2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2016-2017学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学（文）试题一、选择题1．复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D【解析】()i 1i 1i -=+，其共轭复数为1i -，在第四象限.点睛：本题主要考查复数的概念及运算，考查复数与复平面点一一对应关系. 在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2．宋代理学家程颐认为：“格犹穷也，物犹理也，犹曰穷其理而已也。

”就是说，格就是深刻探究，穷尽，物就是万物的本原，关于“格物致知”的做法，就是“今日格一件，明日又格一件，积习既多，然后脱然自有贯通处。

”上述推理用的是（ ） A. 类比推理 B. 演绎推理 C. 归纳推理 D. 以上都不对 【答案】C【解析】今天研究一件，明天又研究一件，将事物的规律一个一个找出来，归纳推理出“贯通处”.故为归纳推理.3．若复数z 满足方程132z i +-=，则z 在复平面上表示的图形是（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】B【解析】原方程可化为()132z i --+=，其几何意义表示z 的坐标和()1,3-之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆. 4．下列关于结构图的说法不正确的是（ ）A. 结构图中各要素之间通常表示概念上的从属关系和逻辑上的先后关系B. 结构图都是“树”形结构C. 简洁的结构图能更好的反映主体要素之间的关系和系统的整体特点D. 复杂的结构图能更详细的反映系统中各细节要素及其关系 【答案】B【解析】流程图不是树形结构，故B 选项错误.5．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程()200ax bx x a ++=≠有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A. 假设a ， b ， c 都是偶数 B. 假设a ， b ， c 都不是偶数C. 假设a ， b ， c 至少有一个是偶数D. 假设a ， b ， c 至多有两个是偶数【答案】B【解析】“至少有一个”的否定是“都不是”，故选B .6．为了判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用2K 独立性检验法算得2K 的观测值为6（所用数据可参考卷首公式列表），则下列说法正确的是（ ）A. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”B. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 没有关系”C. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 和Y 有关系”D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“X 和Y 没有关系” 【答案】A【解析】由于6 5.024>，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“X 和Y 有关系”.7．有一段“三段论”，推理是这样的：函数()f x 在定义域内可以求导函数，如果()0'0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为()3f x x =在0x =处满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点，以上推理中（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确 【答案】A【解析】大前提错误，因为导数等于零的点不一定是极值点，还需要左右两边单调性相反.由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归方程为8.8ˆˆyx a =+，预测该孩子10岁时的身高为（ ）A. 154B. 153C. 152D. 151 【答案】B【解析】回归直线方程过样本中心点，样本中心点为()(),7.5,131x y =，代入回归直线方程得1318.87.5a =⨯+，解得65a =，令10x =，有8.81065153⨯+=，故预测值为153cm .9．实数a = b = 2c =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c b a >> D. c a b >> 【答案】D【解析】由于2>，所以72-，即b c <.由于221111a c =-=-，所以a c <. a b -=，(22241212==+=+所以0,a b a b ->>，综上所述有c a b >>.点睛：本题主要考查利用综合法、差比较法比较两个实数的大小.首先注意到,b c 两个实数都含有2>，即可得到,b c 两数的大小关系.对于,a c 两个实数，平方后发现这两个数都有相同的部分11，由此即可比较,a c 两个数的大小.对于,a b ，利用差比较法可比较两数的大小.10．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】开始，输入1,1,0,1a A S n ====，则2S =，判断210≥，否，循环， 12,,22n a A ===， 则92S =，判断9102≥，否，循环， 13,,4,4n a A ===则354S =，判断35104≥，否，循环， 14,,8,8n a A === 则1358S =，判断135108≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 11．研究变量x ， y 得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数2R 来刻画回归效果， 2R 越小说明拟合效果越好；③由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+一定过样本点的中心(),x y ； ④若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间的负相关很强，以上正确说法的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；②错误，越接近1越好. ③由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+一定过样本点的中心(),x y 正确；④若变量y 和x 之间的相关系数0.9462r =非常接近1，说明负相关性很强，正确.