利用二次根式的性质化简
人教版八年级下册数学 第16章 二次根式化简的方法和技巧
人教版八年级下册数学 第16章 二次根式化简的方法和技巧1、被开放数是小数的二次根式化简例1、化简5.1分析：被开放数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。
解：5.1=26262223232==⨯⨯=。
评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
2、被开放数是分数的二次根式化简例2、化简1251 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。
解：1251=255555551=⨯⨯⨯⨯。
评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
3、被开放数是非完全平方数的二次根式化简例3、化简48分析：因为，48=16×3=42×3， 所以，根据公式b a ab ⨯=（a≥0，b≥0），就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。
解：48=34343163162=⨯=⨯=⨯。
评注：将被开放数进行因数分解，是化简的基础。
4、被开放数是多项式的二次根式化简例4、化简3)(y x +分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。
解：3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+⨯+=++)()()()(22。
评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。
否则，就失去意义。
5、被开放数是隐含条件的二次根式化简例5、化简a a1-的结果是： A ）a B ）a - C ）a - D ）a --分析：含字母的化简，通常要知道字母的符号。
而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏。
因此，化简时要从被开方数入手。
解：∵a a 1-有意义∴a1-≥0，∴-a ＞0 ∴原式=a a a a a a a a a a a a a a a a--=--=--=--=---=-||)())(()()(12故选（C ）。
二次根式的化简
二次根式的化简二次根式是指含有平方根的代数表达式。
在数学中，化简二次根式是将其转化为简化形式，以便更好地理解和计算。
本文将详细介绍二次根式的化简方法。
一、二次根式的定义二次根式可以写作√a，其中a是一个非负实数。
二次根式可以用分数的形式来表示，例如√4可以化简为2/√2。
在化简二次根式时，我们可以利用以下规则：1.将二次根式分解为两个平方根的乘积。
例如，√12 = √(4 × 3)，然后继续化简为2√3。
2.利用相同数的平方根进行化简。
例如，√(3 × 3) = 3。
3.分子、分母同时乘以相同的二次根式，以消去分母中的二次根式。
例如，(4/√5) × (√5/√5) = 4√5/√(5 × 5)，化简为4√5/5。
二、示例化简下面通过几个示例来展示二次根式的化简过程。
示例1：化简√12 + √27。
首先，将12和27分解为其因数的乘积：√12 = √(4 × 3) = 2√3√27 = √(9 × 3) = 3√3然后将它们相加：2√3 + 3√3 = 5√3因此，化简后的结果为5√3。
示例2：化简√8/√2。
利用分子、分母同时乘以相同的二次根式来消去分母中的二次根式：(√8/√2) × (√2/√2) = √16/√(2 × 2) = √16/2然后化简结果：√16/2 = 4/2 = 2因此，化简后的结果为2。
示例3：化简√(5x^2)。
根据定义，平方根的平方等于根号中的数，我们可以利用这个性质来化简：√(5x^2) = x√5因此，化简后的结果为x√5。
三、注意事项在化简二次根式时，需要注意以下几个事项：1.提取平方根的最大因子。
当给定的数可分解为多个因子时，最好先提取其中的最大平方根因子，以便更好地化简。
2.合并同类项。
在进行加减运算时，需要合并具有相同根号的项，以简化表达式。
3.标准格式表示。
在化简好的结果中，应该使用标准格式表示，即将所有有理数与无理数分开写。
二次根式的化简技巧
二次根式的化简技巧二次根式是代数中的一种重要形式，它以根号和一个含有变量的表达式组成。
对于二次根式的化简，我们可以采用以下几种技巧进行简化，从而使表达式更加清晰和易于计算。
技巧一：提取公因式当二次根式的根号下含有可以被分解为两个数的乘积时，我们可以通过提取公因式的方法进行化简。
具体操作如下：例子：化简√(9x^2y^2)步骤：1. 提取公因式，即将根号内的表达式拆分成两个平方数的乘积。
√(9x^2y^2) = √(9) * √(x^2y^2)2. 计算每个平方数的平方根。
√(9) * √(x^2y^2) = 3xy技巧二：平方差公式当二次根式的根号下含有和或差的形式时，我们可以利用平方差公式进行化简。
平方差公式表达式如下：(a - b)(a + b) = a^2 - b^2例子：化简√(x^2 - 4)步骤：1. 将二次根式转化为平方差的形式。
