
[重点关注] 综合近 5 年浙江卷高考试题，我们发现高考主要考查直线的方程、圆的方 程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、 标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，突出对数形结合思 想、函数与方程思想、转化与化归思想的考查．
21(1)，7 分 (理)
9,5 分(理) 21,15 分(理)
21(1)，7 分 (理)
8,5 分(文)
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高三一轮总复习
双曲线的标 准方程及其 性质
7,5 分(理) 13,4 分 (文)
9,6 分(理)
16,4 分(理) 17,4 分(文)
圆的方程、直线
与圆的位置关 系、圆与圆的位 10,6 分(文)
14,4 分(理) 14,4 分(文)
5,5 分(文)
21(1)，16 分(理) 13,4 分(文)
16,4 分(理) 17,4 分(文)
置关系
椭圆的标准方 程及其性质
7,5 分(理)
19,5 分(理) 7,5 分(文) 15,4 分(文)
9,5 分(理) 9,5 分(文)
8,5 分(理)
抛物线的标
准方程及其 9,4 分(理) 5,5 分(理)
15,4 分(理) 16,4 分(理)
性质
直线与圆锥 曲线的位置 关系及圆锥 曲线的综合 应用
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第八章 平面解析几何 8.8 精品
3.(2016·厦门模拟)已知点P在抛物线y2=4x上,且点
P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为 1 ,则点P到x轴
2
的距离为
.
【解析】设点P的坐标为(xP,yP),抛物线y2=4x的准线
方程为x=-1,根据抛物线的定义,点P到焦点的距离等
于点P到准线的距离,故
xP
x
P
1解 得12，xP=1,所以
第八节 抛物线
【知识梳理】 1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (1)在平面内. (2)与一个定点F和一条定直线l距离_相__等__. (3)l不经过点F.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程
_y_2=_2_p_x_ (p>0)
_y_2=_-_2_p_x_ (p>0)
因为BD∥FG,所以1 2 ,
p3
求得p=3 ,
2
因此抛物线方程为y2=3x.
(2)y2=16x的准线l:x=-4,因为C与抛物线y2=16x的准 线l:x=-4交于A,B两点,|AB|=4 3 ,所以A(-4,2 )3, B(-4,-2 3),将A点坐标代入双曲线方程得2(-4)2(±2 )32=m,所以m=20. 答案:20
e=1
准线 方程
范围
_x____p2_ _x_y_≥_∈___0_R_,__
焦半 径(其 中P(x0, y0))
|PF|= __x_0___p2_
_x___p2 __ _x_y_≤_∈___0_R_,__
|PF|= __x_0___p2_
y____p2__ _y_x_≥_∈___0_R_,__
|PF|= _y_0__p2___
【加固训练】
1.(2016·昆明模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛
2018年高考数学(理)一轮复习课时达标第八章解析几何52Word版含答案
课时达标 第52讲[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查．一、选择题1．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( C )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34，选C ．2．拋物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫a 2，0 B ．⎝⎛⎭⎫a 2，0或⎝⎛⎭⎫－a 2，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，18a D ．⎝⎛⎭⎫0，18a 或⎝⎛⎭⎫0，－18a 解析：抛物线的方程化成标准形式为x 2＝12a y (a ≠0)，其焦点在y 轴上，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，18a ，故选C ． 3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则 x 0＝( A )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A ．4．(2017·云南师大附中模拟)已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( B ) A ．317－72B ．317－42C ．317－12D ．317＋12解析：结合抛物线定义，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即为62＋⎝⎛⎭⎫322－12－32＝317－42，故选B.5．直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( D )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l 0，A (x A ，y A ) ，B (x B ，y B )，C 是AB 的中点，其坐标为(x C ，y C )，分别过点A ，B 作直线l 0的垂线，垂足分别为M ，N ，由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝x A ＋1＋x B ＋1＝x A ＋x B ＋2＝2x C ＋2＝8.6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( A )A ．2±3B ．2＋ 3C ．3±1D ．3－1解析：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)． 由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，又y 1≠y 2，所以y 1＝－y 2，所以|PQ |＝2|y 1|＝2，|y 1|＝1，所以|PF |＝12p ＋p2＝2，解得p ＝2±3.二、填空题7．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到该抛物线焦点的距离为32.解析：设点 M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2M ＝2x M ，x 2M ＋y 2M＝3，即x 2M ＋2x M －3＝0， 解得x M ＝1或x M ＝－3(舍去)．故点M 到该抛物线焦点的距离为x M ＋12＝1＋12＝32.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB →＝OA →＋OF →(O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是1.解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知 k 存在)，则 A (0，－k )，又∵OB →＝OA →＋OF →，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.9．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围是[1，＋∞)．解析：设直线y ＝a 与y 轴交于M 点，若抛物线y ＝x 2上存在C 点使得∠ACB ＝90°，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有除A ，B 外的交点即可，即是|AM |≤|MO | ，所以a ≤a ，所以a ≥1或a ≤0，因为由题意知a >0，所以a ≥1.三、解答题10．(2017·河北石家庄调研)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)，点A ⎝⎛⎭⎫p ，p2到抛物线C 1的准线的距离为2.(1)求抛物线C 1的方程；(2)过点A 作圆C 2：x 2＋(y －a )2＝1的两条切线，分别交抛物线于M ，N 两点，若直线MN 的斜率为－1，求实数a 的值．解析：(1)由抛物线定义可得：p 2＋p2＝2，∴p ＝2，∴抛物线C 1的方程为：x 2＝4y .(2)设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2， 将l AM ：y －1＝k 1(x －2)代入x 2＝4y ， 得x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0，Δ＝16(k 1－1)2>0， ∴k 1∈R 且k 1≠1.又点A (2,1)在抛物线上，则由韦达定理可得：x M ＝4k 1－2，同理x N ＝4k 2－2， ∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝14(x M ＋x N)＝k 1＋k 2－1.又∵直线l AM ：y －1＝k 1(x －2)与圆相切，∴|a ＋2k 1－1|1＋k 21＝1，整理可得：3k 21＋4k 1(a －1)＋a 2－2a ＝0， 同理可得：3k 22＋4k 2(a －1)＋a 2－2a ＝0.∴k 1，k 2是方程3k 2＋4k (a －1)＋a 2－2a ＝0的两个实数根， ∴k 1＋k 2＝－4(a －1)3代入k MN ＝k 1＋k 2－1＝－1可得a ＝1.11．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ·1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，② ∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)．∴y 1＋y 2＝－4. 由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．12．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线交于点M .