综上所述有3个说法正确.12．对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有()12kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道，给出下列函数：①()1f x x =；②()ln x f x x=；③()sin f x x =；④()f x =其中在区间[)1,+∞上通道宽度可以为1的函数的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】依题意可知符合题意的函数图像，在区间D 上被两条距离为1的平行线“包夹”.对于①，由于函数在区间[)1,+∞上为减函数， ()11f =，且()0f x >，故函数图像被“包夹”在直线0,1y y ==之间，符合题意.对于②()21ln xf x x -'=，故函数在()1,e 为增函数，在(),e +∞上为减函数，故在[)1,+∞上取得最大值为()1f e e =，且在区间[)1,+∞上函数值()0f x ≥，故函数图像被“包夹”在直线0,1y y ==之间，符合题意.对于③，根据正弦函数的图像、周期性和值域为[]1,1-跨度为2，可知，在区间()1,+∞上，不存在符合题意的通道.对于④，两边平方并化简得()2211x y x -=≥，函数图像是是双曲线一支，双曲线的渐近线为y x =，故图像被“包夹”在两平行直线,y x y x ==1，故符合题意，综上所述，有3个函数符合.点睛：本题主要考查函数图像相遇性质，考查数形结合的数学思想方法，考查对新定义情景的理解.通过阅读理解题目所给定的新定义，将通道问题转化为图像被两平行线“包夹”来解决.接下来通过画出四个函数的图像，其中第一个和第三个是基本初等函数，可直接画出图像，第二个利用导数画出图像，第四个是平方后化为双曲线方程来画图象.二、填空题13．复数z 满足()21i z i -=-，那么z =__________． 【答案】3122i - 【解析】()()()()2i 1i 2i 3i1i 1i 1i 2z -+-+===--+，故3i 22z =-. 14．甲、乙、丙三人参加驾照科目二的考试，只有一人通过，当他们被问到谁通过考试时，回答如下：甲说：丙没有通过；乙说：我通过了；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么通过考试的是__________． 【答案】甲【解析】假设甲说假话，则丙通过了，不符合乙说的，故假设不成立.假设乙说假话，则乙没通过，丙没通过，甲通过了，成立.假设丙说的是假话，则甲说的是假话，假设不成立。

综上所述，考试甲通过了.15．将全体正偶数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第()3n n ≥行的从左至右的第3个数是__________． 【答案】26n n -+【解析】每行有n 个数，故前1n -行有()211122n n nn +--⋅-=个数，再加三个，即232n n-+个数，乘以2得到26n n -+. 16．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =；②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________． 【答案】③【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.三、解答题17．已知i 为虚数单位， z 是复数，若4z -为纯虚数，且z =（1）求复数z ；（2）若复数z 和复数()2z mi +在复平面上对应的点均在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）42z i =-或42z i =+；（2）()2,2-.【解析】试题分析：（1）设i z x y =+，根据4z -是纯虚数和复数的模列方程组，求解出,x y 即可.（2）由于z 对应点在第四象限，故42i z =-，代入()2i z m +化简后根据实部大于零，虚部小于零列不等式组，即可求得z 的取值范围. 试题解析：（1）设z x yi =+（x ， y R ∈），由()44z x yi -=-+为纯虚数，得4x =且0y ≠……①由z =(222x y +=……②由①②可得， 4x =， 2y =-或2. ∴42z i =-或42z i =+.（2）∵z 在第四象限，∴42z i =-， ∴()()()2241282z mi m m m i +=-+++-，根据条件，可知()21240{820m m m +->-<，解得22m -<<，∴实数m 的取值范围是()2,2-.18．在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时， 1122n n n a a a --=+.（1）求2a ， 3a ， 4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明你的结论. 【答案】（1）223a =， 312a =， 425a =；（2）21n a n =+. 【解析】试题分析：（1）分别令2,3,4n =代入n a 的递推关系，可求得234,,a a a 的值.（2）由（1）猜想21n a n =+，对n a 的递推关系两边去倒数，化简后可得1na 是以1为首项12为公差的等差数列，由此求得1na 的通项公式，进而得到n a 的通项公式. 试题解析：（1）当2n ≥时， 11a =，由1122n n n a a a --=+得，223a =， 312a =， 425a =. （2）猜想： 21n a n =+.证明：当2n ≥时，由1122n n n a a a --=+得， 111211122n n n n a a a a ---+==+，∴11112n n a a --=，又因为11a =， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项， 12为公差的等差数列，∴21n a n =+. 19．证明：若a ， b ， c R +∈，则1a b +， 1b c +， 1c a+至少有一个不小于2. 【答案】见解析.【解析】试题分析：假设三个数都小于2，将三个数相加后小于6，合并同类型，利用基本不等式可求得最小值为6，与假设矛盾，故原命题是真命题. 试题解析： 证明：假设1a b +， 1b c +， 1c a+都小于2，即 12a b +<， 12b c +<， 12c a+<，所以1116a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即1116a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为a ， b ， c R +∈，12a a +≥=， 同理12b b +≥， 12c c+≥， 三式相加， 1116a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这与1116a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭相矛盾， 所以假设不成立，即1a b +， 1b c +， 1c a+至少有一个不小于2. 