√(x^2 - 4) = √[(x - 2)(x + 2)]2. 利用平方差公式进行展开。
√[(x - 2)(x + 2)] = √(x - 2) * √(x + 2)技巧三：有理化分母当二次根式出现在分母中时，为了方便计算，我们可以采用有理化分母的方法将其转化为分子含有整数的形式。
例子：化简1/√3步骤：1. 利用乘法的交换律，将分母中的二次根式移至分子。
1/√3 = √3/32. 分母有理化，即将分母中的二次根式消除。
√3/3 = (√3 * √3)/(3 * √3) = √3/3√3 = 1/(3√3)通过以上三个化简技巧，我们可以简化二次根式的表达式，使其更易于计算和理解。
在实际应用中，这些技巧可以帮助我们高效地进行代数运算，解决问题。
掌握和熟练运用这些技巧，能提高我们的数学能力和解题能力。
总结：化简二次根式的技巧包括提取公因式、利用平方差公式和有理化分母。
通过灵活运用这些技巧，我们能够简化复杂的二次根式表达式，使其更具可读性和计算性。
掌握这些技巧有助于提高数学运算能力和问题解决能力。
专题课堂(一) 二次根式的化简求值技巧
技巧四 巧用乘法公式化简 9．计算： (1)(－4－ 15 )(4－ 15 )；
解：－1
(2)(2 6 ＋3 2 )(3 2 －2 6 )； 解：－6
(3)(2 3 ＋ 6 )(2－ 2 )；
解：2 3
(4)( 15 ＋4)2022( 15 －4)2023.
解： 15 －4
10．(2022·襄阳)先化简，再求值：(a＋2b)2＋(a＋2b)(a－2b)＋2a(b－a)，其中 a＝ 3 － 2 ，b＝ 3 ＋ 2 .
＝m－3－(2－n) ＝m＋n－5
技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简 4．当 ab＜0 时，化简 a2b 的结果是( A ) A．－a b B．a －b C．－a －b D．a b 5．若 3 ＝a， 5 ＝b，则 45 可以表示为( C ) A． a2b B．a b C．a2b D．ab
6．化简： (1) （－5）2×（－3）2 ；
C．0
D．10 6
12．已知 a＝ 2 ＋1，b＝ 2 －1，求下列代数式的值：
(1)ab； 解：1
(2)a2＋ab＋b2； 解：7
(3)b ＋a . ab
解：6
13．已知 a＝ 5 － 3 ，b＝ 5 ＋ 3 ，求下列各式的值： (1)1 ＋1 ； (2)a2b＋ab2. abLeabharlann 解： 5解：4 5
解：15
(2) （－16）×（－49） ； 解：28
(3) 2.25a2b (a＞0);
解：3a 2
b
(4)
－25 ； －9
解：5 3
(5) 9a3 . 4
解：3a 2
a
技巧三 利用隐含条件化简 7．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，化简 （a＋b＋c）2 － （b＋c－a）2 ＋ （c－b－a）2 .
二次根式及其化简
二次根式及其化简二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学等领域都有广泛应用。
本文将探讨二次根式的定义及其化简方法。
1. 二次根式的定义二次根式是指被开方数中含有一个或多个平方数的根式，一般形式为√(a∙b)。
其中，a和b是非负实数。
2. 二次根式的性质2.1. 二次根式的化简法则- 如果a和b都是平方数，那么√(a∙b)可以化简为√a∙√b。
- 如果a是平方数，且b是一个正实数，那么√(a∙b)可以化简为√a∙√b。
- 如果a是一个非负实数，b是一个正实数，那么√(a/b)可以化简为(√a)/√b。
- 如果a是一个正实数，且b是一个非负实数，那么√(a/b)无法化简。
2.2. 二次根式的合并法则- 如果两个二次根式具有相同的根指数和被开方数，那么它们可以合并为一个二次根式。
- 例如，√(2∙3)和√(2∙5)可以合并为√(2∙3∙5)。
3. 二次根式的化简示例3.1. 化简√(4∙9)由于4和9都是平方数，我们可以根据二次根式的化简法则得出：√(4∙9) = √4∙√9 = 2∙3 = 63.2. 化简√(16∙25)同样地，16和25都是平方数，我们可以根据二次根式的化简法则得出：√(16∙25) = √16∙√25 = 4∙5 = 203.3. 化简√(2∙7)由于2是平方数，但7不是，所以√(2∙7)无法再进行进一步化简。
4. 二次根式的应用示例4.1. 二次根式在代数学中的应用二次根式常常出现在代数学中的方程求解过程中。
例如，在解一元二次方程时，我们常常会遇到含有二次根式形式的解。
4.2. 二次根式在几何学中的应用在几何学中，二次根式常常用于计算几何图形的面积和周长。
例如，计算一个正方形的对角线长度时，我们可以用二次根式来表示。
总结：二次根式是数学中常见的一种根式形式，它的化简可以根据根式的性质和化简法则进行。
在代数学和几何学中，二次根式有广泛的应用，可以用于解方程、计算几何图形的面积和周长等。
八年级数学下册第16章 微专题1 二次根式化简的六种常用方法
＝
x＋y y＝
y(x＋y) x＋y .