(1)求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2)设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．解析：(1)证明：由已知，得F (0,1)，显然直线AB 的斜率存在且不为0，则可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，Δ＝16k 2＋16>0， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由x 2＝4y ，得y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，所以直线AM 的斜率为k AM ＝12x 1，所以直线AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，又x 21＝4y 1，所以直线AM 的方程为x 1x ＝2(y ＋y 1) ①. 同理，直线BM 的方程为x 2x ＝2(y ＋y 2) ②.因为x 1≠x 2，所以②－①得点M 的横坐标x ＝x 1＋x 22，即A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．(2)由①②易得y ＝－1，所以点M 的坐标为(2k ，－1)(k ≠0)． 所以k MF ＝2－2k＝－1k ，则直线MF 的方程为y ＝－1k x ＋1，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝－1k x ＋1，消去y ， 得x 2＋4k x －4＝0，显然Δ＝16k 2＋16>0，所以x 3＋x 4＝－4k，x 3x 4＝－4.又|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝4(k 2＋1)， |CD |＝(x 3－x 4)2＋(y 3－y 4)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(x 3－x 4)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(x 3＋x 4)2－4x 3x 4]＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1. 因为k MF ·k AB ＝－1，所以AB ⊥CD .所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝8⎝⎛⎭⎫1k 2＋1(k 2＋1)＝8⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋2≥32， 当且仅当k ＝±1时，四边形ACBD 面积取到最小值32.。
2018年高考新课标数学(理)一轮考点突破练习第九章平面解析几何Word版含答案
第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(4)了解曲线与方程的对应关系．(5)理解数形结合的思想．(6)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_____________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°(2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )A.π3 B.π6 C.2π3 D ．－π3解：由已知可得tan α＝－tanπ3＝－3，因为α∈；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－ 3.故填33；－ 3. 点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0.③由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k 且k>0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是． 点拨：直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．(2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4，0)， 则1PP k ＝－257，2PP k ＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.22C．1 D. 2解：已知圆的圆心是(1，－2)，则圆心到直线x－y＝1的距离是|1＋2－1|12＋（－1）2＝22＝ 2.故选D.2．(2016·山西模拟)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a，－32b，则a<0，b>0.直线y＝－1ax－ba，则k＝－1a>0，－ba>0，所以直线不经过第四象限．故选D.3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－3，3)C．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22解：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2 <m< 2.故选C.4．(2016·安徽模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y ＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a －b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.故选A.5．(2016·南阳模拟)已知圆C与直线y＝x 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解：由题意知直线x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以圆C的半径r＝2，又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，则圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选D.6．(2015·沈阳联考)已知点A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋ kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，若M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离为|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.故选C.7．(2016·柳州模拟)若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝ －m 2＋6m －8，则r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，所以2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1.故填(2，4)；(x －1)2＋ (y ＋3)2＝1.8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，－2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.9．已知圆经过A (2，－3)和B (－2，－5)两点，若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋ 4＝0，它与直线x －2y －3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝ －6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x＋7y －50＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即圆心为(3，5)，从而半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，y P )，则x ＝4＋x P 2且y ＝0＋y P2，即x P ＝2x －4，y P＝2y，又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2P＋y2P＝4，将x P＝2x－4，y P＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题知b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1.所以圆C的轨迹方程是x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1且b≠0的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋2x0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C上．因此，圆C过定点．9．4 直线、圆的位置关系1．0 d>r 1 两组相同实数解 d <r 两组不同实数解2．d>R ＋r d ＝R ＋r R －r <d <R ＋rd ＝R －r d <R －r(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17< 3＋2，所以两圆相交．故选B.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A ′(2，－3)，因此可设反射光线所在直线的方程为y ＋ 3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.故选D.(2016·郑州模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有____________个．解：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，可知圆心为(－2，3)，半径为4，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4，故直线与圆相离，又d <4＋2，则满足题意的点P 有2个．