20．某高中文学社从高二文科学生中抽取男生60名，女生40名调查对100篇文学名篇（1）试估计该校学生阅读文学名篇的平均数（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，阅读量与性别是否有关；（2）阅读量不低于80篇的称为“非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为对文学名篇“非常了解”与性别有关？（公式数据参考卷首）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算出每组数据的频率，用频率乘以中点值，然后相加，即可得到平均数的估计值. 从男、女生各自的平均阅读量来看，并不能判断阅读量与性别有关.（2）填写好表格后，计算2K 的值约为1.79 2.076<，所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“对文学名篇‘非常了解’与性别有关” 试题解析：（1）男生的平均阅读量为：1450.05550.15650.3750.25850.1950.1571.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.女生的平均阅读量为：2450.15550.1650.125750.25850.325950.0571.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.从男、女生各自的平均阅读量来看，并不能判断阅读量与性别有关. （2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中“非常了解”有15人，“女生组”中“非常了解”有15人，据此可得22⨯列联表如下：计算()2210015251545 1.7960403070K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为1.79 2.706<，所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“对文学名篇‘非常了解’与性别有关”.21．某饮料店为了解一天的平均气温与奶茶销量之间的关系，记录了周一至周五的平均气温x （℃）与奶茶销量y （杯），得到如下数据：（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（3）试根据（1）求出的线性回归方程，预测平均气温均为20℃时该奶茶店的这种饮料销量.（9231126123010258211271⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222291112108510++++=）【答案】（1）见解析；（2） 2.14ˆy x =+；（3）预测平均气温约为20℃时该奶茶店的这种饮料销量为46杯.【解析】试题分析：（1）根据数据描点，得到散点图.（2）将数据代入回归直线方程计算公式，由此求得回归直线方程.（3）将20代入回归直线方程，可求得预测值. 试题解析： （1）（2）()191112108105x =++++⨯=， ()12326302521255y =++++⨯=，∴51522215127151025 2.15105105ˆi i i i i x y x y b x x==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， 25 2.104ˆ1a=-⨯=，∴ 2.14ˆyx =+. （3）当20x =时， ˆ46y=. 故预测平均气温约为20℃时该奶茶店的这种饮料销量为46杯.点睛：本题主要考查散点图的画法，考查回归直线方程计算方法，考查利用回归直线方程进行预测的方法.散点图的画法主要是描点法，注意散点图是不用画出回归直线方程的图像的.第二问求解回归直线方程，计算有时候运算量较大，要注意运算正确.用回归直线方程进行预报得到的预报值与实际值是不一样的. 22．已知函数()1ln f x x x=+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试证明： 111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭（ 2.718e =…，*n N ∈）.【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）见解性.【解析】试题分析：（1）函数定义域为()0,+∞，利用导数求出函数的单调区间.（2）对原不等式两边去以e 为底的对数，化为()1111ln 11,ln 11n n n n ⎛⎫⎛⎫++>+> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，令1111,11x n n x +==-+，故只需证1ln 1(12)x x x>-<≤，由（1）的单调区间可知函数最小值为()()1f x f ≥，即1ln 1(12)x x x >-<≤，由此得证.试题解析：（1）()1ln f x x x=+， ()0,x ∈+∞， 则()22111'x f x x x x-=-+=，解()'0f x <，得01x <<， 解()'0f x >，得1x >.∴函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.（2）()1111111ln 11ln 11n e n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>⇔++>⇔+>⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令11(12)x x n +=<≤，则1111n x=-+， ∴要证11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭只需证1ln 1(12)x x x >-<≤，第 11 页 共 11 页 由（1）知()()min 1f x f =，∴()()1ln 11f x x f x =+≥=，即1ln 1x x≥-， ∵12x <≤， ∴1ln 1x x >-，从而1112n n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用单调区间和最值证明不等式，考查了分析法证明不等式和划归与转化的思想方法.第一问求函数的单调区间，它的基本步骤是先求函数的定义域，然后对函数求导、通分、令导数为零求出导函数的零点，由此可写出函数的单调区间.第二问将原不等式转化为第一问的结论来证明.。