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法4 根据隐含条件化简含有字母的二次根式 4．已知 x＋y＝－10，xy＝8，求 xy＋ xy的值． 解：∵x＋y＝－10，xy＝8，∴x＜0，y＜0.
∴
xy＋
xy＝
xyy2 ＋
xxy2＝－
yxy－
xy x
＝－1y－1x xy＝－x＋ xyy xy＝180× 8＝522.
第十六章 二次根式 微专题1 二次根式化简的六种常用方法
微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法1 直接应用二次根式性质法则化简 1．【教材改编】把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3×9；
解： 3×9＝ 3× 9＝3 3；
(2) 1.5； 解： 1.5＝
32＝
3＝ 2
3× 2×
2＝ 2
26；
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
(2)化简： (x－2)2－ x2－2x＋1. 解：原式＝ (x－2)2－ (x－1)2＝|x－2|－|x－1|， 当 x＜1 时，原式＝2－x－(1－x)＝2－x－1＋x＝1； 当 1≤x≤2 时，原式＝2－x－(x－1)＝2－x－x＋1＝3－2x； 当 x＞2 时，原式＝x－2－(x－1)＝x－2－x＋1＝－1.
∴
xy＋
xy的值为5
2
2 .
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法 5 巧用整体思想进行计算与求值
5．(2021·包头)若 x＝ 2＋1，则代数式 x2－2x＋2 的值为( C )
A．7
B．4
C．3
D．3－2 2
专题训练。二次根式化简求值有技巧(含答案)
专题训练。
二次根式化简求值有技巧(含答案)专题训练(一)：二次根式化简求值有技巧（含答案）类型之一：利用二次根式的性质a^2=|a|化简对于a^2的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a^2的符号进行化简。
即a=|a|=(a>0)时，a；(a<0)时，-a。
1.已知a=2-3，则a^2-2a+1=()A。
1-3 B。
3-1 C。
3-3 D。
3+3解析：a^2-2a+1=(2-3)^2-2(2-3)+1=3-4+1=0，故选D。
2.当a<0且a≠0时，化简：(22a^2-a)÷(a^2-4a+3)=________。
解析：22a^2-a=a(22a-1)，a^2-4a+3=(a-1)(a-3)，所以原式=-(22a-1)÷(a-1)=-2a+3，答案为3-2a。
3.当a<-8时，化简：|(a+4)^2-4|。
解析：(a+4)^2-4=(a+2)(a+6)，所以原式=|a+6|-2，当a<-8时，a+6<0，所以原式=-a-4.4.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：c^2-4c+4.解析：根据勾股定理，c^2=3^2+5^2=34，所以c^2-4c+4=(c-2)^2=32.类型之二：逆用二次根式乘除法法则化简5.当ab<0时，化简a^2b的结果是()A。
-ab B。
a-b C。
-a-b D。
ab解析：当ab<0时，a和b的符号不同，所以a^2b的符号为负数，即-a^2b。
6.化简：(1) (-5)^2×(-3)^2；(2) (-16)×(-49)；(3) (-25)÷9a^3.解析：(1) (-5)^2×(-3)^2=225；(2) (-16)×(-49)=784；(3) (-25)÷9a^3=-25÷(3a)^3=-25/27a^3.类型之三：利用隐含条件求值7.已知实数a满足(2016-a)^2+a-2017=a，求a的值。
二次根式的性质与化简
二次根式的性质与化简二次根式是指含有平方根的表达式，它在数学中有着重要的应用。
本文将探讨二次根式的性质以及化简方法。
一、二次根式的性质1. 二次根式的定义与表示：二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