故填2.(2016·山东模拟)过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．解：点M 在圆C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心C (3，4)到直线l 的距离最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率k ＝4－23－1＝1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝ －(x －1)，即x ＋y －3＝0.故填x ＋y －3＝0.类型一 直线与圆的位置关系(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝ a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相离解：因为M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，所以x 20＋y 20<a 2.又圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝|a 2|x 20＋y 20＞|a 2||a |＝a ，所以直线与圆相离．故选C.(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得43x 2－233mx ＋m 2－1＝0，设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2－1）>0，x 1＋x 2＝－－233m 43>0，x 1x 2＝m 2－143>0，得1<m <233.故选D.点拨：在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by ＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(ab ≠0，r>0)的图象可能是( )解：直线方程可化为x b ＋ya＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a>0，b <0，满足圆心()a ，b (a>0，b <0)的只有选项D.故选D.(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，只需圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤ 3.所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D. 类型二 圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线PA 的长．解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2， 所以由点到直线的距离公式，得 2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10，所以||PA ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.点拨：求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．(2016·绥化模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2.圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2内切，所以（－2a －0）2＋（0－b ）2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a2＝4a2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.故选D.类型三 圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C .(2)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填2 2.点拨：(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k2·||x 1－x 2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为____________．解：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，所以直线被圆截得的弦长为l ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝2555.故填2555.(2)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．10 6 B．20 6C．30 6 D．40 6解：易知过点(3，5)的最长弦AC为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD为垂直于直径AC的弦，所以点(3，5)为AC与BD的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，得圆心(3，4)，半径r＝5，圆心到直线BD的距离d＝1，||BD＝2r2－d2＝252－12＝46，||AC＝2r＝10，所以四边形ABCD的面积S＝12|| AC·||BD＝20 6.故选B.类型四圆与圆的位置关系已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－ 5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C1和圆C2相外切？(2)圆C1和圆C2内含？解：易知圆C1，C2的标准方程分别为C1：(x －m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，(1)如果圆C1与圆C2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2，解得m＝－5或2.故当m＝－5或2时，圆C1和圆C2相外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则只可能是较大圆C1含较小圆C2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－2<m<－1.当－2<m<－1时，圆C1和圆C2内含．点拨：与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11解：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，因为圆C1与圆C2外切，所以32＋42＝r1＋r2＝1＋25－m，解得m＝9.故选C.类型五两圆的公共弦及圆系方程求以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：两个圆的方程相减，得2x－y＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋y＋1＋λ(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0(λ∈R，λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋2(2＋λ)x＋(1＋2λ)y＋(1＋λ)＝0，其圆心O的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋λ1＋λ，－1＋2λ2（1＋λ）.因为点O在直线2x－y＝0上，所以－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72.故所求方程为－52x2－52y2－3x－6y－52＝0，即5x2＋5y2＋6x＋12y＋5＝0.点拨：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中的a，b是定值，r是参数．②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中r是定值，a，b是参数．③过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．④过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此应用时注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.若两圆相交，则l为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l为公切线．在以k为参数的圆系：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．证明：将原方程转化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.设两个圆的圆心分别为O1(－k1，－2k1－5)，O2(－k2，－2k2－5)，半径分别为5|k1＋1|，5|k2＋1|，由于圆心距|O1O2|＝（k2－k1）2＋4（k2－k1）2＝5|k2－k1|.当k1＞－1且k2＞－1或k1＜－1且k2＜－1时，两圆半径之差的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相内切．当k1＞－1且k2＜－1或k1＜－1且k2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相外切．类型六圆的综合应用(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(O 为坐标原点)．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，R为半径，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a＋7|32＋42＝R，a2＋3＝R，解得a＝1或a ＝138，又S＝πR2<13，所以a＝1，R＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋3，（x－1）2＋y2＝4，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，解得k<1－263或k>1＋263，且x1＋x2＝－6k－21＋k2，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2k＋61＋k2.OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，即3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，故假设不成立，所以不存在这样的直线l .