二次根式可以用分数指数表示，即a的1/2次方。
2. 二次根式的运算性质：（1）加法与减法：当二次根式的根数相同时，可以进行加法或减法运算。
例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。
（2）乘法与除法：当二次根式的根数相同时，可以进行乘法或除法运算。
例如√a × √b = √(a × b)，√a / √b = √(a / b)。
3. 二次根式的化简与分解：对于二次根式而言，有时可以进行化简与分解。
例如√(a^2) = a，√(a/b) = √a / √b。
二、二次根式的化简方法1. 化简含有相同根数的二次根式：当两个二次根式具有相同根数时，可以根据运算规律进行化简。
例如√(a) × √(b) = √(a × b)，√(a) / √(b) = √(a / b)。
2. 化简含有不同根数的二次根式：当两个二次根式具有不同根数时，可以通过有理化的方法进行化简。
有理化的目的是将二次根式的分母消去。
具体操作步骤如下：（1）将含有二次根式的分母有理化，即将分母中的二次根式去除。
（2）将有理化后的分母进行分配。
（3）将相同根数的二次根式合并，并进行运算。
3. 示例：化简二次根式√(15) / √(3)：（1）将含有二次根式的分母进行有理化，即√(3) × √(3) = 3。
（2）有理化后的分母为3。
（3）利用有理化后的分母，进行分配运算，即（√(15) × √(3)) / 3。
（4）合并二次根式，即√(45) / 3。
（5）化简二次根式，即3√(5) / 3。
（6）最终得到化简后的结果：√(5)。
4. 注意事项：化简二次根式时，需要注意分母不能为零，同时要注意因式分解的方法，以便于简化运算步骤。
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利用2a 的化简解决双重根式 在初中阶段的二次根式的化简中，对形如2a 根式的化简是中考的难点和热点，运用2a 根式的化简性质能把双重根式的化简问题化难为易，能较其它方法更快速、更准确的化简出来，二次根式 2a 的化简性质是：2a ①当a ≥0时，2a =a ；②当a ≤0时，2a =-a 。
例1：①4=22=2；
②2)2(-=4=22=2；
通过这两道例题我们可以得出：对于二次根式的化简，我们往往把被开方数转化成一
个非负数的完全平方式，（题目中的4=22；（-2）2=22），我们就利用这一特征来把双重二次
根式进行化简，举例如下：
例2：化简式子1528-
解析：要把被开方数8-215转化成一个非负数的完全平方式，我们可以把15看成3×5，8可以看成（3）2+（5）2，所以8-215=（3）2+（5）2-2×3×5=（3-5）2=（5-3）2，所以1528-=2)35(-=5-3。
例3：化简式子347+
解析：要把被开方数7+43转化成一个非负数的完全平方式，我们可以把43看成2×2×3，7可以看成22×（3）2，所以7+43=22×（3）2+2×2×3=（2+3）2
，所以347+=2)32(+=2+3。
例4：化简式子10413-
解析：要把被开方数13-410转化成一个非负数的完全平方式，我们可以把410看
成2×2×10，而22+（10）2=14≠13，所以我们应把410看成2×2×10=2×40=2×5×8，从而使得：13=（5）2+（8）2，所以13-410=（5）2+（8）2-2×5×8=（5-8）2=（8-5）2，所以10413-=2)58(-=8-5=22-5。
由以上几例可知，在二次根式的化简中，我们应把二次根式的被开方数转化成一个非
负数的完全平方式，在双重二次根式的化简中，把常数化成两个数的平方（形如a 2+b 2），另
外一个根式转化成常数所拆成的那两个数的积的二倍（形如2ab ），所以就把被开方数转化
成（a ±b ）2，其中a ±b 是非负数（如例2中把（3-5）2转换成（5-3）2；例4中把（5-8）2转换成（8-5）2），从而把双重二次根式化简成最简二次根式。
练习：把下列二次根式化简
（1）、124- （2）、2611- （3）、356+（提示：35=2×4
35=2×25×27）。