点拨：处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．(2016·河南六市一联)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋ 3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，即|7k ＋1|1＋k 2＝1，化简得k (24k ＋7)＝0，所以k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－b ＋k （3＋a ）|1＋k2＝|5－b ＋1k （4－a ）|1＋1k2， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋ 3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132，这样的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，上述坐标均满足题中条件．1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d>r ，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助． 7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2.故选D .2．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2，1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，可知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，即a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是 |AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.3．(2016·南昌模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解：因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2<1，即直线与圆相交．故选B.4．(2016·武汉模拟)过点P (3，1)作圆 (x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解：如图，令圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，则k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0.故选A.5．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x － 2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C (－1，1)向直线x －y －4＝0作垂线，垂足为H ，当所求圆的圆心位于CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH 的方程为 x ＋y ＝0，分别求出垂线x ＋y ＝0与直线x －y － 4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选C.6．(2016·浙江丽水模拟)若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)解：圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，则3－2a>0，①，因为过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即(a －a )2＋a 2>3－2a ，②，由①②解得a <－3或1<a <32，即a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故选C.7．(2016·浙江六校联考)已知点M (2，1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为____________；若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝__________．解：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋ 4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－（3）2得a ＝±15.故填x ＝2或3x ＋4y －10＝0；±15.8．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上有一动点P ，过点P作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为____________．解：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，再过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，又|OA |＝1，所以 |PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.故填2.9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4有公共点．解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －4＝0.要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 即(2)2＋d 2＝4，得d ＝ 2. 又d ＝|2a ＋4|a 2＋1，所以|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.所以直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，圆心C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝ (2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，有x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 变形得(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，所以ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3， 所以直线l 的斜率为－13.所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离d ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋12＝4105，|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105， 所以S △POM ＝12×|PM |×d ＝12×4105×4105＝165. 所以△POM 的面积为165.1．(2016·四川模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋ 1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是。
2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第八章平面解析几何8-4Word版含答案
课时规范训练[A 级 基础演练]1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：选C.x 2＋y 2＝2的圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k2≤1， 又∵r ＝2，∴0＜d ＜r .∴直线与圆相交但直线不过圆心．另法：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，在圆内．圆心为(0，0)不在直线上，故选C.2．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A.根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线且垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.3．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A.因为所求直线与直线y ＝x ＋1垂直，所以可设所求直线方程为y＝－x ＋m ，联立⎩⎨⎧y ＝－x ＋m ，x 2＋y 2＝1，化简得2x 2－2mx ＋m 2－1＝0.由于所求直线与圆相切，因此，Δ＝(－2m )2－4×2(m 2－1)＝8－4m 2＝0，解得m ＝±2.又因为所求直线与圆相切于第一象限，∴m >1，故m ＝2，于是所求直线方程为x ＋y －2＝0.4．过点(1，1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．5解析：选B.由圆的几何性质可知，当点(1，1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：选B.由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.6．已知点P (－2，－3)，圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P ，A ，C 三点的圆的方程为 ．解析：圆C 的圆心C (4，2)，∵P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，∴P ，A ，B ，C 四点共圆，所求圆的圆心O ′在PC 的中点，即O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，所求圆的半径r ′＝（1＋2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＝614，∴过P ，A ，B 三点的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝614. 答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝614 7．(2017·西安模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有 个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．答案：28．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 ．解析：圆C 1的圆心为(1，－5)，半径为50，圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径为10，则两圆心连线的直线方程为2x ＋y ＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x －2y ＋4＝0，两直线的交点(－2，1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为5，即所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x ＋2)2＋(y －1)2＝59．已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；(2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解：法一：(1)证明：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，（x －1）2＋（y ＋1）2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0，因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)＞0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则直线l 被圆C 截得的弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k 21＋k 2 ＝211－4k ＋31＋k 2， 令t ＝4k ＋31＋k2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0， 当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时弦长|AB |最小为27. 法二：(1)证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0，1)，而|PC |＝5＜23＝R ，所以点P (0，1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P .所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)由平面几何知识知过圆内定点P (0，1)的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0，1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切． 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.[B 级 能力突破]1．已知直线y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当b ＝1＋k 2时，OA →·OB→等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选A.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入x 2＋y 2＝1得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，故x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－11＋k 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－1－2k 2b 21＋k 2＋b 2＝2b 21＋k 2－1＝1. 2．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－1，1＋2 2 ]B ．[1－22，1＋2 2 ]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]解析：选C.曲线方程y ＝3－4x －x 2可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2，3)半径为2的半圆(如图所示)，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2，3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为圆是下半圆故可得b ＝1＋22(舍)，当直线过(0，3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，所以C 正确．3．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝ ．解析：由题意知，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1，因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.答案：4±154．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB→＝ ．解析：如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2，又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°，故P A →·PB →＝3×3×cos 60°＝32. 答案：325．(2017·安徽五校联盟联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆C相切，求l1的方程；(2)若l1与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．解：(1)①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意．②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到直线l1的距离等于半径2，即|3k－4－k|k2＋1＝2.解得k＝34，所以所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.(2)因为直线l1与圆相交，所以斜率一定存在且不为0.设直线l1方程为kx－y－k＝0，则圆心到直线l1的距离d＝|2k－4|1＋k2.又因为△CPQ的面积S＝12d×24－d2＝d4－d2＝4d2－d4＝－（d2－2）＋4，所以当d＝2时，S取最大值2.d＝|2k－4|1＋k2＝2，解得k＝1或k＝7，所以所求直线l1的方程x－y－1＝0或7x－y－7＝0.。
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课时作业 A 组 基础对点练
1．(2017·唐山统考)已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，其中O 为原点． (1)求抛物线E 的方程；
(2)若点C 的坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－
2k 2为定值．
解析：(1)将y ＝kx ＋2代入x 2＝2py ，得x 2－2pkx －4p ＝0，其中Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－4p .
而OA →·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 212p ·
x 2
22p ＝－4p ＋4，
由已知，－4p ＋4＝2，即p ＝1
2， 所以抛物线E 的方程为x 2＝y .
(2)证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2.
k 1＝y 1＋2x 1
＝x 21＋2x 1
＝x 2
1－x 1x 2x 1
＝x 1－x 2，同理k 2＝x 2－x 1，
所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2＝－8x 1x 2＝16. 即k 21＋k 22－2k 2为定值．
2．(2017·德州模拟)已知A ，F 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和右焦点(O 为坐标原点)，P 为椭圆上异于点A 的点，且P A →·PF →＝0.设椭圆的离心率为e ，直线P A 的斜率k ＞0. (1)求证：1
2＜e ＜1；
(2)若e ＝2k 2，求直线OP 的方程．
解析：(1)证明：设点P (x ，y )，则P A →·PF →＝(－a －x ，－y )·
(c －x ，－y )＝0，即(x ＋a )(x －c )＋y 2＝0. 又x 2a 2＋y 2
b 2＝1，
所以(x ＋a )(x －c )＋a 2－x 2a 2b 2＝x ＋a a 2(a 2
－b 2)x －a (ac －b 2)]＝0. 又x ＋a ≠0，所以x ＝a (ac －b 2)
a 2－
b 2
.
又x ＞－a ，所以2c 2＋ac －a 2＞0， 即2e 2＋e －1＞0， 又0＜e ＜1，故1
2＜e ＜1.
(2)将直线P A ：x ＝1k y －a 代入椭圆的方程得，b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1k y －a 2＋a 2y 2＝a 2b 2，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫
b 2
k 2＋a 2y 2－2ab 2
k y ＝0， 因为y ≠0，所以y ＝2kab 2
a 2k 2＋
b 2，
从而x ＝1
k y －a ＝a (b 2－a 2k 2)a 2k 2＋b 2，
又e ＝2k 2
，即k 2
＝c
2a ，
故x ＝a (2b 2－ac )2b 2＋ac
.
由(1)知x ＝a (ac －b 2)a 2－b 2，所以a (ac －b 2)a 2－b 2＝a (2b 2－ac )
2b 2
＋ac ，整理得，ac ＋c 2＝2b 2＝2(a 2－c 2)＝2(a ＋c )(a －c )．
所以c ＝2a －2c ，故3c ＝2a ，即e ＝2
3. 而k OP ＝y x ＝2kab 2a 2k 2＋b 2·a 2k 2＋b 2a (b 2－a 2k 2)＝2kb 2
b 2－a 2k 2＝
2k 1－a 2
a 2－c 2k 2
＝2k
1－
k 21－e 2
， 将e ＝2
3，k ＝
e 2＝33代入得，k OP ＝53
3，
故直线OP 的方程为y ＝53
3x .
B 组 能力提速练
1．(2017·石家庄模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1
2，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝ 3. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解析：(1)由e ＝1
2可得a 2＝4c 2，①
S △F 1AF 2＝1
2|AF 1||AF 2|sin 60°＝3， 可得|AF 1||AF 2|＝4，
在△F 1AF 2中，由余弦定理可得 |F 1A |2＋|F 2A |2－2|F 1A |·|F 2A |cos 60°＝4c 2， 又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，可得a 2－c 2＝3，② 联立①②得a 2＝4，c 2＝1，∴b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)设点P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
3
＝1
得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
由题意知Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0， ∴x 0＝－
4km 4k 2
＋3
＝－4k m ，y 0＝3m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－4k m ，3m . 由⎩⎨⎧
y ＝kx ＋m ，
x ＝4得Q (4,4k ＋m )， 假设存在点M ，坐标为(x 1,0)，
则MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －x 1
，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )． ∵以PQ 为直径的圆恒过M 点，∴MP →·MQ →＝0，
即－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21
＋12k m ＋3＝0，
∴(4x 1－4)k
m ＋x 21－4x 1＋3＝0对任意k ，m 都成立． 则⎩⎨⎧
4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1， 故存在定点M (1,0)符合题意．
2．(2017·烟台模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1，点M (x 0，y 0)是椭圆C 上一点，圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2.
(1)若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；
(2)从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4
5作两条切线分别与椭圆C 交于P ，Q 两点(P ，Q 不在坐标轴上)，设OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.
①试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由； ②求|OP |·|OQ |的最大值．
解析：(1)椭圆C 的右焦点坐标为(3，0)， 所以圆心M 的坐标为(3，±
12)， 从而圆M 的方程为(x －3)2
＋(y ±
12)2＝1
4.
(2)①因为圆M 与直线OP ：y ＝k 1x 相切，所以
|k 1x 0－y 0|k 21
＋1＝25
5， 即(4－5x 20)k 21＋10x 0y 0k 1＋4－5y 2
0＝0. 同理，(4－5x 20)k 22＋10x 0y 0k 2＋4－5y 20＝0.
所以k 1，k 2是方程(4－5x 20)k 2＋10x 0y 0k ＋4－5y 2
0＝0的两个根，
从而k 1k 2＝4－5y 20
4－5x 20＝4－5⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14x 204－5x 20＝－1＋54x 204－5x 20＝－14，是定值． ②设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＝k 1x 1
x 2
14
＋y 2
1＝1，解得
x 2
1＝
41＋4k 21，y 2
1＝4k 211＋4k 21
. 同理，x 2
2＝
41＋4k 22，y 2
2＝4k 221＋4k 22
. 所以(|OP |·|OQ |)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋4k 21＋4k 211＋4k 21·⎝ ⎛⎭
⎪⎫41＋4k 22＋4k 221＋4k 22＝4(1＋k 21)1＋4k 21·4(1＋k 2
2)
1＋4k 22＝4＋4k 211＋4k 21·1＋16k 2
1
1＋4k 21≤⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋20k 2
122
(1＋4k 21)2＝254，当且仅当k 1
＝±12时取等号． 所以|OP |·|OQ |的最大值为5
2.。